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【步步高】(四川专用)2014届高三数学大一轮复习 集合的概念与运算学案 1理 新人教A版


第一章 集合与常用逻辑用语 集合的概念与运算 导学目标:
1.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题. 2.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集. 3.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集. 4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集. 5.能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算



自主梳理 1.集合元素的三个特征:确定性、互异性、无序性. 2.元素与集合的关系是属于或不属于关系,用符号∈或 ? 表示. 3.集合的表示法:列举法、描述法、图示法、区间法. 4.集合间的基本关系 对任意的 x∈A,都有 x∈B,则 A? B(或 B? A). 若 A? B,且在 B 中至少有一个元素 x∈B,但 x ? A,则 A

B(或 B

A).

若 A? B 且 B? A,则 A=B. 5.集合的运算及性质 设集合 A,B,则 A∩B={x|x∈A 且 x∈B},A∪B={x|x∈A 或 x∈B}. 设全集为 U,则?UA={x|x∈U 且 x ? A}.

A∩?=?,A∩B? A,A∩B? B, A∩B=A?A? B. A∪?=A,A∪B? A,A∪B? B, A∪B=B?A? B. A∩?UA=?;A∪?UA=U.
自我检测 1.(2011·长沙模拟)下列集合表示同一集合的是( ) A.M={(3,2)},N={(2,3)} B.M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1} C.M={4,5},N={5,4} D.M={1,2},N={(1,2)} 2.(2009·辽宁)已知集合 M={x|-3<x≤5},N={x|-5<x<5},则 M∩N 等于( A.{x|-5<x<5} B.{x|-3<x<5} C.{x|-5<x≤5} D.{x|-3<x≤5}

)

3.(2010·湖北)设集合 A={(x,y)| + =1},B={(x,y)|y=3 },则 A∩B 的子集 4 16 的个数是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 2 4. (2010·潍坊五校联考)集合 M={y|y=x -1, x∈R},集合 N={x|y= 9-x2,x∈R}, 则 M∩N 等于( ) A.{t|0≤t≤3} B.{t|-1≤t≤3} C.{(- 2,1),( 2,1)} D.? 2 5.(2011·福州模拟)已知集合 A={1,3,a},B={1,a -a+1},且 B? A,则 a=________.

x2

y2

x

1

2

探究点一 集合的基本概念 例1 (2011·沈阳模拟)若 a,b∈R,集合{1,a+b,a}={0, ,b},求 b-a 的值.

b a

解题导引 解决该类问题的基本方法为:利用集合中元素的特点,列出方程组求解,但 解出后应注意检验,看所得结果是否符合元素的互异性.

变式迁移 1 设集合 A={1,a,b},B={a,a ,ab},且 A=B,求实数 a,b.

2

探究点二 集合间的关系 2 2 例 2 设集合 M={x|x=5-4a+a ,a∈R},N={y|y=4b +4b+2,b∈R},则下列关 系中正确的是( ) A.M=N B.M N C.M N D.M∈N 解题导引 一般地,对于较为复杂的两个或两个以上的集合,要判断它们之间的关系, 应先确定集合中元素的形式是数还是点或其他,属性如何.然后将所给集合化简整理,弄清 每个集合中的元素个数或范围,再判断它们之间的关系.

变式迁移 2 设集合 P={m|-1<m<0},Q={m|mx +4mx-4<0 对任意实数 x 恒成立,且 m∈R},则下列关系中成立的是( ) A.P Q B.Q P C.P=Q D.P∩Q=?

2

探究点三 集合的运算 2 2 例 3 设全集是实数集 R,A={x|2x -7x+3≤0},B={x|x +a<0}. (1)当 a=-4 时,求 A∩B 和 A∪B; (2)若(?RA)∩B=B,求实数 a 的取值范围. 解题导引 解决含参数问题的集合运算, 首先要理清题目要求, 看清集合间存在的相互 关系,注意分类讨论、数形结合思想的应用以及空集的特殊性.

3

变式迁移 3 (2011·阜阳模拟)已知 A={x||x-a|<4},B={x||x-2|>3}. (1)若 a=1,求 A∩B; (2)若 A∪B=R,求实数 a 的取值范围.

分类讨论思想在集合中的应用 2 例 (12 分)(1)若集合 P={x|x +x-6=0},S={x|ax+1=0},且 S? P,求由 a 的可 取值组成的集合; (2)若集合 A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},且 B? A,求由 m 的可取值组 成的集合. 【答题模板】

【突破思维障碍】 在解决两个数集关系问题时, 避免出错的一个有效手段即是合理运用数轴帮助分析与求 解,另外,在解含有参数的不等式(或方程)时,要对参数进行讨论,分类时要遵循“不重不 漏”的分类原则,然后对于每一类情况都要给出问题的解答. 【易错点剖析】 (1)容易忽略 a=0 时,S=?这种情况. (2)想当然认为 m+1<2m-1 忽略“>”或“=”两种情况.

解答集合问题时应注意五点: 1.注意集合中元素的性质——互异性的应用,解答时注意检验. x x x 2.注意描述法给出的集合的元素.如{y|y=2 },{x|y=2 },{(x,y)|y=2 }表示不同 的集合. 3.注意?的特殊性.在利用 A? B 解题时,应对 A 是否为?进行讨论. 4. 注意数形结合思想的应用. 在进行集合运算时要尽可能借助 Venn 图和数轴使抽象问 题直观化,一般地,集合元素离散时用 Venn 图表示,元素连续时用数轴表示,同时注意端 点的取舍. 5.注意补集思想的应用.在解决 A∩B≠?时,可以利用补集思想,先研究 A∩B=?的情 况,然后取补集.

(满分:75 分)

4

一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.满足{1} A? {1,2,3}的集合 A 的个数是( A.2 B.3 C.4 D.8

)

2. (2011·杭州模拟)设 P、 Q 为两个非空集合, 定义集合 P+Q={a+b|a∈P, b∈Q}. 若 P={0,2,5},Q={1,2,6},则 P+Q 中元素的个数是( ) A.9 B.8 C.7 D.6
2

3.(2010·北京)集合 P={x∈Z|0≤x<3},M={x∈Z|x ≤9},则 P∩M 等于( A.{1,2} B.{0,1,2} C.{1,2,3} D.{0,1,2,3}

)

4.(2010·天津)设集合 A={x||x-a|<1,x∈R},B={x|1<x<5,x∈R}.若 A∩B=?, 则实数 a 的取值范围是( ) A.{a|0≤a≤6} B.{a|a≤2 或 a≥4} C.{a|a≤0 或 a≥6} D.{a|2≤a≤4} 5.设全集 U 是实数集 R,M={x|x >4},N={x| 集合是( )
2

2

x-1

≥1},则右图中阴影部分所表示的

A.{x|-2≤x<1} C.{x|1<x≤2}

B.{x|-2≤x≤2} D.{x|x<2}

二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 6 .(2011·绍兴模拟 )设集合 A= {1,2} ,则满足 A ∪ B = {1,2,3} 的集合 B 的个数是 ________. 7.(2009·天津)设全集 U=A∪B={x∈N |lg x<1},若 A∩(?UB)={m|m=2n+1, n=0,1,2,3,4},则集合 B=________. 8. (2010·江苏)设集合 A={-1,1,3}, B={a+2, a +4}, A∩B={3}, 则实数 a=____. 三、解答题(共 38 分) 2 2 9.(12 分)(2011·烟台模拟)集合 A={x|x +5x-6≤0},B={x|x +3x>0},求 A∪B 和 A∩B.
2 *

5

1 10.(12 分)已知集合 A={x|0<ax+1≤5},集合 B={x|- <x≤2}.若 B? A,求实数 a 2 的取值范围.

11.(14 分)(2011·岳阳模拟)已知集合 A={x| (1)当 m=3 时,求 A∩(?RB); (2)若 A∩B={x|-1<x<4},求实数 m 的值.

x-5 2 ≤0},B={x|x -2x-m<0}, x+1

6


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