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2016年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题


2016年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题 一、填空题(本大题共10小题,每小题9分,共90分.) 1. (高一二年级)已知函数f (x)满足:f (1) ??2,f(x ? 1) ? 内任意x都成立.那么,f (2016)=( 2.(高一年级)不等式 3
x?2

1 ? f ?x ? 对定义域 1 ? f ?x ?

r />? 28 ??的解集为.

?3

x -1

(高二年级3)已知△ABC 是等边三角形,椭圆??的一个焦点为A,另一个 焦点F 在线段BC上,如果椭圆?恰好经过B,C两点,则它的离心率为 3.(高一3二2年级)从五个正整数a, b, c, d, e中任取四个求和,得到的和值 构成集合{44, 45, 46, 47}则a ??b??c ??d ??e ?? 4.(高一年级)求值: cos (高二年级)已知实数满足 值范围是 5. (高一年级)△ABC 中,角A,B,C的对边长分别为a,b,c,D是BC的中点, 若a ??4,AD ??c ?b,则△ABC 的面积的最大值为. (高二年级)袋子中有5 个白球、4 个红球和3 个黄球,从中任意取出4 个 球,各种颜色的球都有的概率为 6.(高一年级)如果存在实数a,使得关于x的不等式acosx ?bcos2x ?1无实 数解,则实数b 的最大值为 (高二年级)以正十三边形的顶点为顶点的形状不同的三角形共有个.(说 明:全等的三角形视为形状相同.) 7.(高一二年级)已知质数p,q满足q5??2p2?1,则p ??q ?????????????????????????????
?
9 ? cos 3? 5? 7? ? cos ? cos = 9 9 9

x2 ? y2 ? 1 ,则 P ? 2x ? y ? 4 ? 4 ? x ? 2y 的取 3

8. (高一年级)已知实数x, y满足:22-3x ? 21-5y ? 么,xy???????????????

1 1 ,x ? ? 3, 8x ? 32y ? 8 那 2 y

(高二年级)已知四面体的一条棱长为6,其余棱长均为5,则这个四面体的 外接球的半径为? 9.(高一二年级)已知MN 是边长为 2 6 的等边△ABC 的外接圆的一条动 弦,MN =4,P 为△ABC 的边上的动点,则 MP ?PN 的最大值为 10.(高一二年级)设[a]表示不大于a的最大整数,则方程 ? ? ? ? ? ? 1 的 ?7? ?8? 最大正整数解为. 二、解答题(本题满分60 分,每小题20 分。) 11. (高一年级)已知△ABC的三边长a,b,c(a ??b ??c)均为整数,且满足: (1)a,b,c构成等比数列;(2)a,b,c中至少有一个等于100.求符合要求的三 元数组(a,b,c)的个数.
?x? ?x?

(高二年级)已知 A ? x x 2 ? x ,B ? x x 2 ? log a x ,且 A ? B ,求实数的取 值范围.

?

?

?

?

12. (高一年级) 已知二次函数f (x) ??ax 2?bx ?c满足条件: (1) ?4a ??b ???2a; (2)当| x |?1时,| f (x) |?1.证明:当| x |??2时, f?x? ?
4 5

13.(高一13二12年级)已知定义在R 上的函数f (x)满足: f?1? ?

10 ,且对 3

任意实数x, y,恒有f (x) f (y) ??f (x ??y) ??f (x ??y) ①若数列{ an}满足3 an????f (n) f (n-1),n?N*.(1)求数列{an } 的通项公式; (2)令 bn ?

?3an

24an

? 8?

2

,* n?N,Sn是数列{ bn} 的前n 项和,求证:Sn??1.

13.(高二年级)过抛物线y2=2px(p>0)外一点P向抛物线作两条切线,切点 为M、N,F为抛物线的焦点.证明:(1)PF2=MF NF;(2)∠PMF=∠FPN。


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