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03-第3课时 逻辑


第 3 课时 逻辑
教学目标
(1)会写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题. (2)会利用互为逆否命题的两个命题之间的关系判别命题的真假. (3)理解必要条件、充分条件与充要条件的意义,能判断证明一些简单命题. (4)知道命题的否定和否命题的区别,正确对含有一个量词的命题进行否定. 知识点小结: 1.四种命题: (1)命题是能够判断真假的语句.“若 p 则

q”,称为原命题.逆命题是“若 q 则 p”,否 命题是“若非 p 则非 q”,逆否命题是“若非 q 则非 p”. (2)原命题和逆否命题同真或同假,逆命题和否命题也互为逆否命题,因此也必同真或同 假. 2.充分条件和必要条件 (1)p 是 q 成立的充分条件表明有 p 必有 q,但 p 不成立,q 也可能成立;q 是 p 成立的必 要条件表明没有 q 就没有 p,但未必有了 q 就一定有 p. p?q:p 是 q 成立的充分条件(q 是 p 成立的必要条件) . p?q:p 是 q 成立的必要条件(q 是 p 成立的充分条件) . p?q:p 是 q 成立的充要条件(q 是 p 成立的充要条件) . (2)充分必要条件和集合关系 如果 p:x?A,q:x?B,则“p?q” ?“A?B” .可以简单理解记忆为“小推大”. (3)注意两种说法: “?是?的?条件”和“?的?条件是?” . 3.简单逻辑连结词及其否定 (1)p 且 q 当且仅当 p 和 q 均为真时才为真;p 或 q 当且仅当 p 和 q 均为假时才为假. (2)命题的否定和否命题: “否命题”是对原命题的条件和结论同时否定,而“命题的否定” 只否定命题的结论. (3)含有量词的命题的否定: “?x,p” 的否定是“? x,非 p” ; “?x,p” 的否定是“?x, 非 p” . 课前预习 1.命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是_若一个数的平方是正数,则它 是负数__. 2. (1) “?x>0,x2≥0” 的否定是___? x>0,x2<0_____________; (2) “矩形是平行四边形” 的否定是____存在一个四边形是矩形, 但它不是平行四边形__. 3.已知 p:a≠0,q:ab≠0,则 p 是 q 的___必要非充分_____条件. 4.对任意实数 a,b,c,给出下列命题:①“a=b”是“ac=bc”的充要条件;②“a+5 是无理数”是“a 是无理数”的充要条件;③“a>b”是“a2>b2”的充分条件;④“a <5”是“a<3”的必要条件.其中真命题是____②④_____. 5.已知 p:|2x-3|<1,q:x(x-3)<0,则 p 是 q 的___充分非必要_____条件. 典型例题 例 1 指出下列命题中,p 是 q 的什么条件. (1)p:直线 a 平行于平面?内的无数多条直线;q:直线 a∥平面?. (2)p:两条直线垂直,q:两条直线斜率乘积是-1; (3)p:c2a>c2b,q:a>b;
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(4)p:?

? x>1, ? y>1

?x+y>2, q:? ; ? x y>1

π 1 (5)在△ABC 中,p:A> , q:sinA> ; 6 2 1 (6)p: <-1,q:x>-1; x (7)p:x+y≠8,q:x≠2,或 y≠6; 【选题说明】选择了几何、不等式两个方面的易错点,提醒学生注意. 解: (1)因为直线 a∥平面?,则平面内存在一条直线 b 与 a 平行,则平面内与 b 平行的所 有直线都与 a 平行,所有 q?p;又当 a??时,a 平行于平面?内的无数多条直线,从而 p? / q.所以 p 是 q 成立的必要非充分条件. (2)因为两条直线斜率乘积是-1,两条直线必垂直,所有 q?p;而两条直线垂直,其中 一条直线斜率可以不存在,所以 p? / q.所以 p 是 q 成立的必要非充分条件. 2 2 2 (3)因为 c a>c b,所有 c >0,所以 a>b,即 p?q;a>b 时,如果 c=0,则 c2a=c2b, 所以 q? / p.所以 p 是 q 成立的充分非必要条件. 1 (4)根据不等式运算性质,所以 p?q;当 x= ,y=4 时,x+y>2 且 xy>1,所以 q? / p.所 2 以 p 是 q 成立的充分非必要条件. 11? 5? π 5? 1 1 (5)在△ABC 中,A= > > , sinA<sin = ,所以 p? / q;而在△ABC 中,sinA> , 12 6 6 6 2 2 π 5? 则 <A< ,所以 q?p.所以 p 是 q 成立的必要非充分条件. 6 6 1 (6)因为 <-1?-1<x<0,所以 p 是 q 成立的充分非必要条件. x (7)因为 x=2 且 y=6 时,x+y=8,但 x+y=8 不能推出 x=2 且 y=6,所以非 q 是非 p 的 充分非必要条件,由原命题和其逆否命题的关系,则 p 是 q 的充分非必要条件. 小结: (1)判断 p 是 q 的什么条件,需要从两方面分 析:一是由条件 p 能否推得条件 q.二 是由条件 q 能否推得条件 p. 对于带有否定性的命题或比较难判断的命题,除借助集合思想把 抽象、 复杂问题形象化、 直观化外, 还可利用原命题和逆否命题、 逆命题和否命题的等价性, 转化为判断它的等价命题. (2)要说明一个命题为真,必须给出严格证明,但否定一个命题 只要举出一个反例即可. 例 2 写出命题“如果关于 x 的不等式 x2+(a+1)x+a2≤0 的解集非空,则 a≥-1”的逆否 命题,判断该逆否命题的真假,并说明理由. 【选题说明】为了强化学生对原命题和逆否命题同真同假的认识. 解:命题的逆否命题为: “如果 a<-1,则关于 x 的不等式 x2+(a+1)x+a2≤0 的解集为空 集” . 该命题为真命题. 解法一:因为:关于 x 的不等式 x2+(a+1)x+a2≤0 的解集非空,则 △=(a+1)2-4a2=-3a2+2a+1≥0, 1 即 3a2-2a-1≤0,(3a+1)(a-1)≤0,所以- ≤a≤1. 3 所以 a≥-1 成立. 所以原命题为真命题,从而其逆否命题也为真命题.
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金陵中学 2011 届高三数学校本讲义配套作业 1 4 解法二:因为△=(a+1)2-4a2=-3a2+2a+1=-3(a- )2+ . 3 3 1 4 当 a<-1 时,△<-3(-1- )2+ =-4<0,所以不等式 x2+(a+1)x+a2≤0 的 3 3 解集为空集. 小结:在判断一个命题真假时,若直接判断它的真假比较困难,可以通过判断其逆否命题的 真假来判断该命题的真假,这是因为一个命题和它的逆否命题是同真或同假. 例 3 已知 m∈Z,现有关于 x 的一元二次方程 mx2-4x+4=0, ① x2-4mx+4m2-4m-5=0, ② 试求方程①和②的根都是整数的充要条件. 【选题说明】说明探究充要条件的方法. 解:方程 mx2-4x+4=0 有实根的充要条件是△ =16-16m≥0,解得 m≤1; 方程 x2-4mx+4m2-4m-5=0 有实根的充要条件是△ =16 m2-4(4m2-4m-5) ≥0, 5 解得 m≥- . 4 5 方程①和②都有实根的充要条件是- ≤m≤1,而 m∈Z, 4 故 m=-1,或 m=0,或 m=1. 所以方程①和②的根都是整数的必要条件是 m=-1,或 m=0,或 m=1. 当 m=-1 时,方程①无整数解;当 m=0 时,方程②无整数解;当 m=1 时,方程① 和②的根都是整数. 即方程①和②都有整数解时,m=1;反之,当 m=1 时,方程①和②都有整数解,方程 ①和②的根都是整数的充要条件 m=1. 小结:探究充要条件可以从探求必要条件入手.

第 3 课时 逻辑
1. (1)命题: “若 x2<1,则-1<x<1”的逆否命题是_若 x≤-1 或 x≥1,则 x2≥1____. (2)命题命题“△ ABC 中,若∠C=90° ,则∠A,∠B 都是锐角”的否命题是__△ABC 中,若∠C≠90° ,则∠A,∠B 不都是锐角__. 2.命题“对任意的 x?R,x3-x2+1≤0”的否定是__?x?R,x3-x2+1>0____. 3.已知 a,b 是实数,则“a>0 且 b>0”是“a+b>0 且 ab>0”的____充要____条件. 4.若 a,b,c 是常数,则“a>0 且 b2-4ac<0”是“对任意 x?R,有 ax2+bx+c>0”的 ____充分非必要____条件. π 5.设 0<x< ,则“x sinx<1”是“x sin2x<1”的___必要非充分_____条件. 2 6.已知 a,b,c,d 为实数,且 c>d,则“a>b”是“a-c>b-d”的___必要非充分_____ 条件. 1 7. “m< ”是“一元二次方程 x2+x+m=0”有实数解的____充分非必要____条件. 4 8. “a2+b2≠0”的含义为________________.①a,b 不全为 0; ② a,b 全不为 0;③a,b 至少有一个为 0;④a 不为 0 且 b 为 0,或 a 为 0 且 b 不为 0. (选择正确的说法) 2 9. “?x?R,x +(a-1)x+1≥0”是真命题,则实数 a 的取值范围是________________; “?x?R,x2+(a-1)x+1<0”是真命题,则实数 a 的取值范围是________________. 1 1 1 1 10.已知 a>0,下列条件:①?x?R, ax2-bx≥ ax02-bx0;②?x?R, ax2-bx≤ ax02-bx0; 2 2 2 2 1 1 1 1 ③?x?R, ax2-bx≥ ax02-bx0;④?x?R, ax2-bx≤ ax02-bx0.其中是“x0 满足关于 x 2 2 2 2 的方程 ax=b”的充要条件的是_____③_______. 1 1 b b2 【解析】由于 a>0,令函数 y= ax2-bx= a(x- )2- ,此时函数对应的开口向上,当 x 2 2 a 2a b b2 b 1 b2 = 时,取得最小值- ,而 x0 满足关于 x 的方程 ax=b,那么 x0= ,ymin= ax02-bx0=- , a 2a a 2 2a 1 b2 1 那么对于任意的 x∈R,都有 y= ax2-bx≥- = ax02-bx0. 2 2a 2 11.已知 p:2x2-3x+1≤0,q:x2-(2a+1)x+a2+a≤0,若非 p 是非 q 的必要非充分条件, 求实数 a 的取值范围. 1 解:非 p:2x2-3x+1>0,即(2x-1)(x-1)>0,解得 x< ,或 x>1. 2 非 q:x2-(2a+1)x+a2+a>0,即(x-a)[x-(a+1)]>0,解得 x<a,或 x>a+1.

? ?a+1≥1, 1 若非 p 是非 q 的必要条件,则? 1 解得 0≤a≤ . 2 ?a≤2. ?
1 1 由于 a= 和 a+1=1 不能同时成立,所以 a 的取值范围是[0, ]. 2 2 12.已知 ab≠0,求证:a3+b3+ab-a2-b2=0 的充要条件是 a+b=1. 解:a3+b3+ab-a2-b2=(a+b)(a2-ab+b2)-(a2-ab+b2)=(a2-ab+b2)(a+b-1). (1)充分性:若 a+b=1,则 a+b-1=0,a3+b3+ab-a2-b2=0. 3 (2)必要性:∵ab≠0,∴b≠0,∴a2-ab+b2=(a-b)2+ b2>0. 4
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金陵中学 2011 届高三数学校本讲义配套作业 a3+b3+ab-a2-b2=0,即(a2-ab+b2)(a+b-1)=0,∴a+b-1=0,即 a+b=1. 综上 a3b3+ab-a2-b2=0 的充要条件是 a+b=1. 13.已知两个命题:r(x):sinx+cosx>m;s(x):x2+mx+1>0.对于 ? x?R,r(x)且 s(x)为 假命题,r(x)或 s(x)为真命题,求实数 m 的取值范围. π 解:∵ ? x?R,sinx+cosx≥ 2sin(x+ )≥- 2,∴r(x)是真命题时,m<- 2. 4 又 ? x?R,s(x)为真命题时,△=m2-4<0,∴-2<m<2. 对于 ? x?R,r(x)且 s(x)为假命题,r(x)或 s(x)为真命题,即 r(x)与 s(x)有且仅有一个真命题.
?m<- 2, (1)当 r(x)为真,s(x)为假时,则? ,解得 m≤-2. ?m≤-2,或m≥2. ?m≥- 2, (2)当 r(x)为假,s(x)为真时,则? ,解得- 2≤m<2. ?-2<m<2.

综上,实数 m 的取值范围是 m≤-2,或- 2≤m<2.


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