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河北饶阳中学高二数学寒假作业理答案

时间:2014-02-06


作业一答案: 1.D; 2.B; 3.B; 4.B; 5.A; 6.D; 7.B; 8.A; 9.D; 10.A; 11. ②④; 12. 平 行四边形不一定是菱形;或至少存在一个平行四边形不是菱形; 13. 必要, 充分,必要;14. 必要不充分 15. ②③④.

三、解答题 17.解:设点 C ( x, y ) ,则 CA ? CB ? ?2. 根据双曲

线定义,可知 C 的轨迹是双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1, 由 2a ? 2 , 2 c ? AB? 2 得 3 ,a2 ? 1, b2 ? 2, 2 a b
故点 C 的轨迹方程是 x ?
2

y2 ? 1. 2

16.对任意实数 x 都有 ax

2

?a ? 0 ? a ? 0或? ? ax ? 1 ? 0 恒成立 ?? ? 0

? 0 ? a ? 4 ;关于 x 的方程 x 2 ? x ? a ? 0 有实数根

? 1 ? 4a ? 0 ? a ?

1 4 ;如果

? 2 y2 ?1 ?x ? 由? 得 x2 ? 4 x ? 6? 0 直线与双曲线有两个交点,设 ? ,?? ? 0, 2 ? y ? x?2 ?

P 正确,

D( x )x ,1 ? x2 ? ? 4 , x1 x2 ? ? 6, 1 , y 1 ) , E (x 2 ,y 2则
故 DE ? 1 ? 1 ? x1 ? x2 ?

且 Q 不正确,有
a ? 0或a ? 4, 且a ?

0 ? a ? 4, 且a ?

1 1 ? ?a?4 4 4 ;如果

Q 正确,且 P 不正确,有

2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 4 5.

1 1 ? ?a ? 0 ?? ?,0? ? ? ? ,4 ? 4 ?。 a 4 ? 。所以实数 的取值范围为
一、选择题 1.D 2.A 3.C

作业三答案

17.考查充要条件、充分条件、必要条件.对于这类问题,将语言 叙述符号化,画出它们的综合结构图,再给予判定. 解:p、q、r、s 的关系如图所示,由图可知 答案: (1)s 是 q 的充要条件 (2)r 是 q 的充要条件 (3)p 是 q 的必 要条件 作业二答案
一、选择题 1、B 2、D 3、A 4、C 5、B 6、B 7、A 8、D 9、C 10、D 11、B 12、A 二、填空题 13、 -8

? ? ? ?? ? ? ? ? ? b ? ?2a ? a // b; d ? ?3c ? d // c; 而零向量与任何向量都平行
? ? ? ? a? b 6?? 8 2 cos ? a, b ?? ? ? ? ? , ? ? ?2, 或 55 a b 3 ?2 ? 5 9

关于某轴对称,则某坐标不变,其余全部改变

4.A

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AB ? (3, 4, 2), AC ? (5,1,3), BC ? (2, ?3,1) , AB?AC ? 0 ,得 A 为锐角; ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? CA? CB ? 0 ,得 C 为锐角; BA?BC ? 0 ,得 B 为锐角;所以为锐角三角形

5.C

??? ? ??? ? AB ? (1 ? x, 2 x ? 3, ?3x ? 3), AB ? (1 ? x)2 ? (2 x ? 3)2 ? (?3x ? 3)2

16 3 14、 3

? 14x2 ? 32x ?19 ,当 x ?
15 、 y 2 ? ?4 5x 16、 3x2+4y2+4x?32=0
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? 8 时, AB 取最小值 7

??? ? ???? ? ??? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ??? ? OA OC cos ? OA OB cos ??? ? ??? ? OA?BC OA? (OC ? OB) 3 3 ?0 6.D cos ? OA, BC ?? ??? ? ? ??? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? OA BC OA BC OA BC
7.B 8.C 9.D 10.A 11.A 12.D 二、填空题 13. ? 212 14.垂直 15.

2 2 ?0? ? 0 ? 1? 1 ???? ? ???? ? ???? ? ? 2 2 ? 2 2 2 ? cos ? DH , CC ?? ? 所以 DH ? ? . (Ⅰ)因为 , , , 1 ? 2 2 ? ? 2 1 ? 2 ? ?
所以 ? DH, CC? ?? 45 .即 DP 与 CC ? 所成的角为 45? .
?

???? ? ???? ?

? ? ? ? 2a ? 3b ? (?10,13, ?14) , a ? 2b ? (16, ?4,0) ? ? ?? ? ? a ? (2, ?1,1), b ? (4,9,1), a? b ?0?a ?b

(Ⅱ)平面 AA?D ?D 的一个法向量是 DC ? (0, 1 , 0) .

????

10 10 ? ? ? ? , ?6 若 a ? b ,则 ?8 ? 2 ? 3x ? 0, x ? ;若 a // b ,则 2 : (?4) ? (?1) : 2 ? 3: x, x ? ?6 3 3 ? ? 1 m 5 ?1 1 a ? (m,5, ?1), b ? (3,1, r ), ? ? , m ? 15, r ? ? 16. 15, ? 5 3 1 r 5 ?2 ? ? ?2 ?2 ? ? ?2 ? ? ?2 ?2 ? ? b ? 15b ? 0, 7 a ? 33a ? b ? 20b ? 0, 得49a ? b ? 35b , 49a ? 35a ? b 17. 0 7 a ? 16a ?

2 2 ?0? ? 1 ? 1? 0 ???? ? ???? ???? ? ???? 1 2 2 DC ?? ? , 所以 ? DH, DC ?? 60? . 因为 cos ? DH, 2 1? 2
可得 DP 与平面 AA?D ?D 所成的角为 30? .

? ? ? 35 ? 2 a 35 ? ? a? b ? b , ? ? , cos ? a, b ?? 49 b 49
1 ? ? ? 18. (b ? c ? a ) 2
三、解答题

? ? ? 35 b2 a? b 35 ? ? ? 49 ? ? ? 49 a b a b

作业四和五答案
? b ? ?1 a
1、D 2、C 11、 3、B 4、D 5、B 6、A 7、B 8、A 9、D 10、D 14. 30?

???? ? ???? ???? ? 1 ? ? 1? MN ? ON ? OM ? (b ? c) ? a 2 2

3 10 ? 12. 2 10

13.②、③

15. 以 AB 为直径的圆

16 证明: (Ⅰ)连接 OE ,由条件可得 SA ∥ OE . 因为 SA ? 平面 BDE , OE ? 平面 BDE ,所以 SA ∥平面 BDE . (Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知 SO ? 面ABCD , AC ? BD . 建立如图所示的空间直角坐标系. z 设四棱锥 S ? ABCD 的底面边长为 2, H P E z S

19(08 海南宁夏卷理 18)如图,已知点 P 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 的 对角线 BD1 上,∠PDA=60°. (1)求 DP 与 CC1 所成角的大小; (2)求 DP 与平面 AA1D1D 所成角的大小. 解:如图,以 D 为原点, DA 为单位长建立空间直角坐标系 D ? xyz .

??? ? ???? ? 则 DA ? (1 , 0, 0) , CC? ? (0, 01) , .连结 BD , B ?D ? .
在平面 BB ?D ?D 中,延长 DP 交 B ?D ? 于 H .

???? ? ??? ? ???? ? DA ?? 60? , 设 DH ? (m,m, 1)(m ? 0) ,由已知 ? DH,
??? ? ???? ? ??? ? ???? ? ??? ? ???? ? , DH ? 由 DA?DH ? DA DH cos ? DA

D? A?
D A

C?
B?
C B y

则 O(0, 0, 0) , S (0, 0,

2) , A

?
?

2, 0, 0 , B 0,

?

?

2, 0 ,

?

D O

C

C ? 2, 0, 0 , D 0, ? 2, 0 .
??? ? ??? ? 所以 AC ? ?2 2, 0, 0 , BD ? 0, ? 2 2, 0 .

?

?

?

?

?

?

?

x

A

B y

可得 2m ? 2m ?1 .解得 m ?
2

2 , 2

x

设 CE ? a ( 0 ? a ? 2 ) ,由已知可求得 ?ECO ? 45? .

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2 所以 E (? 2 ? a, 0, 2

??? ? 2 2 a) , BE ? (? 2 ? a, ? 2, 2 2

2 a) . 2

因为 A1D⊥平面 ABCD, 所以 A1D⊥平面 A1B1C1D1 A1D⊥B1D1。 又 B1D1⊥A1C1, 所以 B1D1⊥平面 A1C1D, 所以平面 A1C1D 的一个法向量为 n=(1,1,0) 设 BD1 与 n 所成的角为 ? , 则 cos ? ? …………7 分 …………8 分

设平面 BDE 法向量为 n ? ( x, y, z ) ,

??? ? ? y ? 0, ? ?n ? BD ? 0, ? 则 ? ??? 即? ? 2 2 a) x ? 2 y ? az ? 0. ? ?(? 2 ? ? n ? BE ? 0 ? 2 2
a , 0, 1) . 令 z ? 1 ,得 n ? ( 2?a ??? ? 易知 BD ? 0, ? 2 2, 0 是平面 SAC 的法向量.

n ? BD1 | n || BD1 |

?

?3

3 ?? , 4 2 8
3 4
…………9 分

?

?

所以直线 BD1 与平面 A1C1D 所成角的正弦值为 . (III)解:平面 A1C1A 的法向量为 m ? (a, b, c) 则 m ? A1C1 ? 0, m ? A1 A ? 0, 令 c ? 3, 可得 m ? (3,3, 3) 所以 ? a ? b ? 0, a ? 3c ? 0

因为 n ? BD ? (

??? ?

a , 0, 1) ? (0, ? 2 2, 0) ? 0 , 2?a

所以 n ? BD ,所以平面 BDE ? 平面 SAC .

??? ?

…………11 分

17(I)证明:四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中,BB1//CC1, 又 CC1 ? 面 ABB1A1,所以 CC1//平面 ABB1A1, ABCD 是正方形,所以 CD//AB, 又 CD ? 面 ABB1A1,AB ? 面 ABB1A1,所以 CD//平面 ABB1A1,…………3 分 所以平面 CDD1C1//平面 ABB1A1, 所以 C1D//平面 ABB1A1 (II)解:ABCD 是正方形,AD⊥CD 因为 A1D⊥平面 ABCD, 所以 A1D⊥AD,A1D⊥CD, 如图,以 D 为原点建立空间直角坐标系 D—xyz, 在 ?ADA 1 中,由已知可得 A 1D ? …………5 分 …………4 分 …………2 分 则 cos ? m, n ??

m?n 6 42 ? ? . | m || n | 7 2 21
42 . 7
…………12 分

所以二面角 D ? A1C1 ? A 的余弦值为

18.解:M、N、Q、B 的位置如右图示。 (正确标出给 1 分) (1)∵ND//MB 且 ND=MB ∴四边形 NDBM 为平行四边形 ∴MN//DB………………3 分 ∴BD ? 平面 PBD,MN ? 平面PBD ∴MN//平面 PBD……………………4 分

3,

所以 D(0,0,0), A1 (0,0, 3), A(1,0,0),C1 (?1,1, 3) ,

B1 (0,1, 3), D1 (?1,0, 3), B(1,1,0),

BD1 ? (?2,?1, 3, )

…………6 分

(2)∵QC⊥平面 ABCD,BD ? 平面 ABCD, ∴BD⊥QC……………………5 分
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又∵BD⊥AC, ∴BD⊥平面 AQC…………………………6 分 ∵AQ ? 面 AQC ∴AQ⊥BD,同理可得 AQ⊥PB, ∵BD ? PD=B ∴AQ⊥面 PDB……………………………8 分 (3) :设正方体的棱长为 a, 以 D 为坐标原点建立空间直角坐标系如图: 则点 A (a,0, 0) , P (a,0,a) , Q (0,a,a) ………… ∴ 9分 20. 解(Ⅰ)证明:由已知 PA ? AD , AB ? AD , 所以 ?PAB 为平面 PAD 与平面 ABCD 所成二面角的平面角,…………………………1 分 由已知:平面 PAD ⊥平面 ABCD ,得 PA ? AB …………………………………………1 分 又 AB ? 平面ABCD , AD ? 平面ABCD ,且 AB与AD 相交 ∴ PA ? 平面 ABCD .………………………………………………………………………2 分 (Ⅱ)连接 AF ,则 ?AFE 即为 ? ,………………………………………………………2 分 在 ?AFE 中,可求得 ? ? arctan 又在 Rt△AOA1 中,A1O2=AA12 – AO2=9-

9 9 = , 2 2

∴A1O=

3 2 3 2 ,平行六面体的体积为 V ? 5 ? 4 ? ? 30 2 。 2 2

PQ ? (?a, a,0), AQ ? (?a, a, a) ………………
∵PQ⊥面 DBM,由(2)知 AQ⊥面 PDB ∴ AQ, PQ 分别为平面 PDB、 平面 DBM 的法向 量……………………12 分 ∴ cos ? AQ, PQ ??

10 分

AQ ? PQ | AQ | ? | PQ |

5 ………………………………………………………3 分 5

?

2a 2 2a ? 3a

?

6 3
2 2 ………………13 分 , ? AQ, PQ ?? arctan 2 2

(Ⅲ)建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz,设 AB ? 2a , 则 A(0,0,0) , B(2a,0,0) , C (2a,2a,0) , D(0,2a,0) , P(0,0,2a) , E (0,0, a) , F (a,2a,0) , ∵ EF ? (a,2a,?a) , BD ? (?2a,2a,0) ,…………………………………………………2 分 ∴ cos ? ?

∴ tan ? AQ, PQ ??

19: (1)如图 2,连结 A1O,则 A1O⊥底面 ABCD。作 OM⊥AB 交 AB 于 M,作 ON⊥AD 交 AD 于 N,连结 A1M,A1N。由三垂线定得得 A1M⊥AB,A1N⊥AD。∵∠A1AM=∠A1AN, ∴Rt△A1NA≌Rt△A1MA,∴A1M=A1N, 从而 OM=ON。 ∴点 O 在∠BAD 的平分线上。 (2)∵AM=AA1cos

EF ? BD | EF | ? | BD |

?

3 .……………………………………………………………2 分 6

故异面直线 EG 与 BD 所成的角为 arccos

3 . ………………………………………… 1 分 6

? 1 3 =3× = 2 2 3 AM 3 2。 ∴AO= = ? 2 cos 4

21. I)以 D 为坐标原点,分别以 DA、DC、DD1 所在直线为 x 轴, y 轴, z 轴,建立空间直角坐 标系,设 AB ? 1 ,则 D(0,0,0), A(1,0,0), B(1,1,0), C(0,1,0), B1 (1,1, 2) ,
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??? ? ??? ? C1 (0,1, 2), P(0,1, 2 ? 2? ) ,从而 BD ? (?1, ?1,0), AP ? (?1,1, 2 ? 2?) ,
??? ? ??? ? ? BD?AP ? 0 ,即 AP ? BD .
(II)由(I)及 ? ? (4分)

??? ? 1 4 ???? 得, AP ? (?1,1, ), AB1 ? (0,1, 2) , 3 3

4 ? ?x ? 3 ? ??1 ? x ? y ? 0 ? 设平面 AB1P 的法向量为 n ? (1, x, y) ,则 ? ?? 3 3, y?? ? ? ? 2 ?x ? 2 y ? 0
从而可取平面 AB1P 的法向量为 n ? (2,6, ?3) , 又取平面 ABB1 的法向量为 m ? (1,0,0) ,且设二面角 P ? AB1 ? B 为 ? ,

?

??

所以

?? ? m?n 2 cos ? ? ?? ? ? m ?n 7

(9分)

(III) 假设存在实数 ? (0 ? ? ? 1) 满足条件, 由题结合图形,只需满足 AP 分别与 AC、 AB1 所成的角相等,

??? ?

??? ? ????
2

??? ??? ?


1 ??? ??? ? ? ??? ??? ? ,即

AP ?AC

??? ??? ?
AP ?AB AP ? AB1

AP ? AC

4? 2 ? 8? ? 6 ? 2

?

5 ? 4? 4? 2 ? 8? ? 6 ? 5



解得 ? ?

5 ? 10 5 ? 10 ? (0,1) .所以存在满足题意得实数 ,使得 AP 在平面 B1 AC 上 4 4
(14 分)

的射影平分 ?B1 AC

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