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【步步高】(四川专用)2014届高三数学大一轮复习 基本不等式及其应用学案 理 新人教A版


基本不等式及其应用
导学目标: 1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问 题.

自主梳理 1.基本不等式 ab≤

a+b

2 (1)基本不等式成立的条件:____________. (2)等号成立的条件:当且仅当________时取等号. 2.几个重要的不等式 2 2 (1

)a +b ≥________ (a,b∈R). (2) + ≥____(a,b 同号).

b a a b

?a+b?2 (a,b∈R). ? ? 2 ? 2 2 ?a+b?2____a +b . (4)? ? 2 ? 2 ?
(3)ab≤? 3.算术平均数与几何平均数 设 a>0,b>0,则 a,b 的算术平均数为________,几何平均数为________,基本不等式 可叙述为:________________________________________________. 4.利用基本不等式求最值问题 已知 x>0,y>0,则 (1)如果积 xy 是定值 p, 那么当且仅当________时, x+y 有最____值是________(简记: 积定和最小). (2)如果和 x+y 是定值 p,那么当且仅当________时,xy 有最____值是__________(简 记:和定积最大). 自我检测 a2+b2 1.“a>b>0”是“ab< ”的( ) 2 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ?1?x a、 ?a+b?, 2. (2011·南平月考)已知函数 f(x)=? ? , b∈(0, +∞), A=f? ? B=f( ab), 2 ? ? ? 2 ? ? 2ab ?,则 A、B、C 的大小关系是( C=f? ) ? ?a+b? A.A≤B≤C B.A≤C≤B C.B≤C≤A D.C≤B≤A 3.下列函数中,最小值为 4 的函数是( ) 4 A.y=x+

x

4 B.y=sin x+ (0<x<π ) sin x x -x C.y=e +4e D.y=log3x+logx81 1 4 . (2011· 大连 月考 ) 设函 数 f(x) = 2x + - 1(x<0) ,则 f(x) 有 最 ________ 值 为

x

1

________. 5 . (2010· 山 东 ) 若 对 任 意 x>0 , ________________.

x ≤a 恒 成 立 , 则 a 的 取 值 范 围 为 x2+3x+1

探究点一 利用基本不等式求最值 1 9 例 1 (1)已知 x>0,y>0,且 + =1,求 x+y 的最小值;

x y

5 1 (2)已知 x< ,求函数 y=4x-2+ 的最大值; 4 4x-5 (3)若 x,y∈(0,+∞)且 2x+8y-xy=0,求 x+y 的最小值.

1 4 变式迁移 1 (2011·重庆)已知 a>0,b>0,a+b=2,则 y= + 的最小值是(

a b

)

7 B.4 2 9 C. D.5 2 探究点二 基本不等式在证明不等式中的应用 1 1 例 2 已知 a>0,b>0,a+b=1,求证:(1+ )(1+ )≥9. A.

a

b

变式迁移 2 已知 x>0,y>0,z>0.

?y z??x z??x y? 求证:? + ?? + ?? + ?≥8. ?x x??y y??z z?

2

探究点三 基本不等式的实际应用 例 3 (2011·镇江模拟)某单位用 2 160 万元购得一块空地,计划在该空地上建造一 栋至少 10 层,每层 2 000 平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为 x(x≥10)层,则每平方 米的平均建筑费用为 560+48x(单位:元). (1)写出楼房平均综合费用 y 关于建造层数 x 的函数关系式; (2)该楼房应建造多少层时,可使楼房每平方米的平均综合费用最少?最少值是多少? 购地总费用 (注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用= ) 建筑总面积

变式迁移 3 (2011·广州月考)某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额, 拟在 2012 年英国伦敦奥运会期间进行一系列促销活动, 经过市场调查和测算, 化妆品的年销量 x 万件与年促销费 t 万元之间满足 3-x 与 t+1 成反比例, 如果不搞促销活动, 化妆品的年销 量只能是 1 万件,已知 2012 年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为 3 万元,每生产 1 万件化妆品需再投入 32 万元的生产费用,若将每件化妆品的售价定为其生产成本的 150% 与平均每件促销费的一半之和,则当年生产的化妆品正好能销完. (1)将 2012 年的利润 y(万元)表示为促销费 t(万元)的函数. (2)该企业 2012 年的促销费投入多少万元时,企业的年利润最大? (注:利润=销售收入-生产成本-促销费,生产成本=固定费用+生产费用)

1.a +b ≥2ab 对 a、b∈R 都成立;

2

2

a+b

2 的条件是 ab>0,即 a,b 同号. 2.利用基本不等式求最值必须满足一正、二定、三相等三个条件,并且和为定值时, 积有最大值,积为定值时,和有最小值.

≥ ab成立的条件是 a,b∈R ; + ≥2 成立



b a a b

3.使用基本不等式求最值时,若等号不成立,应改用单调性法.一般地函数 y=ax+ , 当 a>0,b<0 时,函数在(-∞,0),(0,+∞)上是增函数;当 a<0,b>0 时,函数在(- ∞,0),(0,+∞)上是减函数;当 a>0,b>0 时函数在?-

b x

? ?

b ? ? ,0?,?0, a ? ?

b? ?上是 a?

3

b? ? b ? ,+∞?上是增函数;当 a<0,b<0 时,可作如下变 ?,? a? ? a ? ? ? b?? 形:y=-? -ax +?- ??来解决最值问题. ? ? x??
减函数,在?-∞,-

? ?

(满分:75 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1 1 a b 1.设 a>0,b>0,若 3是 3 与 3 的等比中项,则 + 的最小值为(

a b

)

A.8

B.4

C.1

D.

1 4

?1 a? 2.(2011·鞍山月考)已知不等式(x+y)? + ?≥9 对任意正实数 x,y 恒成立,则正实 ?x y?
数 a 的最小值为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 1 1 3.已知 a>0,b>0,则 + +2 ab的最小值是(

a b

)

A.2 B.2 2 C.4 D.5 4. 一批货物随 17 列货车从 A 市以 a km/h 的速度匀速直达 B 市, 已知两地铁路线长 400 km,为了安全,两列车之间的距离不得小于? ? km,那么这批货物全部运到 B 市,最快需 ?20? 要( ) A.6 h B.8 h C.10 h D.12 h 3x-y-6≤0 ? ? 5.(2011·宁波月考)设 x,y 满足约束条件?x-y+2≥0 ? ?x≥0,y≥0 ,若目标函数 z=ax+

? a ?2

by (a>0,b>0)的最大值为 12,则 + 的最小值为( a b
A.

2 3

)

25 8 11 B. C. D.4 6 3 3 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 6.(2010·浙江)若正实数 x,y 满足 2x+y+6=xy,则 xy 的最小值是________. 2 7.(2011·江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,过坐标原点的一条直线与函数 f(x)= 的

x

图象交于 P,Q 两点,则线段 PQ 长的最小值是________. 2x x 8.已知 f(x)=3 -(k+1)3 +2,当 x∈R 时,f(x)恒为正值,则 k 的取值范围为 __________________. 三、解答题(共 38 分) 4 9.(12 分)(1)已知 0<x< ,求 x(4-3x)的最大值; 3 x y (2)点(x,y)在直线 x+2y=3 上移动,求 2 +4 的最小值.

4

10.(12 分)(2011·长沙月考)经观测,某公路段在某时段内的车流量 y(千辆/小时)与 920v 汽车的平均速度 v(千米/小时)之间有函数关系 y= 2 (v>0). v +3v+1 600 (1)在该时段内,当汽车的平均速度 v 为多少时车流量 y 最大?最大车流量为多少? (2)为保证在该时段内车流量至少为 10 千辆/小时,则汽车的平均速度应控制在什么范 围内?

11.(14 分)某加工厂需定期购买原材料,已知每千克原材料的价格为 1.5 元,每次购 买原材料需支付运费 600 元,每千克原材料每天的保管费用为 0.03 元,该厂每天需要消耗 原材料 400 千克,每次购买的原材料当天即开始使用(即有 400 千克不需要保管). (1)设该厂每 x 天购买一次原材料,试写出每次购买的原材料在 x 天内总的保管费用 y1 关于 x 的函数关系式; (2)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用 y 最小,并求出这个最 小值.

学案 36 基本不等式及其应用 自主梳理 1.(1)a>0,b>0 (2)a=b 2.(1)2ab (2)2 (4)≤

5

3. 2 p

a+b
2

ab

两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数

4.(1)x = y



(2)x=y 大 自我检测 1.A 2.A 3.C

p2
4

1 4.大 -2 2-1 5.[ ,+∞) 5 课堂活动区 例 1 解题导引 基本不等式的功能在于“和与积”的相互转化,使用基本不等式求 最值时,给定的形式不一定能直接适合基本不等式,往往需要拆添项或配凑因式(一般是凑 和或积为定值的形式), 构造出基本不等式的形式再进行求解. 基本不等式成立的条件是“一 正、二定、三相等”,“三相等”就是必须验证等号成立的条件. 1 9 解 (1)∵x>0,y>0, + =1,

x y

?1 9? ∴x+y=(x+y)? + ?

?x y? y 9x = + +10≥6+10=16. x y y 9x 1 9 当且仅当 = 时,上式等号成立,又 + =1, x y x y ∴x=4,y=12 时,(x+y)min=16.
5 (2)∵x< ,∴5-4x>0. 4 1 ? 1 ? y=4x-2+ =-?5-4x+ +3 5 - 4x? 4x-5 ? ? ≤-2 -4x 1 +3=1, 5-4x

1 当且仅当 5-4x= , 5-4x 即 x=1 时,上式等号成立,故当 x=1 时,ymax=1. (3)由 2x+8y-xy=0,得 2x+8y=xy, 2 8 ∴ + =1.

y x

8y 2x ?8 2? ∴x+y=(x+y)? + ?=10+ + x y

?

?

x

y

?4y x? =10+2? + ? ?x
y?
4y x · =18, ≥10+2×2×

x

y

4y x 当且仅当 = ,即 x=2y 时取等号.

x

y

又 2x+8y-xy=0,∴x=12,y=6. ∴当 x=12,y=6 时,x+y 取最小值 18. a+b 变式迁移 1 C [∵a+b=2,∴ =1. 2 1 4 1 4 a+b 5 2a b 5 ∴ + =( + )( )= +( + )≥ +2 a b a b 2 2 b 2a 2 2a b 9 2a b · = (当且仅当 = , 即 b=2a b 2a 2 b 2a

6

1 4 9 时,“=”成立),故 y= + 的最小值为 .] a b 2 例 2 解题导引 “1”的巧妙代换在不等式证明中经常用到,也会给解决问题提供简 捷的方法. 在不等式证明时, 列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤, 而且也是检验转化是否 有误的一种方法. 证明 方法一 因为 a>0,b>0,a+b=1, 1 a+b b 所以 1+ =1+ =2+ .

a b

a

a

1 a 同理 1+ =2+ .

b

1 1 b a 所以(1+ )(1+ )=(2+ )(2+ )

a b a b a =5+2( + )≥5+4=9. a b

b

1 1 1 所以(1+ )(1+ )≥9(当且仅当 a=b= 时等号成立). a b 2 1 1 1 1 1 方法二 (1+ )(1+ )=1+ + +

a

b

a b ab

a+b 1 2 + =1+ , ab ab ab 因为 a,b 为正数,a+b=1, a+b 2 1 1 2 所以 ab≤( ) = ,于是 ≥4, ≥8, 2 4 ab ab
=1+ 1 1 1 因此(1+ )(1+ )≥1+8=9(当且仅当 a=b= 时等号成立). a b 2 变式迁移 2 证明 ∵x>0,y>0,z>0, y z 2 yz ∴ + ≥ >0,

x x x x z 2 xz + ≥ >0, y y y x y 2 xy + ≥ >0. z z z ?y z??x z??x y? ∴? + ?? + ?? + ? ?x x??y y??z z? 8 yz· xz· xy ≥ =8. xyz 当且仅当 x=y=z 时等号成立. y z x z x y 所以( + )( + )( + )≥8. x x y y z z
例3

解题导引 1.用基本不等式解应用题的思维程序为:

由题设写 变形 利用基本 求得 → → → → 结论 出函数 转化 不等式 最值 2.在应用基本不等式解决实际问题时,要注意以下四点:(1)先理解题意,设变量,一 般把要求最值的变量定为函数;(2)建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数最值问 题;(3)在定义域内求函数最值;(4)正确写出答案. 解 (1)依题意得

7

2 160×10 000 2 000x 10 800 * =560+48x+ (x≥10,x∈N ).

y=(560+48x)+

x

10 800 (2)∵x>0,∴48x+

x

≥2 48×10 800=1 440, 10 800 当且仅当 48x= ,即 x=15 时取到“=”,

x

此时,平均综合费用的最小值为 560+1 440=2 000(元). 答 当该楼房建造 15 层时,可使楼房每平方米的平均综合费用最少,最少值为 2 000 元. 变式迁移 3 解 (1)由题意可设 3-x= 将 t=0,x=1 代入,得 k=2.∴x=3-

k
2

t+1



t+1

.

当年生产 x 万件时, ∵年生产成本=年生产费用+固定费用, 2 ? ? ∴年生产成本为 32x+3=32?3- ?+3. ? t+1? 当销售 x(万件)时,年销售收入为 2 ? ? 1 ? ? 150%?32?3- +3?+ t. t + 1? ? ? ? ? 2 由题意,生产 x 万件化妆品正好销完,由年利润=年销售收入-年生产成本-促销费, 2 -t +98t+35 得年利润 y= (t≥0). t+ 2 -t +98t+35 ?t+1+ 32 ? (2)y= =50-? t+1? t+ ? 2 ? 32 =50-2 16=42(万元), 2 t+1 t+1 32 当且仅当 = ,即 t=7 时,ymax=42, 2 t+1 ∴当促销费投入 7 万元时,企业的年利润最大. 课后练习区 a b 1.B [因为 3 ·3 =3,所以 a+b=1, 1 1 b a ?1 1? + =(a+b)? + ?=2+ + ≤50-2 ×

t+1

a b

a b b a b a 1 ≥2+2 · =4,当且仅当 = 即 a=b= 时,“=”成立.] a b a b 2 1 a y ax ? ? 2.B [不等式(x+y)? + ?≥9 对任意正实数 x,y 恒成立,则 1+a+ + ≥a+2 a x y ?x y?
+1≥9, ∴ a≥2 或 a≤-4(舍去). ∴正实数 a 的最小值为 4.] 1 1 3.C [因为 + +2 ab≥2

?a b?

1

a b

ab

+2 ab 1

=2?

? ?

1

ab

1 1 ? + ab?≥4,当且仅当 = 且

?

a b

ab

= ab,

即 a=b=1 时,取“=”号.]
8

400 ? a ?2 4.B [第一列货车到达 B 市的时间为 h,由于两列货车的间距不得小于? ? km, a ?20? 16·? ? 400 400 16a ?20? 400 16a 所以第 17 列货车到达时间为 + = + ≥8,当且仅当 = ,即 a=100 a a a 400 a 400 km/h 时成立,所以最快需要 8 h.] 5.A 6.18 解析 由 x>0,y>0,2x+y+6=xy,得 xy≥2 2xy+6(当且仅当 2x=y 时,取“=”), 2 即( xy) -2 2 xy-6≥0, ∴( xy-3 2)·( xy+ 2)≥0. 又∵ xy>0,∴ xy≥3 2,即 xy≥18. 故 xy 的最小值为 18. 7.4 2 解析 过原点的直线与 f(x)= 交于 P、Q 两点,则直线的斜率 k>0,设直线方程为 y=

? a ?2

x

y=kx, ? ? kx,由? 2 y= , ? ? x
∴P( 2

2 ? ?x= , k 得? ? ?y= 2k 2

2 ? ?x=- , k 或? ? ?y=- 2k, 2 ,- 2k),Q( 2

k

, 2k),Q(- 2 1 + 2

k k

,- 2k)或 P(-
2

k
2

k

, 2k).

∴|PQ|= =2 2

k k+ ≥4. k



2k+ 2k

8.(-∞,2 2-1) 2 2 2x x x x 解析 由 f(x)>0 得 3 -(k+1)·3 +2>0,解得 k+1<3 + x,而 3 + x≥2 2,∴k+ 3 3 1<2 2,k<2 2-1. 4 9.解 (1)∵0<x< ,∴0<3x<4. 3 1 1?3x+4-3x?2 4 ∴x(4-3x)= (3x)(4-3x)≤ ? ? =3,(4 分) 2 3 3? ? 2 当且仅当 3x=4-3x,即 x= 时,“=”成立. 3 2 4 ∴当 x= 时,x(4-3x)的最大值为 .(6 分) 3 3 (2)已知点(x,y)在直线 x+2y=3 上移动,∴x+2y=3. x y x y x+2y 3 ∴2 +4 ≥2 2 4 =2 2 =2 2 =4 2. (10 分) x y ?2 =4 , ? 3 3 当且仅当? 即 x= ,y= 时,“=”成立. 2 4 ?x+2y=3, ? 3 3 x y ∴当 x= ,y= 时,2 +4 的最小值为 4 2. 2 4 (12 分)

9

10.解 (1)y=

920v = v +3v+1 600
2

920 ≤ 1 600 v+ +3

v

2

920 920 = ≈11.08.(4 分) 83 1 600 v× +3

v

1 600 当 v= ,即 v=40 千米/小时时,车流量最大,最大值为 11.08 千辆/小时(6 分)

v

920v ≥10,(8 分) v +3v+1 600 2 化简得 v -89v+1 600≤0,即(v-25)(v-64)≤0, 所以 25≤v≤64. 所以汽车的平均速度应控制在[25,64]这个范围内. (12 分) 11.解 (1)每次购买原材料后,当天用掉的 400 千克原材料不需要保管费,第二天用 掉的 400 千克原材料需保管 1 天, 第三天用掉的 400 千克原材料需保管 2 天, 第四天用掉的 400 千克原材料需保管 3 天,?,第 x 天(也就是下次购买原材料的前一天)用掉最后的 400 千克原材料需保管(x-1)天. ∴每次购买的原材料在 x 天内总的保管费用 y1=400×0.03×[1+2+3+?+(x-1)] 2 =6x -6x.(6 分) 2 (2)由(1)可知,购买一次原材料的总费用为 6x -6x+600+1.5×400x, ∴购买一次原材料平均每天支付的总费用为 1 600 y= (6x2-6x+600)+1.5×400= +6x+594.(9 分) (2)据题意有
2

x

x

∴y≥2

600

x x

·6x+594=714,(12 分)

600 当且仅当 =6x,即 x=10 时,取等号. ∴该厂 10 天购买一次原材料可以使平均每天支付的总费用 y 最小, 且最小为 714 元. (14 分)

10