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华师一附中2012届高三(新课标)第一轮复习教案(第十章)第六讲:空间的距离


第六讲

空间的距离

教学目的: 掌握点到直线的距离;点到平面的距离;异面直线间的距离;直线到平面的距离;平行平面
间的距离的定义及求法步骤.

教学重点:点到平面的距离的定义及求法 教学难点:点到平面的距离的定义及求法 【知识概要】
知识点 1 点到直线距离 从直线外一点引一条直线的垂线,这点和垂

足之间的距离叫做这点到这条直线的距离. 指出:距离的定义应遵循唯一性和最小性的原则. 知识点 2 点到平面的距离 从平面外一点引一个平面的垂线,这点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离. 指出: (1)点到面的距离是最重要的距离,常见的方法有: ① 定义法;② 射影的有关结论; ③ 面面 垂直的性质定理;④ 等积法等。 (2)还要特别注意利用直线与平面平行的条件将点面距离的适当转化。 知识点 3 两平行直线间的距离 两条平行线间的公垂线段的长,叫做两条平行线间的距离. 知识点 4 两条异面直线间的距离 和两条异面直线分别垂直相交的直线,叫做两条异面直线的公垂线; 两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度,叫做两条异面直线的距离. 知识点 5 直线与平面的距离 如果一条直线和一个平面平行,那么直线上各点到这平面的距离相等,且这条直线上任意一点到平面 的距离叫做这条直线和平面的距离. 知识点 6 两平行平面间的距离 和两个平行平面同时垂直的直线,叫做这两平行平面的公垂线; 它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做这两个平行平面的距离.

【基础题典例解析】
例 1 (点到直线的距离) 在 60° 的二面角 M-a-N 内有一点 P,P 到平面 M、平面 N 距离分别为 1 和 2,求 P 到直线 a 的距离. 解:设 PA、PB 分别为点 P 到平面 M、N 的距离,过 PA、PB 作平面 α,分

? PA ? M ? 别交 M、N 于 AQ、BQ, ? ? PA⊥a,同理,有 PB⊥a,∵PA∩PB=P, a?M ?
∴a⊥α,∴QA⊥a, QB⊥a,∴∠AQB=60° ,连 PQ,则 PQ 是 P 到 a 的距离。 设 PQ=x。在平面图形中 PAQB 中,有 sin∠AQP= cos(∠AQP+∠BQP) =cos∠AQPcos∠BQP-sin∠AQPsin∠BQP=

2 PA 1 ? , sin∠BQP= 。 PQ x x

x2 ?1 x2 ? 4 1 2 2 21 。解得 3x2=28, x= 。 ? ? ? =cos60° x x x x 3

∴点 P 到直线 a 的距离为

2 21 . 3 例 2 (两平行平面间的距离)
第六讲 空间的距离 1

在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=4,BC=3,CC1=2(如图所示) 。 (1)求证:平面 A1BC1∥平面 ACD1。 (2)求(1)中两个平行平面间的距离。 (3)求点 B1 到平面 A1BC1 的距离。 解: (1)由于 BC1∥AD1 则 BC1∥平面 ACD1。同理,A1B∥平面 ACD1,则平面 A1BC1∥平面 ACD1。 (2) 设两平行平面 A1BC1 与 ACD1 间的距离为 d, d 等于 D1 到平面 A1BC1 则 的距离。 易求 A1C1=5,A1B=2 5 ,BC1= 13 ,则 cos∠A1BC1=

2 65

,

sin∠A1BC1=

61 ,则 S ?A1BC1 = 61 。由于 V D1 ? A1BC1 =V B? A1C1D1 , 65



12 61 1 1 1 ,即(1)中两个平行平面间的距离等 ? S ?A1BC1 ?d ? ? ( ? AD1 ? C1 D1 ) ? BB1 。代入求得 d= 61 3 3 2 12 61 。 61
(3)由于线段 B1D1 被平面 A1BC1 所平分,则 B1、D1 到平面 A1BC1 的距离相等,则由(2)知点 B1



到平面 A1BC1 的距离等于

12 61 。 61

指出:① 此两类距离的求法,一般是转化为求点到平面的距离,然后,再用求点到平面距离的三种 方法。 ②“体积法”是计算“点面距离”、“线面距”和“线线距”的一个极其有效的方法。 例 3 (点到平面的距离) 在四棱锥 V-ABCD 中,底面四边形 ABCD 是边长为 14 的菱形,且∠BAD=120° ,VA=3,VA⊥底面 ABCD,O 是 AC,BD 的交点,OE⊥VC 于 E。求: (1)点 V 到 CD 的距离。 (2)异面直线 VC 与 BD 的距离。 (3)点 B 到平面 VCD 的距离。 解: (1)由已知∠BAD=120° ,∴ADC=60° ,∴△ACD 是正三角形,取 CD 的中点 F,连结 AF,VF, 则 CD⊥AF。又 VA⊥面 ABCD,∴CD⊥VF(三垂线定理) ,∴VF 为点 V 到 CD 的距离。 ∵AD=4,∴AF=2 3 ,VF= VA ? AF
2 2

? 3 2 ? (2 3 ) 2 ? 21 。

(2)∵底面四边形 ABCD 是菱形,∴BD⊥AC,又 VA⊥底面 ABCD,∴VA⊥BD,∴BD⊥面 VAC, ∴BD⊥OE,由已知 OE⊥VC,∴OE 是异面直线 BD 和 VC 的公垂线段。

1 OE OC 2 2 2 2 AC=2,VC= VA ? AC ? 3 ? 4 ? 5 ,∵△CEO∽△CAV, ∴ , ? 2 VA VC VA ? OC 3 ? 2 6 ∴OE= ? ? 。 VC 5 5
由(1) 可知 OC= (3)∴AB∥CD,∴AB∥面 VCD,点 B 到平面 VCD 的距离就等于点 A 到平面 VCD 的距离。 过 A 作 AH⊥VF 于 H。由(1)CD⊥面 VAF,∴CD⊥AH,故 AH⊥VCD,在 Rt△VAF 中,VA=3, AF=2 3 ,VF= 21 ,VA2=VH· VF,∴VH= 例 4 (点到平面的距离)
第六讲 空间的距离 2

3 21 2 6 7 3 21 2 2 2 ) ? ,AH= VA ? VH ? 3 ? ( 。 7 7 7

已知直三棱柱 A ?1 1 1 B CA C ? ?? B 中, A 9,AB=BC=a, A1? A ,M 为 CC1 上的点。 A 2B B 0 C (1)当 M 在 C1C 上的什么位置时, B1 M 与平面 A 1 C所成的角为 30? ; AC 1 (2)在(1)的条件下求 B 到平面 A B 的距离。 M1 解: (1)取 A 中连, C 点结N N B 1, , N M 1的 1 1 11

则与 角 ?M 成 B1 面 。 M A 的 N 1 BC C A 1为 所 1 1

2 a B N 2 2 1 , 设 xB ? as? 1 1 1 C? 1 1 M N , ,1 N i B ? ? n M ? 1 2 2 2 2 B Mx a ? 1
1 解 ?, 1 ? C ,? M为CC1的中点 。 得a 则 x C M 1 C 2
(2)取 B ,M A K 连 K BK K? 。 过 1 M H 的M 面 作 中 ,1 连KB 结 A KA S 作 B S,K M ? B , S 过 ? 1 点 则 1

M1 M1 ?长面 K 为A 的距离,由 B1? B ,则 B 到面 A B 的距离为 K 到面 A B 的距离的 H K M 的到 1 B B 21 K
2 倍。

a · a a K K 5 SM · 6 在 K , aK R S M , tM ? 中 ? S K ? , K H ? ? ? a M S 6 5 6 a 5
? K到面AB1 M的距离为 6 6 a,? B到面AMB1的距离为 a 。 6 3

得 M 离。 : B 为 BA 方法二:利用体积相等, V 1 VB 求 面 距 a BB ? A ?A M M1 ? 可 到的 B 1
例 5 (点到平面的距离)
第六讲 空间的距离 3

6 3

如图所示的多面体是由底面为 ABCD 的长方体被截面 AEC1F 所截面而得到的,其中 AB=4,BC=2, CC1=3,BE=1. (1)求 BF 的长; (2)求点 C 到平面 AEC1F 的距离. 解: 过 E 作 EH//BC 交 CC1 于 H, CH=BE=1, (1) 则 EH//AD, EH=AD. 且 又∵AF∥EC1,∴∠FAD=∠C1EH. ∴Rt△ADF≌Rt△EHC1. ∴DF=C1H=2.

? BF ? BD 2 ? DF 2 ? 2 6 .
(2)延长 C1E 与 CB 交于 G,连 AG,则平面 AEC1F 与平面 ABCD 相交 于 AG.过 C 作 CM⊥AG, 垂足为 M, C1M, 连 由三垂线定理可知 AG⊥C1M.由于 AG⊥面 C1MC, AG ? 且 面 AEC1F,所以平面 AEC1F⊥面 C1MC.在 Rt△C1CM 中,作 CQ⊥MC1,垂足为 Q,则 CQ 的长即为 C 到平面 AEC1F 的距离.



EB BG ? 可得, BG ? 1, 从而AG ? CC1 CG

AB 2 ? BG 2 ? 17.由?GAB ? ?MCG知, 3?

12 CM ? CC1 4 12 17 ? 4 33 . CM ? 3cos MCG ? 3cos GAB ? 3 ? ? ,? CQ ? ? MC1 11 17 17 122 32 ? 17
解法二: (I)建立如图所示的空间直角坐标系,则 D(0,0,0) ,B(2,4,0) ,A(2,0,0) , C(0,4,0) ,E(2,4,1) 1(0,4,3).设 F(0,0,z). ,C

??? ???? ? ? ?由AEC1 F 为平行四边形,?由 AF ? EC1得, ( ?2, 0, z ) ? ( ?2, 0, 2),? z ? 2. ??? ? ??? ? ? F (0, 0, 2).? EF ? ( ?2, ?4, 2).于是 | BF |? 2 6, 即BF的长为2 6.
(2)设 n1 为平面 AEC1F 的法向量, 显然n1不垂直于平面ADF ,

??

?n ? AE ? 0, ?0 ? x ? 4 ? y ? 1 ? 0 ?? ? 故可设n1 ? ( x, y,1), 由? 1 , 得? ?? 2 ? x ? 0 ? y ? 2 ? 0 ?n1 ? AF ? 0, ?
? x ? 1, ?4 y ? 1 ? 0, ? 即? ?? 1 又CC1 ? (0,0,3), 设CC1与n1 的夹角为 a,则 ?? 2 x ? 2 ? 0, ? y ? ? . 4 ?
cos? ? CC1 ? n1 | CC1 | ? | n1 | ? 3 3? 1? 1 ?1 16 ? 4 33 . C 到平面 AEC1F 的距离 33

为 | CC1 | cos ? ? 3 ?

???? ?

4 33 4 33 ? . 33 11

例 6 (点到平面的距离) 已知如图 9-6-4,边长为 a 菱形 ABCD 中,∠ABC=60° ,PC⊥平面 ABCD, E 是 PA 的中点,求 E 到平面 PBC 的距离. 解:若直接过 E 作平面 PBC 的垂线,垂足难以确定,故考虑间接求法,至 少有以下两条途径: (1)注意到点 E 在 PA 上,可将 E 到平面 PBC 的距离转化为 A 到平面 PBC 的距离的一半. 由 PC⊥平面 ABCD 有平面 PBC⊥平面 ABCD,故过 A 在平面 ABCD 内作 AH⊥BC,交 BC 于 H,
第六讲 空间的距离 4

3 a. 2 (2)把 E 到平面 PBC 的距离转化为线面距离,再转化为点面距离。 连结 AC、BD,设 AC 交 BD 于 O,则 EO∥PC,EO∥平面 PBC,于是直线 OE 上任意一点到平面 PBC 的距离都相等,由(1)知平面 PBC⊥平面 ABCD,若过 O 作 OG⊥平面 PBC,则垂足必在 BC 上, 故线段 OG 即为所求.
∴AH⊥平面 PBC.则 AH= ∵∠ACB=∠ABC=60° ,AC=BC=AB=a,∴OC= 为

1 3 a, OG=OC· sin60° = a.∴O 到平面 PBC 的距离 4 2

3 3 a,即 E 到平面 PBC 的距离为 a. 4 4 例 6 (异面直线间的距离) 如图所示的正三棱锥 P-ABC 中,侧棱长 3cm,底面边长 2cm,E 是 BC 的中点,EF⊥PA 于 F。 (1)求证:EF 为异面直线 PA 与 BC 的公垂线段。 (2)求异面直线 PA 与 BC 间的距离。 解: (1)连 AE、PE,∴E 是 BC 的中点,∴BC⊥AE,BC⊥PE,∴BC⊥ 平面 PAE, ∴BC⊥EF, EF⊥PA, 又 ∴EF 为异面直线, 与 BC 的公垂线段。 PA
(2) PO⊥平面 ABC 于 O, O 是△ABC 的中心, 作 则 ∴AE=

3 AB= 3 , 2

AO=

2 3 69 23 ,PO= 。又由(1)知 EF 是 PA 与 BC 的公垂线段,由 PO· AE=PA· 得,EF= EF ,∴ 3 3 3 23 cm。 3

两异面直线的距离为

指出: 求两条异面直线之间的距离的基本方法: (1)利用图形性质找出两条异面直线的公垂线,求出公垂线段的长度(如:当两条异面直线垂直时, 过一条直线作出或找出另一条直线的垂面,在垂面内作出两异面直线的公垂线,求公垂线段的长度,得到 异面直线距离) . (2)如果两条异面直线中的一条直线与过另一条直线的平面平行,可以转化为求直线与平面的距离. (3)如果两条异面直线分别在两个互相平行的平面内,可以转化为求两平行平面的距离. (对于异面直线的距离,高考中只要求学生会计算已给出公垂线时的距离) 。

【综合题典例解析】
例 1 如图(甲)在长方形 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=5,BC=3,AA1=4,E 在 AD 上,且 AE=1,F 在 AB 上,且 AF=2。求: (1)二面角 C1-EF-C 的大小。 (2)C 到平面 C1EF 的距离。 解: (1)如图(乙)过 C 作 CG⊥EF 交 EF 延长线于 点 G,连结 C1G,∵CC1⊥平面 ABCD,∴CG 是 C1G 在 平面 ABCD 上的射曩。由三垂线定理,得 C1G⊥EF, ∴∠C1GC 为二面角 C1-EF-C 的平面角。 连结 CE、CF,S△CEF=S 矩形 ABCD-S△EAF-S△CDE-S△CBF=

9 2 2 。在 Rt△AEF 中,EF= AE ? AF ? 5 , 2

第六讲

空间的距离

5

∴S△CEF=

5 4 5 9 1 9 EF· CG= CG= ,∴CG= ,∴tan∠C1GC=arctan . 即二面角 C1-EF-C 的大小 2 9 2 2 5 4 5 。 9

为 arctan

(2)过 C 作 CH⊥C1G 于 H。∵EF⊥CG,EF⊥C1G,∴EF⊥平面 C1GC。∵EF ? 平面 CEF,∴平 面 CEF⊥平面 C1CG,∴CH⊥平面 C1EF,∴CH 的长度为 C 到平面 C1EF 的距离。

CG ? CC1 ? 在 Rt△C1CG 中,CH= GC1
例2 AB=

?4 36 161 36 161 5 ? 。∴C 到平面 C1EF 的距离为 。 161 161 81 ? 16 5

9

如图已知四棱锥 P—ABCD,PA⊥平面 ABCD,底面 ABCD 为直角梯形,∠A=90° AB//CD, 且

1 CD. 2
| PF | ? ? ,问当? 为何值时,BF//平面 | FC |

(1)点 F 在线段 PC 上运动,且设

PAD?并证明你的结论; (2)二面角 F—CD—B 为 45° ,求二面角 B—PC—D 的大小; (3)在(2)的条件下,若 AD=2,CD=3,求点 A 到平面 PBC 的距离. 解:1) ? ? 1时, BF // 平面PAD. 取 PD 中点 E, EF//CD, ? ( 当 则 EF

∴四边形 ABFE 为平行四边形.∴BF//AE. 又 AE ? 平面 PAD ∴BF//平面 PAD。

1 1 CD, 又AB // CD且AB ? CD, 2 2

(2)? PA ? 平面 ABCD, CD ? AD,?CD ? PD,? ?PDA 即是二面角的平面角。∵ ?PDA ? 45?

? ?PAD 为等腰直角三角形,? AE ? PD,? CD ? AD,? AE ? CD, ? AE ? 平面 PCD。又 BF//AE,
。 ?BF ? 平面 PCD. ? BF ? 平面 PBC,∴平面 PCD⊥平面 PBC,即二面角 B—PC—D 的大小为 90° (3)在平面 PCD 内作 EH⊥PC 于点 H,由平面 PCD⊥平面 PBC,且平面 PCD ? 平面 PBC=PC 知: EH⊥平面 PBC. 在 Rt?PCD中, PC ?

PD 2 ? CD 2 ? 17 ;

在 Rt?PEF中, EH ? PF ? PE ? EF , 将PE ?

2 , PF ?

17 3 3 34 . 即点 E 到平 , EF ? 代入得: EH ? 17 2 2

面 PBC 的距离为

3 34 3 34 . 又? AE // BF ,? AE // 平面PBC,?点 A 到平面 PBC 的距离为 . 17 17

例 3 如图, 在四棱锥 P—ABCD 中, 底面 ABCD 为矩形, PD⊥底面 ABCD, 是 AB 上一点, E PE⊥EC. 已知 PD ?

2 , CD ? 2, AE ?

1 , 求: 2
(2)二面角 E—PC—D 的大小.

(1)异面直线 PD 与 EC 的距离;

解: (1)因 PD⊥底面,故 PD⊥DE,又因 EC⊥PE,且 DE 是 PE 在面 ABCD 内的射影,由三垂直线定理的逆定理知 EC⊥DE,因此 DE 是异面直线
第六讲 空间的距离 6

PD 与 EC 的公垂线. 设 DE=x,因△DAE∽△CED,故

x CD ? ,即x 2 ? 1, x ? ?1 (负根舍去).从而 DE=1,即异面直 AE x

线 PD 与 EC 的距离为 1. (2)过 E 作 EG⊥CD 交 CD 于 G,作 GH⊥PC 交 PC 于 H,连接 EH. 因 PD⊥底面,故 PD⊥EG, 从而 EG⊥面 PCD.因 GH⊥PC,且 GH 是 EH 在面 PDC 内的射影,由三垂线 定理知 EH⊥PC.因此∠EHG 为二面角的平面角. 在面 PDC 中,PD= 2 ,CD=2,GC= 2 ? 故 GH ? PD ?

1 3 ? , 因△PDC∽△GHC, 2 2

1 2 3 CG 3 2 2 2 , ,又 EG ? DE ? DG ? 1 ? ( ) ? ? 2 2 PC 2

故在 Rt?EHG中, GH ? EG,因此?EHG ?

?

, 即二面角 E—PC—D 的大小为 . 4 4

?

解法二: (Ⅰ)以 D 为原点, DA 、 DC 、 DP 分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系.由已知可得 D(0,0,0) ,P(0,0, 2 ) ,C(0,2,0) ,设 A( x,0,0)( x ? 0), 则B( x,2,0),

3 3 1 1 3 . E ( x, ,0), PE ? ( x, ,? 2 ), CE ? ( x,? ,0). 由 PE ? CE得 PE ? CE ? 0 ,即 x 2 ? ? 0, 故x ? 4 2 2 2 2
由 DE ? CE ? (

3 1 3 3 , ,0) ? ( ,? ,0) ? 0得DE ? CE ,又 PD⊥DE,故 DE 是异面直线 PD 与 CE 2 2 2 2

的公垂线,易得 | DE |? 1 ,故异面直线 PD、CE 的距离为 1. (Ⅱ)作 DG⊥PC,可设 G(0,y,z).由 DG ? PC ? 0 得 (0, y, z ) ? (0,2,? 2 ) ? 0 , 即z ?

2 y, 故可取DG ? (0,1, 2 ), 作 EF⊥PC 于 F,设 F(0,m,n) EF ? (? ,则

3 1 , m ? , n). 2 2

由 EF ? PC ? 0得(?

3 1 , m ? , n) ? (0,2,? 2 ) ? 0,即2m ? 1 ? 2n ? 0 ,又由 F 在 PC 上得 2 2

n??

2 2 3 1 2 m ? 2 , 故m ? 1, n ? , EF ? (? , , ). 因 EF ? PC, DG ? PC, 故平面 E—PC—D 2 2 2 2 2
DG ? EF | DG || EF | ? 2 ? ,? ? , 即二面角 E—PC—D 2 4

的平面角 ? 的大小为向量 EF与DG 的夹角.故 cos? ?

的大小为

? . 4

例 4 如图,已知二面角 α-PQ-β 为 60° ,点 A 和点 B 分别在平面 α 和平面 β 上,点 C 在棱 PQ 上, ∠ACP=∠BCP=30° ,CA=CB=a. (1)求证:AB⊥PQ; (2)求点 B 到平面 α 的距离; (3)设 R 是线段 CA 上的一点,直线 BR 与平面 α 所成角的大小为 45° ,求线段 CR 的长度.
第六讲 空间的距离 7

证: (1) 如图 9-6-12, 在平面 β 内作 BD⊥PQ, 垂足为 D, 连结 AD, 由∠BCP=∠ACP=30° BC=AC, , 且 DC 为公共边得 ΔBCD≌ΔACD,所以 AD⊥PQ,PQ⊥平面 ABD,则 AB⊥PQ. (2) (1) 由 ∠ADB 是二面角 α-PQ-β 的平面角, ∠ADB=60° 又 PQ⊥平面 ABD, , 平面 α⊥平面 ABD. 作 BE⊥AD,垂足为 E,则 BE 即是点 B 到平面 α 的距离.BE=BD· sin60° =

3 a. 4 BE 6 在 ? a. sin 45? 4

(3) 连结 ER, BE⊥α 知∠BRE 是 BR 与平面 α 所成的角, 由 ∠BRE=45° 则有 BR= , RtΔABD 中,BD=AD 且∠ADB=60° ,故 AB=AD=BD=
2

a . 2

?a? a ?a ?? ? 2 2 2 BC ? AC ? AB ? 2 ? ? 7 。又在 ΔBCR 中,设 CR=x,由余弦定理得 cos∠BCA= ? 2 ? BC ? AC 2?a?a 8
2 2

? 6 ? 7 1 5 2 2 2 2 ? a? ? 4 ? =x +a -2ax· ,整理得 8x -14ax+5a =0。解得 x1= 2 a, x2= 4 a.。因 AC=a,而 CR<AC,故有 8 ? ?
CR=

2

a . 2

例 5 已知四棱锥 P—ABCD,它的底面是边长为 a 的菱形,且∠ABC=120° ,PC⊥平面 ABCD,又 PC=a,E 为 PA 的中点. (1)求证:平面 EBD⊥平面 ABCD; (2) 求点 E 到平面 PBC 的距离; (3)求二面角 A—BE—D 的大小. 证: (1)在四棱锥 P—ABCD 中,底面是菱形,连结 AC、BD,交于 F,则 F 为 AC 的中点.又 E 为 AD 的中点,∴EF∥PC。又∵PC⊥平面 ABCD,∴EF⊥ 平面 ABCD.EF ? 平面 EBD.∴平面 EBD⊥平面 ABCD. (2) ∵EF∥PC,∴EF∥平面 PBC。∴E 到平面 PBC 的距离即是 EF 到平面 PBC 的距离. 过 F 作 FH⊥BC 交 BC 于 H,∵PC⊥平面 ABCD,FH ? 平面 ABCD。∴PC⊥FH.又 BC⊥FH, ∴FH⊥平面 PBC,则 FH 是 F 到平面 PBC 的距离,也是 F 到平面 PBC 的距离.∵∠FCH=30° , CF=

3 3 1 a.∴FH= CF= a. 4 2 2

(3) 取 BE 的中点 G,连接 FG、AG 由(1)的结论,平面 BDE⊥平面 ABCD,AF⊥BD,∴AF⊥平面 BDC.∵BF=EF=

a ,∴FG⊥BE,由三垂线定理得,AG⊥BE,∴∠FGA 为二面角 D—BE—A 的平面角. 2

FG=

3 2 2 a AF × = a,AF= a.∴tg∠FGA= = 6 ,∠FAG=arctg 6 ,即二面角 A—BE—D 4 2 2 2 FG

的大小为 arctg 6 例 6 已知四棱锥 P—ABCD 的底面是边长为 4 的正方形,PD⊥面 ABCD,PD=6,M,N 分别为 PB, AB 的中点,设 AC 和 BD 相交于点 O. (1)证明:OM∥面 PAD; (2)求二面角 M—DN—C 的平面角的正切值; (3)求点 P 到面 DMN 的距离。 解: (1)∵BO=OD,BM=MP,∴OM//PD,∵OM ? 面 PAD,∴OM//面 PAD. (2)∵PD⊥面 ABCD,∴OM⊥面 ABCD.过 O 做 OE⊥ND 于 E,连接 ME,
第六讲 空间的距离 8

则根据三垂线定理可得 ME⊥ND,∴∠MEO 为二面角 M—DN—C 的平面角. 在△BDN 中,BN=2,ND=2 5 ,∴

10 2 2 5 ,∴ sin ?BDN ? 。 ? ? 10 sin ?BDN sin 4 2 5 3 5 1 , MO ? PD ? 3,? tan ?OEM ? 。 5 2 2

在 Rt△OED 中,OE=ODsin∠BDN ?

(3)设 P 到面 DMN 的距离为 h,则 VP ? DMN ? VD ? PMN .? AB ? AD, AB ? PD ,∴AB⊥面 PAD, ∴面 PAD⊥面 PAB,∴过 D 做 DF⊥PA 于 F,则 DF⊥面 PAD.∴ ∴P 到面 DMN 的距离为

1 1 12 S ?DMN h ? DF ? S ?PMN h ? 。 3 3 7

12 . 7

第六讲

空间的距离

9


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