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2013高考数学数列专题复习


高三数学第二轮专题复习--数列 一、本章知识结构:

正 整

等 差 数 列

等差数列的 性质

有 关 应 用

数 列 的 概 念

通项及 前 n 项和

数 集
等 比 数 列 等比数列的 性质

、高考要求 1. 理解数列的有关概念,了解递推公式是给出数列的一种方法,并能根据递推公式写出数列的前 n 项. 2. 理解等差(比)数列的概念,掌握等差(比)数列的通项公式与前 n 项和的公式. 并能运用这些知识 来解决一些实际问题. 3. 了解数学归纳法原理,掌握数学归纳法这一证题方法,掌握“归纳—猜想—证明”这一思想方法. 三、热点分析 1.数列在历年高考中都占有较重要的地位,一般情况下都是一个客观性试题加一个解答题,分值占整 个试卷的 10%左右.客观性试题主要考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前 n 项和公式、极限的 四则运算法则、无穷递缩等比数列所有项和等内容,对基本的计算技能要求比较高,解答题大多以考查数 列内容为主,并涉及到函数、方程、不等式知识的综合性试题,在解题过程中通常用到等价转化,分类讨 论等数学思想方法,是属于中高档难度的题目. 2.有关数列题的命题趋势 (1)数列是特殊的函数,而不等式则是深刻认识函数和数列的重要 工具,三者的综合求解题是对基础和能力的双重检验,而三者的求证题所显现出的代数推理是近年来高考 命题的新热点 (2)数列推理题是新出现的命题热点.以往高考常使用主体几何题来考查逻辑推理能力, 近两年在数列题中也加强了推理能力的考查。 (3)加强了数列与极限的综合考查题 3.熟练掌握、灵活运用等差、等比数列的性质。等差、等比数列的有关性质在解决数列问题时应用非 常广泛,且十分灵活,主动发现题目中隐含的相关性质,往往使运算简洁优美.如 a2a4+2a3a5+a4a6=25,可 以利用等比数列的性质进行转化:a2a4=a32,a4a6=a52,从而有 a32+2aa53+a52=25,即(a3+a5)2=25. 4.对客观题,应注意寻求简捷方法 解答历年有关数列的客观题,就会发现,除了常规方法外,还可 以用更简捷的方法求解.现介绍如下: ①借助特殊数列. ②灵活运用等差数列、等比数列的有关性 质,可更加准确、快速地解题,这种思路在解客观题时表现得更为突出,很多数列客观题都有灵活、简捷 的解法 5.在数列的学习中加强能力训练 数列问题对能力要求较高,特别是运算能力、归纳猜想能力、转化 能力、逻辑推理能力更为突出.一般来说,考题中选择、填空题解法灵活多变,而解答题更是考查能力的集 中体现,尤其近几年高考加强了数列推理能力的考查,应引起我们足够的重视.因此,在平时要加强对能力 的培养。 6.这几年的高考通过选择题,填空题来着重对三基进行考查,涉及到的知识主要有:等差(比)数 列的性质. 通过解答题着重对观察、归纳、抽象等解决问题的基本方法进行考查,其中涉及到方程、不等

1

式、函数思想方法的应用等,综合性比较强,但难度略有下降. 四、复习建议 1. 对基础知识要落实到位,主要是等差(比)数列的定义、通项、前 n 项和. 2. 注意等差(比)数列性质的灵活运用. 3. 掌握一些递推问题的解法和几类典型数列前 n 项和的求和方法. 4. 注意渗透三种数学思想:函数与方程的思想、化归转化思想及分类讨论思想. 5. 注意数列知识在实际问题中的应用,特别是在利率,分期付款等问题中的应用. 6. 数列是高中数学的重要内容之一,也是高考考查的重点。而且往往还以解答题的形式出现,所以我们 在复习时应给予重视。近几年的高考数列试题不仅考查数列的概念、等差数列和等比数列的基础知识、 基本技能和基本思想方法,而且有效地考查了学生的各种能力。 五、典型例题

数列的概念与性质
【例1】 已知由正数组成的等比数列 ?a n ?,若前 2 n 项之和等于它前 2 n 项中的偶数项之和的 11 倍,第 3 项与第 4 项之和为第 2 项与第 4 项之积的 11 倍,求数列 ?a n ?的通项公式. 解:∵q=1 时 S2n ? 2na1 , S偶数项 ? na1 又 a1 ? 0 显然 2na1 ? 11na1 ,q≠1 ∴ S 2n ?
a1 (1 ? q 2n ) a q(1 ? q 2n ) ? S 偶数项 ? 1 1? q 1? q 2

依题意

a1 (1 ? q 2n ) a q(1 ? q 2n ) 1 ? 11? 1 ;解之 q ? 2 1? q 10 1? q

又 a3 ? a4 ? a1q 2 (1 ? q), a2a4 ? a12q 4 , 依题意 a1q2 (1 ? q) ? 11a12q4 ,将 q ?
1 a n ? 10? ( ) n?1 ? 102?n 10 1 代入得 a1 ? 10 10

【例2】 等差数列{an }中, a3 ? a123 =30, a33 =15,求使 an≤0 的最小自然数 n。
?a ? 2d ? 30 ?a ? 2d ? ?30 ?a ? 2d ? 30 ?a ? 2d ? ?30 解:设公差为 d,则 ? 1 或? 1 或? 1 或? 1 ?a1 ? 122d ? 30 ?a1 ? 122d ? 30 ?a1 ? 122d ? ?30 ?a1 ? 122d ? ?30 ?a ? 30 解得: ? 1 ? a33 = 30 与已知矛盾 ?d ? 0
?a1 ? ?31 ? 1 ? a33 = - 15 与已知矛盾 ?d ? 2 ?

或?

2

?a1 ? 31 ? 或? 1 ?a33 = 15 ?d ? ? 2 ?

?a ? ?30 或? 1 ? a33 = - 30 与已知矛盾 ?d ? 0

∴an = 31+(n - 1) ( ?

1 n ?1 ) ? 31 ? ? 0 ? n≥63 2 2

∴满足条件的最小自然数为 63。 【例3】 设等差数列{a n }的前 n 项和为 S n ,已知 S4=44,S7=35 (1)求数列{a n }的通项公式与前 n 项和公式; (2)求数列 {| a n |} 的前 n 项和 Tn。 解: (1)设数列的公差为 d,由已知 S4=44,S7=35 可得 a1=17,d=-4 ∴a n =-4n+21 (n∈N),S n =-2n +19 (n∈N). (2)由 a n =-4n+21≥0 得 n≤
2 2

21 , 故当 n≤5 时,a n ≥0, 当 n≥6 时, a n ? 0 4
2

当 n≤5 时,T n =S n =-2n +19n 当 n≥6 时,T n =2S5-S n =2n -19n+90. 【例4】 已知等差数列 ?a n ? 的第 2 项是 8,前 10 项和是 185,从数列 ?a n ? 中依次取出第 2 项,第 4 项, 8 项, 第 ??, 2 n 项, 第 依次排列一个新数列 ?bn ? , 求数列 ?bn ? 的通项公式 b n 及前 n 项和公式 S n 。
?a 2 ? a1 ? d ? 8 ?a ? 5 ? 解:由 ? 得 ? 1 10 ? 9 ?d ? 3 ?S10 ? 10a1 ? 2 d ? 185 ?

∴ a n ? a1 ? (n ? 1)d ? 5 ? 3(n ? 1) ? 3n ? 2
S n ? b1 ? b2 ? ?? ? bn ? 2n ? 3

∴ bn ? a2n ? 3 2 n ? 2 ·

2 n?1 ? 2 ? 2n ? 3 2 n?1 ? 6 · 2 ?1

【例5】 已知数列 ?an ? : 1, ? , ?
1 2 2 1 2 3

2 3 1 2 100 ? ,, ? ? ??? , ? 3 3 100 100 100

①求证数列 ?an ? 为等差数列,并求它的公差 ②设 bn ?
1 ?n ? N ? ,求 b1 ? b2 ? ? ? bn ? ? 的和。 an an?1

1 2 n 1? 2 ??? n 解:①由条件, a n ? ? ? ? ? ? ? n n n 2

n?1 ? n ? n ?1 2 ? n 2

∴ a n?1 ?

n?2 n ? 2 n ?1 1 ;∴ an?1 ? an ? ? ? ?n ? 1? 2 2 2 2 1 2

故 ?an ? 为等差数列,公差 d ?

3

② bn ?

1 1 4 ? ? n ? 1 n ? 2 ?n ? 1??n ? 2 ? ?n ? 1??n ? 2? · 2 2 4

又知

1 1 n ? 2 ? n ?1 1 ? ? ? n ? 1 n ? 2 ?n ? 1??n ? 2? ?n ? 1??n ? 2?

1 ? ? 1 ∴ bn ? 4? ? ? ? n ?1 n ? 2 ?
1 ? ?1 1? ?1 1? ? 1 b1 ? b2 ? ?bn ? ? ? 4? ? ? ? 4? ? ? ? ? ? 4? ? ? ?? 2 3? ?3 4? n ?1 n ? 2 ? ? ? 1 ? ?1 ? 4? ? ? ?? ?2 n?2?

1 ? ?1 ∴ b1 ? b2 ? ? ? bn ? ? ? lim 4? ? ??2 n?? ? 2 n?2?

【例6】 已知数列 1,1,2??它的各项由一个等比数列与一个首项为 0 的等差数列的对应项相 加而得到。求该数列的前 n 项和 Sn; 解:(1)记数列 1,1,2??为{An},其中等比数列为{an},公比为 q; 等差数列为{bn},公差为 d,则 An =an +bn (n∈N) 依题意,b1 =0,∴A1 =a1 +b1 =a1 =1 ① A 3 =a 3 +b 3 =a 1 q2 +b 1 +2d=2 ③ 由①②③得 d=-1, q=2, ∴ an ? 2 n?1 , bn ? 1 ? n A 2 =a 2 +b 2 =a 1 q+b 1 +d=1 ②

S n ? A1 ? A2 ? … ? An ? a1 ? a 2 ? … ? a n ? b1 ? b2 ? … ? bn

∴ ? (1 ? 2 ? … ? 2 n?1 ) ? [(1 ? 1) ? (1 ? 2) ? … ? (1 ? n)] n(1 ? n) ? 2n ? 1 ? 2 【例7】 已知数列 ?a n ? 满足 an+Sn=n,(1)求 a1,a2,a3,由此猜想通项 an,并加以证明。 解法 1:由 an+Sn=n, 当 n=1 时,a1=S1,?a1+a1=1,得 a1=

1 2 3 4
7 8

当 n=2 时,a1+a2=S2,由 a2+S2=2,得 a1+2a2=2,?a2=

当 n=3 时,a1+a2+a3=S3,由 a3+S3=3,得 a1+a2+2a3=3?a3= 猜想, a n ? 1 ? 当 n=1 时,a1=1-

1 (1)下面用数学归纳法证明猜想成立。 2n

1 1 ? ,(1)式成立 2 2
1 2k

假设,当 n=k 时,(1)式成立,即 ak=1-

成立,

4

则当 n=k+1 时,ak+1+Sk+1=k+1,Sk+1=Sk+ak+1 ?2ak+1=k+1-Sk 又 ak=k+Sk

1 1 1 1 ?2ak+1=1+ak ?ak+1= (1 ? ak ) ? (1 ? 1 ? k ) ? 1 ? k ?1 2 2 2 2

即当 n=k+1 时,猜想(1)也成立。 所以对于任意自然数 n, a n ? 1 ?

1 都成立。 2n

解法 2:由 an+Sn=n 得 a n ?1 ? S n ?1 ? n ? 1 ,两式相减得: a n ? a n ?1 ? S n ? S n ?1 ? 1 , 即 an ?
1 1 a n?1 ? 1 ,即 a n ? 1 ? ?a n?1 ? 1? ,下略 2 2

【例8】 设数列 ?a n ? 是首项为 1 的等差数列,数列 ?bn ? 是首项为 1 的等比数列,又
1 2 7 。(1)求数列 ?cn ? 的通项公式与前 n 项和公式; cn ? an ? bn (n ? N ),且c2 ? ,c3 ? ,c4 ? 6 9 54

(2)当 n ? 5时,试判断 cn 的符号(大于零或小于零),并给予严格证明。

?b 解:(1)设数列 ?an ? 的公差为d, n ? 的公比为 q
? a n ? a1 ? (n ? 1)d ? 1 ? (n ? 1)d,bn ? q n?1

c n ? a n ? bn ? [1 ? (n ? 1)d ] ? q n?1 (n ? N )
1 ? ?1 ? d ? q ? 6 ? 1 ? ? ?d ? 2 ? 2 ? ? 由条件得 ?1 ? 2d ? q 2 ? ? ? 9 ? ?q ? 4 ? ? 3 ? ? 7 ?1 ? 3d ? q 3 ? ? 54 ?

1 4 1 4 ? c n ? [1 ? (n ? 1)] ? ( ) n?1 ? (n ? 1) ? ( ) n?1 (n ? N ) 2 3 2 3 1 4 4 4 S n ? [(1 ? 1) ? (2 ? 1) ? ? ? (n ? 1)] ? [( ) 0 ? ( ) ? ? ? ( ) n?1 ] 2 3 3 3
4 ( ) n ?1 1 n(n ? 1) 1 4n ? [ ? n] ? 3 ? n(n ? 3) ? n ?1 ? 3 (n ? N ) 4 2 2 4 3 ?1 3

(2) c5 ? 3 ? ( ) 4 ? 0,c6 ?

4 3

7 4 5 ? ( ) ? 0, 猜想n ? 5,cn ? 0 ? 2 3

证明:①当 n=5,c5<0 命题成立
5

②假设当 n ? k (k ? 5)时,ck ? 0,即 (k ? 1) ? ( ) k ?1 ? 0
c k ?1 ? 1 4 1 4 1 1 4 1 44 (k ? 2) ? ( ) k ? [ (k ? 1) ? ( ) k ?1 ] ? [ ? ( ) k ?1 ] ? ? 5 ? 0 2 3 2 3 2 3 3 2 3

1 2

4 3

当 n ? k ? 1时ck ?1 ? 0 也成立 由①,②对一切 n ? 5,都有 cn<0。

【例9】

?a n ?是等差数列, ?bn ?满足 bn 数列

(1)若 ?a n ? ? an ? an?1 ? an?2 (n ? N ),S n 为?bn ? 的前 n 项和。
bn a n?3 ; 4d

的公差等于首项 a1,证明对于任意自然数 n 都有 S n ?

(2)若 ?an ? 中满足 3a5 ? 8a12 ? 0 ,试问 n 多大时,Sn 取得最大值?证明你的结论。 解:(1)当 n ? 1时, S1 ? b1 假设当 n ? k时,S k ? 则 S k ?1 ? S k ? bk ?1 ?
? b1a4 b1 (a1 ? 3d ) ? ? b1 ,∴原命题成立 4d 4d

bk a k ?3 成立 4d

bk ak ?3 ? bk ?1 ? 4d ak ? ak ?1ak ?2 ak ?3 ? bk ?1 ? 4d ? 4d 4d

ak bk ?1 ? bk ?1 4d bk ?1 (ak ? 4d ) bk ?1ak ?4 ? ? 4d 4d 4d bn an?3 4d

?当n ? k ? 1时命题也成立,故对任 n ? N有S n ? 意

(2)由 3a5 ? 8a12,有3a5 ? 8(a5 ? 7d )? a5 ? ?
1 a16 ? a5 ? 11d ? ? d ? 0 5 a17 ? a5 ? 12d ? ? 56 4 d ? 12d ? d ? 0 5 5

56 d 5

b1 ? b2 ? ? b14 ? 0 ? b17 ? b18 ? b15 ? a15 a16 a17 ? 0,b16 ? a16 a17 a18 ? 0 ? S14 ? S13 ? ? ? S1,S14 ? S15,S15 ? S16

6 9 又a15 ? a5 ? 10d ? ? d,a18 ? a5 ? 13d ? d 5 5
? a15 ?| a18 |,? b15 |? b16 , b15 ? b16 ? 0? S16 ? S14 |

故 S n 中 S16 最大 【例10】 已知数列 ?a n ? 的前 n 项和为 Sn,满足条件 lg S n ? (n ? 1) lgb ? lg(b n?1 ? n ? 2) ,其中 b>0 且 b ? 1。(1)求数列 ?a n ? 的通项 an;(2)若对 4 ? n ? N时,恒有a n ?1 ? a n ,试求 b 的取值范围。

6

解:(1)由已知条件得 S n ? b 2 ?

n?2 b n?1 (1 ? b)n ? 3b ? 2 b n?1

当 n=1 时, a1 ? S1 ? b 2 ? 1;当n ? 2时,an ? S n ? S n?1 ?
?b 2 ? 1 ( n ? 1) ? 故 a n ? (1 ? b)n ? 3b ? 2 ( n ? 2) ? b n ?1 ?

(2)由 an?1 ? an,化简得(b ? 1)(b ?
解得,b ? 1或b ? ?1 ? n ?1 2 ? 1? n?3 n?3

n ?1 ) ? 0 (n ? 4) n?3

2 ? 1? 2 ? 3 n?3 ?b ? 3 故0 ? b ? 1或b ? 3为所求

【例11】 两个数列 ?an ? 、 ?bn ? 中, n ? 0,bn ? 0,且an,bn 2,an?1 成等差数列, bn , an?1,bn?1 成 且 a
2 2

等比数列。(1)证明 ?bn ? 是等差数列;(2)若 a 2 ? 3a1 ? 3,求 lim
?2b 2 ? an ? an?1 ?2b 2 ? an ? an?1 ? ? 解:(1) ? n ?? n (an ? 0,bn ? 0) 2 2 2 ?an?1 ? bn bn?1 ?an?1 ? bn ? bn?1 ? ?

b1 ? b2 ? ? ? bn 的值。 n ?? an

? 2bn 2 ? bn?1bn ? bnbn?1 ? 2bn ? bn?1 ? bn?1 ??bn ? 是等差数列

(2)又 a2 ? 3a1 ? 3 ? a1 ? 1,a2 ? 3 ? b1 ? 2 , 又 b1b2 ? a2 ? b2 ?
? 公差d ?

3 2 2

2 2 2 2 ,? bn ? 2 ? (n ? 1) ? ? n? 2 2 2 2 1 ? a n ? bn bn ?1 ? n(n ? 1) 2 2n ? 2 n(n ? 1) 2 4 ? 1 2 n(n ? 1) 2

b ? b ? ? ? bn ? lim 1 2 ? lim n ?? n ?? an

数列的概念与性质练习
一、选择题 1.设 s?n? ?
1 1 1 1 1 ? ? ? ? ?? 2 , 则 ( n n ?1 n ? 2 n ? 3 n

D )

7

A. s?n?共有n项,当n ? 2时,s?2? ?

1 1 ? 2 3 1 1 1 ? ? 2 3 4 1 1 ? 2 3 1 1 1 ? ? 2 3 4

B. s?n?共有n ? 1项,当n ? 2时,s?2? ?

C. s?n?共有n 2 ? n项,当n ? 2时,s?2? ?

D. s?n?共有n 2 ? n ? 1项,当n ? 2时,s?2? ?

2.等比数列 ?an ? 中, a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? 8,a6 ? a7 ? a8 ? a9 ? a10 ? 56 ,那么
a11 ? a12 ? a13 ? a14 ? a15 的值为(

C ) C. 392 D. 448 C )

A. 56 7

B. 56 2

3.11.等比数列 {a n } 中,a 3 =7,前三项之和 S 3 =21,则公比 q 的值是( (A) 1 (B) 1 2

(C) 1 或 -

1 2

(D) -1 或

1 2

4.首项为 1,公差不为零的等差数列中的 a3 ,a4 ,a6 是一个等比数列的前 3 项,则这一等 比数列的第四项为( B ) A.8 B.-8
2

C.-6

D.不确定

5.已知数列 ?an ? 的前 n 项和 sn ? 2n ? 3n ,那么这个数列中的奇数项依照原来的顺序构 成的数列的通项公式是( B ) A. bn ? 8n ? 9?n ? N ? C. bn ? 4n ? 5?n ? N ? B. bn ? 8n ? 1?n ? N ? D. bn ? 4n ? 3?n ? N ?

6.数列{an}的前 n 项和 Sn=3n-2n2 (n∈N),当 n>2 时,就有( D ) A.Sn>na1>nan 7.有下列命题: ①x= ab ( x ? 0) 是 a, x, b 成等比数列的充分但不必要条件 ②某数列既是等差数列又是等比数列,则这个数列一定是常数列 ③已知 Sn 表示数列{an}的前 n 项和,且 S n ?S n?1 ? a n ( n ?N) ,那么{an}一定是等比数列 ④设 2 a ? 5,2 b ? 15,2 c ? 45 ,则这三个数 a, b, c 成等差数列 其中正确的命题序号是: D ) ( A.②④ B.①②③ C.①③ D.①②④ B.Sn< nan<na1 C.na1<Sn<nan D.nan<Sn<na1

8

8.若两个等差数列 ?an ? ?bn ? 的前 n 项和 An 和Bn 满足 、 A.
7 4

a An 7n ? 1 (n?N),则 11 的值等于( C ) ? b11 Bn 4n ? 27

B.

3 2

C.

4 3

D.

78 71

9.在等差数列 ?a n ? 中,3(a3+a5)+2(a7+a10+a13)=24,则此数列前 13 项之和为( A ) A.26 B.13 C.52 D.156

10.等差数列 ?a n ? , a1 =-5,它的前 11 项的算术平均值为 5。若从中抽去一项,余下 10 项的算术平均值为 4,则抽去的是( D ) A. a8 二、填空题 1.已知数列 ?an ? 的前 n 项和的公式为 S n ? 2n 2 ? 3n ? 1,则通项公式为 。 an ? ?
?? 2?n ? 1? ?4n ? 5?n ? 2?

B. a9

C. a10

D. a11

2.数列{a n }的通项公式为 an ?

1 前 n 项和为 S n ,若 lim aS n ? 1 n ?? (2n ? 1)(2n ? 3)

(a 为实常数),则 a 的值等于

。3

三、解答题
. 1. 数列{a n }的前n项和S n ? 2 n ? P( P ∈ R),数列{bn }满足bn ? log2 a n , 若{an }是等比数列

(1) 求P的值及通项 a n ; (2) 求 lim
n ??

a1b1 ? a 2 b2 ? … ? a n bn (n ? 1· n )2

;

(3) 求和Tn ? ?b1 ?2 ? ?b2 ?2 ? ?b3 ?2 ? ?b4 ?2 ? …? ?b2n?1 ?2 ? ?b2n ?2 解: (1) a n ? S n ? S n?1 ? 2 n ? 2 n?1 ? 2 n?1 (n ≥ 2)
∵{a n }是等比数列,∴由 a n ?1 ? 2 得公比q ? 2 an

∵a 2 ? 2 ? a1 q, ∴ a1 ? 1 又 a1 ? S1 ,∴ a1 ? S1 ? 21 ? P, ∴1 ? 2 ? P, P ? ?1. ∴a n ? 2 n ?1 (n ∈ N ), P ? ?1

(2)
? bn ? log2 a n , ∴bn ? log2 2 n?1 ? n ? 1

设 Qn ? a1b1 ? a 2 b2 ? … ? a n bn , 则 Qn ? 1 2 ? 2 2 2 ? 3 2 3 ? … ? (n ? 2· n?2 ? (n ? 1· n?1 , ① · · · )2 )2
9

2Qn ? 1 2 2 ? 2 2 3 ? 3 2 4 ? …? (n ? 2· n?1 ? (n ?1· n ② · · · )2 )2
②-①得
Q n ? ?2 ? 2 2 ? 2 3 ? … ? 2 n ?1 ? (n ? 1· n )2 2 ? 2 n ?1 2 · ? (n ? 1· n )2 1? 2 ? 2 ? 2 n ? (n ? 1· n )2 ?? ? (n ? 2· n ? 2 )2
a1b1 ? a 2 b2 ? … ? a n bn (n ? 1· n )2 (n ? 2· n ? 2 )2 (n ? 1· n )2

∴ lim
n??

? lim
n??

? 1.

(3)当 n=2k(k∈N)时,
Tn ? [(b1)2 ? (b2 )2 ] ? [(b3 )2 ? (b4 )2 ] ? … ? [(b2k ?1)2 ? (b2k )2 ] ? (b1 ? b2 )(b1 ? b2 ) ? (b3 ? b4 )(b3 ? b4 ) ? … ? (b2k ?1 ? b2k )(b2k ?1 ? b2k )
? ?(b1 ? b2 ? b3 ? b4 ? … ? b2 k ?1 ? b2 k ) ? ?(1 ? 2 ? … ? 2k ? 1) (2k ? 1)(1 ? 2k ? 1) ?? ? ?2k 2 ? k . 2

当 n=2k-1 (k∈N)时,
Tn ? [(b1 ) 2 ? (b2 ) 2 ] ? [(b3 ) 2 ] ? … ? [(b2k ?3 ) 2 ? (b2k ?2 ) 2 ] ? (b2k ?1 ) 2

= -[1 + 2 + 3 + 4 + … + (2k - 3)] + (2k - 2)2 ? 2k 2 ? 3k ? 1

?? 2k 2 ? k (n ? 2k ,k ∈ N ) ? ∴Tn ? ? ?2k 2 ? 3k ? 1 (n ? 2k ? 1, k ∈ N ). ?

2.数列 ?a n ? 的前 n 项和为 Sn, 已知 ?S n ? 是各项为正数的等比数列。试比较 证明你的结论。 解:依题意, 可设 S n ? S1q n?1 ?其中S1 ? 0, q ? 0? 则 S n ?1 ? S1q n ? 2 ?n ? 2? 从而有 an ? ?
当n ? 1时 ?S1 ? 0 ? ?S n ? S n?1 ? S1q n?2 ?q ? 1? 当n ? 2时 ?

a n ? a n?2 与a n?1 2

的大小,

(Ⅰ)当 q = 1 时, a2 = a3 = ? = 0

10



a1 ? a3 a ? a n?2 ? a2 , n ? an?1 ?n ? 2? 2 2
a1 ? a3 S ? S1q?q ? 1? ? a2 ? 1 ? S1 ?q ? 1? 2 2

(Ⅱ)当 q > 0 且 q ? 1 时, (1)当 n = 1 时,

2 1 ?? 3? 3? ? S1 ?? q ? ? ? ? ? 0 2 ?? 2? 4? ? ?



a1 ? a3 ? a2 2
a n ? a n? 2 S q n?2 ?q ? 1? ? S1q n ?q ? 1? ? an?1 ? 1 ? S1q n?1 ?q ? 1? 2 2

(2)当 n ? 2时,
?

1 3 S1q n?2 ?q ? 1? 2

a n ? a n?2 ? an?1 2 a ? a n?2 (ii)若 0 < q < 1 时, 则 n ? an?1 2
(i)若 q > 1 时, 则
3a ? 4 16 ,且n ? 2时,a n ? n ?1 3 7 ? a n ?1

中,a 7 ? 3.已知数列 ?a n ?

(1)分别求出 a8 ,a9 ,a10 的值 。 (2)当 n?9 且 n 是自然数时,试比较 a n 与 2 的大小,并说明理由。
3a ? 4 解: (1) a8 ? 7 ? 7 ? a7 3? 16 ?4 4 3 ? 12 ; 同理:a9 ? ?8,a10 ? ? 16 3 7? 3

(2) a n ? 2 ?

3a n ?1 ? 4 5?a n ?1 ? 2 ? ?2 ? 7 ? a n ?1 7 ? a n ?1

用数学归纳法证明:当 ? 9时,a n ? 2 n
当n ? 9时 a9 ? ?8 ? 2 ? 命题成立

假设n ? k (k ? 9)时a k ? 2
那么当 n ? k ? 1时

a k ?1 ? 2 ?

5(a k ? 2) ? 0 (? a k ? 2, a k ? 2 ? 0 7 ? a k ? 0) ? 7 ? ak

n ? k ? 1 时命题成立

综上所述,对一切n ? 9 自然数a n ? 2成立。

11

4.已知 S n ? 1 ?

1 1 1 ? ? ? ? (n ? N ) , f (n) ? S 2n?1 ? S n?1 2 3 n

⑴比较 f (n ? 1) 与 f (n) 的大小。 ⑵试确定实数 m 的取值范围, 使得对于一切大于 1 的自然数 n , 不等式 f (n) ? [logm (m ? 1)]2 ? 恒成立。 解: (1)∵f(n+1)-f(n)=S2n+3-Sn+2-(S2n+1-Sn+1)=?= >
1 1 1 =0, ? ? 2n ? 4 2n ? 4 n ? 2

11 [log(m?1) m] 2 20

1 1 1 ? ? 2n ? 2 2n ? 3 n ? 2

∴f(n+1)>f(n)。 (2)∵f(n+1)>f(n),∴当 n>1 时,f(n)的最小值为 f(2)=S5-S3= ∴必需且只须 [logm (m ? 1)]2 ?
9 20

9 11 ?????①, [log( m?1) m]2 < 20 20

?m ? 0且m ? 1 由? 得 m>1 且 m≠2 ?m ? 1 ? 0且m ? 1 ? 1

令 t= [logm (m ? 1)]2 则不等式①等价于 ?

?t ? 0 ? 11 9 ,解得:0<t<1 ?t ? 20t ? 20 ?

即 0< [logm (m ? 1)]2 <1,即-1<logm(m-1)<0 或 0<logm(m-1)<1, 解之得:
1? 5 ? m ? 2或m ? 2 。 2

5.某人年初向建设银行贷款 10 万元用于买房。 (1)如果他向建设银行贷款, 年利率为 5%, 且这笔借款分 10 次等额归还(不计复利), 每年一次, 并从借 后次年年初开始归还, 问每年应还多少元(精确到 1 元)? (2)如果他向工商银行贷款, 年利率为 4%, 要按复利计算(即本年的利息计入次年的本金生息), 仍分 10 次等额归还, 每年一次, 每年应还多少元(精确到 1 元)? 解:(1) 若向建设银行贷款, 设每年还款 x 元, 则 105×(1 + 10×5%) = x(1 + 9×5%) + x(1 + 8×5%) + x(1 + 7×5%) + ? + x, 105×1.5 = 10x + 45×0.05x, 解得 x ?
10 5 ? 15 . ? 12245 (元) 12.25

(2)若向工商银行贷款, 设每年还款 y 元, 则 105×(1 + 4%)10 = y(1 + 4%)9 + y(1 + 4%)8 + y(1 + 4%)7 + ? + y

12

10 5 ? 104 10 ? .

104 10 ? 1 . ·y 104 ? 1 .

其中 1.0410 = (1 + 0.04)10 = 1 + 10×0.04 + 45×0.042 + 120×0.043 + 210×0.044 + ? ? 1.4802
y? 10 5 ? 1.4802 ? 0.04 ? 12330 (元) 0.4802

答: 若向建设银行贷款, 每年需还 12245 元; 若向工商银行贷款, 每年需还 12330 元。

数列的综合应用(1)
【例1】 已知无穷数列{an},Sn 是其前 n 项和,对不小于 2 的正整数 n,满足关系 1 ? S n ? a n?1 ? a n 。 (1) 求 a1,a2,a3; (2)证明{an}是等比数列;
? ? 1 2 ?a n , 计算 lim(b1 ? b2 ? ?? bn ) (3)设 bn ? ? ? ? log a n?? log2 a 2n ?1 ? 2 2 n ?3 ? ?

解: (1)S2= a1 ? a2 ,?1 ? (a1 ? a2 ) ? a1 ? a2 , a1 ?
S 3 ? a1 ? a 2 ?a 3 ,?1 ? (a1 ? a 2 ?a 3 ) ? a 2 ? a 3 , a 2 ? 1 4

1 2

S 4 ? a1 ? a 2 ? a 3 ? a 4 ?1 ? (a1 ? a 2 ? a 3 ? a 4 ) ? a 3 ? a 4 , a 3 ?

1 8

(2)猜想 a n ? (1) (2)

1 2n

(n ? N )

当 n=1 时,命题成立 假设 n=k(k≥1)时命题成立,即 a k ?
1 2k

?1 ? S k ?1 ? a k ? a k ?1 ?1 ? ( S k ? a k ?1 ) ? a k ? a k ?1 (*) ?1 ? S k ? a k

同理有 1-Sk+1=ak+1 由(*)式和假设 a k ?
1 2
k

(**)
得S k ? 1 ? 1 2k

由(**)式,得,1=(Sk+ak+1) 故
1 1 ak+1= (1 ? S k ) ? k ?1 2 2

∴当 n=k+1 时,命题也成立。 由(1)(2)n∈N,a n ? , 此时
1 2n 成立

a n ?1 1 ? 成立 ?{a n }是 等 比 数 列 an 2

(2)另证:对 n≥2, 1-Sn=an-1-an
13

1-Sn+1=an-an+1 两式相减,有
S n?1 ? S n ? a n?1 ? 2a n ? a n?1

? a n ?1 ? a n ?1 ? 2a n ? a n ?1 ? an a a 1 a 1 ? 即 2 ? 3 ? ?? ? n ? ? ? a n ?1 2 a1 a 2 a n ?1 2

?{a n }是等比数列

? 2 1 ? 1 1 1 (3)? bn ? ? ? ? ? ? n ?1 ? 2n ? 1 2n ? 3 ? 2 n 2n ? 1? ? 2 2n ? 3? ? 2 n ? ?

?

?

? lim?b1 ? b2 ? ? ? bn ?
n ??

?? 1 ? ?? 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 1 ? ? lim ?? ? ? ? ? ??? ??? ? ?? ? ? n ?1 n ?? n ?? ?? 3 5 ? 2 ? ? 5 ? 2 7 ? 4 ? ? 7 ? 4 9 ?8 ? (2n ? 1) ? 2 (2n ? 3) ? 2 ? ? ? ? ?? ?

= lim ? ?
n ?? ? 3

?1 ?

? 1 ?? (2n ? 3) ? 2 n ? 3 ? 1

【例2】 已知 f ?x? ? 2x 2 ? 1?x ? 0? ,数列

?an ? 满足 ?a1 ?
?

a ?1
n

? f ?a n ?1 ?

?n ? N且n ? 2?

(1)写出数列 ?an ? 的前五项,试归纳出 a n 的表达式,并用数学归纳法证明。 (2)求 lim
n ?? 2 3n ? an

3n ? 2 n

。 (3)若 b1 ?

2 22 2n ,b2 ? , bn ? ? , 求数列 ? a1 ? a 2 a 2 ? a3 an ? an?1

?bn ? 的前 n 项的和 Sn。

解: (1)由 a1 ? 1, a n ? 2a n?1 2 ? 1 得数列前五项
a1 ? 1,a2 ? 3,a3 ? 7,a4 ? 15,a5 ? 31 由此猜想an ? 2 n ? 1 ①
证(i)当n ? 1时,a1 ? 2 ?1 ? 1等式①成立

(ii)假设 n ? k 时等式①成立,即 ak ? 2k ? 1?k ? N ?
2 当 n ? k ? 1 时 ak ?1 ? 2ak ? 1 ? 2 2 k ? 1 ? 1 ? 2 k ?1 ? 1

?

?

即等式①对 n ? k ? 1 也成立 由(i) (ii)可知等式①对 n ? N 都成立

14

(2) lim

2 3n ? an

n ??

3n ? 2 n

? lim

3n ? 2 n ? 1 3n ? 2 n

n ??

? lim

? 2? ?1? 1? ? ? ? ? ? ? 3? ?3? ?2? 1? ? ? ?3?
n

2

n

n ??

?1

(3) S n ?

1 1? 3

?

22 3? 7
2

???

2n 2 n?1 ? 1 ? 2 n ? 1

?

3 ?1 ? 2

? 7 ? 3 ?2
22

2 n ? 2 n?1 ? 1 ? 2 n ? 1 ? ? ? ? ??? ? 2n

? 2 n?1 ? 1 ? 1

【例3】 已知 a>0,a≠1,数列{an}是首项为 a,公比也为 a 的等比数列,令 bn=anlgan (n∈N)(1)求数列{bn}的前 n 项和 Sn; 。 (2)当数列{bn}中的每一项总小于它后面的项时,求 a 的取值范围. 解: (1)由题意知 an=an,bn=nanlga. ∴Sn=(1 ? a+2 ? a2+3 ? a3+??+n ? an)lga. a Sn=(1 ? a2+2 ? a3+3 ? a4+??+n ? an+1)lga. 以上两式相减得
? a(1 ? a n ) ? (1–a)Sn=(a+a2+a3+??+an–n ? an+1)lga ? ? ? n ? a n ?1 ? lg a . ? 1? a ? ? ?

∵a≠1,∴ S n ?

a lg a (1 ? a ) 2

?1 ? (1 ? n ? na)a ?.
n

(2)由 bk+1–bk=(k+1)ak+1lga–kaklga=aklga[k(a–1)+a]. 由题意知 bk+1–bk>0,而 ak>0, ∴lga[k(a–1)+a]>0. ① (1)若 a>1,则 lga>0,k(a–1)+a>0,故 a>1 时,不等式①成立; (2)若 0<a<1,则 lga<0, 不等式①成立 ? k (a ? 1) ? a ? 0 ? 0 ? a ?
1 ? k ? ?0?a?? ? . ? k ? 1 ? min 2 ?

k 恒成立 k ?1

综合(1)(2)得 a 的取值范围为 (0, ) ? (1,??) 、

1 2

【例4】 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,又有数列{bn},它们满足关系 b1 ? a1 ,对 n? N 有
15

an ? S n ? n, bn?1 ? an?1 ? a n 。

(1)求证{bn}是等比数列,并写出它的通项公式 (2)求 lim a n
n ??

解:⑴证法一:当 n=1 时, a1 ? s1 ? 1, ? a1 ? a1 ? 1 ? a1 ? b1 ?
?a n ? s n ? n 当n ? 2时, 由? ? 2a n ? a n ?1 ? 1 (1) ?a n ?1 ? s n ?1 ? n ? 1

1 。 2

同理, 2a n ?1 ? a n ? 1

(2)

(2)-(1), 2(an?1 ? an ) ? an ? a n?1 即 2bn ?1 ? bn
? bn ?1 1 ? (3) bn 2

由 a2 ? s 2 ? 2, 得a2 ? . 又b2 ? a2 ? a1 ? 于是
b2 1 ? b1 2 ( 4)

3 4

3 1 1 ? ? 4 2 4

由(3),(4)知 {bn }是b1 ? , q ?
1 2

1 2

1 1 的等比数列, bn ? n 2 2 1 1 ,??猜想 bn ? n 且数学归纳法证明, 4 2

证法二:同上算得 b1 ? , b2 ? (1) 当 n ? 1时,

1 1 ? ? b1 ,命题成立 2? 2

(2)假设 n ? k (k ? N ) 时命题成立,即 bk ?
? 1 2k

1 成立。 2k

? a k ? a k ?1 ? (k ? S k ) ? ?(k ? 1) ? S k ?1 ? ? 1 ? a k

∴ ak ? 1 ?

1 2
k ?1

又 a k ?1 ? S k ?1 ? k ? 1, 即a k ?1 ? ?a k ?1 ? S k ? ? k ? 1
? 2a K ?1 ? (k ? 1) ? S k ? (k ? 1) ? (k ? a k ) ? 1 ? a k ? 2 ? ? a k ?1 ? 1 ? 1 2k 1 2
k ?1

1 2k

? bk ?1 ? a k ?1 ? a k ?

即n ? k ? 1时命题成立 .
1 2n

由(1)(2)知对 n ? N 猜想 bn ?
?{bn }是以b1 ?

成立

1 1 1 , q ? 的等比数列, bn ? n 2 2 2

⑵? a n ? (a n ? a n?1 ) ? (a n?1 ? a n?2 ) ? (an?2 ? an?3 ) ? ??(a 2 ? a1 ) ? a1

16

1 1 (1 ? n ) 2 2 ? 1? 1 ? bn ? bn?1 ? ?? ? b2 ? b1 ? 1 2n 1? 2

∴ lim a n ? lim(1 ?
n?? n??

1 2n

) ?1

解法 2:由 2a n ? a n?1 ? 1 ? a n ? 1 ?
1 ?1? ? a n ? 1 ? ?a1 ? 1?? ? ? a n ? 1 ? n 2? 2 ?
n

1 ?an?1 ?1? 2

1 ? ? 1 ? 1 ? 1 ? bn ? ?1 ? n ? ? ?1 ? n ?1 ? ? n ,∴{bn}是等比数列;且 lim a n ? lim(1 ? ) ?1 n?? n?? ? 2 ? ? 2 ? 2 2n

【例5】 已知 ?a n ? 是首项为 1,公差为 d 的等差数列,其前 n 项和为 An , ?b n ? 是首项为 1,公比 为 q(|q|<1)的等比数列,其前 n 项和为 Bn ,设 S n ? B1 ? B2 ? B3 ? ... ? Bn ,若 lim(
n??

An ? S n ) ? 1 ,求 d 和 n

q。 解: An ? na1 ? 又 Bn ?
A n(n ? 1) n(n ? 1) n ?1 d ?n? d ;? n ? 1 ? d 2 2 n 2

1? qn 1 qn ? ? ; 1? q 1? q 1? q

? S n ? B1 ? B2 ? B3 ? .... ? Bn ?

n q(1 ? q n ) ? 1 ? q (1 ? q) 2

? lim(
n??

An q(1 ? q n ) n ?1 n d? ? ] ? S n ) ? lim[1 ? n ?? 2 1 ? q (1 ? q) 2 n
q q n ?1 d d 1 ? )?( ? )n ? ] =1 2 (1 ? q) 2 2 1? q (1 ? q) 2
q n?1 (1 ? q) 2

? lim[(1 ?
n ??

?| q |? 1,? ? lim
n ??

?0

q ? d ? 1, ?1 ? 2 ? (1 ? q) 2 ? ?? ? d ? 1 ? 0. ? 2 1? q ? q q 1 1 ? ? ? 0, ( ? 1) ? 0. 2 1? q 1? q 1? q (1 ? q)

又?

1 q 1 ? 0,? ? 1,? q ? ., d ? 4 1? q 1? q 2

17

【例6】 已知等比数列 {a n } 中 a1 = 1,公比为 x (x > 0),其前 n 项和为 S。 (1)写出数列 {a n } 的通项公式及前 n 项和 Sn 的公式; (2)设 bn ? 判断数列{bn}的增减性; (4)求 limbn 。
n??

an ,写出 bn 关于 x 和 n 的表达式; (3) Sn

解: (1) a n ? x n ?1 ,S n ? ?1 ? x n (2) x ? 1时, bn ?
x ? 1时, bn ?
an 1 ? , Sn n

?n, x ? 1时 ? , x ? 1时 ? ? 1? x

an x n ?1 ?1 ? x ? ? Sn 1? x n

?1 ? n , x ? 1时 ? ? bn ? ? n ?1 ? x ?1 ? x ? , x ? 1时 ? ? 1? xn
1 bn?1 n ? 1 n (3)当 x ? 1时, ? ? ? 1,又bn ? 0 ;∴ bn ?1 ? bn 1 bn n ?1 n
n ?1 bn ?1 1? x ? n ?1 ? x ? x ? 1 ?1 x ? 1? n n ?1 bn x ?1 ? x ? 1 ? x 1? x n

x n ?1 ? x ?

当 n ? 1 时,

1? x n

? x ? 1,1 ? x与1 ? x n同号, ? ?1 ? 1? x 1? xn

1? x 1? xn

?0

? 1,又bn ? 0,? bn?1 ? bn

综上知 ?bn ?为递减数列。
lim (4)当 x ? 1时, bn ? lim
n??

1 ?0 n?? n

当x ? 1时, bn ? lim lim
n ?? n ??

x n ?1 ? x n 1? xn

1 ?1 1 当x ? 1时, bn ? lim x lim ? 1? 1 n ?? x ?1 n x

当 0 ? x ? 1时, lim bn ? 0
n??

?0, 当 0 ? x ? 1时 ? ? lim bn ? ? 1 n?? ?1 ? x ,当x ? 1时 ?
18

数列的综合应用(1)
一、选择题 1.等差数列 ?a n ? 的通项公式为 a n ? 2 ? 3n, ?a n (A) ? n 2 ?
3 2 n 2

? 的前 n 项和 S n 等于(
(C)
3 2 n n ? 2 2

A

)

(B) ? n 2 ?

3 2

n 2
n

(D)

3 2 n n ? 2 2

2.一个等比数列的前 n 项和 S n ? 1 ? ? ? ,则该数列各项和为( B )
1 2 1 2

?1? ?2?

A.

B.1

C.-

D.任意实数

3.已知数列{an}满足 an+1=an–an–1(n≥2) 1=a,a2=b,记 Sn=a1+a2+a3+?+an,则下列结 ,a 论正确的是( A ). (B)a100=–b,S100=2b–a (D)a100=–a,S100=b–a

(A)a100=–a,S100=2b–a (C)a100=–b,S100=b–a

4.设首项为 3,公比为 2 的等比数列{a n }的前 n 项和为 S n ,首项为 2,公比为 3 的等比 数列{a' n }的前 n 项和为 S' n ,则 lim (A)
1 2
n??

S n ? S 'n 的值等于( a n ? a' n

C

)

(B)

2 3

(C)

3 2

(D) 2

5.在等比数列 {a n } 中,首项 a1 < 0,则 {a n } 是递增数列的充要条件是公比 q 满足 ( C ) A.q > 1 B.q < 1 C.0 < q < 1 D.q < 0

6.设首项为 3,公比为 2 的等比数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,首项为 2、公比为 3 的等 比数列{a n } 的前 n 项和为 S n ’,则 lim (A)
1 2
n ??

Sn ? Sn ' 的值等于:( an ? an '

C

)

(B)

2 3

(C)

3 2

(D) 2

7.已知数列 {an } 中, a1 ? 1,2an?1 ? an (n ? 1,2,3,??) ,则这个数列前 n 项和的极限是(A) (A)2 (B)
1 2

(C)3

(D)

1 3

8.等差数列 ?a n ? 的通项 a n ? 2n ? 1 ,则由 bn ?

a1 ? a 2 ? … ? a n (n ? N ) 所确定的数列 ?bn ? 的前 n 项和是 n
19

( C ) A. n(n ? 1) B.
n(n ? 1) 2

C.

n(n ? 5) 2

D.

n(n ? 7) 2

9.已知等比数列{an}中,公比 q ? R,且 a1 ? a2 ? a3 ? 9 , a4 ? a5 ? a5 ? ?3 ,记
S n ? a1 ? a2 ? ?? ? an 则 lim Sn 等于(
n ??

D ) C. 6 D.
27 4

A.

36 175

B.

48 175

?a (1 ? q ? q 2 ) ? 9 1 ? 解:由已知可得 ? 1 ? q3 ? ? 3 2 3 ?a1 q (1 ? q ? q ) ? ?3 ?

所以得: a1 (1 ? q ? q 2 )(q ? 1) ? 9(q ? 1) ? a1 (q 3 ? 1) ? 9(q ? 1) ? a1 ? ? 所以 lim S n ?
n ??

27 (q ? 1) 4

a1 27 ? 1? q 4

?n ? 1?? , 此数列所有项的和等于( C ) 1 1 ? 1 10.已知数列 ?an ? cos0,2 cos , n cos : ? ? 3 2 2 3 3
A.0.25 二、填空题 1.设等差数列 ?a n ? 共有 3n 项,它的前 2n 项之和是 100,后 2n 项之和是 200,则该等差数列的中间 n 项 之和等于 . 75 B.0.5 C.0.3 D.0.375

2.在数列 ?an ? 中,a1 ? sin? ? 0,an?1 ? an cos? ?n ? N ? 该数列所有项的和为 3 ,则 θ 的值等于
2k? ?

?
3

?k ? z ?

3.某工厂原来年总产值为 a,以后连续两年平均以 10%递增,若连续两年中第二年产值为 b,则 a 占 b 的 百分数是 。 82
78 % 121

4.数列 ?an ? 中, a1 ? 5,an ? a1 ? a2 ? a3 ? ?an?1 (n ? 2)则an ? 5.已知 ?an ? 、 ?bn ? 都是公差不为零的等差数列,且 lim
n ??

? ?5 (n ? 1) 。 a n ? ? n?2 ?5 ? 2 (n ? 2) ?

an ?2 bn

则 lim
n ??

a1 ? a 2 ? ? ? a n 的值为 nb2 n



1 2

6.已知数列 ?an ? 是等比数列,若 a1 ? a2 ? a3 ? 18,a2 ? a3 ? a4 ? ?9 且 Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an,则 lim Sn ?
n??

. 16

20

三、解答题 1.数列 {an } 中,前 n 项和 S n ? an2 ? bn 其中 a,b 是常数,且 a>0,a+b>1,n∈N. (1)求 {an } 的通项公式 an ,并证明 a n?1 ? a n ? 1(n ? N ) ; (2)令 c n ? logan a n?1 ,试判断数列 {c n } 中任意相邻两项的大小. 解: (1) a1 ? S1 ? a ? b ? 1
a n ? S n ? S n?1 ? (an2 ? bn) ? [a(n ? 1) 2 ? b(n ? 1)]

? 2an ? a ? b(n ? 2,3,4??)

当 n=1 时也能满足上式,∴ a n ? 2an ? a ? b (n ? 1,2,3, ??)
a n?1 ? a n ? 2a(n ? 1) ? a ? b ? (2an ? a ? b) ? 2a ? 0.

∴ a n ?1 ? a n ? 1.( n ? 1,2,3??) (2)由(1)及对数的性质可得数列 {c n } 中各项皆为正值
? logan ?1 a n? 2 ? logan ?1 a n ? c n ?1 logan ?1 a n ? 2 ? ? ? logan ?1 a n ? 2 ? logan ?1 a n ? ? ? ? cn logan a n ?1 2 ? ?
?
? a n?2 ? a n 1? 1 logan ?1 (a n? 2 ? a n ) 2 ? ?logan ?1 ? ? 4? 2 4 ? ?
2

?

?

? ? ? ?

2?

? ? ?

(a n ? 2 ? a n )

?

1 logan ?1 (a n?1 ) 2 4

?

?

2

?1

又∵ a n ? 1 ,∴ cn ? logan a n?1 ? 0 . ∴ c n ?1 ? c n
(n ? 1,2,3??).

2.已知数列 ?an ? , a1 ? 1 ,前 n 项和为 Sn ,对于任意 n ? 2, 3S n ? 4, a n ,2 ? 中 (2)求通项 an ; (3)计算 lim Sn . a2 , a3 , a4 的值;
n ??

3S n?1 总成等差数列。 (1)求 2

解: (1)∵当 n≥2 时, 3S n ? 4, a n ,2 ?
3 2

3S n?1 成等差数列 2

∴ 2a n ? 3S n ? 4 ? 2 ? S n?1 ;∴ a n ? 3S n ? 4(n ? 2)
1 2

∴ a2 ? 3(a1 ? a2 ) ? 4, ∵ a1 ? 1 ,∴ a2 ?

21

类似地 a3 ? 3(a1 ? a 2 ? a3 ) ? 4 ∴ a3 ? ?
1 8

1 4

a4 ? 3(a1 ? a2 ? a3 ? a4 ) ? 4 ∴ a 4 ?

(2)∵当 n≥2 时, an ? 3Sn ? 4 ,即 3Sn ? an ? 4

?3S ? a n ? 4 ?? ① ∴? n ?3S n ?1 ? a n ?1 ? 4 ?? ②
a n ?1 1 ? ? 为常数 an 2

②–①得 3an ?1 ? an ?1 ? an



∴ a2 , a 3 , a4 ,?, an ,?成等比数列.;其中 a 2 ? , q ? ?
1 1 n?2 1 (? ) ? ?(? ) n?1 2 2 2

1 2

1 2

故 n ? 2, a n ? a 2 ? q n?2 ?

∴ an ? ?

(n ? 1) ?1 ? 1 n ?1 (n ? 2) ?- (- 2 ) ?

(3)∵ Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an = 1 ? (a2 ? a3 ? ? ? an )

∴ lim S n ? 1 ? lim(a2 ? a3 ? ? ? an ) = 1 ?
n?? n??

1 2 1 1 ? (? ) 2

? 1?

1 4 ? 3 3

数列的综合应用(2)
【例1】 已知函数 f n ( x)(n ? N ? ) 具有下列性质:
1 ? ? f n (0) ? 2 , ? ? ? ?n ? f n ? k ? 1 ? ? f n ? k ?? ? ? f n ? k ? ? 1? f n ? k ? 1 ?(k ? 0,1, ? , n ? 1); ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n ? ? n ?? ? ? n ? ? ? n ? ?

(1)当 n 一定,记 a k ?

1 , 求 a k 的表达式 (k ? 0,1,? , n); ?k? fn ? ? ?n?

(2)对 n ? N ? , 证明

1 1 ? f n (1) ? . 4 3

22

解: (1)? n ? f n ?
?

?

? k ?1? ? k ?? ? ? k ? ? ? k ? 1 ? ? ? f n ? ?? ? ? f n ? ? ? 1? f n ? ? ? n ? ? n ?? ? ? n ? ? ? n ?

? k ?1? ?k? ? k ? ? k ?1? ? (n ? 1) f n ? ? ? nf n ? ? ? f n ? ? f n ? ?, ? n ? ?n? ?n? ? n ?



n ?1 n 1 ? ? 1, 又 a k ? , ?k? ? k ?1 ? ?k? fn ? ? fn ? fn ? ? ? ?n? ? n ? ?n?

? (n ? 1)a k ? nak ?1 ? 1, ? n(ak ?1 ? 1) ? (n ? 1)(ak ? 1) ,即

a k ?1 ? 1 1 ? 1 ? ,由 n 为定值, ak ? 1 n

则数列 {a k ? 1} 是以 a 0 ? 1 为首项, 1 ?
1 ? ak ? 1 ? (a0 ? 1)(1 ? ) k , n

1 为公比的等比数列, n

由于 a 0 ?

1 ? 1? ? 2,? a k ? 1 ? ?1 ? ? f n (0) ? n?

k

(k ? 0,1, ? , n);

(2)? a k ?

1 1 1 ,? f n (1) ? ? , n an ?k? ? 1? fn ? ? 1 ? ?1 ? ? ?n? ? n?

欲证

1 1 ? f n (1) ? , 4 3
? ? 1? n?
n n

只需证明 3 ? 1 ? ?1 ? ? ? 4 ,

只需证明 2 ? ?1 ? ? ? 3,
?

?

1? n?

1 1 1 2 1 n 1 ? (1 ? ) n ? 1 ? Cn ? C2 2 ? ? ? C n n n n n n
? 1 ? 1 ? ? ? 2,

1 1 1 2 1 n 1 (1 ? ) n ? 1 ? C n ? C n 2 ? ? ? C n n n n n n n(n ? 1) n(n ? 1) ?? 2 ?1 ? 1?1? ?? ? 2 2n n! n n
1 ? ?1? ?1 ? ? ? 2 ? ?2? ? 1? 1 2
n?

1 1 1 1 1 ? 1?1? ?? ? ? 1?1? ? 2 ??? n ? 2 ? 2! n! 2 2 2

? n ? ? ? 3 ? ? 1 ? ? 3. ? ? ?2?

【例2】 已知函数 f(x)= x 2 ? 1( x ≥1)
23

(1)求 f(x)的反函数 f

-1

(x)的表达式;
-1

(2)数列 ?a n ? 中,a1 =1;an =f 和 Sn;

2 (an-1)(n?N,n≥2),如果 bn = a n (n?N),求数列 ?bn ? 的通项公式及前 n 项

(3)如果 g(n)=2Sn-17n,求函数 g(x) (x?R)在区间[t,t+2] (t?R)上的最小值 h(t)的表达式。 解: (1) y ? x 2 ? 1  y 2 ? x 2 ? 1  x 2 ? y 2 ? 1 ∴ ∴
∵ x ≥ 1  y ≥ 0  x ? ∴ ∴ y2 ?1

∴f

-1

(x)=

x 2 ? 1( x ≥ 0)

2 (2) a1 ? 1 a n ? f ?1 (a n?1 ) ? a n?1 ? 1(n ? N , N ≥ 2)

2 2 ∴ a1 ? 1 an 2 ? an?1 ? 1

∴ b1 ? 1 bn ? bn?1 ? 1

∴ b n ? 是以 1 为首项,公差为 1 的等差数列
(3)g(n)=2Sn-17n=n2-16n

?

∴b n ? n

∴S n ?

1 n(n ? 1) 2

∴ g ( x) ? x 2 ? 16x ? ( x ? 8) 2 ? 64

x?R

∴g(x)函数图像是以顶点 M(8,-64)且开口向上的抛物线 (i)当 t>8 时,g(x)在[t,t+2]上是增函数 (ii)当 t+2<8 时,g(x)在[t,t+2]是减函数 (iii)当 6≤t≤8 时 h(t)=g(8)=-64 ∴h(t)=g(t)=t2-16t ∴h(t)=g(t+2)=t2-12t-28

?t 2 ? 12 t ? 28 t ?( ??,6) ? ∴ h( t ) ? ??64     t ?[6,8] ? 2 ?t ? 16t   t ?(8,??)

【例3】 在数列{an}中,已知 a1 ? a?a ? 2?,且an?1 ? (1)求证: an ? 2?n ? N ? ; (2)求证: a n?1 ? a n ?n ? N ? ;
3 (3)若存在 k ? N ,使得 a k ? 3 ,求证: k ? a ? 1 。 3 lg 4 lg

2 an ?n ? N ? 2?a n ? 1?

解: (1)证明: 当 n ? 1时,a1 ? a ? 2 ,命题成立。 假设 n ? k ?k ? 1,k ? N ? 时,命题成立,即 a k ? 2 则 a k ?1 ?
2 ? ak 1? 1 ? ??a k ? 1? ? ? 2? 2?a k ? 1? 2 ? ak ? 1 ?

24

由归纳假设 ak ? 2 ,则 ak ? 1 ? 0,且ak ? 1 ?
ak ?1 ? ? 1? ? 1 ? 2? ? 2 ?2 ?ak ? 1· 2? ak ? 1 ? ? ?

1 ,由平均值定理得 ak ? 1

所以 n ? k ? 1 时 a k ?1 ? 2 也成立 因此,对任意自然数 n,都有 an ? 2 (2)证明:
a n ?1 1 ? a n?1 an 1 ? 1? 1 ? ? ? ? ?1 ? ? a ? 1 ? ;由(1) a n ? 2 ,? a ? 2 ?1 ? 2 ? 1 ? ? 1 an 2?a n ? 1? 2 ? ? ? n n ?

? 又 an ? 2 ? 0, an?1 ? an

(3)证明:由 a n?1 ? a n 及 ak ? 3 得 a1 ? a 2 ? a3 ?? ? ak ?1 ? ak ? 3
则 ak a k ?1 1? 1 ? 1? 1 ? 3 ? ? ? ?1 ? ? a ? 1 ? ? 2 ?1 ? 3 ? 1 ? ? 4 a k ?1 2?a k ?1 ? 1? 2 ? ? ? k ?1 ? a a a 3 3 3 ?3? a k ? a1 2· 3 ?? k ? a1 · ?? ? a ? ? · · · a1 a 2 a k ?1 4 4 4 ?4?
?3? ? 3 ? ak ? a ? ? · ?4? ?3? ?4?
k ?1 k ?1

k ?1

由此得 a? ?

?3? ? 3,又a ? 3, ? ? ? ?4?

k ?1

?

3 3 3 ;于是 ?k ? 1?lg ? lg a 4 a

3 又 lg ? 0 ,解得 k ? 4

lg

3 a ?1 3 lg 4

【例4】 已知数列{an}满足 a1=2, 对于任意的 n∈N, 都有 an>0, 且(n+1)a 2 +anan+1-na 2 1 =0, n n? 又知数列{bn}:b1=2n-1+1。(1)求数列{an}的通项 an 以及它的前 n 项和 Sn;(2)求数列{bn}的前 n 项和 Tn;(3)猜想 Sn 和 Tn 的大小关系,并说明理由.
2 2 解:⑴∵ an ? 0(n ? N ), (n ? 1)an ? an an?1 ? nan?1 ? 0



(n ? 1)(

an 2 a ) ?( n )?n ?0。 a n ?1 a n ?1



?? 1, ? 1 ? 1 ? 4n(n ? 1) ? 1 ? (2n ? 1) ? an ? ? ?? n an?1 2(n ? 1) 2(n ? 1) ?n ? 1. ?
an a n n ?1 ? 。即 n ?1 ? 。 a n ?1 n ? 1 an n

∴ an ? 0 ,∴

25



a a n a n ?1 a n ? 2 a a n n ?1 n ? 2 3 2 ? ? ??? 3 ? 2 ? ? ? ? ?? ? ? n 。∴ n a n ?1 a n ? 2 a n ?3 a 2 a1 n ?1 n ? 2 n ? 3 2 1 a1

? n,

又 a1 ? 2 ,∴ a n ? 2n 。 ∴ S n ? a1 ? a2 ? ? ? an ? 2(1 ? 2 ? 3 ? ? ? n) ? 2 ? ⑵∴ bn ? 2 n?1 ? 1, ∴ Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ? (20 ? 21 ? 2 2 ? ? ? 2 n?1 ) ? n ? ⑶ Tn ? S n ? (2 n ? n ? 1) ? (n 2 ? n) ? 2 n ? n 2 ? 1 当 n ? 1 时, T1 ? S1 ? 21 ? 12 ? 1 ? 0 ,∴ T1 ? S1 ; 当 n ? 2 时, T2 ? S 2 ? 2 2 ? 2 2 ?1 ? ?1 ? 0 ,∴ T2 ? S 2 ; 当 n ? 3 时, T3 ? S 3 ? 2 3 ? 3 2 ? 1 ? ?2 ? 0 ,∴ T3 ? S 3 ; 当 n ? 4 时, T4 ? S 4 ? 2 4 ? 4 2 ?1 ? ?1 ? 0 ,∴ T4 ? S 4 ; 当 n ? 5 时, T5 ? S5 ? 25 ? 52 ? 1 ? 6 ? 0 ,∴ T5 ? S 5 ; 当 n ? 6 时, T6 ? S 6 ? 2 6 ? 6 2 ?1 ? 27 ? 0 ,∴ T6 ? S 6 。 猜想:当 n ? 5 时, Tn ? S n 。
n 2 即 2 ? n ? 1 ? 0 。亦即 2 n ? n 2 ? 1 。

n(n ? 1) ? n2 ? n 。 2

2 0 (2 n ? 1) ? n ? 2 n ? n ?1 。 2 ?1

下面用数学归纳法证明:

1? 当 n ? 5 时,前面已验证成立;
2? 假设 n ? k (k ? 5) 时, 2 k ? k 2 ? 1 成立,那么当 n ? k ? 1(k ? 5) 时,
2 k ?1 ? 2 ? 2 k ? 2(k 2 ? 1) ? k 2 ? k 2 ? 2 ? k 2 ? 5k ? 2 ? k 2 ? 2k ? 2 ? (k ? 1) 2 ? 1 。

∴当 n ? k ? 1(k ? 5) 时, 2 k ?1 ? (k ? 1) 2 ? 1 也成立。 由以上 1? 、 2? 可知,当 n ? 5 时,有 Tn ? S n ;当 n ? 1 时, T1 ? S1 ; 当 2 ? n ? 5 时, Tn ? S n 。 【例5】 已知等差数列{ a n }中,公差为 d>0,等比数列{ bn }中, b1 ? 0 公比 q>0 且 q ? 1. 若
a n ? a1 ? loga bn ? loga b1 (n ? 1, n ? N , a ? 0, a ? 1) ,求 a 的取值范围.

26

解:由已知不等式,得 a1 ? (n ? 1)d ? a1 ? loga (b1q n?1 ) ? loga b1
(n ? 1)d ? (n ? 1) loga q

∵ n ?1? 0 ,∴ d ? loga q
1

①当 0 ? a ? 1 时, a d ? q ,∵ d ? 0 ,∴ a ? q d
1
1

∵若 0 ? q ? 1 ,则 q d ? 1 ,∴ 0 ? a ? q d 若q
1 d ? 1 ,则 q

? 1 ,∴ 0 ? a ? 1

②当 a ? 1 时, a d ? q
1

∵ d ? 0 ,∴ a ? q d 若 0 ? q ? 1 ,则 q d ? 1 ,∴ a ? 1
1 1
1

若 q ? 1 时,则 q d ? 1 ,∴ a ? q d 综上:若 0 ? q ? 1 时, 0 ? a ?
1 d q

或a ?1

q ? 1 时, 0 ? a ? 1 或 a ? q

1 d

数列的综合应用(2)练习
一、选择题 1.设 Sn = A.
1 2 1 2 1 2 ? ? ? ? ? ? 2 n ?1 ? 2 n ,则 limS n 等于( A ) 3 32 33 34 3 3 n→? 

1 8

B.

1 4

C.0

D. ?

1 2

2.已知数列 ?a n ? 中, a1 ? ?60,an?1 ? an ? 3 ,那么 | a1 | ? | a2 | ? ?? ? || a30 | 等于( B ) A、-495 B、765 C、1080 D、3105 )

3.在等差数列 ?an ? 中, a m ? n,a n ? m(m、n ? N,m ? n),则a m?n ? ( A A、0 B、m C、n D、不确定

4. 一个等差数列的首项为 4, 它的第一项、 第七项、 与第十项成等比数列, 这个数列的通项公式是 (
1 1 A、 an ? 4 ? (n ? 1)或an ? 4 B、 an ? 4 ? (n ? 1) 3 3 1 C、 an ? 4 ? (n ? 1)或an ? 4 3 1 D、 an ? 4 ? (n ? 1) 3

C



5.设 2a 2 ? 5a ? 2 ? 0,则 lim

an a n ?1

n ?? 1 ?

等于( C )

27

A、

1 a

1 B、 或0 3

1 C、 或0 2

D、1

6.数列 1,b,c,8 中,前三项 1,b,c 成等差数列,后三项 b,c,8 成等比数列,则必有( B ) A、c>0 B、b>0 C、c<0 D、b<0

7.设等差数列的前 4 项之和为 26,其末 4 项之和为 110,又这个数列的所有的项之和为 187,则这个数列共有多少项( A A、11 项 B、22 项 ) D、项数不能确定

C、8 项

8.设数列 ?xn ? 满足 loga xn?1 ? 1 ? loga xn (n ? N ) 且 x1 ? x 2 ? ? ?100 ? 100, 则 x101 ? x102 ? ? x 200 等于 ( D ) A、100a 二、填空题 1.若等差数列 ?an ? 的前几项和为 Sn,且 S15 ? S10 ? 20则S 25 ? 。100 B、100a2 C、101a100 D、100a100

(n 2.已知数列 ?a n ? , an ? 0, ? N ) 它的前 n 项和记为 Sn,若 ?a n ? 是一个首项为 a

公比为 q(q>0)的等比数列,且 Gn ? a12 ? a 2 2 ? ? ? a n 2 (n ? N ) lim
?1 ? a (q ? 1) Sn ? lim ? ?0 (q ? 1) n?? Gn ?1 ? q ? (0 ? q ? 1) ? a

Sn ? n ?? G n

.

3.在等比数列 ?an ? 中,记: S n ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ,若 a3 ? 2S 2 ? 1,a 4 ? 2S 3 ? 1 则公比 q=
2 4.数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n,且S n ? 1 ? an (n ? N )则 lim sn 的值为 n?? 3

3

。1

5 . 数 列 ?an ? 的 通 项 公 式 a n ? 于 。2

1 前 n 项 和 为 Sn,i maSn ? 1 (a 为 实 常 数 ), 则 a 的 值等 l n?? ( 2n ? 1)(2n ? 1)

6.已知等比数列 ?an ? 的各项都是正数, S n ? 80,S 2n ? 6560,且前 n 项中最大的一项为 54, 则 n= 三、解答题 1、若 S n 和Tn 分别表示数列 {a n }和{bn } 的前 n 项的和,对任意正整数 n, a n ? ?2(n ? 1),
Tn ? 3S n ? 4n. 。 (1)求数列 {bn } 的通项公式;

。4

(2)在平面直角坐标系内,直线 l n 的斜率为 bn ,且与曲线 y ? x 有且仅有一个交点,与 y
2

28

轴交于点 Dn,记 d n ? | Dn?1 Dn | ?(2n ? 7), 求d n ; (3)若 c n ?
2 d 2 n ?1 ? d n (n ? N ), 求证 : lim (c1 ? c 2 ? ? ? c n ? n) ? 1 . n ?? 2d n ?1 d n

1 3

解: (1)解法(一)由已知 Tn ? 3S n ? 4n.当n ? 1时, b1 ? T1 ? 3S1 ? 4 ? 3a1 ? 4 ? ?8. 当 n ? 2时, bn ? Tn ? Tn?1 ? 3(S n ? S n?1 ) ? 4n ? 4(n ? 1) ? 3(S n ? S n?1 ) ? 4 ? 3an ? 4 由于 an ? ?2(n ? 1).?bn ? 3[?2(n ? 1)] ? 4 ? ?6n ? 2. 由于 b1 适合上式,? bn ? ?6n ? 2(n ? N ). 解法(二)由于 an ? ?2(n ? 1),则{an } 为等差数列, a1 ? ?4.
Sn ? n(a1 ? a n ) n(?4 ? 2n ? 2) ? ? ?n 2 ? 3n 2 2

?Tn ? 3S n ? 4n ? 3(?n 2 ? 3n) ? 4n ? ?3n 2 ? 5n
当 n=1 时, b1 ? T1 ? ?8 , 当 n ? 2时, bn ? Tn ? Tn?1 ? ?3n 2 ? 5n ? [?3(n ? 1) 2 ? 5(n ? 1)] ? ?6n ? 2. 由于 b1 适合上式,? bn ? ?6n ? 2(n ? N ), (2)设 l n 的方程为 y ? bn x ? m

?y ? x2 , 消去y, 得x 2 ? bn x ? m ? 0. ? ? y ? bn x ? m.

2 ∵直线 l n 与曲线只有一个交点,∴ ? ? 0,即bn ? 4m ? 0.

∴m ? ?

2 bn 4

则 Dn (0,? bn ).
4
2 bn b2 ? (? n ?1 ) | ?(2n ? 7) 4 4

2

从而 d n ? 1 | Dn ?1 Dn | ?(2n ? 7) ? 1 | ?
3 3
?
2

[?(6n ? 8)] 2 1 [?(6n ? 2)] |? ? | ?( 2n ? 7) ? 6 n ? 5 ? ( 2 n ? 7) 3 4 4

? 4n ? 2.

? d n ? 4n ? 2

(n ? N ).
2(4n ? 2)(4n ? 2) 4n ? 1 2n ? 1 2n ? 1

2 2 2 2 2 (3)? c n ? d n ?1 ? d n ? (4n ? 2) ? (4n ? 2) ? 4n ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 . 2

2d n ?1 d n

1 1 1 1 1 ?c1 ? c2 ? c3 ? ? ? cn ? n ? (1 ? 1 ? ) ? (1 ? ? ) ? ? ? (1 ? ? )?n 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1

=1 ?

1 . 2n ? 1

29

? lim(c1 ? c 2 ? ? ? c n ? n) ? lim(1 ?
n ?? n ??

1 ) ? 1. 2n ? 1

2 2 2 2.{a n }, {bn } 都是各项为正的数列,对任意的自然数 n ,都有 an , bn , an?1 成等差数列 bn , an?1 ,bn ?1 成等

比数列。 (1)试问 {bn } 是否是等差数列?为什么?
2 2 2 (2)求证:对任意的自然数 p, q( p ? q), b p?q ? b p?q ? 2b p 成立;

(3)如果 a1 ? 1, b1 ? 2 , S n ?

1 1 1 ,求 lim S n 。 ? ??? n?? a1 a 2 an

2 解:依题意 2bn ? an ? an?1 ??① 2 2 2 an?1 ? bn ? bn?1 ??②

(1)∵ a n ? 0, bn ? 0 ,∴由②式得 a n ?1 ? bn ? bn ?1 从而 n ? 2 时, a n ? bn ?1 ? bn
2 代入① 2bn ? bn?1bn ? bn bn?1 ,∴ 2bn ? bn?1 ? bn?1 (n ? 2)

∴ {bn } 是等差数列。 (2)因为 {bn } 是等差数列∴ b p?q ? b p?q ? 2b p
2 2 ∴ b p ?q ? b p ? q ?

(b p ? q ? b p ? q ) 2 2

2 ? bp

(3)由 a1 ? 1, b1 ? 2 及①②两式易得 a2 ? 3, b2 ? ∴ {bn } 中公差 d ?
2 2
2 (n ? 1) 2

3 2 2

∴ bn ? b1 ? (n ? 1)d ? ∴ a n?1 ?

1 (n ? 1)(n ? 2) ??????③ 2 1 n(n ? 1) ? 1 ? 2 也适合③、∴ an ? (n ? N ) 2 2

又 a1 ? 1 ? ∴

1 2 1 1 ? ? 2( ? ) an n(n ? 1) n n ?1
1 2 1 2 1 3 1 n 1 1 )] ? 2(1 ? ) n ?1 n ?1

∴ S n ? 2[(1 ? ) ? ( ? ) ? ?? ? ( ? ∴ 1im S n ? 2
n??

30

31


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2013高考数学 数列 专题复习 (学生版 教师版)

2013高考数学 数列 专题复习 (学生版 教师版)_调查/报告_表格/模板_应用文书。2013高考数学 数列专题 学案 试题数列(学生版)一、高考预测 数列是历年高考的重点与...

2013高考数学总复习数列

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2013高考数学二轮专题复习_专题3_数列

2013 高考数学二轮专题复习 专题 3 数列【高考考纲解读与考点链接】 1.理解数列的概念,了解数列通项公式的意义,了解递推公式是给出数列的一种方法,并能根据递推...

2009-2013 五年山东高考数学数列专题练习(附详细解答)

2009—2013 五年山东高考数学数列专题练习 I.(2009· 山东理科数学) (本小题满分 12 分) 等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn,已知对任意的 n ? N ,点 ...