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2015年北京石景山高三一模数学(文科)试题及答案


石景山区 2014—2015 学年第一学期期末考试试卷

高三数学(文)
本试卷共 6 页,150 分.考试时长 120 分钟.请务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答 无效.考试结束后上交答题卡.

第一部分(选择题

共 40 分)

一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.

在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项. 1.设集合 U ? ?1 , 2 , 3 , 4?, A ? ? (CU A) ?B?( 1 , 2?, B ? ? 2 , 4? , 则 A. ? 2? B. ?1 , 2 , 4? C. ? 4? D. ?1 , 4? )
x



2.下列函数中,在 (0, ? ?) 上单调递增,并且是偶函数的是( A. y ? x
2

B. y ? ? x

3

C. y ? ? lg | x |

D. y ? 2

3.已知向量 AB ? (2 , 4) , AC ? (0, 2) ,则 A. ( ?2, ? 2) B. (2, 2)

1 BC ? ( 2

) D. ( ?1 , ? 1) 开始 A=1,B=1 A=A+1 A≤5 否 B=2B+1

C. (1, 1)

4.若某程序框图如右图所示,则该程序运行后 输出的 B 等于( A. 63 B. 31 ) C. 15
2

D. 7

5.设 a , b 为实数,命题甲: ab ? b , 命题乙: a ? b ? 0 , 则命题甲是命题乙的( A.充分不必要条件 C.充要条件 ) 输出 B 是

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

结束

6.函数 f ? x ? ? log2 x ? x ? 2 的零点所在的区间是( A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3)

) D.(3,4) )

7.若点 A(1,0) 和点 B(4, 0) 到直线 l 的距离依次为 1和 2 ,则这样的直线有(

1

A. 1条

B. 2 条

C. 3 条
2 2

D. 4 条

8.某同学为了研究函数 f ( x ) ? 1 ? x ? 1 ? (1 ? x) (0 ? x ? 1) 的性质,构造了如图 所示的两个边长为 1 的正方形 ABCD 和 BEFC ,点 P 是边 BC 上的一个动点,设

CP ? x ,则 f ( x) ? PF ? AP .那么可推知方程 f ( x) ? 6 解的个数是(
A. 0 C. 2 B. 1 D. 4 D C P F



A

B

E

第二部分(非选择题
二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 若复数 Z1 ? i , Z 2 ? 3 ? i ,则

共 110 分)

Z2 ? Z1

.

10.若抛物线 y 2 ? ax 的焦点与双曲线

x2 ? y 2 ? 1 的右焦点重合,则 a 的值为 3



11.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,已知 C ? 则 B ? ____________. 12. 如图,网格纸上正方形的边长为 1,粗实线 画出的是某多面体的三视图,则该多面体的 各条棱中,最长的棱的长度为 .

?
6

,a ? 1,b ?

3,

? x ? y ? 0, ? 13.已知不等式组 ? x ? y ? 0, 表示的平面区域 S 的面积为 1 ,则 a ? ? y?a ?
若点 P( x, y) ? S ,则 z ? x ? 3 y 的最小值为 .



2

14. 将连续整数 1,2,…,25 填入如图所示的 5 行 5 列的 表格中,使每一行的数从左到右都成递增数列,则第三列 各数之和的最小值为 ,最大值为 .

三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题共 13 分) 设数列 ?an ? 满足: a1 ? 1 , an?1 ? 3an , n ? N .
*

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式及前 n 项和 Sn ;zhangwlx (Ⅱ)已知数列 ?bn ? 是等差数列, Tn 为 ?bn ? 的前 n 项和,且 b1 ? a1 ? a2 ? a3 , b3 ? a3 , 求 Tn 的最大值.

16. (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x ) ? A sin(? x ? ? )( x ? R, ? ? 0,0 ? ? ? (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的解析式; y (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 [ ?

?
2

) 的部分图象如图所示.

?
2

,0] 上的最大值与最小值.

1 O
5? 12 11? 12

x

3

17. (本小题共 14 分) 如图所示,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E、F 分别是棱 DD1、C1 D1 的中点. (Ⅰ)证明:平面 ADC1B1 ? 平面 A1 BE ; (Ⅱ)证明: B1 F //平面 A1 BE ; (Ⅲ)若正方体棱长为 1,求四面体 A1 ? B1BE 的体积. A B B1 A1 F C1 E D1

D C

4

18. (本小题共 13 分) 某校有 150 名学生参加了中学生环保知识竞赛,为了解成绩情况,现从中随机抽取 50 名学生的成绩进行统计(所有学生成绩均不低于 60 分).请你根据尚未完成的频率分布表, 解答下列问题:
频率 组距

分组 第1组 第2组 第3组 第4组 [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 合计

频数 M 15 20 N 50

频率 0.26 p 0.40 q 1

0.040 0.036 0.032 0.028 0.024 0.020 0.016 0.012 0.008 0.004
0

60 70

80

90 100

分数

(Ⅰ)写出 M 、N 、p、q(直接写出结果即可) ,并作出频率分布直方图; (Ⅱ)若成绩在 90 分以上的学生获得一等奖,试估计全校所有参赛学生获一等奖的人数; (Ⅲ)现从所有一等奖的学生中随机选择 2 名学生接受采访,已知一等奖获得者中只有 2 名女生,求恰有 1 名女生接受采访的概率.

5

19. (本小题共 14 分) 已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,焦距为 2,离心率为 (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程;

1 . 2

) (Ⅱ)设直线 l 经过点 M(0, 1 ,且与椭圆 C 交于 A, B 两点,若 AM ? 2 MB ,求直线 l 的
方程.

20. (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? x ? bx
3 2

(a, b ? R) , f ?( x ) 为其导函数,且 x ? 3 时 f ( x ) 有

极小值 ?9 . (Ⅰ)求 f ( x ) 的单调递减区间; (Ⅱ)若不等式 f ?( x ) ? k ( x ln x ? 1) ? 6 x ? 4 ( k 为正整数)对任意正实数 x 恒成立,求 k 的最大值. (解答过程可参考使用以下数据: ln 7 ? 1.95,

ln8 ? 2.08 )

6

石景山区 2014—2015 学年第一学期期末考试

高三数学(文)参考答案
一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 答案 1 C 2 A 3 D 4 A 5 B 6 B 7 C 8 A

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 题号 答案 9 10 11
2p 3

12

13

14

(13 题、

?1 ? 3i

8

5

1; ?4

45 ; 85

14 题

第一空 2 分,第二空 3 分)

三、解答题共 6 小题,共 80 分. 15. (本小题共 13 分) (Ⅰ)由已知, ?an ? 是首项为 1,公比为 3 的等比数列,………………………2 分 所以 an ? 3n?1 , 所以 S n ? ………………………4 分 ………………………………………6 分 ………………………………………8 分 ………………………………………10 分

1 n (3 ? 1) . 2

(Ⅱ) b1 ? S3 ? 13 , b3 ? 9

b3 ? b1 ? 2d ? ?4; d ? ?2 ,
Tn ? 13n ?

n(n ? 1) ? ( ?2) ? ?n 2 ? 14n. 2
……………………………13 分

当 n ? 7 时, Tn 有最大值 49.

7

16. (本小题共 13 分) (Ⅰ) T ? 2( 因为点 (

11? 5? 2? ? ) ? ? ,?? ? ?2 12 12 T

…………………………2 分

5? 5? , 0) 在函数图象上,得 sin( ? ? ) ? 0 . 6 12 ? 5? 5? 4? (0, ) ?? ? ( , ) 由? ? 可得 , 2 6 6 3 ? 5? 从而 ? ? =? 即 ? = . ………………………………………………4 分 6 6

1) 在函数图象上, A sin 因为点 (0,

?

6

? 1,即A ? 2 .

故函数 f ( x) 的解析式为 f ( x ) ? 2 sin(2 x ? (Ⅱ)因为 x ? [ ? 当 2 x+ 当 2 x+

?
6

).

……………………6 分 ……………9 分

?

?
6

?? ?

?

2

, 0] ,所以 2 x ?
时,即 x ? ?

?
6

? [?

?
3

5? ? , ]. 6 6

2

时,

f ( x) 的最小值为 ?2 ;…………………11 分
………………13 分

?
6

?
6

时,即 x ? 0 时,

f ( x) 的最大值为 1 .

17. (本小题共 14 分) (Ⅰ)证明: 因为 ABCD ? A1B1C1D1 为正方体, 所以 B1C1 ? 面 ABB1 A 1; 因为 A1B ? 面 ABB1 A 1 ,所以 B1C1 ? A 1B . 又因为 A1B ? AB1 , B1C1 …………2 分

AB1 ? B1 ,所以 A1B ? 面 ADC1B1
…………5 分

因为 A1B ? 面 A1 BE ,所以平面 ADC1B1 ? 面 A1 BE .

8

(Ⅱ)连接 EF , EF // 设 AB1 则 B1O //

1 1 C1 D ,且 EF = C1 D , 2 2
B1

A1 F C1 A B C

D1

A1B ? O ,
1 1 C1 D 且 B1O = C1 D , 2 2

E D

所以 EF // B1O 且 EF =B1O , 所以四边形 B1OEF 为平行四边形. 所以 B1F // OE . 又因为 B1F ? 面A 1BE , OE ? 面A 1BE . 所以 B1 F //面 A1 BE (Ⅲ) VA1 ? B1BE ? VE ? A1B1B ? 18. (本小题共 13 分) (Ⅰ)M=13 ,N =2, p=0.30,q=0.04,
频率 组距

…………9 分

…………11 分

1 1 S ?A1B1B ? B1C1 ? 3 6

…………………14 分

…………………2 分

0.040 0.036 0.032 0.028 0.024 0.020 0.016 0.012 0.008 0.004
0

60 70

80

90 100

分数

………………4 分

(Ⅱ)获一等奖的概率为 0.04,获一等奖的人数估计为 150 ? 0.04 ? 6 (人)……6 分 (Ⅲ)记获一等奖的 6 人为 A1 , A2 , B, C, D, E ,其中 A1 , A2 为获一等奖的女生,从所有一 等奖的同学中随机抽取 2 名同学共有 15 种情况如下:

? A1 , A2 ? , ? A1 , B ? , ? A1 , C ? , ? A1 , D ? , ? A1 , E ? ,
? A2 , B ? , ? A2 , C ? , ? A2 , D ? , ? A2 , E ? , ?B, C ? , ?B, D? , ?B, E ? , ?C, D? , ?C, E ? , ?D, E ? ,
………10 分
9

女生的人数恰好为 1 人共有 8 种情况如下:

? A1 , B ? , ? A1 , C ? , ? A1 , D ? , ? A1 , E ? ,

? A2 , B ? , ? A2 , C ? , ? A2 , D ? , ? A2 , E ? ,
所以恰有 1 名女生接受采访的概率 P ? 19. (本小题共 14 分) (Ⅰ)由题意知, c ? 1, 解得 a =4, b ? 3
2 2

………12 分 ………13 分

8 . 15

…………………1 分 …………………3 分

故椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

…………………4 分

(Ⅱ)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 当 k 不存在时,直线方程为 x =0 ,不符合题意. 当 k 存在时,设直线方程为 y ? kx ? 1 , …………………5 分

? y ? kx ? 1 ? 2 2 联立 ? x 2 y 2 ,消去 y ,得: (3 ? 4k ) x ?8kx ? 8 ? 0 , ?1 ? ? ?4 3

……………6 分

由题意,点在椭圆内部,必有两个交点,方程必有实根. (或计算 ? ? 0 )

…7 分

8k ? x ? x ? ? , 1 2 ? ? 3 ? 4k 2 ? ?x x ? ? 8 1 2 ? 3 ? 4k 2 ?
若 AM ? 2 MB ,则 x1 ? ?2 x2 , 代入上式,可得

…………………8 分

…………………9 分

8k ? ? x2 ? ? , ? ? 3 ? 4k 2 ? ? ? x 2 ? ? 8 ,消去 x 2 ,解得 k ? ? 1 . ? 2 2 3 ? 4k 2 ?
所求直线方程为 y ? ? 20. (本小题共 13 分)

…………………13 分

1 x ? 1. 2

…………………14 分

10

(Ⅰ)由 f ?( x) ? 3ax2 ? 2 x ? b ,因为函数在 x ? 3 时有极小值 ?9 ,
?27a ? 6 ? b ? 0 1 所以 ? ,从而得 a ? , b ? ?3 , 3 ?27a ? 9 ? 3b ? ?9

………………2 分

1 所求的 f ( x) ? x3 ? x2 ? 3x ,所以 f ?( x) ? x2 ? 2x ? 3 , 3
由 f ?( x ) ? 0 解得 ? 1 ? x ? 3 ,

3? . 所以 f ( x) 的单调递减区间为 ? ?1,
2

………………4 分

(Ⅱ)因为 f ?( x) ? x ? 2 x ? 3 ,所以 f ?( x ) ? k ( x ln x ? 1) ? 6 x ? 4 等价于

x2 ? 4x ? 1 ? k ( x ln x ?1) ,即 x ?
记 g ( x) ? x ?

k ?1 ? 4 ? k ln x ? 0 , x

……………6 分

k ?1 ? 4 ? k ln x , x k ? 1 k ( x ? 1)( x ? k ? 1) 则 g ?( x ) ? 1 ? 2 ? ? , x x x2
由 g ?( x ) ? 0 ,得 x =k ? 1 , 所以 g ( x ) 在 (0, k ? 1) 上单调递减,在 (k ? 1, ??) 上单调递增, 所以 g ( x) ≥ g (k ? 1) ? k ? 6 ? k ln(k ? 1) , ……………8 分

g ?x ? ? 0 对任意正实数 x 恒成立,
等价于 k ? 6 ? k ln(k ? 1) ? 0 ,即 1 ? 记 h( x ) ? 1 ?

6 ? ln(k ? 1) ? 0 . k

……………10 分

6 ? ln( x ? 1) , x 6 1 ? 0 ,所以 h( x ) 在 (0, ??) 上单调递减, 则 h '( x ) ? ? 2 ? x x ?1 13 ? ln 8 ? 0 , 又 h(6) ? 2 ? ln 7 ? 0, h(7) ? 7 所以 k 的最大值为 6 .

……………13 分

【注:若有其它解法,请酌情给分. 】

11


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