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重庆南开中学2016届高三12月月考 数学理


重庆南开中学 2016 届高三 12 月月考

数学(理)试题
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟。 第 I 卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的。

? 1

? 1、已知集合 M ? x x 2 ? 1 ? 0 , N ? ? x ? 2 x ?1 ? 4, x ? Z ? ,则 M ? N ? ( ? 2 ?

?

?



A、 ?1?

B、 ??1,0?

C、 ??1,0,1? ) C、2

D、 ?

2、抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点到准线的距离为( A、

1 4

B、

1 2

D、4

3、已知命题 p : 对任意 x ? R ,有 cos x ? 1 ,则( ) A、 ?p : 存在 x ? R ,使 cos x ? 1 B、 ?p : 对任意 x ? R ,有 cos x ? 1 C、 ?p : 存在 x ? R ,使 cos x ? 1 D、 ?p : 对任意 x ? R ,有 cos x ? 1 4、若 P ? 2,1? 为圆 ? x ? 1? ? y 2 ? 25 的弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程为(
2



A、 x ? y ? 1 ? 0 C、 x ? y ? 3 ? 0

B、 2 x ? y ? 3 ? 0 D、 2 x ? y ? 5 ? 0 )

5、等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 4a1 ,2a2 , a3 成等差数列,若 a1 ? 1 ,则 S4 ? ( A、7 B、8 C、15 D、16

6、已知函数 f ? x ? ? sin ? 2x ? ? ?? 0 ? ? ? ? ? ,若将函数 y ? f ? x ? 的图像向左平移 像对应的函数为偶函数,则实数 ? ? ( A、 ) C、

?
6

个单位后所得图

5? 6

B、

2? 3

?
3

D、

?
6

? y 2 ? 4 x2 ? 0 7、已知 P ? x, y ? 为区域 ? 内的任意一点,当该区域的面积为 2 时, z ? x ? 2 y 的最大值是 ?0 ? x ? a
( ) A、5 B、0 C、2 D、 2 2

8、已知抛物线 C 的顶点是椭圆

x2 y2 ? ? 1 的中心,焦点与该椭圆的右焦点 F2 重合,若抛物线 C 与 4 3
·1·

该椭圆在第一象限的交点为 P ,椭圆的左焦点为 F1 ,则 PF1 ? ( A、

) D、2

2 3

B、

7 3

C、

5 3

? ? ? ?? 9、已知函数 f ? x ? ? ln x ? tan ? ? ? ? ? 0, ? ? 的导函数为 f ' ? x ? ,若使得 f ' ? x0 ? ? 3 f ? x0 ? ? 0 成立的 ? 2 ?? ?
x0 ? 1 ,则实数 ? 的取值范围为(
?? ? ? A、 ? , ? ?6 2?


? ?? B、 ? 0, ? ? 3?

?? ? ? C、 ? , ? ?6 4?

?? ? ? D、 ? , ? ?3 2?

???? ? ??? ? ??? ? m 10、正三角形 ABC 内一点 M 满足 CM ? mCA ? nCB, ?MCA ? 45? ,则 的值为(

n



A、 3 ? 1 11、已知双曲线 C :

B、 3 ? 1

C、

3 ?1 2

D、

3 ?1 2

x2 y 2 ? ? 1 ? a, b ? 0 ? 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,过 F2 的直线与双曲线 C 的右 a2 b2


支相交于 P, Q 两点,若 PQ ? PF1 ,且 PF1 ? PQ ,则双曲线的离心率 e ? ( A、 2 ? 1 B、 2 2 ? 1 C、 5 ? 2 2

D、 5 ? 2 2 )

12、已知数列 ?an ? 满足: a1 ? , an?2 ? an ? 3n , an?6 ? an ? 91? 3n ,则 a2015 ? ( A、

3 8

32015 3 ? 2 2

B、

32015 8

C、

32015 3 ? 8 2

D、

32015 2

第 II 卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填写在答题卡相对应位置上。 ? ? ? ? 13、已知向量 a ? ? x ? 1, x ? 1? , b ? ? ?2,1? ,若 a // b ,则实数 x ? 。 14、若实数 x, y 满足 x ? 0, y ? 0 ,且 x ? 4 y ? 40 ,则 lg x ? lg y 的最大值为 。

15、已知 f ? x ? ? sin x ? 2cos x ,若函数 g ? x ? ? f ? x ? ? m 在 x ? ? 0, ? ? 上有两个不同零点 ? 、 ? ,则

cos ?? ? ? ? ?



16、设点 A? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 是椭圆

x2 x x ? y 2 ? 1 上两点,若过点 A, B 且斜率分别为 1 , 2 的两直线 4 4 y1 4 y2

交于点 P ,且直线 OA 与直线 OB 的斜率之积为 ? , E

1 4

?

6,0 ,则 PE 的最小值为

?



·2·

三、解答题:本大题共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、 (本小题满分 12 分) 设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a3 ? a4 ? 16 , S7 ? 63 。 (1)求数列 ?an ? 的通项公式;

? a ? 1 (2)设数列 ? 1 ? 的前 n 项和为 Tn ,求证: Tn ? 。 2 ? an an ?1 ?

18、 (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,已知角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a , b, c ,且 tan A tan C ? (1)求 B 的大小; (2)若 BA ? BC ? b 2 ,试判断 ?ABC 的形状。

1 ? 1。 2cos A cos C

??? ? ??? ?

1 2

19、 (本小题满分 12 分) 已知抛物线 C : y 2 ? 2 px

? p ? 0? 的焦点为 F ?1,0? ,抛物线 E : x2 ? 2 py 的焦点为 M 。

(1)若过点 M 的直线 l 与抛物线 C 有且只有一个交点,求直线 l 的方程; (2)若直线 MF 与抛物线 C 交于 A 、 B 两点,求 ?OAB 的面积。

20、 (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 1 ? ? 1 ? a ? b ? 0 ? 的离心率为 ,左、右焦点分别是 F1 , F2 ,点 P 为椭圆 C 上任 a 2 b2 2

意一点,且 ?PF1 F2 面积最大值为 3 。 (1)求椭圆 C 的方程; (2)过 F2 作垂直于 x 轴的直线 l 交椭圆于 A 、 B 两点(点 A 在第一象限) , M 、 N 是椭圆上位于直 线 l 两侧的动点,若 ?MAB ? ?NAB ,求证:直线 MN 的斜率为定值。

21、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? e x , g ? x ? ? ln x ? m 。

·3·

(1)当 m ? ?1 时,求函数 F ? x ? ?

f ? x? x

? x ? g ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上的极值;

(2)若 m ? 2 ,求证:当 x ? ? 0, ?? ? 时, f ? x ? ? g ? x ? ?

3 。 10

(参考数据: ln 2 ? 0.693,ln 3 ? 1.099,ln 5 ? 1.609,ln 7 ? 1.946 ) 请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号。 22、 (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 已知 ?ABC 中, AB ? AC , D 为 ?ABC 外接圆劣弧 ? ,延长 BD至E , AC 上的点(不与点 A 、 C 重合) 延长 AC交BC 的延长线于 F 。 (1)求证: ?CDF ? ?EDF ; (2)求证: AB ? AC ? DF ? AD ? FC ? FB 。

23、 (本小题满分 10 分)选修 4-4:极坐标系与参数方程 在 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 以 原 点 O 为 极 点 , x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 。 已 知 曲 线

? x ? 8cos? ? x ? ?2 ? cos ? ? ( ? 为参数) , C2 : ? ( ? 为参数) 。 C1 : ? ? ? y ? 3 ? sin ? ? y ? 2 3 sin ?
(1)将 C1 , C2 的方程化为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; ( 2 ) 若 C1 上 的 点 P 对 应 的 参 数 为 ? ?

?
2

, Q 为 C2 上 的 动 点 , 求 PQ 中 点 M 到 直 线 l :

? cos ? ? ?

? ?

??

? ? 3 的距离的最大值。 3?

24、 (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? 3x ? 2 。 (1)解不等式 f ? x ? ? 4 ? x ? 1 ; (2)已知 2m ? n ? 1? m, n ? 0? ,若 3x ? a ? f ? x ? ?

1 2 ? ? a ? 0? 恒成立,求实数 a 的取值范围。 m n

·4·

·5·

·6·

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