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2014年全国高中数学青年教师展评课:圆锥曲线的共同特征(课件)

时间:2015-01-10


北师大版《普通高中课程标准实验教科书》· 数学 · 选修2-1 圆锥曲线的共同特征

圆锥曲线的共同特征
河南省焦作市第十一中学 科 张世

北师大版《普通高中课程标准实验教科书》· 数学 · 选修2-1 圆锥曲线的共同特征

一、 创设情境,引入新课
请同学们回忆以下知识:

1.椭圆、抛物线、双曲线的定义;
2.椭圆、抛物线、双曲线的离心率的取值范围; 3.求曲线方程的步骤(直接法)。

北师大版《普通高中课程标准实验教科书》· 数学 · 选修2-1 圆锥曲线的共同特征

一、 创设情境,引入新课

北师大版《普通高中课程标准实验教科书》· 数学 · 选修2-1 圆锥曲线的共同特征

一、 创设情境,引入新课
思考:圆锥曲线的方程有什么共同特征吗?
圆锥曲线的方程都是二元二次方程。

问题:是否还存在其它共同特征呢?

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二、 合作交流,探究新知
(一)探索发现
赛一赛:各小组对应题号做题,每组只做一道题。组内统一
后,组长将结果写在黑板上。

问题:曲线上的点 M ( x, y) 到定点 F 的距离和它到定直 线 l 的距离的比是常数 e ,求下列条件下的曲线方程.
1 ( 1 )F (1,0),l : x ? 9, e ? ; 3 9 2 ( 3 )F (2,0),l : x ? , e ? ; 2 3 4 3 ( 5 )F (3,0),l : x ? , e ? ; 3 2 1 ( 2 )F (1,0),l : x ? 4, e ? ; 2 ( 4 )F (2,0),l : x ? 1, e ? 2 ; 1 ( 6 )F (2,0),l : x ? , e ? 2. 2

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二、 合作交流,探究新知
(二)大胆猜想
猜想:曲线为椭圆、双曲线时,常数 e 分别取什么范围呢?
猜想结论: 0 ? e ? 1时,曲线为椭圆;
e ? 1时,曲线为双曲线。 几何画板演示

问题:能否用前面所学知识验证猜想结论呢?
定点、 定直线、常数有何意义?

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二、 合作交流,探究新知
(三)深入探究
推导椭圆标准方程的部分步骤: 定义: PF 1

思考交流:
(1)式的几何意义 是什么? 先自主思考,然后

? PF2 ? 2a(0 ? c ? a)
2 2 2 2

列式: ( x ? c) ? y ? ( x ? c) ? y ? 2a 移项:

( x ? c ) ? y ? 2a ? ( x ? c ) ? y
2 2 2

2

在组内交流结果。

平方: a

2
2

? cx ? a

? x ? c?
? x ? c?

2

?y

2

a a 同除: ?x? ? c c
2

2

y

? y2

变形:

2 x ? c ? y ? ?

a ?x c

2

c ? ? e (1) a

o

F2 (c,0)

. .

a2 x? c P( x, y)

x

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二、 合作交流,探究新知
(三)深入探究
推导双曲线标准方程的部分步骤: 定义:PF 1

思考交流:
(2)式的几何意义是 什么? 先自主思考,然后同

? PF2 ? ?2a(0 ? a ? c)

列式: ( x ? c) 2 ? y 2 ? ( x ? c) 2 ? y 2 ? ?2a 移项: ( x ? c) 2 ? y 2 ? ?2a ? ( x ? c) 2 ? y 2 平方:

桌交流结果。

a ? cx ? a
2

?x ? c ?

2

? y2

2 a a 同除: ?x ? ? c c

?x ? c ?2 ? y 2
c ? ? e (2) a

.

y

P( x, y)

a2 x? c

变形:

?x ? c ?2 ? y 2
a2 ?x c

O

. . F (c,0) x
P( x, y)
2

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二、 合作交流,探究新知
(三)深入探究
2 a 椭圆上的点到焦点 F (c,0) 的距离与到定直线 x ? 的距离 c

之比为常数 e(0 ? e ? 1) ;
a2 双曲线上的点到焦点 F (c,0) 的距离与到定直线 x ? 的距 c

离之比为常数 e(e ? 1) ; 抛物线上的点到定点 F 的距离与到定直线 ( l l 不过 F )的

距离之比等于1.

思考交流:圆锥曲线有何共同特征?

先自主总结归纳,然后同桌交流。

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二、 合作交流,探究新知
(四)形成结论(圆锥曲线的共同特征)
圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线(直线
不过定点)的距离之比为定值 e . 当 0 ? e ? 1,它是椭圆;

当 e ? 1 时,它是抛物线;
当 e ? 1 时,它是双曲线.

注意:1. 动点P到定点F的距离 ? e

动点P到定直线l的距离 2.直线不过定点; 几何画板演示1 3.定点为焦点,定直线为与焦点 相应的准线,常数e为离心率. 几何画板演示2

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二、 合作交流,探究新知
(五)适度拓展(圆锥曲线的统一定义)
平面内到一个定点 F 的距离和它到一条定直线( l l 不过 F ) 的距离的比等于常数 e的点的轨迹, 当 0 ? e ? 1时,它是椭圆; 当 e ? 1时,它是抛物线; 当 e ? 1 时,它是双曲线. 当为椭圆和双曲线时,称为椭圆和双曲线的第二定义。

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标准方程
x2 y2 ? 2 ?1 2 a b ( a ? b ? 0)

图形
y

焦点坐标
x

准线方程
2

o

y x ? 2 ?1 2 a b (a ? b ? 0)

2

2

y

( ? c, 0) x ? ? a c

o

x

a (0, ? c) y ? ? c

2

x y ? 2 ?1 2 a b (a ? 0, b ? 0)

2

2

y

o

x

a ( ? c, 0) x ? ? c

2

y 2 x2 ? 2 ?1 2 a b (a ? 0, b ? 0)

y

o

x

a (0, ? c) y ? ? c

2

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三、 学以致用,巩固提高
(一)例题讲解
例1.曲线上的点 M ( x, y) 到定点 F (2,0) 的距离和它到定

直线 l : x ? 8 的距离的比是常数

1 ,求曲线方程. 2

先自主思考,求出方程后在组内交流,统一结论。

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三、 学以致用,巩固提高
(一)例题讲解
例2.已知双曲线
x2 y2 ? ? 1上一点 P 到左焦点的距离 64 36
y

为4,求点 P 到右准线的距离. 先自主思考,求出结果后 在组内交流,统一结论。
P

d1 d
O

F1

F2

x

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三、 学以致用,巩固提高
(二)练习巩固
1.方程 ? x ? 2?2 ? y 2 ? 2 x+1 表示的曲线是( B ) A.椭圆 B.双曲线 C.线段 D.抛物线
1 x ? ?4 ,离心率为 2 2

2.中心在原点,准线方程为 x2 y ? ?1 4 3 椭圆的标准方程是___________.



x2 y2 ? ? 1 上一点 P 到一个焦点 F (3,0) 的 3.椭圆 25 16 20

3 距离等于3,则点 P 到直线 x ? 10 的距离为___.

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三、 学以致用,巩固提高
(三)回顾反思
你学习了哪些知识? 运用到了哪些数学思想方法? 我们是如何探究知识的?

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三、 学以致用,巩固提高
(四)作业反馈
必做题:
1.曲线上的点 M ( x, y) 到定点 F (5,0) 的距离和它到定直线 l : x ? 16 5 5 的距离的比是 ,求曲线方程. 4
2 2 x y 2.已知椭圆 ? ? 1 上一点 P 到右准线距离为10,求点 P 到左 25 16 焦点的距离.

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三、 学以致用,巩固提高
(四)作业反馈
选做题:
1.曲线上的点 M ( x, y) 到定点 F (2,0) 的距离和它到定直线 l : x ? 8 的距离的比是2,求曲线方程.
x2 y2 2.已知点 A(?2, 3) ,设点 F 为椭圆 ? ? 1 的右焦点,点 M 16 12 为椭圆上动点,求 MA ? 2 MF 的最小值,并求此时点 M 的坐标.

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圆锥曲线的统一性展现了数学的统一美,数学的 发展是追求美的过程。希望我们每一个人都努力追求 美、创造美,描绘出更美好的人生轨迹!

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