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等比数列的求和公式


1

知识回顾:
1.等比数列的定义: 2.通项公式:
a n ?1 an

( q ? 0, n ? N ? ) ? q(常数)
n ?1

an ? a1 ? q

,

a ? a gq
m n

m?n

>
已知三个量,可以求出第四个量。 (说“三”道“四”)
3.等比数列的主要性质: ① a, G , b 成等比数列 ?

G ? ab (G,a,b ≠ 0)
2

②在等比数列{ an }中,若 则

am ? an ? a p ? aq

m?n ? p?q ( m, n, p, q ? N ? )
2

创设情境
明总:在一个月中,
我第一天给你一万, 以后每天比前一天多 给你一万元。

林总:我第一
天还你一分钱, 以后每天还的 钱是前一天的 两倍

3

创设情境
林总:哈哈!这么
多钱!我可赚大了, 我要是订了两个月, 三个月那该多好啊!

果真如此吗?

4

创设情境

想一想:
请你们帮林总分析一下这份合同是否能签?

5

明总借款:

T30 ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? 30
1 ? 30 ? ? 30 ? ? ? 465 2

? 万元? .

6

林总还款:
由于每天的钱数都是前一天的2倍,共30天,每天 所给的钱数依次为:

1 ,2,2 ,2 , ?,2

2

3

29

.

所以它是一个以1为首项,2为公比的等比数列.

S30 ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 .
2 3 29

7

请同学们考虑如何求出这个和?

S30 ?1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ?? 2 .
2 3 29

(1)
30

2S30 ?
两式相减得:

2 ? 2 ? 2 ? ?? 错位相减法 2 ?2 . (2)
2 3 29

? ( 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ) S ? 2 S ? 30 30
2 3 29

? ?S

? (2 ? 22 ? 23 ? ?? 229 ? 230 )
30

? S30 ? 1 ? 2
30

30

? 2 ?1 ? 1073741823 分≈1073.74万元
8

明总:这是
我做的最成功 的一笔生意!

9

等比数列的前n项和公式的推导1

Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ?? an?1 ? an
Sn=a1+a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-2+a1qn-1 ① qSn= a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn-2+a1qn-1 +a1qn ②
① —②得: Sn (1—q)=a1—a1qn

a1 (1 ? q ) 当q≠1时, Sn ? . 1? q
n

等比数列{an}前n项和

Sn ? ? a1 (1 ? q n ) ? 1? q ?

当q=1时,等 比数列的前n na1 q ?1 ? 项和是什么? ?
q ?1
10

2 n-1 s = a + a q + a q + ? ? ? + a q 思路1: n 1 1 1 1 = a1 + q(a1 + a 2 ? ??? +a n-1 )

a 2 a 3 a4 an = = = ???= =q 思路2: a1 a2 a3 an-1

11

等比数列的前n项和公式的推导2

Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ?? an?1 ? an ? a1 ? qa 1 ? qa 2 ? qa 3 ? ? ? qa n ?1 ? a1 ? q(a1 ? a2 ? ? ? an?1 ) ? a1 ? q(Sn ? an )

(1 ? q)Sn ? a1 ? an q ?
当q≠1时,

a1 ? qan Sn ? ? 1? q
12

等比数列的前n项和公式的推导3
由等比数列 a1 , a 2 , a3 ,

… an , … 的定义知:

? S ?a ?S ? a
n n

an a2 a3 a4 ? ? ??? ?q a1 a2 a3 an?1

a2 ? a3 ? a4 ? ? an ?q a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an?1
1 n

?q

(1 ? q)S ? a ? a q ?
n 1 n

当q≠1时,

a1 ? qan ?Sn ? 1 ? q

13





等 差 数 列

等 比 数 列



n

项 和 公 式

n?a1 ? a n ? Sn ? 2 n?n ? 1? ? na1 ? d 2
倒序相加

a1 1 ? q n Sn ? 1? q a1 ? a n q ? 1? q
错位相减

?

?
?q ? 1?

推导方法

【注意】在应用等比数列的前n项和公式时考虑 公比是否为1
14

1 1 1 , , , ? 的前8项的和. 例1 求等比数列 2 4 8

1 1 解: ? a1 ? , q ? , n ? 8 2 2

1 ? ?1? ?1 ? ? ? 2? 2 ? ? ? ? S8 ? 1 1? 2

8

? ? ? ?

a1 (1 ? q n ) Sn ? 1? q

255 ? . 256

15

练习

根据下列条件,求相应的等比数列 ?an ? 的

Sn

(1)a1 ? 3, q ? 2, n ? 6;

3 ? (1 ? 26 ) S6 ? ? 189. 1? 2
5 ? ?1? ? 8 ? ?1 ? ? ? ? ?2? ? 31 ? ? ? S5 ? ? . 2 ?1? 1? ? ? ?2?

1 (2)a1 ? 8, q ? , n ? 5; 2

(3)a1 ? 81, a5 ? 16, an ? 0.
q4

2 81? 16 ? 2 a5 16 3 ? 211 s5 ? ? ? ?q ? 2 a1 81 3 1? 3 16

例2. 求等比数列 1,2,4,…从第5项到第10项的和.

解: ? a1 ? 1, q ? 2,
1? (1 ? 2 4 ) ? S4 ? ? 15. 1 ? 2 10 1? (1 ? 2 ) S10 ? ? 1023 . 1? 2
从第5项到第10项的和:

S10 ? S4 ? 1023?15 ? 1008 .

s10
a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 ?a10 .

s4



17

练习
求等比数列
3 3 3 , , , ? 从第3项到第7项的和. 2 4 8

3 1 解: ? a1 ? , q ? , 2 2 7 ? 3 ?1? ? ? ?1 ? ? ? ? 2 ? ?2? ? 381 ? ? ? S7 ? ? . 1 128 1? 2
所以从第3项到第7项的和为:

? 3 3 ? 381 9 153 S7 ? ? ? ? ? ? ? . ? 2 4 ? 128 4 128

18

小结
a1 (1 ? q ) a1 ? an q 两个公式: S n ? ? (q ? 1) 1? q 1? q
n

一种方法:错位相减法
?由

Sn ,an ,q , a1 , n 知三而可求二 .

?注意公式适用的条件

(1)是否为等比数列 (2)q≠1
19


等比数列求和公式

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