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2.4.1抛物线及其标准方程(上课)

时间:2016-11-24


抛物线及其标准方程

请同学们思考一个问题
想 一 我们对抛物线已有了哪些认识? 想 ?

二次函数是开口向上或向下的抛物线。 y

o

x

生活中存在着各种形式的抛物线

抛物线的生活实例

投篮运动

/> 抛物线的生活实例

飞机投弹

数学这门学科不仅需要观察,还需要实验。(欧拉)

L N
M

探索抛物线定义
1、做实验(分析动画演示的依据)

· F ·

请同学们观察这样一个小实验?

数学这门学科不仅需要观察,还需要实验。(欧拉)

L N
M

探索抛物线定义

1、做实验(分析动画演示的依据) 2、思考交流(用数学语言描述依据) 3、归纳定义
平面内与一个定点F和一条定直线L(L不过 F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。定 点F叫做抛物线的焦点。定直线L叫做抛物 线的准线。 思考:若L过F,则点的轨迹是什么? 若 L过点F,则轨迹为过F点垂直于L的一条直线

· F ·

L

· · F

M

抛物线标准方程的推导 l
N 求曲线方程 的基本步骤 是怎样的?
M

· · F

想 一 想 ?

回顾求曲线方程的一般步骤是:
1、建立直角坐标系,设动点为(x,y) 2、写出适合条件的x,y的关系式 3、列方程
4、化简

5、检验

思考
类比椭圆、双曲线标准方程的建立过程,你 认为如何选择坐标系,求抛物线的方程?
l
N

M

K

F

(3)

抛物线标准方程的推导
解:如图,取过焦点F且垂直于准线L的直 y 线为x轴,线段KF的中垂线为y轴 l 设︱KF︱= p ( p> 0) M p p N 则F( 2 ,0),L:x =2 设动点M的坐标为(x,y) K o 由抛物线的定义可知, F

· ·

x

p2 p ( x ? ) ? y2 ? x ? 2 2
化简得

y2 = 2px(p>0)

【进一步再探究】
方程 y2

= 2px(p>0)表示的抛物线,其焦点

位于X轴的正半轴上,其准线交于X轴的负半轴 p p 即右焦点F( 2 ,0),左准线L:x =- 2


y

o

x

一条抛物线,由于它在坐标平面 内的位置不同,方程也不同。那 么你能否归纳出开口向左、向上、

向下的抛物线的标准方程。

﹒ ﹒ ﹒
o
y

图象 y

开口方向 标准方程

焦点

准线

x

向右
注意: (1)一次项 变量为x(y), 则对称轴为 x(y)轴; (2)一次项系 数为正(负), 则开口向坐标 轴的正(负) 方向.

o

x 向左

y

o

x

向上


o

y

向下

x

抛物线的标准方程
2 方程 y

= 2px(p>0)叫做
N

y
M

抛物线的标准方程 其中 p 为正常数 你能给出p 的几何意义吗?

l

K o

· · F

x

焦点到准线的距离

课堂练习
例1:求下列抛物线的焦点坐标和准线方程:
(1)y2 = 16x (3)2y2 +5x =0 (2)y=2x2 (4)x2 +y =0
注意:求抛物线的焦点 一定要先把抛物线化为 标准形式

焦点坐标

准线方程

(1 )
(2)

( 4, 0 )
1 (0,—) 8 5 (- —,0) 8

x= -4
1 y= - — 8 5 x= — 8
1 x= 4

(3)
(4)

( 0, -

1 ) 4

例2:根据下列条件,写出抛物线的标准方程:

(1)焦点在x轴正半轴上,并且p=5

(2)焦点为F(0,-2)

1 (3)准线方程为x= 2

1.由于抛物线的标准方程有四种形式,且每一种形式中 都只含一个系数p,因此只要给出确定p的一个条件, 就可以求出抛物线的标准方程

2.当抛物线的焦点坐标或准线方程给定以后, 它的标准方程就唯一确定了;若抛物线的焦点 坐标或准线方程没有给定,则所求的标准方程 就会有多解.

例3:求过点A(-3,2)的抛物线的 标准方程。
解:1)设抛物线的标准方程为 x2 =2py,把A(-3,2)代入, A 得p= 9
2)设抛物线的标准方程为 y2 = -2px,把A(-3,2)代入, 得p= 2



y

4

O

x

4 9 2 2 ∴抛物线的标准方程为x = y或y = ? x 3 2

3



课堂小结
知识层面: 1。抛物线的定义

2。抛物线的标准方程与其焦点、准线 3。抛物线的标准方程类型与图象特征的 对应关系及判断方法
数学思想方法层面: 1。注重数形结合的思想 2。注重分类讨论的思想 3。注重坐标法的应用


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