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全国中学生物理竞赛课件24:几何光学问题集成


?

光总沿着光程为极值的路径传播——在均匀介质里 沿直线传播,因为给定两点间直线路径最短;在不均匀 的介质中,光沿着所有可能的光程中有最小、最大或稳 定的光程的路径传播,即遵从费马原理.

ni
A

?Si
B

l ? lim

ni ??si ? N

??
i ?1

N

P?
F1

P

P?P

F2

F1

F2

l F1PF2 ? 2an l F1 P ?F2 < 2an ? l F1 PF2 l F1P ??F2 > 2an ? l F1PF2

l AOB ? n1 ? AO ? n2 ? OB
? n1 ? x ? h ? n2 ? y ? h
2 2 1 2 2 2

A
h1
a
x
i
N n1

? n1 ? x ? h ? n2 ?
2 2 1

?a ? x?

2

2 ? h2

y
O

a

光程有最值应满足
lim n1 ?

r

? x ? ?x ? ? h12 ? n2 ?
2

? a ? x ? ?x ? ? h22 ? n1 ? x 2 ? h12 ? n2 ?
2

? a ? x ? ? h22
2

h2

n2
?0

? x ?0

?x

n1

x x 2 ? h12

? n2

y
2 y 2 ? h2

B

即 n1 sin i ? n2 sin r

某行星上大气的折射率随着行星表面的高度h按照n=n0- ah的规律而减小,行星的半径为R,行星表面某一高度h0处有光波道,它始终在 恒定高度,光线沿光波道环绕行星传播,试求高度h0.

专题24-例1
查阅

依据费马原理求解: l ? ? n0 ? ? h0 ? ? 2? ? R ? h0 ? ? n0 ? ? 2? a ? ? h0 ? ? ? R ? h0 ? ? a ? 由基本不等式: n0 ? n0 ? ? ? ? h0 ? ? ? R ? h0 ? ? ?R?C a ? a ?
1 ? n0 ? n0 ? ? ?当 ? ? h0 ? ? ? R ? h0 ? , h0 = ? ? R ? 时光程有最大值 2? a ? a ? ? 1 ? n0 ? 物像公 即在 ? ? R ? 处存在光的圆折射波道 式 2? a ?

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依据惠更斯原理求解:
c c 由 ? h0 nh hnh??h

M
N h O R

c c n0 ? ah0 n0 ? a ( h0 ? ?h) ? R ? h0 R ? ( h0 ? ?h)

h0

? n0 ? ah0 ?? R ? h0 ? ? ? ?? n0 ? ah0 ? ? a?h? ?? ?? R ? h0 ? ? ?h? ?

? n0 ? ah0 ? ?h ? a?h ? R ? h0 ?

1 ? n0 ? h0 ? ? ? R ? 2? a ?

?
光源形成的单心光束的顶点 实物点 虚物点

被光具作用(折射、反射)后的单心光束的会聚 点或发散点称作实像点或虚像点

A S 根据费马原理可以推论,任 一发光点所发光束经球面反 射或折射后能成像于一点的 条件是,从物点到达像点的 所有光线的光程都相等 y
i

x O1

P

C

?Q
y?

i?

h

F

O

? 2

S?
2

OP ? u
2

OQ ? v
2

2 2 ? ? ? y ? h? ? h? ? ? 2 2 y ? ? y ?v 1 ?1 ? 1 ? ? ?v ? k ? ? ?u ? x? 1 x ???1 ? ? 2 2 ? ?u ? ?x ? ? ? ? ? x? ? y ?vu ? ? ? ? 2 u v 22f 2 ? y? ? h? ? y ? h? 对近轴光线 ? ? u ? x ? ? ? ?v ? x? ? v x? 2?u ? x? 2 ? v2?

h ? ? y y y y h 1 1 2 ? ? ? ? ?? llSO? ? u ? x ? y ? h ? v ? x ? y ? h? ? x ? h ? ? h ? ? ? ? ? ? ? ? ? S u ? v ? ? ? h ? ? ? 1 ? ? ? ? 2 2r 2u 2v u v 2 u v r ? ? ? ?
2 2 2 2

B ?

某观察者通过一块薄玻璃板去看在凸面镜中他自己眼睛的 像.他移动着玻璃板,使得在玻璃板中与在凸面镜中所看到的他眼睛的像重合在 一起.若凸面镜的焦距为10 cm,眼睛与凸面镜顶点的距离为40 cm,问玻璃板距 观察者眼睛的距离为多少?

专题24-例2

S?

S2

S

x

x

S1

根据近轴光线平面折射规律:

SS2 ? ? n ? 1? x
根据球面镜物象公式:

1 1 1 ? ?? ? n ? 1? x ? 40 2 x ? 40 10

x ? 24.2cm

圆锥面的内表面镀上反射层,构成圆锥面镜.在 圆锥形内沿轴拉紧一根细丝.要使细丝发出的光线在圆锥内面上反 ? 射不多于一次,圆锥形最小的展开角α=____________. 120

若3

?
2

? 180

?
P?
?
2

一次反射光无入射点

? 2? 2?
2? ? 2 2

A

P
B

则 ? ? 120

?

小路灯L发出的光束在离灯R0=100 m处会聚成小光斑A.在光传 播的路径上放两个正方形平面镜,如图.两镜面的交线到灯的距离r=70 m,并且 垂直穿过光束轴.两面镜互相垂直,其中一个平面镜与光束轴交成角α=30°,则 现在光束将会聚在离灯__________m处.

则两垂直平面镜将令灯 发出的光束会聚于离灯

L发出的光为会聚光束,A为虚物点 轴以上部分光束经平面镜OM反射仍为会聚光束,顶点 在A1,A1与A关于OM对称 向A1会聚的这束光射向平面镜ON并被二次反射,反射光束会 聚于A3,相当于虚物A1通过ON成实像,A3与A1关于ON对称, 由于OM与ON垂直,易知A3在L发出的光束轴上且OA3= OA; 同理,L发出的轴以下部分光束先经平面镜ON反射、再 经平面镜OM反射亦不改变会聚性,并由对称性知会聚于A3 A2 M L 虚物 A O A3 A1 N

40

100m ? 2 ? 30m ? 40m

由点光源S发出的近轴光线经透明球形成像,像到透 明球的距离为b,如图所示.如果沿垂直于水平轴将球分成两半,左 左侧 ,与球的距离为 边一半的平面上镀银,那么像的位置在__________ b . ____________

左半平面镀银成平面镜,通过左球面 的折射光线通过平面镜反射不改变光 束敛散性只是再次由左球面折射而已
S ?? S?

b
S ?? 与 S ? 两像情况完全相同,关于平面镜对称

深度为3 cm的水面上(n1=1.33)漂浮着2 cm厚的醇 (n2=1.36)层,则水底距醇表面的像视深度为___________ 3.7cm.

对水醇界面

n2 y ? h1 n1
对醇气界面

醇表面

h2
H h1 y

y ? h2 H? n2
1.36 ?3? 2 ? 1.33 cm 1.36

水醇界面



? 3.7cm

S?

如图所示,两块平面镜宽度均为L=5 cm ,相交 成角α=12°,构成光通道.两镜的右端相距为d=2 cm,左端靠在 光接收器的圆柱形的感光面上.试问入射光线与光通道的轴成的最 大角度为多少,才能射到光接收器上? 不经反射,入射光能射到感光面 上,入射光与轴所成最大角如图 经一次反射而能入射光面上, 入射光与轴所成最大角增大 以最大角度入射的光 线延长后应恰与接受器表 ? max 面相切,如图
? 1 ? 2?

?

m

?? ?

?
2

d r 2L ? 而 sin ? sin ? ? ? 1? sin ? 0.5 2 2? L ? r ? r?L d 2

?

?max ? 30 ? 6 ? 36
? ?

?

如图所示,介质在一定区域x>0、y>0内的折射率随着y的变 化而连续变化.一束细光束沿x方向垂直入射到介质表面,并沿着一个半径为R的 圆弧路径穿过介质,求折射率n随y变化的规律.如果y=0时折射率n0=1,已知的材 料中最大折射率(金刚石折射率)不超过2.5,圆弧所对应的圆心角最大可能达多 少?

专题24-例3

光穿过几个互相平行的、折 射率不同的介质区时 有

y
y

?
y

O点光沿x方向,则第i层入射角ri满足

n0 sin? ? n1 sin r1 ? ?? ? ni sin ri
O

ni

ri
ri

ri+1

n3 n2 n0 n ? 0 n1 sin ri ? sin 90 ? O ni ni ? n0 ? 由图示几何关系得 y ? R ? R sin r ? R ? 1 ? ? i ni ? ? R

x

x

n( y ) ?

n0 ? 1, nm ? 2.5

? m ? 90 ? sin
?

R? y

n0

?1

1

? 66.4

?

nD 、nC、nF 分别表示材料对单色光D及单色光C及F的折射率.一束白光照射到一 顶角A=60°,冕牌玻璃(n=1.500,n=1.495,)制的棱镜上,使单色光D在棱镜中 的传播方向垂直于角A的平分面.求从棱镜射出的单色光C和F之间的夹角.

专题24-例4通常用阿贝数

? ? ? nD ? 1? / ? nF来表示光学材料的色散特性,其中 ? nC ?

折射光具之三棱镜 对光路的作用
A 顶角

? ? ? i ? r ? ? ? i? ? r ? ?

r ? r? ? A
i B O E r r? D
O? i?

δ

? ? i ? i? ? A
i
i?

? min ? 2i ? A
C

偏向角δ 反映三棱镜改变光传播方向的程度!
解答

本题比较三棱镜对C、D、F三 种色光改变传播方向的程度!
单色光D对称进出三棱镜,光路如示

A
?

单色光D通过三棱镜偏向角为

A i ? sin nD sin ? sin?1 0.750 2
?1

? D ? 2i ? A

i

r

r?

i?

单色光C通过三棱镜偏向角小于D 单色光F通过三棱镜偏向角大于D

? ?A ? C ? i ? iC ? ?A ? F ? i ? iF

? sin iF 由 sin ? A ? rC ? ? sin iC sin i 由 ? nC ? 得 sin rC sin ? A ? rC ?

? ? iC ? 则? F ? ? C ? iF

其中 sin i ? nF = 得 iF ? sin rC

? 49 ? 24?
?

? ? 48 ? 16 iC

? F ? ? C ? 1.08

?

如图.湖湾成顶角为α的楔形,岸上住有一个渔人:他的房子 在A点,从A点到他离湖最近的C点之距离为 h,而到湖湾的一头,即到D点之距离 为.湖对岸 B点处有渔人好友的房子,点B位置与A点相对湖岸对称.渔人拥有一 只小船,他可以速度沿岸步行或以速度 v/2乘船在湖中划行,他从自己家出发到好 友家里去.求他需要的最短时间.

D 走“光对称进出三棱镜”时的路径时间最 短,即沿图答中折线APQB,其中PQ∥AB, ? ? sin i v Q r ? 借助光折射模型: sin r ? v ? 2 l P 2 r h i 由几何关系 AP ? QB 2 ?
PQ ? 2

B

则最短时间为
2h t? ? v cos i
4sin

?

l 2 ? h2 ? h tan i sin

cos i

?

?
2

A

4

?

l 2 ? h2 ? h tan i sin v

?

? 2 ?

? ? l 2 ? h2 2 , ? 2 ? h 若PQ ? 0, 即 l 2 ? h2 ? h tan i , 1 ? 4sin 2 2
4sin 2

? 2 2 ? l ? h ? 2h 1 ? 4sin 2 2 2 v

? ? ? 2sin ? ? ? 2 2 2h l ? h 2 ? sin ? 4? ?h ? ? v 2 ? 2? v 1 ? 4sin 2 v 1 ? 4sin ? ? 2 2? ?

h

C

2l t? v

如图,等腰直角玻璃镜的底面AC和侧面BC是光滑的,而侧面AB是毛糙的, 棱镜的底面放在报纸上,一位观察者从光滑面BC 看去,只看见报纸上一篇文章的一部分,这 可见部分与应见部分之比为 k=0.95(按面积),求玻璃的折射率.

从BC看到压在玻璃棱镜下的文 字,需有进入棱镜的光从 AC面折 设全反射临界角为α,从BC面最上 端进入的光线 BD恰发生全反射,则 射到报纸,经由纸面反射回棱镜 AD 间没有射向报纸的光线,是看不 再出射到观察者视场中!若投射 到文字的区域,即有 到AC 面某部分的光发生了全反射, a ? 1 ? 0.95 ? AC ? l ? 其下面文字就看不见了; ? l
由几何关系,在三角形ADB中有 A

B

a ? ? sin 45? ? ? 2 sin 90 ? ?

?

l

a D

C

?

?

?

tan? ? 0.9
1 ? 0.9 n? ? 1.5 0.9
2

1 ? sin ? ? n

假定你站在水平的大沙漠上.在远处,你会看见好似水面的东 西,当你靠近“水面”时,它会同时后退,并保持你同它的距离不变,试解释这 一现象.假定你的两眼离地面1.6m,且你同“水面”的距离保持为250 m,试计算 地表温度.空气在15℃,一个大气压下的折射率为 1.0002760,假定在距地面 1 m 以上空气温度恒为30℃,大气压强为0.1013 MPa.折射率用n表示,并假定(n-1)同 空气密度成正比.

由于(n-1)∝ρ,温度 T越高,空气密度越小,折 射率也越小,大沙漠地表 温度较高,高处景物(例 如白云)的光自上向下行 进,连续从光密介质向光 疏介质折射,在地面附近 发生全反射,反射光进入 人眼的结果是看到了景物 的虚像,形似水面

沙漠蜃景
解答

根据克拉珀龙方 程,压强一定时有

T ? ? C , 而 ? n ? 1? ? ?

n30,T30 1.6m
1m

1 则 ? n ? 1? ? T


?
250m

n0,T0

n30 sin? ? n0 sin90? 其中 sin? ?
n0 ? 1 303 由 ? n30 ? 1 T0
T0 ?

250 250 ? 1.6
2 2

288 而 ? n30 ? 1? ? ? n15 ? 1? 303

288 ? 0.0002760 250 ? 288 ? ?1 ? 303 ? 0.0002760 ? 1? ? 2 2 ? ? 250 ? 1.6

? 329K

图中的矩形ABCD代表一个折射率为n的透明长方体,其四周介质 1 的折射率为1,一束单色细光束以角θ入射至AB面上的P点, AP ? AD.不考虑 2 在长方体内的二次及二次以上的多次折射,试解下面三个问题: ⑴若要求此光束进 入长方体能射至AD面上,角θ的最小值θmin应为多大?⑵若要求此光束能在AD面 上全反射,角θ应在什么范围内?长方体的折射率n应在什么范围内?⑶画出角θ小 于上问中许可的最小角及大于上问中许可的最大角时的光路图.

⑵若要求此光束能在AD面上全反射,应满足
1 1 ? sin ? ? ? sin ? 90 ? r ? ? ? 1 ? ? ? ? n n ? n ?
2

sin ? 1 ? tan r ? ? ? 2 则? ? min ? sin ? ? n ? ? sin r

⑴若要求此光束进入长方体能射至AD面 上,折射光至少能射至D点: n n

? n sin r ??
?1

?m
P

?

? sin

n 5

55

A

B

r
D C

n2 ? 1 ? sin ?

5 ?n? 5 ⑶如示: 2

n 5 n ?1 ? , n? 2 5 n ? 1, n ? 5 5
2

有一薄凸透镜,凸面曲率半径R=30 cm,如图所示.已知在利 用近轴光线成像时:⑴若将此透镜的平面镀银,其作用等同于一个焦距是30 cm 的 凹面镜 ;⑵若将此透镜的凸面镀银,其作用也等同于一个凹面镜.求在⑵情况下 的等效凹面镜的焦距. 若将此透镜的平面镀银, 其作用要等同于一个焦距 是30 cm 的凹面镜,应使 主轴上距球面顶点2f的物 点发出的光进入球内后与 镀银平面垂直地入射,则 反射后光反向沿原路径到 达主轴上物点处,即等效 于凹面镜过曲率中心的光 线反射后仍过曲率中心

r
R

i
2f

2 f ? tan ? i ? r ? ? R ? tan r
对近轴光线,由几何关系得

由图示几何关系得

2 f ?i ? r ? ? R ? r

i 3 ? r 2

续解

查阅 若将此透镜的凸面镀银,其作用也要 等同于一个凹面镜,应使进入镜中的 光沿凸面的径向射至镀银球面,则反 射后光沿原路径返回,设等效凹面镜 曲率半径为x x ? 2 f ? 由图示几何关系得

f ? ? 10cm
i

x ? tan i ? R ? tan r
对近轴光线,由几何关系得

2 f ? i ? R? r

r

i 3 而 ? r 2

x R

的曲面),其焦点为F1和F2;S2面是球面,其球心C与F2重合.已知此透镜放在空 气中时能使从无穷远处位于椭球长轴的物点射来的全部入射光线(不限于傍轴光 线)会聚于一个像点上,椭圆的偏心率为e.⑴求此透镜材料的折射率n(要论 证);⑵如果将此透镜置于折射率为n′的介质中,并能达到上述的同样的要求, 椭圆应满足什么条件?

专题24-例7有一薄透镜如图示,S1面是旋转椭球面(椭圆绕长轴旋转而成

符合要求的透镜形成光路如示 N

F1 F2 O1 F1 ? O1 F2 ? 2a ? e F1 F2 O1 F1 O1 F2 ? ? sin 2r sin ? i ? r ? sin ? i ? r ? sin i 1 ? ?n sin r e
透镜置于折射率为n1的介质中时

由几何关系

i O1

r
S1 F1 S2

N?

C F2

sin i 1 n1 ? ? sin r e? n

n e? ? n1

如图表示一条光线经过薄会聚透镜折射的光

路 ABC 和透镜的后焦点 F .试用圆规和直尺,作出透镜所 在位置和它的主光轴.
①连接B、F两点; ②以BF为直径作圆; ③延长入射线AB; ④用有刻度的直尺零刻线对准点F,以F 为轴转动 直尺,当FK=GE时,作线段EF; ⑤过F点作EF的垂线为主轴, 与圆交于O即为光心; ⑥OB为透镜所在位置 ∵BG⊥EF ? Rt ?BEG ? Rt ?OKF 则OK∥AB为副光轴 EF为焦平面 A E ④ G K F ⑥ ③

B ② O ①

C ⑤

AB经透镜折射后的光线过副焦点K,即为BC

利用薄凸透镜得到三齿的像,如图.三齿 ABCEDG 的底边 AC 位于主光轴上, AB=BC . AB 部分成像 放大率 β1=6,而 BC部分的放大率 β2=3 ,试求 BD部分成像 的放大率.
v A ? vB ?1 ? ?6 C B A uB ? uA v B ? vC ?2 ? ?3 uC ? uB BD放大率为 1 1 1
根据题意
E D G

L
O

f
根据公式

?

uA

?

vA

1 1 1 ? ? f uB vB 1 1 1 ? ? f uC vC

vB ?? uB
? 2? 1 ? 2 ?1 ? ? 2

?2

在不透光的箱内直立着一根蜡烛,箱的后壁是平面 镜,前壁嵌有透镜,如图,箱长为L,在这光具组中观察到蜡烛火焰 的两个像,并且像的大小相等.试求透镜的焦距. 物直接经透镜成放大虚像

S1 物经平面镜的反射光再经透镜成放大实像 设前一像之像距v1,后一像之像距v2,蜡烛距透镜u,则

S2

两像放大率为

v1 v2 ? u 2L ? u

1 1 1 ? ? f u v1 1 1 1 ? ? f 2 L ? u v2

f ?L

凸透镜后面距离L=4 cm(大于焦距)处放置一块垂直于主光轴的平面镜 透镜前面垂直于主光轴放一页方格纸,如图.当这页纸相对透镜移动两个位置时(这两个 位置相距=9 cm),纸上均得到其方格的像.试求凸透镜的焦距.

物、像位置重合是平面镜使光路可逆而成! L
O L O 由透镜成像公式:

1 1 1 ? ? f f ?l L 1 1 1 ? ? f f ?9 4

f ? 3cm

如图所示的薄透镜系统中,透镜L1和L2的焦距f1=f2=10 cm, 两透镜的间距为70 cm,物在L1的前方20 cm处,试求最后像的位置、大小与正倒 为提高光能利用率(增加系统的聚光能力以增加像亮度),可增加第三个会聚透 镜L3,为了使最后像的位置仍保持不变,试问 L3应放在何处?试借助特殊光线用 作图法解释L3能提高聚光能力的原因。

1 1 1 ? ? f1 2 f1 v1 1 1 1 对L2成S1的缩小倒立实像: ? ? f 2 d ? 2 f v2
对L1成S的等大倒立实像: S L1 L3

v1 ? 20cm v2 ? 12.5cm

L2

S2 F1 S1

F2

P

n1
i

x

A
C

n2
? y?

y
O

O1 h

? r

-s

s?

P?

B n n 2 2 n 2 ?2 2 y 22 2 2 ? n1 1 ? ? y n y n y n y n y n n n n2 ? h ? ? ? 1? s ? x 2 1? ? n 2 1 2 1 ? ? ? ? l ? n ? y ? h s ? x ? ? y ? h ? ? ? ? ? ? ? 根据费马原理可以推论,任一发光点所发光束经球面折射后 ? ? P n2 s 1 2 n? ? l ? ? nPO ? ? ? h ? n1 ? ? ? ? ? ? ? ? 0 1 s1? ? 2 ? 2s 2s? s? R R R? ? s s s? ? s ?2 ? s s s 能成像于一点的条件是,从物点到达像点的所有光线的光程 2 2 n ? ? ? n 都相等 2 ? y ? h? ? ? y?1? h? ? 2 2

? n1

? ? ? ?1 ? ? ? ? ? s ? x 1 ? ? ? 2 2 ? f 2? ? s?f? ? ? ? s ? x 1 x? ? ? ? ? ? ? ? n2 R n1 R 2 y ? n1 s ? 22 2 f f ? y? ?? ? ? ? ?y 2 1 2 f1 ?? ? y ? ? h ? ?h h?f ? n2 ?? ??n1 x ?? 12 n1 ? n2 ? n1 ? ? ?n ?n ys ? xn ?2? n1s 2 s ? s? ?s? 2?? 2? s ? x? 2 ?s2? s x? s

? ?s ? x?

n1 P -s 对球面AOB运用球面折射公 式: O -R2

A n
?

n2
P ??
O R 1

P?

B
d 薄透镜d→0

s?

s ??

n n1 n ? n1 ? ? s?? s R1

对球面AO′B运用球面折射公式:

n2 n2 ? n n ? ? s? s?? ? d R2

1 n ? n1 n2 ? n 物方焦距 ? ? ? f f f1 1 n1 R n1 R2 21
像方焦距

n2 n1 n ? n1 n2 ? n ? ? ? s? s R1 R2

? ? 1 ? n1 ? n2 ? n s1 ? n s?
f2 n2 R1 n2 R2

专题24-例5 如图所示,一玻璃半球的曲率半径为R,折射率n=1.5,其平面的一边镀
对球面所成第1个像运用高 斯公式: n h 2R

银.一物高为h,放在曲面顶点前2R处.求⑴由球面所成的第一个像的位置;⑵这一光具组 的最后一个像在哪里?

f1 f2 ? ?1 ?2 R s?

1 其中 f1 ? R ? ?2 R 1 ? 1.5

1.5 f2 ? R ? 3R 1.5 ? 1

s? ? ?

即球面一次折射后成平行光! 被平面镜反射后仍为平行光再次由球面折射:

f2 f1 ? ?1 ?? s??

s?? ? 2R

上贴一个平凸透镜,透镜在空气中的焦距等于f.透镜和器皿壁是非 4 3 n ? n ? 常薄的,水的折射率为 ,而玻璃的折射率 .物体位于透 水 玻 3 2 镜的主光轴上.求出并讨论像的位置 y与物体的位置 x的关系.作为 特例,求出x=f时的像的位置和放大倍数.如果透镜是贴在器皿内壁 那时候情况是否变化?怎样变化? 透镜在空气中焦距为f

水中的发光体位于距盛水器皿壁x处,从外面往器皿壁 专题24-例6

n水

n玻 n0
-R

f ? 2R
由薄透镜成像普适公式

P?

P

-x

>0 n0 n水 n ? n水 n0 ? n 1 1 4 ? ? ? ? ? y ?x ? ?R y f 3x < 0 1 4 1 ? 1.5 ? ? 当 x ? f 时 y ? ? 3 f y ?3 x ? f 2 n水 y ?? ? ?4 n0 x

续解

透镜是贴在器皿内壁的
由薄透镜成像普适公式

n0 n水 n ? n水 n0 ? n ? ? ? ? y ?x R ? P

n水 P -x

n玻
R

n0

3 4 ? 1 4 2 3 ? ? y ?3 x f 2

1 1 4 ? ? y 3 f 3x
当x ? f 时y ? ? f

4 ?? 3

如图所示,两个完全相同的球面薄表壳玻璃合在一起,中空, 其中一块涂银成为球面反射镜.屏上小孔Q为点光源,它发出的光经反射后成像于 点.调整屏与表壳间的距离 L,当L=20 cm时,像点正好落在屏上.然后在表壳玻 Q? 璃间注满折射率的水.试问,当L为何值时,像点仍落在屏上?

设球面曲率半径R,当L=20cm时, 球面镜反射成像物距 等于像距,由球面镜反射成像公式

Q 在表壳玻璃间注水 使成一水凸透镜!
其像方焦距由

1 1 2 Q? ? ? L L R R ? L ? 20cm

n0

n水

n0

n水 ? n0 n0 ? n水 1 ? ? f2 R ?R

4 4 ?1 1? 1 3 ? 30cm ? 3 ? f2 R ?R 续解

R L

R

Q对水透镜一次成像Q1,由薄透镜成像公式

4 4 ?1 1? 1 1 3 3 ? ? ? S1? ? L? R ?R
Q1对球面镜二次成像Q2

1 1 2 ? ? ? ? S2 ? R S1

Q2对水透镜三次成像在屏

L? ? 12cm
Q?
n0

1 1 1 ? ? ? L? 30 S1 1 1 1 ? ? ? ? S2 ? 10 S1 1 1 1 ? ? ? 30 L? S2
n水 n0

查阅

1 1 ? ? L? S2

4 4 ?1 1? 3 ? 3 ? R ?R

Q R
L?

如图所示,薄壁球形玻璃鱼缸的半径为R,所盛水的折射率n= 4/3.鱼缸左侧与轴线垂直的平面反射镜离球心的距离为3R.一条位于左球面顶点 Q? 处的小鱼沿缸壁以速度 v游动.从鱼缸右侧观察鱼的直接像与反射像(先经平面镜 反射,再经鱼缸所成的像).试求两像之间的相对速度.

由球面折射高斯公式 4 1? n水 P1 1 3 ? ? S ? ?2 R ?R 对近轴光线,由几何关系得

俯视直接成像光路
2r -i

P

S ? ? ?3R

r R O -2R

i

i 4 n水 ? ? r 3

3 R ? ? 2r ? i ? ? 2 R ? r
俯视反射像光路 P3 P2
? ? 2R s2

3R -3R

由球面折射高斯公式

4 ?1 n水 1 ? ? 3 ? ?4 R S2 R ? ? ?16 R S2

P?

P
-4R

O
? s2

? s3

续解

v1 4 3 R ? ? v 3 2R v2 3 16 R ? ? v 4 4R v3 4 7R ? ? v2 3 3 ? 14 R
2v v
P?

4 1? n 1 水 3 ? ? ? 14 R S3 ?R

7R ?? S3 3

查阅

v1 ? 2v

2v 8 v2 ? 3v v31 ? ? 2v ? v 3 3 2v v3 ? 3
P3
O
16R
7 R 3

P1
4R

v
P

P2

2v 3


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