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2.1.2演绎推理《三段论》


演绎推理

教学过程: 一、复习:合情推理

归纳推理 :从特殊到一般从具体问题出发 ――观察、分析——比较、联想――归纳。
类比推理: 从特殊到特殊

类比――提出猜想

二、新授课:
完成下列推理, 它们是合情推理吗? 它们有什么特点?
1.所有的金属都能导电,

因为铜是金属, 所以铜能够导电. 一般性的原理 特殊情况 结论

2.一切奇数都不能被2整除, 一般性的原理 因为2007是奇数, 所以2007不能被2整除. 特殊情况 结论

案例分析2:
从一般性的原理出发,推出某个特殊情况 下的结论,这种推理称为演绎推理.
1.所有的金属都能导电, 因为铜是金属, 所以铜能够导电. 一般性的原理 特殊情况 结论 大前提 小前提 结论

2.一切奇数都不能被2整除, 一般性的原理 因为2007是奇数, 所以2007不能被2整除. 特殊情况 结论

三、建构数学
演绎推理的定义:从一般性的原理出发, 推出某个特殊情况下的结论,这种推理称 为演绎推理。 1.演绎推理是由一般到特殊的推理; 2.“三段论”是演绎推理的一般模式;包 括 ( 1)大前提——已知的一般原理; (2)小前提——所研究的特殊情况; (3)结论——据一般原理,对特殊情况做 出的判断.

三段论的基本格式 M—P(M是P) (大前提) S—M(S是M) (小前提) S—P(S是P) (结论)

3.三段论推理的依据,用集合的观点来理解: 若集合M的所有元素都具有性质P,S是M的

一个子集,那么S中所有元素也都具有性质 P。

四、数学运用 M S

例1完成下面的推理过程 一条抛物线 .” “二次函数y=x2 + x + 1的图象是 试将其恢复成完整的三段论.
解:
大前提 小前提 ∵二次函数的图象是一条抛物线, 函数y = x2 + x + 1是二次函数, ∴函数y = x2 + x + 1的图象是一 条抛物线.

P





例1.如图;在锐角三角形ABC中,AD⊥BC, BE⊥AC,

D,E是垂足,求证AB的中点M到D,E的距离相等. C 大前提 证明:(1)因为有一个内角是直角的三 E D

角形是直角三角形, 在△ABC中,AD⊥BC,即∠ADB=900 小前提 所以△ABD是直角三角形 结论 同理△ABE是直角三角形 A M B (2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ,大前提 小前提 M是Rt△ABD斜边AB的中点,DM是斜边上的中线 1 所以 DM= AB 结论 2
1 同理 EM= AB 2

所以 DM = EM

例2 证明函数 f (x)=-x2+2 x在(-∞,1)是增函数.
证明:满足对于任意x1 , x2∈D,若x1< x2,有 大前提 f(x1) < f(x2)成立的函数f(x),是区间D上的增函数.
任取x1 , x2 ? (??,1), 且x1 ? x2 ,
2 2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (? x1 ? 2 x1 ) ? (? x2 ? 2 x2 )

? ( x2 ? x1 )( x2 ? x1 ? 2)
? x1 ? x2 , 所以x2 ? x1 ? 0; ? x1 , x2 ? 1, 所以x2 ? x1 ? 2 ? 0. ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0,? f ( x1 ) ? f ( x2 ).

小前提

∴函数f (x)=-x2+2 x在(-∞,1)是增函数.

结论

练1 分析下列推理是否正确,说明为什么?
大前提错误 (1)自然数是整数, 3是自然数, 3是整数. (2)整数是自然数, -3是整数, -3是自然数. (4)自然数是整数, -3是整数, -3是自然数. 推理形式错误

(3)自然数是整数, -3是自然数, -3是整数. 小前提错误

合情推理与演绎推理的区别
合情推理
归纳推理 类比推理 演绎推理

区 别

推理 由部分到整体,个 由特殊到特殊的 由一般到特殊的 推理 形式 别到一般的推理 推理 推理 结论 结论不一定正确,有待进一 步证明

在前提和推理形 式都正确时,得到 的结论一定正确

联系

合情推理的结论需要演绎推理的验证,而演 绎推理的方向和思路一般是通过合情推理获得的

回顾小结:
1、 演绎推理概念; 演绎推理的一般模式——三段论. 2、 合情推理与演绎推理的区别与联系.

3、演绎推理错误的主要原因是: ①、大前提不成立;②、小前提不符合大前提的 条件;③推理形式错误
4、演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重 要思维过程.但数学结论、证明思路等的发 现,主要靠合情推理.因此,我们不仅要学会 证明,也要学会猜想.


2.1.2 演绎推理

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