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高中数学知识系列之排列组合及概率的基本公式、概念及应用


高中数学知识系列之排列组合及概率的基 本公式、概念及应用
70 分类计数原理(加法原理) : N ? m1 ? m2 ?

? mn . 分步计数原理(乘法原理) : N ? m1 ? m2 ? ? mn . n! * m 71 排列数公式 :An = n(n ? 1)?(n ? m ? 1) = .( n ,m ∈N , 且 m ? n ). 规定

0! ? 1 . (n ? m)! A m n(n ? 1) ? (n ? m ? 1) n! * m 72 组合数公式:C n = n = = ( n ∈N ,m ? N , 且 m ? n ). m 1? 2 ? ? ? m m! ? (n ? m)! Am
m m n?m m?1 m 0 组合数的两个性质:(1) C n = Cn ;(2) C n + Cn = Cn ?1 .规定 C n ? 1 .
0 n 1 n?1 2 n ?2 2 r n ?r r n n 73 二项式定理 (a ? b) n ? Cn a ? Cn a b ? Cn a b ? ? ? Cn a b ? ? ? Cn b ;

r n ?r r 二项展开式的通项公式 Tr ?1 ? Cn 1, 2?,n) . a b (r ? 0,

f ( x) ? (ax ? b)n ? a0 ? a1x ? a2 x2 ?

? an xn 的展开式的系数关系:

a0 ? a1 ? a2 ?

? an ? f (1) ; a0 ? a1 ? a2 ?

? (?1)n an ? f (?1) ; a0 ? f (0) 。

74 互斥事件 A,B 分别发生的概率的和:P(A+B)=P(A)+P(B). P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An). n 个互斥事件分别发生的概率的和: 75 独立事件 A,B 同时发生的概率:P(A·B)= P(A)·P(B). n 个独立事件同时发生的概率: P(A1· A2· …· An)=P(A1)· P(A2)· …· P(An).
k k n ?k 76 n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率: P . n (k ) ? Cn P (1 ? P)

77 数学期望: E? ? x1P 1 ? x2 P 2 ? 数学期望的性质 (1) E (a? ? b) ? aE (? ) ? b .

? xn Pn ?
(2)若 ? ~ B(n, p) ,则 E? ? np .

(3) 若 ? 服从几何分布,且 P(? ? k ) ? g (k , p) ? qk ?1 p ,则 E? ? 78 方差: D? ? ? x1 ? E? ? ? p1 ? ? x2 ? E? ? ? p2 ?
2 2

1 . p

? ? xn ? E? ? ? pn ?
2

标准差: ?? = 方差的性质:

D? .
2

(1) D ? a? ? b? ? a D? ; (2)若 ? ~ B(n, p) ,则 D? ? np(1 ? p) .
(3) 若 ? 服从几何分布,且 P(?

? k ) ? g (k , p) ? qk ?1 p ,则 D? ?
2

q . p2

2 方差与期望的关系: D? ? E? ? ? E? ? .

79 正态分布密度函数: f ? x ? ?

式中的实数μ , ? ( ? >0)是参数,分别表示个体的平均数与标准差. 对于 N (?, ? ) ,取值小于 x 的概率: F ? x ? ? ? ?
2

? 1 e 2? 6

? x ? ? ?2
262

, x ? ? ??, ?? ? ,

P?x1 ? x0 ? x2 ? ? P?x ? x2 ? ? P?x ? x1 ? 80 f ( x ) 在 x0 处的导数(或变化率) :

? x?? ? ?. ? ? ?

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y ? lim . ?x ?0 ?x ?x ? 0 ?x ?s s (t ? ?t ) ? s (t ) ? lim 瞬时速度: ? ? s?(t ) ? lim . ?t ?0 ?t ?t ? 0 ?t ?v v(t ? ?t ) ? v(t ) ? lim 瞬时加速度: a ? v?(t ) ? lim . ?t ? 0 ?t ?t ? 0 ?t 81 函数 y ? f ( x) 在点 x0 处的导数的几何意义: f ?( x0 ) ? y?
x ? x0

? lim

函 数 y ? f ( x) 在 点 x0 处 的 导 数 是 曲 线 y ? f ( x) 在 P( x0 , f ( x0 )) 处 的 切 线 的 斜 率

f ?( x0 ) ,相应的切线方程是 y ? y0 ? f ?( x0 )(x ? x0 ) .
82 几种常见函数的导数: (1) C ? ? 0 (C 为常数).(2) ( x n )? ? nxn?1 (n ? Q) .(3) (sin x)? ? cos x . (4) (cosx)? ? ? sin x . (5) (ln x )? ?

1 1 ; (log a x)? ? log a e . x x

(6) (e x )? ? e x ; (a x )? ? a x ln a . 83 导数的运算法则: (1) (u ? v)' ? u ' ? v' .(2) (uv)' ? u 'v ? uv' .(3) ( ) ?
'

u v

u 'v ? uv ' (v ? 0) . v2

84 判别 f ( x0 ) 是极大(小)值的方法: 当函数 f ( x ) 在点 x0 处连续时, (1)如果在 x0 附近的左侧 f ?( x) ? 0 ,右侧 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x0 ) 是极大值; (2)如果在 x0 附近的左侧 f ?( x) ? 0 ,右侧 f ?( x) ? 0 ,则 f ( x0 ) 是极小值. 85 复数的相等: a ? bi ? c ? di ? a ? c, b ? d .( a, b, c, d ? R ) 86 复数 z ? a ? bi 的模(或绝对值) | z | = | a ? bi | = a ? b . 87 复平面上的两点间的距离公式:
2 2

d ?| z1 ? z2 |? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ( z1 ? x1 ? y1i , z2 ? x2 ? y2i ).
88 实系数一元二次方程的解 2 实系数一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 ,

?b ? b2 ? 4ac ; 2a b 2 ②若 ? ? b ? 4ac ? 0 ,则 x1 ? x2 ? ? ; 2a 2 ③若 ? ? b ? 4ac ? 0 , 它在实数集 R 内没有实数根; 在复数集 C 内有且仅有两个共轭
2 ①若 ? ? b ? 4ac ? 0 ,则 x1,2 ?

复数根 x ?

?b ? ?(b2 ? 4ac)i 2 (b ? 4ac ? 0) . 2a

19、解排列组合问题的依据是:分类相加,分步相乘,有序排列,无序组合. 20、解排列组合问题的规律是:相邻问题捆绑法;不邻问题插空法;多排问题单排法;定位 问题优先法;多元问题分类法;有序分配问题法;选取问题先排后排法;至多至少问题 间接法,还记得什么时候用隔板法?

m 21、排列数公式是: 组合数公式是: 排列数与组合数的关系是: Pnm ? m! ? Cn m n?m 组合数性质: C n = Cn m m?1 m + Cn = Cn Cn ?1

?C
r ?0

n

r n

=2

n

C ?C
r r

r r ?1

?C

r r ?2

? ?? C ? C
r n

r ?1 n?1

0 n 1 n?1 2 n ?2 2 r n ?r r n n 二项式定理: (a ? b) n ? Cn a ? Cn a b ? Cn a b ? ? ? Cn a b ? ? ? Cn b r n ?r r 二项展开式的通项公式: Tr ?1 ? Cn 1, 2?,n) a b (r ? 0,

概率统计 22、有关某一事件概率的求法:把所求的事件转化为等可能事件的概率(常常采用排列组合 的知识),转化为若干个互斥事件中有一个发生的概率,利用对立事件的概率,转化为 相互独立事件同时发生的概率, 看作某一事件在 n 次实验中恰有 k 次发生的概率, 但要 注意公式的使用条件。 (1)若事件 A、B 为互斥事件,则 P(A+B)=P(A)+P(B) (2)若事件 A、B 为相互独立事件,则 P(A·B)=P(A) ·P(B) (3)若事件 A、B 为对立事件,则 P(A)+P(B)=1 一般地, p A ? 1 ? P? A? (4)如果在一次试验中某事件发生的概率是 p,那么在 n 次独立重复试验中这个事恰好 发生 K 次的概率: Pn ?K ? ? Cn p ?1 ? p?
k k n ?k

??

23、抽样方法主要有:简单随机抽样(抽签法、随机样数表法)常常用于总体个数较少时,它 的主要特征是从总体中逐个抽取;系统抽样,常常用于总体个数较多时,它的主要特征 就是均衡成若干部分,每一部分只取一个;分层抽样,主要特征分层按比例抽样,主要 使用于总体中有明显差异。它们的共同特征是每个个体被抽到的概率相等。 24、用总体估计样本的方法就是把样本的频率作为总体的概率。


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