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人教版高中数学课件 第四册:欧拉公式2


复习:
1。多面体 2。正多面体

研究性课题: 多面体的欧拉定理的发现

一.欧拉公式的发现

欧拉
著名的数学家,瑞士人,大部分时间在俄国和法 国度过.他16岁获得硕士学位,早年在数学天才贝努 里赏识下开始学习数学,毕业后研究数学,是数学史 上最高产的作家.在世发表论文700多篇,去世后还

留下100多篇待发表.其论著几乎涉及所有数学分 支.他首先使用f(x)表示函数,首先用∑表示连加,首 先用i表示虚数单位.在立体几何中多面体研究中,首 先发现并证明欧拉公式.

欧拉公式

多面体
简单多面体
表面经过连续变形能变成一个球面的多面体

(5)

(6)

(8)

讨论
问题1: (1)数出下列四个多面体的顶点数V、面数F、棱数E 并填表

(1)
图形编号 (1) (2)

(2) 顶点数V 4 8 6 9

(3)
面数F 4 6

(4) 棱数E 6 12

(3)
(4)

8 8

12 15

规律:V+F-E=2(欧拉公式)

讨论
问题1: (2)数出下列四个多面体的顶点数V、面数F、棱数E 并填表

(5)
图形编号 (5) (7)

(8) 顶点数V 5 16
7 面数F 5 16 8 棱数E 8 32 12

(6)

简单多面体

V+F-E=2(欧拉公式)

二.欧拉公式的证明

讨论
E1

问题2:如何证明欧拉公式(证法一:内角和法) D1 A1 B C
1 1

D E E1 A1 A D1 C1 B1 C

D C

E A B

B

讨论
E1

问题2:如何证明欧拉公式(证法一:内角和法) D1 A1 B C
1 1

D E E1 A1 A D1 C1 B1 C

D C

E A B

B

思考1:多面体的面数是F,顶点数是V,棱数是E,则平面图形中 的多边形个数、顶点数、边数分别为 F、V、E. 思考2:设多面体的F个面分别是n1,n2, ·,nF边形,各个面的内角总和是多少? · ·

(n1-2) · 0+ (n2-2) · 0+·+ (nF-2) · 0=(n1+n2+·+nF-2F)· 0 180 180 · · 180 · · 180
思考3: n1+n2+·+nF和多面体的棱数E有什么关系 · ·

n1+n2+·+nF =2E · ·

讨论
E1

问题2:如何证明欧拉公式(证法一:内角和法) D1 A1 B C
1 1

D E E1 A1 A D1 C1 B1 C

D C

E A B

B

多边形内角和=(E-F)· 0 360
思考4:设平面图形中最大多边形(即多边形ABCDE)是m边形,则它和它 内部的全体多边形的内角总和是多少?

2(m-2) · 0+(V-m) · 0=(V-2) · 0 180 360 360 ∴(E-F)· 0= (V-2) · 0 360 360

V+F-E=2

欧拉公式

证法二:去边法

三.欧拉公式的应用

问题3:欧拉公式的应用

例1

1996年的诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的 三位科学家.C60是有60 个C原子组成的分子,它结构为简 单多面体形状.这个多面体有60个顶点,从每个顶点都引出 3条棱,各面的形状分别为五边星或六边形两种.计算C60分 子中形状为五边形和六边形的面各有多少?
解:设C60分子中形状为五边形和六边形的面各有x个和 y个. 由题意有顶点数V=60,面数F=x+y,

答:C60分子中形状为五边形和六边形的面各有12个和20 个.

四.欧拉公式和正多面体的种类

小结

1.欧拉公式

V+F-E=2
空间问题平面化

2.欧拉公式证明
猜想 证 明

3.欧拉公式证明 4.正多面体种类

应用


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