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基本方法与拓展延伸:数学归纳法证明不等式


数学归纳法证明不等式
基本方法与拓展延伸 2 数学归纳法的使用要点 (1)用数学归纳法进行证明时,要分 两个步骤.其中第一步是证明时递推 的基础, 第二步是推理的根据.把第一 例 2-1 下列式子若 n = k 时成立,能证出

n = k +1 时成立吗?若可以,能判断对任
意的 n ? N ? 都成立吗?
n( n ? 1)

+1 2

步结论与第二步结论联系在一起,才 ①1+2+3+…+ n = 可以断定命题对所有的自然数都成 立.因此,用数学归纳法证题,完成上 述两步后,还要作一个总的结论. 数学归纳法的两个步骤是缺一不 可的, 这是因为, 有第一步无第二步, 那就属于不完全归纳法,论断的普遍 性是不可靠的;反之,有第二步无第 一步,则第二步中的假设就失去了基 础. ③ =

②1+3+5+…+(2 n -1)= n 2 ? 1
1 1 1 1 ? ? ??? 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 n(n ? 1)

n +2. n ?1

答:若 n = k 时成立,①②③均可证出

n = k +1 时也成立,但 n =1 时都不成立,
因此三个结论对任意的

n ? N ? 并不成立。

(2)初学数学归纳法时,往往感到证 例 2-2 用数学归纳法证明 明中的第二步 (假设与推理) 比较难, 因而也较为重视,但是对于证明中的 第一步(奠基)往往不够重视,有时 甚至忽略它.没有奠基的证明就如同 在沙滩上建房子,是不可靠的. 例如“奇数是 2 的倍数”显然是个
1 1 1 n 1 + + +…+ = 2 2? 3 3? 4 n ? (n ? 1) n ? 1

( n ? N? ) . 证明: (1) n =1 时,左边= ∴等式成立;
1 1 ,右边= , 2 2

假命题,但是如果没有第一步奠基, (2)假设 n = k ( k ≥1)时,命题成立,即 直接假设如果奇数 k 是 2 的倍数(这 是一个不合实际的假设) ,那么就能 推出后一个奇数 k +2 也是 2 的倍数. (3)在用数学归纳法进行证明时,第
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1 1 1 k 1 + + +…+ = 成立, 2 2? 3 3? 4 k ? (k ? 1) k ? 1

当 n = k +1 时,左边=

1 1 1 + + + 2 2? 3 3? 4

一步 n 0 从取几开始, 要根据具体问题 而定.一般地, 如果要证明的命题是对 全体正整数都成立的,则要从 n =1 证 起; 如果要证明的命题是对不小于 n 0 的所有正整数都成立,则要从 n = n 0 证起;如果要证明的命题是对全体自 然数(包括 0)都成立,则要从 n =0 证起. 证明中的第二步(假设与推理)的作

…+

1 1 + k ? (k ? 1) (k ? 1)(k ? 2)

=

k 1 k (k ? 2) ? 1 + = k ? 1 (k ? 1)(k ? 2) (k ? 1)(k ? 2) k ?1 (k ? 1) 2 = (k ? 1)(k ? 2) k ? 2

=

因此,当 n = k +1 时,命题成立. 由(1) 、 (2)可知当 n ? N +时原等式成立. [误解](1)当 n =1 时,左边=
1 ,右边 2

用是证明命题具有传递性,有了这种 = 1 , 2 向后传递的关系,就能从一个起点 ∴等式成立. (例如 n =1)不断发展,以至无穷.如 (2)假设 n = k ( k ≥1)时等式成立, 果没有它,即使前面验证过当 n 等于 当 n = k +1 时, 许多正整数时命题都成立,也不能保 左边 证对于后面的全体正整数都成立. 1 1 1 1 = + + +…+ + 2 2 2? 3 3? 4 k ? (k ? 1) 例如:“ n + n +11 是质数”这个命 题对于 n =1,2,3,…,9 都成立,但是 对于 n =10 却不成立, 10 2 +10+11=121=11 2 是一个合数. 因此,数学归纳法的两步是互相 配合的,两步缺一不可. (4)在第一步中,只需验证 n 取第 一个值 N 时结论成立就可以了.或许 我们对此不放心,往往想多验证几个 自然数.其实,验证了 n=1 时结论成
1 (k ? 1)(k ? 2)
1 1 1 1 1 ) +( - )+( - ) 2 2 3 3 4 1 1 1 1 ? +…( ? )+( )=1- k k ?1 k ?1 k ? 2 1 k ?1 = . k?2 k?2

=(1-

∴等式仍成立. 由(1) 、 (2)可知当 n ? N +时,原等式成 立.

立,就说明命题具备了递推的基础, 例 2-3 试证:由 3 分及 5 分邮票就可以得 待证得第二步后,便具备了递推的依 据,这就可以推得 n=2,3,…时结论都 到 8 分以上的任何邮资. 分析:设原命题为 T( n )( n ≥8).
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成立.当验证了命题在 n=1 时成立以

证明:第一步 因为一张 3 分和一张 5 分

后,递推的基础就已经有了,不必再 邮票,就合成 8 分的邮资.故 T(8)成立. 验证命题对更多的自然数值成立.因 为即使能验证命题对很多个自然数 第二步 设 T( k )( k ≥8)要证 T( k +1)也成立, 对组成邮资 k 分的邮票进行分类:

都成立,而没有第二步递推的根据, ①有 5 分邮票时, 可将 5 分邮票一张用两 仍然不能证明这个命题对任何自然 数都成立. 第二步中,有的同学对“假设 n=k 时结论正确”一句中的“假设”二字往 往迷惑不解,认为既然是假设的,就 没有什么根据,那么即使挣得 n=k+1 时结论成立, 也没有什么意义.这主要 是这位同学对证明这一步的实质么 有理解.因此应该强调: 这一步实质上 是要证明命题的传递性,就是要得出 这样一个结论,如果对于自然数 k 能 使命题成立,就能保证对于它的后继 数 k+1 也能成立.事实上,在证明了 n 取第一个值 N 时命题成立之后,N 作 为这里的 k,当 k=n 时命题成立,就 不是一个假设而是一个事实了.于是 根据这一步, 可递推得对于 N+1 命题 成立.再以 N+1 作为这里的 k, 再次运 用这一步, 又可推得对于 N+2 命题也 成立.这样递推下去, 可知命题对于任 意不小于 N 的自然数都成立. (5)用数学归纳法证明一个代数恒 等式,解题前先要分析清楚等式两边 的构成情况.解这类题的关键在于, 第 例 3-1-1 用数学归纳法证明: 1-(3+x) n ( n ? N +)能被 x+2 整除. 证明: (1)n =1 时,1-(3+x)=-(x+2), 能 被 x+2 整除,命题成立. (2)假设 n =k( k ≥1)时,1-(3+x)
n

张 3 分邮票替换,则有 T( k ) ? T( k +1). ②没有 5 分邮票时, 那么其中至少有三张 3 分邮票(∵ k ≥8).可将此三张 3 分邮票用 两张 5 分邮票来替换. 则也有 T( k ) ? T( k +1). 根据第一步和第二步可知命题对任何大 于 8 的自然数都成立.

能被

x+2 整除,则可设 1-(3+x)k =(x+2)f(x)(f(x)
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二步将式子转化成与归纳假设的等 式结构相同的形式——凑假设.然后

为 k-1 次多项式),当 n=k+1 时,1-(3+x)
n ?1

应用归纳假设,经过恒等变形,得到 =1- (3+x)(3+x) 结论所需要的形式——凑结论. 右边例 2-2 [误解]中的错误在于 证明 n = k +1 时等式成立的过程应用

n

=1- (3+x)[1- (x+2) f(x)] = 1- (3+x)+(x+2) ( 3+x) f(x) = - (x+2)+(x+2) (3+x) f(x)

了差分求和方法,而没有应用数学归 = (x+2)[-1+(3+x) f(x)], 能被 x+2 整 纳假设,这样的证明使第二步不具递 除,即当 n=k+时命题成立. 推性,不符合归纳原理,即没有运用 “归纳假设”的证明不是数学归纳法. 为了便于应用归纳假设,通常要求写 由(1) (2)可知,对 n ? N +,1-(3+x)n 能被 x+2 整除. 说明:本题的归纳假设表示成

出 n = k 时命题为真的具体内容,如本 1-(3+x)k =(x+2) f(x)是一个难点. 题中的 例 3-1-2 用数学归纳法证明:当 n 为正奇

1 1 1 k 1 + + +…+ = , 数时, x n ? y n 能被 x ? y 整除. 2 2? 3 3? 4 k ? 1 k ? (k ? 1)

[误解]忽视了这一表述.因此,数学归 纳法通过两步证 明, 代替了客观上无法实现的无限次 验证,以“有 限”步骤证明涉及“无限”的问题,代 替了客观上 无法实现的“无限”问题,这正是数学 归纳法的威 力所在.我们应该发现和体会数学归 纳法的这种特 殊作用.

证明: (1) n =1 时, x n ? y n = x ? y 能被
x ? y 整除,命题成立.

(2)假设 n =2 k - 1 时( k ? N +) ,命题 成立, 即 x 2k ?1 ? y 2k ?1 能被 x ? y 整除, 则当 n =2 k +1 时, x 2k ?1 ? y 2k ?1 = x 2k ?1 ? y 2k ?1 + x 2 y 2 k ?1 - x 2 y 2 k ?1 = x 2 ( x 2k ?1 ? y 2k ?1 )- y 2 k ?1 ( x 2 ? y 2 ) = x 2 ( x 2k ?1 ? y 2k ?1 )- y 2 k ?1 ( x ? y )

还有的同学往往不会运用归纳假 ( x ? y ) 设,即 n=k 时命题成立这一条件,常 直接将 n=k+1 代入命题,便说结论成
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根据归纳假设 x 2k ?1 ? y 2k ?1 能被 x ? y

立.这样做实质上没有证明.

整除,另一项有因式( x ? y ) ,因此也能 被 x ? y 整除.

3 数学归纳法的应用 (1)用数学归纳法证明数的整 除性 有关整除的知识,例如:(1) 如果 ∴ n =2 k +1 时命题仍成立. 由(1) (2)可知,当 n 为正奇数时

x n ? y n 能被 x ? y 整除.
例 3-2 用数学归纳法证明
cos 2 x + cos 4 x +…+ cos 2nx

a 能被 c 整除,那么 a 的倍数 pa 也能
被 c 整除;(2) 如果 a , b 能被 c 整除, 那么它们的和或差 a ? b 也能被 c 整 除; (3)一个能被 6 整除,等价于这个数既 是 2 的倍数又是 3 的倍数. 在证明这类问题时,第二步一般 先将 n = k +1 代入原式,然后将原式 作适当的恒等变形(或先将 n = k +1 代入原式,再将所得的式子加上一个 适当的项, 然后减去同样的项,凑出归 纳假设;或先将 n = k +1 代入原式, 再将所得的式子中的某一项化成几 项的代数和) ,再运用数学归纳假设来 进行证明. 右边例 3-1-2 常出现以下【误 解】 : (1) n =1 时, x ? y 能被 x ? y 整 除; (2)假设 n = k ( k ≥1)时, x k ? y k 能 被 x ? y整 除,当 n = k +1 时 x k ?1 ? y k ?1

=

sin nx cos( n ? 1) x (n? N ) sin x sin x cos 2 x = cos 2 x ,原等式成立; sin x

证明: (1) n =1 时,左边= cos 2 x , 右边=

(2)假设 n = k ( k ≥1)时,
cos 2 x + cos 4 x +…+ cos 2kx
sin kx cos( k ? 1) x 成立. sin x

=

当 n = k +1 时,左边= cos 2 x + cos 4 x +… + cos 2kx + cos2(k ? 1) x
sin kx cos( k ? 1) x + cos2(k ? 1) x sin x sin kx cos( k ? 1) x ? sin x cos 2(k ? 1) x = sin x sin( 2k ? 1) x ? sin x ? sin( 2k ? 3) x = 2 sin x sin( 2k ? 1) x - 2 sin x sin( 2k ? 3) x ? sin x = 2 sin x sin( k ? 1) x cos( k ? 2) x = sin x

=

∴ n = k +1 时等式仍成立. 由(1) 、 (2)可知当 n ? N +时,原等式成 立.

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= x k ?1 ? y k ?1 + x y k + x k y - ( x yk + xk y ) = x ( x k ? y k )+ y ( x k ? y k )-

[误解]左边=

1 2 sin x

(2 cos 2 x sin x +2 cos 4 x
sin x +…+2 cos 2nx sin x )
1 [ sin 3x - sin x + sin 5 x - sin 3x 2 sin x

=

x y ( x k ?1 ? y k ?1 )
=( x + y )( x ? y )- x y ( x
k k k ?1

+…+ sin(2n ? 1) x - sin(2n ? 1) x ]

?y

k ?1

)

由假设可知上式中的每一项均能被
x ? y 整除,

∴ n = k +1 时命题成立. 由(1) (2)可知,当 n 为正奇数 时 x n ? y n 能被 x ? y 整除.

1 [ sin(2n ? 1) x - sin x ] 2 sin x 2 sin nx cos( n ? 1) x = 2 sin x sin nx cos( n ? 1) x = =右边 sin x

=

∴原等式成立 例 3-3 设平面? 内有 n 条直线,这 n 条直

[误解]中有如下几方面的错误, 一 线把平面 ? 分成互不重叠的区域个数的 是忽视了 n 为正奇数的条件,其次 k 为为正奇数时,下一个奇数应为 k +2 而不是 k +1;再有 x ? y 能被 x ? y
k k

最大值为 f (n) ,求 f (n) 的解析式,并用 数学归纳法证明之。 设平面 ? 内 k ( k ≥1)条直线把平面 ? 分

整除,而 x k ?1 ? y k ?1 能被 x ? y 整除就 成区域 没有根据了.误解仅在形式上采用了 个数的最大值为 f (k ) ,则第 k +1 条直线

数学归纳法,但在证明过程中产生了 与前 k 条 多处错误.我们在解与正奇数有关命 直线最多有 k 个交点, 因此第 k +1 条直线

题时,应采用 n =2 k - 1( k ? N )的 最多可以 形式,当 k =1 时, n =1;这样只要 被分成 k +1 段,第一段可把所在的区域

k ? N 就可以得到所有的正奇数,同 分为两部分,

时必然有 2 k - 1 的后一个奇数就是 2 k +1 了. (2)用数学归纳法证明三角恒等式 在开始证明第二步时,可以将要证得 等式右边的式子作为目标,引导我们

所以比原来的区域增加 k +1 个,即有
f (k ? 1) = f (k ) +( k +1)

∴ f (k ? 1) - f (k ) = k +1 于是 f (2) - f (1) =2 , f (3) - f (2) =3

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如何使等式的左边一步步向右边靠 拢, 以达到与右边完全一致.证明过程 中常运用有关的三角知识、三角公 式,要掌握常用的三角变化方法. 温馨提示:积化和差公式:
sin ? cos? =
1 [sin( ? ? ? ) ? sin(? ? ? ) ]; 2 1 cos? sin ? = [sin( ? ? ? ) ? sin(? ? ? ) 2

… f (n) - f (n ? 1) = n 把以上 n -1 个等式 相加得 f (n) - f (1) =2+3+…+ n ∵ f (1) =2
1 ∴ f (n) = f (1) + (2+3+…+ n ) = ( n 2 + n +2) 2

证明: (1)n =1 时,一条直线可以把平面
1 1 分成两个, 即 f (1) =2 而 ( n 2 + n +2) = 2 2

(1+1+2) =2,∴命题成立
1 (2)假设 n = k 时, f (k ) = ( k 2 + k +2) 2

];

cos? cos? =
1 [cos( ? ? ? ) ? cos( ? ? ? ) ]; 2

成 立, 当 n = k +1 时,在已有 k 条直线的情况下, 添加了 一条直线 l ,它与原来 k 条直线最多有 k 个交点,

sin ? sin ? =
1 [cos( ? ? ? ) ? cos( ? ? ? ) ]. 2

和差化积公式:
sin ? + sin ? =2 sin

; 它所在的 2 ? ?? ? ?? sin ? - sin ? =2 cos sin ; 区域分成两个区域,即增加了 k +1 区域, 2 2 1 ? ?? ? ?? ∴ f (k ? 1) = f (k ) + ( k +1) = ( k 2 + k +2) cos cos + =2 ; cos? cos? 2 2 2 1 +( k +1)= [( k 2 + k +2)+2( k +1)] cos? - cos? =- 2 1 = [( k +1) 2 +( k +1)+2]∴命题仍成立 ? ?? ? ?? sin 2 sin . 2 2 2 1 * 右边[误解]的错误在于没有用数学 由①②知,当 n∈N 时, f (n) = 2
2 cos

? ??

? ??

直线 l 最多可被分为 k +1 段,每一段都把

归纳法证明。看清题意用题目规定的 方法解题是得出正确结论的先决条 件, 不能盲目地去进行证明, 造成“文 不对题”的结果.

( n 2 + n +2)成立。 [误解]∵一条直线可以把平面分成两个区 域, 两条直线把平面 ? 最多可分成 4 各区 域, 同理第三条直线可把前面 4 各区域每 一个再分成两部分即得 8 各区域, 依次类
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推 n 条直线把平面 ? 分成区域个数的最 大值为 f (n) =2 n , 证明: (1) n =1 时, f (1) =2 1 =2,命题成 立 (2)假设 n = k 时 f (k ) =2 k 成立,则 当 n = k +1 时, 第 k +1 条直线把原来的 2 k 个区域, 每个再分为两部分, 所以分成的区域最多 为 2 ? 2 k =2 k ?1 个,∴ f (k ? 1) =2 k ?1 , 命题仍然成立. (3)用数学归纳法证明几何中问题 用数学归纳法证明一个几何问题时, 在解题的过程中常用到一些几何图 由①②知,当 n∈N *时 n 条直线把平面 ? 最多可分 成 2 n 个区域.

形的性质和计算公式,因此做题前要 [误解]中把 n =1, n =2 的结论错误地推广 回忆这些性质和公式,并在解题时灵 到 n >2 的情形。事实上,第三条直线并 活应用. 如定比分点公式: 设 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ), P ( x , y ), 且 不能把前面分得的 4 个区域每一个再分 成两部分, 因为它只可能被前面两条直线 最多分为三段,因此区域也只能增加三 个,即最多把平面 ? 分为 7 个区域,而不 是 8 个, 因而 f (k ? 1) =2 f (k ) 就不正确了. 例 3-4 在数列?an ? 中, a1 =1,前 n 项和为

? ? R , ? ? ? 1),则 P 2 ( 1 P = ? PP
x? y ? ?y 2 x1 ? ?x2 ,y? 1 . 1? ? 1? ?

下面讲一个定比分点公式的应用的 例子: 在直角坐标系中有二射线 AB、 AC 组 成∠BAC,已知∠ BAC<180 ,在
0

Sn , 且 S n ,S n?1 , 与 2 S1 依次成等差数列,
(1)求 S 2 、 S 3 之值; (2)猜测 S n 的表达 式,并用数学归纳法证明之.
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∠BAC 的内部有 n 个点 P 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ), …,P n ( xn , yn ),且

解: (1)S1 = a1 =1,且 S n ,S n?1 ,与 2 S1 依 次成等差数列
1 则 2 S n?1 = S n +2 S1 = S n +2,S n?1 = ( S n +2) 2

Pn Qn 1 = .试证点 Qn Pn ?1 n
x ? x 2 ? ? ? x n y1 ? y 2 ? ? ? y n Qn( 1 , n n
)也一定在∠BAC 的内部. 证明:(1) 当 n =1 时,Q1 与 P 1 重合, 结论成立. (2) 假设 n = k 时,结论成立,即点 Qk(

∴ S2 =

3 7 , S3 = . 2 4

21 ? 1 3 22 ? 1 (2) S1 =1= 1?1 , S 2 = = 2?1 , 2 2 2
2n ?1 7 23 ? 1 S 3 = = 3?1 ,∴猜测 S n = n ?1 . 4 2 2

x1 ? x 2 ? ? ? x k y1 ? y 2 ? ? ? y k , k k

证明: (1)当 n =1 时,

21 ? 1 =1,公式成立. 21?1

)位于∠BAC 内部,那么点 Qk 与点 1 P k ?1 所连线段上 ? ? 的内分点 M 也 k 必在∠BAC 的内部,由定比分点公 式,点 M 的横坐标为

(2)假设 n = k ( k ≥1)时,命题成立,即
2k ? 1 S k = k ?1 成立. 2

x1 ? x2 ? ? ? xk 1 ? xk ?1 k k xm ? 1 1? k
=

当 n = k +1 时,∵2 S k ?1 = S k +2,
1 1 2k ? 1 ( S k +2)= ( k ?1 +2) 2 2 2

∴ S k ?1 =

x1 ? x 2 ? ? ? x k ?1 . k ?1 y1 ? y 2 ? ? ? y k ?1 . k ?1

2k ? 1 2 ? 2 k ? 1 2 k ?1 ? 1 = k +1= = . 2 2k 2k

同理, y m =

∴ n = k +1 时公式仍成立 由 (1) (2) 可知, 当 n ? N +时,S n = 成立.
2n ?1 2 n ?1

显然,点 M 就是点 Qk ?1 ,故点 Qk ?1 定 在∠BAC 的内部,即是说当 n = k +1 时,结论也成立.

综合(1)、(2),对于任意自然数 n ,点 [误解](1)S1 = a1 =1,且 S n ,S n?1 ,与 2 S1 Qn 都在∠BAC 的内部. 依次成等差数列,
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1 ∴2 S n?1 = S n +2 S1 = S n +2,S n?1 = ( S n +2) . 2 中归纳 (是不完全归纳) 出一个猜想,

解决这类问题需要从有限情形

然后再用数学归纳法加以证明.另外 本题是一个探索性问题, “观察——归 纳——猜想——证明”是处理这一问 题的一个完整的思维过程.

1 3 1 3 7 ∴ S 2 = (1+2)= , S 3 = ( +2)= . 2 2 2 2 4

(2)∵ S n 的前三项分别是 1,

3 7 , 2 4

2n ?1 ∴猜测 = . S n 温馨提示:证明中把错误的关系 2 n ?1

式作为推论的基础,形式上完成了 “数学归纳法”的步骤,但递推关系错 ∵2 S n?1 = S n +2, 了, 因此结论也不正确.在寻找递推关 系时,不能仅以两具体的数量关系来 代替全部量间的数量关系,而必须从 ∴2( S n?1 -2)= S n -2. 设 bn = S n -2,∴ b1 = S1 -2=-1 且 2 bn ?1 = bn ,

n 的若干特殊值之间关系去探求具有
本质意义的真实关系. ∴

bn ?1 1 = . bn 2

1 ∴数列 ?bn ? 是以-1 为首项,公比为 的 2

等比数列 ∴ bn =-(
1 ) n ?1 . 2

n 1 n ?1 2 ? 1 ∴ S n = bn +2=2-( ) = n ?1 成立. 2 2

(4)用数学归纳法证明有关数列问 题. 数列可以看作一个定义域为自然数 集 N(或它的有限子集{1,2,…,n}) 的函数当自变量从小到大依次取值 时对应的一列函数值.用数学归纳法 证明关于数列的命题是一种顺理成

例 3-4 [误解]的第一小题求 S 2 、S 3 之值是 正确的,但在猜测出 S n =
2n ?1 后没有按 2 n ?1

题目要求用数学归纳法去证明, 因此是错 误的.本题是一种探索性问题.为了使猜测 更有可靠性,对于由 n =1,2,3 猜出的结论 还可对 n =4,5 作一些检验,如果不再继续 适合,那应该重新分析,得出正确结论.
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章的方法,因此,在历届高考的数列 试题中大都设置一问用数学归纳法 证明某个结论.先计算前几项, 再变形 (或拆或补) ,是前几项具有相同的 形式,进而猜想通项的结构,最后用 数学归纳法证明,即“观察——归纳 ——猜想——证明”.这也是数列中常 见的题型.在推正 n=k+1 成立时常用 到数列的数列的性质和计算公式,下 面把等差、等比数列的几个重要的公 式列举出来: ① 通项公式: 等差:

an = a1 ? (n ? 1)d = am ? (n ? m)d ;
等比: an = a1q n?1 = am q n?m . ②通项的性质: m, n, p, q ? N ? ,且
m ? n ? p ? q ,则

等差: an + a m = a p + aq ; 等比: an a m = a p aq . ③前 n 项和公式: 等差:

S n = n a1 +
等比:

n(n ? 1)d n( a1 ? a n ) = ; 2 2

?na1 , (q ? 1) ? ? a (1 ? q n ) a1 ? a n q ? (q ? 1) . Sn = ? 1 1? q ? 1? q

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如是否存在常数 a 、 b 、 c 使等式 1 ? (n 2 ? 12 ) +2 (n 2 ? 2 2 ) +…+ n(n 2 ? n 2 ) = a n 4 +
bn 2 + c 对一切正整数 n 成立?证明你

的结论. 解析:分别用 n =1、2、3 代入解方程 组
1 ? ?a ? 4 ?a ? b ? c ? 0 ? 1 ? ? ?16a ? 4b ? c ? 3 解得 ?b ? ? 4 ? ?81a ? 9b ? c ? 18 ? ?c ? 0 ? ?

下面用数学归纳法证明: (1) 当 n =1 时,有上可知等式成立; (2) 假设当 n = k 时等式成立,即 1( k 2 ? 12 )+ 2( k 2 ? 2 2 )+…+ k (k 2 ? k 2 ) = a k 4 + bk 2 +

c
则当 n = k +1 时,左 =1 ? [(k ? 1) 2 ? 12 ) +2[ (k ? 1) 2 ? 2 2 ] +…+

k[(k ? 1) 2 ? k 2 ] +( k +1) [(k ? 1) 2 ? (k ? 1) 2 ]
=1( k 2 ? 12 )+2( k 2 ? 2 2 )+…+ k (k 2 ? k 2 ) + 1(2 k +1)+2(2 k +1) +…+ k (2 k +1) =
1 4 1 k +(- ) k 2 + k ( k +1)+2(2 k +1) 4 4
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+…+ k (2 k +1) =
1 1 ( (k ? 1) 4 - ( k +1)2. 4 4

∴当 n = k +1 时,等式也成立. 由(1) (2)得等式对一切的 n∈N + 均成立. 点评:本题是探索性命题,它通过观 察——归纳——猜想——证明这一完 整的思路过程探索和发现问题,并证 明所得结论的正确性,这是非常重要 的一种思维能力. 先计算出前几项 S1 , S 2 , S 3 ,再变 形(拆、补)使

S1 , S 2 , S 3 具有相同的形式,进而
猜想 S n 的结构, 最后用数学归纳法证 明,即“观察——归纳——猜想——证 明”.这是数列问题中常见的题型,

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