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2015年高考第一轮复习数学:2.12 函数的综合问题

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2.12 函数的综合问题 ●知识梳理 函数的综合应用主要体现在以下几方面: 1.函数内容本身的相互综合,如函数概念、性质、图象等方面知 识的综合. 2.函数与其他数学知识点的综合,如方程、不等式、数列、解析 几何等方面的内容与函数的综合.这是高考主要考查的内容. 3.函数与实际应用问题的综合. ●点击双基 1.已知函数 f(x)=lg(2x-b) (b 为常数) ,若 x∈[

1,+∞) 时,f(x)≥0 恒成立,则 A.b≤1 B.b<1 C.b≥1 D.b=1 解析:当 x∈[1,+∞)时,f(x)≥0,从而 2x-b≥1,即 b x ≤2 -1.而 x∈[1,+∞)时,2x-1 单调增加, ∴b≤2-1=1. 答案:A 2.(2003 年郑州市质检题)若 f(x)是 R 上的减函数,且 f(x) 的图象经过点 A(0,3)和 B(3,-1) ,则不等式|f(x+1)-1|<2 的解集是___________________. 解析:由|f(x+1)-1|<2 得-2<f(x+1)-1<2,即-1<f (x+1)<3. 又 f(x)是 R 上的减函数,且 f(x)的图象过点 A(0,3) ,B (3,-1) , ∴f(3)<f(x+1)<f(0). ∴0<x+1<3,-1<x<2. 答案: (-1,2) ●典例剖析 【例 1】 取第一象限内的点 P1(x1,y1) ,P2(x2,y2) ,使 1, x1,x2,2 依次成等差数列,1,y1,y2,2 依次成等比数列,则点 P1、 P2 与射线 l:y=x(x>0)的关系为 A.点 P1、P2 都在 l 的上方 B.点 P1、P2 都在 l上 C.点 P1 在 l 的下方,P2 在 l 的上方 D.点 P1、P2 都在 l 的下方 剖析:x1= 1 4 2 5 +1= ,x2=1+ = ,y1=1× 3 2 = 3 2 ,y2= 3 4 , 3 3 3 3 ∵y1<x1,y2<x2, ∴P1、P2 都在 l 的下方. 答案:D 【例 2】 已知 f(x)是 R 上的偶函数,且 f(2)=0,g(x) 是 R 上的奇函数,且对于 x∈R,都有 g(x)=f(x-1) ,求 f(2002) 的值. 解:由 g(x)=f(x-1) ,x∈R,得 f(x)=g(x+1).又 f(-x) =f(x) ,g(-x)=-g(x) , 故有 f(x)=f(-x)=g(-x+1)=-g(x-1)=-f(x-2)= -f(2-x)=-g(3-x)= g(x-3)=f(x-4) ,也即 f(x+4)=f(x) ,x∈R. ∴f(x)为周期函数,其周期 T=4. ∴f(2002)=f(4×500+2)=f(2)=0. 评述:应灵活掌握和运用函数的奇偶性、周期性等性质. 1 【例 3】 函数 f(x)= x (m>0) ,x1、x2∈R,当 x1+x2=1 4 ?m 时,f(x1)+f(x2)= 1 . 2 1 2 n ?1 )+f( )+…+f( ) n n n (1)求 m 的值; (2)数列{an},已知 an=f(0)+f( +f(1) ,求 an. 解: (1)由 f(x1)+f(x2)= ∴4 x1 +4 x 2 +2m= 1 1 1 1 ,得 x + x = , 2 1 4 ?m 4 ?m 2 2 1 [4 x1 ? x2 +m(4 x1 +4 x 2 )+m2]. 2 ∵x1+x2=1,∴(2-m) (4 x1 +4 x 2 )=(m-2)2. ∴4 x1 +4 x 2 =2-m 或

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