数学-江阴市五校2013-2014学年高二下学期期中联考数学(理)试题

高二下学期期中考试数学（理）试题 时间 120 分钟，满分 160 分。

一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分）
1. 复数

2 的共轭复数为 1? i

▲

．

2.有 4 件不同的产品排成一排，其中 A、B 两件产品排在一起的不同排法有_▲___种． 3.若 ( x2 ? 4) ? ( x2 ? 3x ? 2)i 是纯虚数，则实数 x 的值是__ ▲___ ．
3 4 4. 若 An ，则 n 的值为 ? 6Cn

▲

．

8 5. 9 被 5 除所得的余数是_______▲______．

6. 用反证法证明某命题时，对结论“自然数 a, b, c 中至多有 2 个偶数”的正确假设为“假 设自然数 a, b, c 中 ▲ ” ．

7. 已知复数 z ? x ? yi?x, y ? R, x ? 0?且 z ? 2 ? 3 ，则

y 的范围为______▲_______． x

8 . 5 名男性驴友到某旅游风景区游玩,晚上入住一家宾馆,宾馆有 3 间客房可选,一间客房为 3 人间,其余为 2 人间,则 5 人入住两间客房的不同方法有 ▲ 种(用数字作答).

9.已知 △ ABC 的周长为 l ，面积为 S ，则 △ ABC 的内切圆半径为 r ?

2s ．将此结论类比 l

到空间， 已知四面体 ABCD 的表面积为 S ， 体积为 V ， 则四面体 ABCD 的内切球的半径 R = ▲ ．

10.航空母舰“辽宁舰”将进行一次编队配置科学实验，要求 2 艘攻击型核潜艇一前一后，2 艘驱逐舰和 2 艘护卫舰分列左、右，同侧不能都是同种舰艇，则舰艇分配方案的方法数为__ ▲______．(用数字作答) 11.用数学归纳法证明: (n ? 1) ? (n ? 2) ?

? ( n ? n) ?

n(3n ? 1) (n ? N * ) 的第二步中,当 2
.

n ? k ? 1 时等式左边与 n ? k 时的等式左边的差等于 ▲
x

12. 设 m ? R ，若函数 y ? e ? 2mx( x ? R) 有大于零的极值点，则 m 的取值范围是 __ ▲ ______．

13. 观察下列等式：

1 2 ＋ ＝1 ； 3 3 7 8 10 11 ＋ ＋ ＋ ＝ 12 ； 3 3 3 3
1

16 17 19 20 22 23 ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＝ 39 ； 3 3 3 3 3 3
?? 则当 m ? n 且 m, n ? N 时，

3m ? 1 3m ? 2 3m ? 4 3m ? 5 3n ? 2 3n ? 1 ＋ ＋ ＋ ＋?＋ ＋ ＝ __ ▲ ______( 最后结果用 3 3 3 3 3 3 m, n 表示)．
14.已知 C

? C ， (2x ? 3)n ? a0 ? a1 ( x ?1) ? a2 ( x ?1)2 ? a a a x ? R n ? N ,则 1 ? 2 ? ? n 的值为__ ▲___ 2 2 2 2n
1006 2013

?C

1007 2013

n 2 n

? an ( x ?1)n ,

二、解答题（本大题共 6 小题，共 90 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算
步骤）

17. （本小题满分 14 分）由数字 1、 2、 3、 4、 5、 6 组成无重复数字的数中，求： （1）六位偶数的个数； （ 2）求三个偶数互不相邻的六位数的个数； （ 3）求恰有两个偶数相邻的六位数的个数； （4）奇数字从左到右，从小到大依次排列的六位数的个数．

2

19. （本小题满分 16 分）已知 f ( n) ? 1 ?

1 1 1 ? ? 23 33 43

?

1 3 1 * ， g ( n) ? ? 2 ， n ? N ． 3 2 2n n

（1）当 n ? 1, 2 , 3 时，试比较 f ( n) 与 g (n) 的大小关系； （2）猜想 f ( n) 与 g (n) 的大小关系，并给出证明．

3

1 20． （本小题满分 16 分）已知函数 f ( x) ? a( x ? ) ? 2ln x (a ? R) ． x （1）若 a ? 2 ，求曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程； （2）求函数 f ( x ) 的单调区间；
a （3）设函数 g ( x) ? ? ．若至少存在一个 x0 ? [1,e] ，使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立，求实数 a 的取 x 值范围．

4

2013-2014 学年第二学期高二期中考试 数学试卷（理科）参考答案

16. 【 解 析 】 （1）由条件得， z1 ? z2 ? (

3 ? 2) ? (a 2 ? 3a ? 4)i …（2 分） a?2

? 3 ?2?0 ? 因为 z1 ? z2 在复平面上对应点落在第一象限，故有 ? a ? 2 ????（4 分） 2 ?a ? 3a ? 4 ? 0 ? 1 ? ??2 ? a ? ? ∴ 2 解得 ?2 ? a ? ?1 ? ? ?a ? 4或a ? ?1
2

????（6 分）

（2）因为虚数 z1 是实系数一元二次方程 x ? 6 x ? m ? 0 的根 所以 z1 ? z1 ?

6 ? 6 ，即 a ? ?1 ， a?2

????（10 分） ????（11 分）

把 a ? ?1 代入，则 z1 ? 3 ? 2i ， z1 ? 3 ? 2i ， 所以 m ? z1 z1 ? 13 ????（14 分）

17【 解 析 】 （1）偶数的个位数字必须是偶数。因而先排个位
5

1 5 满足条件的六位偶数共有 A3 A5 =360 个；

?????3 分

（ 2）先排奇数，然后有三个空，再插空排三个偶数
3 3 满足条件的三个偶数互不相邻的六位数有 2 A3 A3 =72 个；

?????6 分

（ 3）用捆绑法。先从三个偶数中选出两个捆绑在一起看作一个偶数，然后排奇数， 再从四个空里选两个空插这两个元素。满足条件的恰有两个偶数相邻的六位
2 3 2 2 数共有 C3 A3 A4 A2 =432 个；

????10 分

3 （4） 满足条件的奇数字从左到右从小到大依次排列的六位数共有 A6 =120 个 ?????15

分 注：表达式列对，答案算错扣 1 分
4 2 18. 【 解 析 】 （1）由 Cn (?2)4 : Cn (?2)2 ? 56: 3 解得 n=10??????（2 分）
5r 5? 2 r r r (? 3 ) ? (?2) Cn x 6 x

因为通项： Tr ?1 ? C ( x )
r 10

10 ? r

??????（3 分）

当 5﹣

为整数，r 可取 0，6
5

????????????（4 分） ??????（6 分）

展开式是常数项，于是有理项为 T1=x 和 T7=13400

r r r ?1 r ?1 ?C10 2 ? C10 2 ? （2）设第 r+1 项系数绝对值最大，则 ? r r ??????（8 分） r ?1 r ?1 ? ?C10 2 ? C10 2

注：等号不写扣（1 分）

解得

，于是 r 只能为 7

??????（10 分）

所以系数绝对值最大的项为
2 3 10 （3） 10 ? 9C10 ? 81C10 ? ... ? 910?1C10
1 2 3 10 9C10 ? 92 C10 ? 93 C10 ? ... ? 910 C10 9 0 1 2 3 10 C10 ? 9C10 ? 92 C10 ? 93 C10 ? ... ? 910 C10 ?1 9

??????（11 分）

?

?

????????13 分

?

(1 ? 9)10 ? 1 1010 ? 1 ? ?????.16 分 9 9

6

20.【解析】函数的定义域为 ? 0, ?? ? ， f ?( x) ? a(1 ?

1 2 ax2 ? 2 x ? a ．???1 分 ) ? ? x2 x x2

1 （1）当 a ? 2 时，函数 f ( x) ? 2( x ? ) ? 2ln x ， f (1) ? 0 ， f ?(1) ? 2 ． x 所以曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? 0 ? 2( x ? 1) ， 即 2 x ? y ? 2 ? 0 ．?????????4 分
（2）函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ?? ) ． 1.当 a ? 0 时， h( x) ? ax2 ? 2 x ? a ? 0 在 (0, ?? ) 上恒成立， 则 f ?( x) ? 0 在 (0, ?? ) 上恒成立，此时 f ( x ) 在 (0, ?? ) 上单调递减． ?????5 分
2 2.当 a ? 0 时， ? ? 4 ? 4a ，

（ⅰ）若 0 ? a ? 1 ， 由 f ?( x) ? 0 ，即 h( x) ? 0 ，得 x ?

1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 或x ? ； ??????6 分 a a

1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 ?x? 由 f ?( x) ? 0 ，即 h( x) ? 0 ，得 ．?????????7 分 a a

7

1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 所以函数 f ( x ) 的单调递增区间为 (0, )和( , ??) ， a a
单调递减区间为 (

1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 , ) ． ??????????????9 分 a a

（ⅱ）若 a ? 1 ， h( x) ? 0 在 (0, ?? ) 上恒成立，则 f ?( x) ? 0 在 (0, ?? ) 上恒成立，此时 f ( x ) 在 (0, ?? ) 上单调递增． ????????????????????????10 分 （Ⅲ） ）因为存在一个 x0 ? [1,e] 使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) ， 则 ax0 ? 2ln x0 ，等价于 a ? 令 F ( x) ?

2 ln x0 .???????????????????12 分 x0

2 ln x ，等价于“当 x ? ?1,e? 时， a ? F ? x ?min ”. x 2(1 ? ln x) 对 F ( x) 求导，得 F ?( x ) ? .?????????????????13 分 x2
因为当 x ? [1, e] 时， F ?( x) ? 0 ，所以 F ( x) 在 [1, e] 上单调递增. 所以 F ( x)min ? F (1) ? 0 ，因此 a ? 0 . ????????????????16 分 另解：设 F ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ? ax ? 2ln x ，定义域为 ? 0, ?? ? ，

F? ? x? ? a ?

2 ax ? 2 ? . x x

依题意，至少存在一个 x0 ? [1,e] ，使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立， 等价于当 x ? ?1,e? 时， F ? x ?max ? 0 . ???????????????11 分 （1）当 a ? 0 时，

F ? ? x ? ? 0 在 ?1,e? 恒成立，所以 F ? x ? 在 ?1,e? 单调递减，只要 F ? x ?max ? F ?1? ? a ? 0 ，
则不满足题意.?? 12 分 （2）当 a ? 0 时，令 F ? ? x ? ? 0 得 x ? （ⅰ）当 0 ?

2 . a

2 ? 1 ，即 a ? 2 时， a

在 ?1,e? 上 F ? ? x ? ? 0 ，所以 F ? x ? 在 ?1,e? 上单调递增， 所以 F ? x ?max ? F ? e? ? ae ? 2 ，由 ae ? 2 ? 0 得， a ?

2 ，所以 a ? 2 .???13 分 e

8

（ⅱ）当

2 2 ? e ，即 0 ? a ? 时， a e

在 ?1,e? 上 F ? ? x ? ? 0 ，所以 F ? x ? 在 ?1,e? 单调递减，

2 .??????14 分 e 2 2 2 2 （ⅲ）当 1 ? ? e ，即 ? a ? 2 时， 在 [1, ) 上 F ? ? x ? ? 0 ，在 ( , e] 上 F ? ? x ? ? 0 ， a a a e 2 2 所以 F ? x ? 在 [1, ) 单调递减，在 ( , e] 单调递增， a a 2 等价于 F ?1? ? 0 或 F ? e ? ? 0 ， 解得 a ? 0 ， 所以， ? a ? 2 .??????? F ? x ?max ? 0 ， e
所以 F ? x ?max ? F ?1? ? a ，由 a ? 0 得 0 ? a ? 15 分 综上所述，实数 a 的取值范围为 (0, ??) .???????????????16 分

9