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《步步高学案导学设计》2013-2014学年高中数学人教A版选修2-2【配套备课资源】第二章2.2.1(二)

时间:2017-04-03


2.2.1 综合法和分析法(二) 一、基础过关 1.已知 a≥0,b≥0,且 a+b=2,则 A.a≤ B.ab≥ C.a2+b2≥2 D.a2+b2≤3 2.已知 a、b、c、d∈{正实数},且<,则 A.<< B.<<

(

)

(

)

C.<< D.以上均可能 3.下面四个不等式: ①a2+b2+c2≥ab+bc+ac; ②a(1-a)≤; ③+≥2; ④(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2. 其中恒成立的有 ( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 4.若实数 a,b 满足 0<a<b,且 a+b=1,则下列四个数中最大的是 ( ) A. B.2ab C.a2+b2 D.a 5.设 a=-,b=-,c=-,则 a、b、c 的大小顺序是________. 6.如图所示,SA⊥平面 ABC,AB⊥BC,过 A 作 SB 的垂线,垂足为 E, 过 E 作 SC 的垂线,垂足为 F. 求证:AF⊥SC. 证明:要证 AF⊥SC,只需证 SC⊥平面 AEF,只需证 AE⊥SC(因为 ______),只需证______,只需证 AE⊥BC(因为________),只需证 BC⊥平面 SAB,只需 证 BC⊥SA(因为________).由 SA⊥平面 ABC 可知,上式成立. 二、能力提升 7.命题甲:()x、2-x、2x-4 成等比数列;命题乙:lg x、lg(x+2)、lg(2x+1)成等差数列, 则甲是乙的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8.若 a>b>1,P=,Q=(lg a+lg b),R=lg(),则 ( ) A.R<P<Q B.P<Q<R C.Q<P<R D.P<R<Q 9.已知α 、β 为实数,给出下列三个论断:①α β >0;②|α +β |>5;③|α |>2,|β |>2. 以其中的两个论断为条件,另一个论断为结论,你认为正确的命题是________. 10.如果 a,b 都是正数,且 a≠b,求证:+>+. 11.已知 a>0,求证:-≥a+-2. 12.已知 a、b、c∈R,且 a+b+c=1,求证:(-1)(-1)·(-1)≥8. 13. 已知函数 f(x)=x2++aln x(x>0), 对任意两个不相等的正数 x1、 x2, 证明: 当 a≤0 时, >f(). 三、探究与拓展

14.已知 a,b,c,d∈R,求证: ac+bd≤.(你能用几种方法证明?)

答案 1.C 2.A 3.C 4.C 5.a>b>c 6.EF⊥SC AE⊥平面 SBC AE⊥SB AB⊥BC 7.C 8.B 9.①③?② 10.证明 方法一 用综合法 +-- = = =>0, ∴+>+. 方法二 用分析法 要证+>+, 只要证++2>a+b+2, 即要证 a3+b3>a2b+ab2, 只需证(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b), 即需证 a2-ab+b2>ab, 只需证(a-b)2>0, 因为 a≠b,所以(a-b)2>0 恒成立, 所以+>+成立. 11.证明 要证-≥a+-2, 只要证+2≥a++. ∵a>0,故只要证 2≥2, 即 a2++4 +4≥a2+2++2+2, 从而只要证 2≥, 只要证 4≥2, 即 a2+≥2,而该不等式显然成立,故原不等式成立. 12.证明 方法一 (分析法) 要证(-1)(-1)(-1)≥8 成立, 只需证· ·≥8 成立. 因为 a+b+c=1, 所以只需证· ·≥8 成立, 即证· ·≥8 成立. 而· ·≥· ·=8 成立. ∴(-1)(-1)(-1)≥8 成立. 方法二 (综合法) (-1)(-1)(-1) =(-1)(-1)(-1) =· · = ≥=8, 当且仅当 a=b=c 时取等号,所以原不等式成立. 13.证明 由 f(x)=x2++aln x,

得=(x+x)+(+)+(ln x1+ln x2) =(x+x)++aln . f()=()2++aln , ∵x1≠x2 且都为正数, 有(x+x)>[(x+x)+2x1x2]=()2. ① 又(x1+x2)2=(x+x)+2x1x2>4x1x2, ∴>. ② ∵<,∴ln<ln. ∵a≤0,∴aln>aln. ③ 由①、②、③得>f(). 14.证明 方法一 (用分析法) ①当 ac+bd≤0 时,显然成立. ②当 ac+bd>0 时,欲证原不等式成立,只需证 (ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2). 即证 a2c2+2abcd+b2d2≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d2. 即证 2abcd≤b2c2+a2d2. 即证 0≤(bc-ad)2. 因为 a,b,c,d∈R,所以上式恒成立. 故原不等式成立,综合①②知,命题得证. 方法二 (用综合法) (a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2 =(a2c2+2acbd+b2d2)+(b2c2-2bcad+a2d2) =(ac+bd)2+(bc-ad)2≥(ac+bd)2. ∴≥|ac+bd|≥ac+bd. 方法三 (用比较法) ∵(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2 =(bc-ad)2≥0, ∴(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2, ∴≥|ac+bd|≥ac+bd. 方法四 (用放缩法) 为了避免讨论,由 ac+bd≤|ac+bd|,可以试证(ac+bd)2≤ (a2+b2)(c2+d2). 由方法一知上式成立,从而方法四可行. 方法五 (构造向量法) 设 m=(a,b),n=(c,d), ∴m·n=ac+bd, |m|=, |n|=. ∵m·n≤|m|·|n|=·.


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