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专题二 不等式(家教辅导资料)


专题二:有理不等式的解法
【知识要点】 1.一元一次不等式(组) ax ? b 2.一元二次不等式 ax2 ? bx ? c ? 0或ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) .

3.分式不等式

(1)

? f ( x) ? g ( x) ? 0 f ( x) ?0?? ; g ( x) ? g (

x) ? 0

(2)

f ( x) ? 0 ? f ( x) ? g ( x) ? 0 g ( x)

4.绝对值不等式

?a (a ? 0) ? ⑴实数 a 的绝对值的意义 a ? ?0 (a ? 0) ;(定义) ? ?a (a ? 0) ?
⑵ a 的几何意义 不等式 x ? a 的解集是 {x | ?a ? x ? a} 不等式 x ? a 的解集是 { x | x ? a 或 x ? ?a } 【例题解析】

x2 ? x ? 6 >0 的解集为( 例 1(2010 全国卷 2)不等式 x ?1
(A) x x<? 2, 或x> 3

) 【答案】C

?

?

(B) x x< ? 2,或1<x<3

?

?

(C)

1 x>3? ?x ?2<x<,或

1,或1<x<3 (D) x ?2<x<

?

?

2 例 2(2014 辽宁文)设函数 f ( x) ? 2 | x ? 1| ? x ? 1 , g ( x) ? 16 x ? 8x ? 1 ,记 f ( x) ? 1 的

解集为 M, g ( x) ? 4 的解集为 N. (Ⅰ)求 M; (Ⅱ)当 x ? M

N 时,证明: x2 f ( x) ? x[ f ( x)]2 ?

1 . 4
4 .故 3

解析: (Ⅰ) f ( x) ? ?

?3x ? 3, x ? [1,??) ?1 ? x, x ? (??,1)

当 x ? 1 时,由 f ( x) ? 3x ? 3 ? 1 得 x ?

1? x ?

4 ;当 x ? 1 时,由 f ( x) ? 1 ? x ? 1 得 x ? 0 ,故 0 ? x ? 1 .所以 f ( x) ? 1 的解集为 3

3? ? M ? ?x | 0 ? x ? ? . 4? ?
(Ⅱ)由 g ( x) ? 16x ? 8x ? 1 ? 4 得 ?
2

1 3 1 ? ? x ? ,即 N ? ? x | ? ? x ? 4 4 4 ?

3? ? ,故 4?

? M ? N ? ?x | 0 ? x ? ?
2

3? ? .当 x ? M ? N 时, f ( x) ? 1 ? x , 4?
1 1 1 ? ( x ? )2 ? 4 2 4

故 x f ( x) ? x[ f ( x)] ? xf ( x)[ x ? f ( x)] ? xf ( x) ? x(1 ? x) ? 评注:考查绝对值不等式解法和二次函数的最值. 【巩固练习】

1. ( 2013 年 新 课 标 Ⅱ 理 ) 已 知 集 合 M ? x | ( x ? 1)2 ? 4, x ? R , N ? ??1, 0,1, 2,3? , 则

?

?

M ?N ?
A. ?0,1,2?

【答案】A

B. ?? 1,0,1,2?

C. ?? 1,0,2,3?

D. ?0,1,2,3?

2.(2013 年新课 1 理)已知集合 A ? x | x ? 2 x ? 0 , B ? x | ? 5 ? x ? 5 ,则(
2

?

?

?

?

)B.

A.A∩B=?

B.A∪B=R

C.B? A

D.A? B

3.(2011 年江西理)若集合 A ? {x ?? ? ? x ?? ? ?}, B ? {x A . {x ??? x ? ?} B. {x ? ? x ??}

x?? 则 A ? B ?【答案 B】 ? ?} , x
D. {x ? ? x ??} )

C. {x ? ? x ? ?}

4.(2011 年江西文)若 f ( x) ?

1 ,则 f ( x) 的定义域为( log 1 (2 x ? 1)
2

A. (? 解析

1 , 0) 2

B. (?

1 , ??) 2

C. (? ,0) ? (0, ??)

1 2

D. (?

1 , 2) 2

? 1 ? log1 ?2 x ? 1? ? 0,? 2 x ? 1 ? 0,2 x ? 1 ? 1,? x ? ? ? ,0 ? ? ?0,??? . ? 2 ? 2

5.(2012 年重庆理)不等式 A. ? ?

x ?1 ? 0 的解集为( 2x ?1
C. ? ? ?. ?



? 1 ? ,1 ? 2 ? ?

B. ? ?

? 1 ? ,1 ? 2 ? ?

? ?

1? ? ? ?1,?? ? 2?

D. ? ? ?,? ? ? ?1,?? ? 2

? ?

1? ?

解析:原不等式等价于 ( x ? 1)(2 x ? 1) ? 0 或 x ? 1 ? 0 ,即 ? 等式的解为 ?

1 ? x ? 1 或 x ? 1 ,所以不 2

1 ? x ? 1 ,选 A. 2

6. (2013 年安徽理) 已知一元二次不等式 f (x)<0 的解集为 ? x |x<-1或x> 解集为( )

1 2

? ,则 f (10x )>0 的
D. ?x |x<-lg2

A. ?x |x<-1或x>lg2

?;

B. ?x |-1<x<lg2

?;

C. ?x |x>-lg2

?;

?

x 解析: 由题知, 一元二次不等式 f ( x) ? 0 的解集为 ( ? 1, ) 即 ? 1 ? 10 ?

1 2

1 ? x ? ? ln 2 2

所以选 D。
2 2 7 错误! 未指定书签。 . (2013 年重庆文)关于 x 的不等式 x ? 2ax ? 8a ? 0 ( a ? 0 )的解集为

( x1 , x2 ) ,且: x2 ? x1 ? 15 ,则 a ? (
A.

) 【答案】A

5 2

B.

7 2

C.

15 4
) 答案 C

D.

15 2

8.(2014 年大纲文)不等式组 ? A. {x ?2 ? x ? ?1} B.

? x( x ? 2) ? 0 的解集为( ? x ?1

{x ?1 ? x ? 0}

C. {x 0 ? x ? 1}

D. {x x ? 1}

9.(2012 年山东理)若不等式 kx ? 4 ? 2 的解集为 x 1 ? x ? 3 ,则实数 k ? __________. 解析:由 | kx ? 4 |? 2 可得 2 ? kx ? 6 ,所以 1 ?

?

?

k k x ? 3 ,所以 ? 1 ,故 k ? 2 。 2 2

2 10. (2013 年四川理) 已知 f ( x ) 是定义域为 R 的偶函数,当 x ≥ 0 时, f ( x) ? x ? 4 x ,那么,

不等式 f ( x ? 2) ? 5 的解集是____________.

解析:因为 f(x)为偶函数,所以 f(|x+2|)=f(x+2) ,则 f(x+2)<5 可化为 f(|x+2|)< 5,即|x+2| ﹣4|x+2|<5, (|x+2|+1) (|x+2|﹣5)<0,所以|x+2|<5,解得﹣7<x<3,所以不 等式 f(x+2)<5 的解集是(﹣7,3) . 11.(2013 年广东理)不等式 x ? x ? 2 ? 0 的解集为___________.【答案】(-2,1)
2

2

12 错误! 未指定书签。 . (2013 年重庆文) 设 0 ? ? ? ? ,不等式 8x2 ? (8sin ? ) x ? cos 2? ? 0 对 x ? R 恒成立,则 a 的取值范围为____________.【答案】 [0, 13.(201515 年江苏)不等式 2 14. 设全集为 R , 函数 f ( x) ? N,则 M ? N 等于
x ?x
2

?
6

] [

5? ,? ] 6

? 4 的解集为________.【答案】 (?1, 2).

函数 f ( x) ? ln(x 2 ? 4 x) 的定义域为 4 ? x 2 的定义域为 M,


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