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福建省厦门双十中学2015届高三上学期期中数学试卷(理科)


福建省厦门双十中学 2015 届高三上学期期中数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.请把答案填涂在答题卷的相应位置. 1. (5 分)命题“对任意的 x∈R,x +1>0”的否定是() 2 2 A.不存在 x∈R,x +1>0 B. 存在 x∈R,x +1>0 2 2 C.

存在 x∈R,x +1≤0 D.对任意的 x∈R,x +1≤0 2. (5 分)已知集合 A={3,a },集合 B={0,b,1﹣a},且 A∩B={1},则 A∪B=() A.{0,1,3} B.{1,2,4} C.{0,1,2,3} D.{0,1,2,3,4} 3. (5 分)sinα≠sinβ 是 α≠β 的() A.充分不必要条件 C. 充要条件
2 2

B. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4. (5 分)若 a,b,c 为实数,且 a<b<0,则下列命题正确的是() A.ac <bc
2 2

B. <

C. >

D.a >ab>b

2

2

5. (5 分)已知函数 f(x)=(x﹣a) (x﹣b) (其中 a>b)的图象如图所示,则函数 g(x)=a +b 的图象是()

x

A.

B.

C.

D.

6. (5 分)设 x,y 满足约束条件

,则 z=2x﹣3y 的最小值是()

A.﹣7

B . ﹣6

C . ﹣5

D.﹣3

7. (5 分)设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y =ax(a≠0)的焦点 F,且和 y 轴交于点 A,若△ OAF (O 为坐标原点)的面积为 4,则抛物线方程为() A.y =±4x
2

2

B.y =4x

2

C.y =±8x

2

D.y =8x

2

8. (5 分)下列函数存在极值的是() A.y=2x+cosx C. y=x +3x +3x﹣1
3 2

B. y=e ﹣lnx D.y=lnx﹣

x

9. (5 分)定义:| × |=| |?| |?sinθ,其中 θ 为向量 与 的夹角,若| |=2,| |=5, ? =﹣6, 则| × |=() A.8 B . ﹣8 C.8 或﹣8 D.6

10. (5 分)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,对于任意 x∈R 都有 f(x+4)=f(x)+f (2)成立,当 x1,x2∈[0,2]且 x1≠x2 时,都有 ①函数 f(x)一定是周期函数; ②函数 f(x)在区间[﹣6,﹣4]上为增函数; ③直线 x=﹣4 是函数 f(x)图象的一条对称轴; ④函数 f(x)在区间[﹣6,6]上有且仅有 4 个零点. 其中正确命题的个数是() A.1 B. 2 C. 3 >0.给出下列命题:

D.4

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.请把答案填在答题卷的相应位置. 11. (4 分)设 ,则 =.

12. (4 分)已知双曲线 C1: 近线,则 C1 的离心率=. 13. (4 分)已知 =2 ,



=1(a>0,b>0)与双曲线 C2:



=1 有相同的渐

=3



=4

,…,若

=7

, (a、b 均为

正实数) ,则类比以上等式,可推测 a、b 的值,进而可得 a+b=. 14. (4 分)若定义在[a,b]上的函数 f(x)=x ﹣3x +1 的值域为[﹣3,1],则 b﹣a 的最大值 是.
3 2

15. (4 分)已知 Ai(i=1,2,3,…,n,n≥3,n∈N )是△ AOB 所在的平面内的 n 个相异点, 且 ①| ②| ? |=| = .给出下列命题: |=…=| |= ; |;

*

|的最小值不可能是|

③点 A,A1,A2,…,An 在一条直线上; ④向量 及 在向量 的方向上的投影必相等.

其中正确命题的序号是. (请填上所有正确命题的序号)

三、解答题:本大题共 6 小题,每小题分数见旁注,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程 或演算步骤.请在答题卷相应题目的答题区域内作答. 2 16. (13 分)已知全集 U=R,m>0,集合 A={x|x ﹣x﹣12<0},B={x||x﹣3|≤m}. (1)当 m=2 时,求 A∩(?UB) ; (2)命题 p:x∈A,命题 q:x∈B,若 p 是 q 的充分条件,求实数 m 的取值范围.

17. (13 分)已知向量 =(

sinx,﹣cosx) , =(cosx,cosx) ,记函数 f(x)= ? .

(1)求 f(x)的最小正周期及单调递增区间; (2)设△ ABC 的内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且 c= sinA)与 =(2,sinB)共线,求 a,b 的值. ,f(C)= ,若向量 =(1,

18. (13 分) 平面直角坐标系中, 点 M 的坐标是 (3,

) , 曲线 C1 的参数方程为

(α 为参数) ,在以坐标原点为极点、x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中,曲线 C2 的极 坐标方程为 ρ=4sinθ. (1)将曲线 C1 和 C2 化成普通方程,并求曲线 C1 和 C2 公共弦所在直线的极坐标方程; (2)若过点 M,倾斜角为 的直线 l 与曲线 C1 交于 A,B 两点,求| |?| |的值.

19. (13 分)经过多年的运作,“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销 盛宴.为迎接 2014 年“双十一”网购狂欢节,某厂商拟投入适当的广告费,对网上所售产品进 行促销. 经调查测算, 该促销产品在“双十一”的销售量 P 万件与促销费用 x 万元满足 P=3﹣ (其中 0≤x≤a,a 为正常数) .已知生产该批产品 P 万件还需投入成本 10+2P 万元(不含促销 费用) ,产品的销售价格定为 元/件,假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需

求. (Ⅰ)将该产品的利润 y 万元表示为促销费用 x 万元的函数;

(Ⅱ)促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?

20. (14 分)已知中心在坐标原点 O,焦点在 x 轴上的椭圆 C 的离心率为 ,且经过点 M(1, ) . (1)求椭圆 C 的方程; (2) 若 F 是椭圆 C 的右焦点, 过 F 的直线交椭圆 C 于 M、 N 两点, T 为直线 x=4 上任意一点, 且 T 不在 x 轴上, (ⅰ)求 ? 的取值范围;

(ⅱ)若 OT 平分线段 MN,证明:TF⊥MN(其中 O 为坐标原点) . 21. (14 分)已知函数 f(x)= (a∈R) ,曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程为

y=x﹣1. (1)求实数 a 的值,并求 f(x)的单调区间; (2)试比较 2014 与 2015 的大小,并说明理由; (3)是否存在 k∈Z,使得 kx>f(x)+2 对任意 x>0 恒成立?若存在,求出 k 的最小值;若 不存在,请说明理由.
2015 2014

福建省厦门双十中学 2015 届高三上学期期中数学试卷 (理 科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.请把答案填涂在答题卷的相应位置. 2 1. (5 分)命题“对任意的 x∈R,x +1>0”的否定是() 2 2 A.不存在 x∈R,x +1>0 B. 存在 x∈R,x +1>0 2 2 C. 存在 x∈R,x +1≤0 D.对任意的 x∈R,x +1≤0 考点: 命题的否定. 专题: 简易逻辑. 分析: 全称命题的否定是特称命题写出结果即可. 2 解答: 解:因为全称命题的否定是特称命题,所以命题“对任意的 x∈R,x +1>0”的否定是: 2 存在 x∈R,x +1≤0. 故选:C. 点评: 本题考查命题的否定,特称命题与全称命题的否定关系,基本知识的考查. 2. (5 分)已知集合 A={3,a },集合 B={0,b,1﹣a},且 A∩B={1},则 A∪B=()
2

A.{0,1,3}

B.{1,2,4}

C.{0,1,2,3}

D.{0,1,2,3,4}

考点: 并集及其运算. 专题: 计算题. 2 分析: 由 A 与 B 交集的元素为 1,得到 1 属于 A 且属于 B,得到 a =1,求出 a 的值,进而 求出 b 的值,确定出 A 与 B,找出既属于 A 又属于 B 的元素,即可确定出两集合的并集. 解答: 解:∵A={3,a },集合 B={0,b,1﹣a},且 A∩B={1}, 2 ∴a =1,解得:a=1 或 a=﹣1, 当 a=1 时,1﹣a=1﹣1=0,不合题意,舍去; 当 a=﹣1 时,1﹣a=1﹣(﹣1)=2,此时 b=1, ∴A={3,1},集合 B={0,1,2}, 则 A∪B={0,1,2,3}. 故选 C 点评: 此题考查了交、并集及其运算,是一道基本题型,熟练掌握交、并集的定义是解本 题的关键. 3. (5 分)sinα≠sinβ 是 α≠β 的() A.充分不必要条件 C. 充要条件
2

B. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 计算题. 分析: 由 sinα≠sinβ,得 α≠β,但由 α≠β 不能得到 sinα≠sinβ.由此能求出结果. 解答: 解:∵sinα≠sinβ,∴α≠β, 但由 α≠β 不能得到 sinα≠sinβ. 故 sinα≠sinβ 是 α≠β 的充分不必要条件. 故选 A. 点评: 本题考查必要条件、充分条件和充要条件的求法,是基础题,解题时要认真审题, 仔细解答. 4. (5 分)若 a,b,c 为实数,且 a<b<0,则下列命题正确的是() A.ac <bc
2 2

B. <

C. >

D.a >ab>b

2

2

考点: 不等式比较大小;不等关系与不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 本题可以利用基本不等关系,判断选项中的命题是否正确,正确的可加以证明,错 误的可以举反例判断,得到本题结论. 解答: 解:选项 A, ∵c 为实数, ∴取 c=0, 2 2 ac =0,bc =0, 2 2 此时 ac =bc , 故选项 A 不成立;

选项 B,

=



∵a<b<0, ∴b﹣a>0,ab>0, ∴ 即 >0, ,

故选项 B 不成立; 选项 C, ∵a<b<0, ∴取 a=﹣2,b=﹣1, 则 ∴此时 , , ,

故选项 C 不成立; 选项 D, ∵a<b<0, 2 ∴a ﹣ab=a(a﹣b)>0, 2 ∴a >ab. 2 ∴ab﹣b =b(a﹣b)>0, 2 ∴ab>b . 故选项 D 正确, 故选 D. 点评: 本题考查了基本不等关系,本题难度不大,属于基础题. 5. (5 分)已知函数 f(x)=(x﹣a) (x﹣b) (其中 a>b)的图象如图所示,则函数 g(x)=a +b 的图象是()
x

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象.

专题: 函数的性质及应用. 分析: 先由函数 f(x)的图象判断 a,b 的范围,再根据指数函数的图象和性质即可得到答 案. x 解答: 解:由函数的图象可知,﹣1<b<0,a>1,则 g(x)=a +b 为增函数,当 x=0 时, y=1+b>0,且过定点(0,1+b) , 故选:C 点评: 本题考查了指数函数和二次函数的图象和性质,属于基础题.

6. (5 分)设 x,y 满足约束条件

,则 z=2x﹣3y 的最小值是()

A.﹣7

B . ﹣6

C . ﹣5

D.﹣3

考点: 简单线性规划. 分析: 作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,进行求最值即可. 解答: 解:由 z=2x﹣3y 得 y= ,

作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分 ABC) : 平移直线 y= 时 z 最小, 由 ,解得 ,即 C(3,4) . ,由图象可知当直线 y= ,过点 C 时,直线 y= 截距最大,此

代入目标函数 z=2x﹣3y, 得 z=2×3﹣3×4=6﹣12=﹣6. ∴目标函数 z=2x﹣3y 的最小值是﹣6. 故选:B.

点评: 本题主要考查线性规划的基本应用,利用目标函数的几何意义是解决问题的关键, 利用数形结合是解决问题的基本方法. 7. (5 分)设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y =ax(a≠0)的焦点 F,且和 y 轴交于点 A,若△ OAF (O 为坐标原点)的面积为 4,则抛物线方程为()
2

A.y =±4x

2

B.y =4x

2

C.y =±8x

2

D.y =8x

2

考点: 抛物线的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 先根据抛物线方程表示出 F 的坐标,进而根据点斜式表示出直线 l 的方程,求得 A 的坐标, 进而利用三角形面积公式表示出三角形的面积建立等式取得 a, 则抛物线的方程可得. 解答: 解:抛物线 y =ax(a≠0)的焦点 F 坐标为 则直线 l 的方程为 它与 y 轴的交点为 A 所以△ OAF 的面积为 , , ,
2



解得 a=±8. 2 所以抛物线方程为 y =±8x, 故选 C. 点评: 本题主要考查了抛物线的标准方程,点斜式求直线方程等.考查学生的数形结合的 思想的运用和基础知识的灵活运用. 8. (5 分)下列函数存在极值的是() A.y=2x+cosx C. y=x +3x +3x﹣1
3 2

B. y=e ﹣lnx D.y=lnx﹣

x

考点: 专题: 分析: 解答:

函数在某点取得极值的条件. 计算题;导数的概念及应用. 由极值的定义确定是否存在极值,注意导数有正有负且有 0. 解:选项 A:y′=2﹣sinx>0,故不存在极值;
x

选项 B:y′=e ﹣ 有正有负且有零点,故存在极值; 选项 C:y′=3x +6x+3=3(x+1) ≥0,故不存在极值; 选项 D:y′= + >0,故不存在极值.
2 2

故选 B. 点评: 本题考查了函数存在极值的条件,属于基础题.

9. (5 分)定义:| × |=| |?| |?sinθ,其中 θ 为向量 与 的夹角,若| |=2,| |=5, ? =﹣6, 则| × |=() A.8 B . ﹣8 C.8 或﹣8 D.6

考点: 平面向量数量积的运算.

专题: 平面向量及应用. 分析: 利用向量数量积运算和新定义即可得出. 解答: 解: 由数量积可得 ∴ ∴| × |= . = =8. =10cosθ, 解得 , ∵0≤θ≤π,

故选 A. 点评: 正确理解向量数量积运算和新定义是解题的关键. 10. (5 分)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,对于任意 x∈R 都有 f(x+4)=f(x)+f (2)成立,当 x1,x2∈[0,2]且 x1≠x2 时,都有 ①函数 f(x)一定是周期函数; ②函数 f(x)在区间[﹣6,﹣4]上为增函数; ③直线 x=﹣4 是函数 f(x)图象的一条对称轴; ④函数 f(x)在区间[﹣6,6]上有且仅有 4 个零点. 其中正确命题的个数是() A.1 B. 2 C. 3 >0.给出下列命题:

D.4

考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: ①,令 x=﹣2,易求 f(﹣2)=0,利用 f(x)为偶函数可知 f(2)=0,于是可得 f (x+4)=f(x) ,可判断①; ②,依题意易知函数 f(x)在区间[﹣6,﹣4]上为减函数,可判断②; ③,利用偶函数 f(x)是周期为 4 的函数的性质可判断③; ④,利用函数的单调性质及周期性可判断④. 解答: 解:对于①,∵对于任意 x∈R 都有 f(x+4)=f(x)+f(2)成立, ∴令 x=﹣2,则 f(2)=f(﹣2)+f(2) , ∴f(﹣2)=0,又函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数, ∴f(2)=0, ∴f(x+4)=f(x) , ∴函数 f(x)是周期为 4 的函数,故①正确; 对于②,∵x1,x2∈[0,2]且 x1≠x2 时,都有 >0,

∴偶函数 y=f(x)在区间[0,2]上是增函数,在[﹣2,0]上是减函数,又其周期为 4, ∴函数 f(x)在区间[﹣6,﹣4]上为减函数,故②错误; 对于③,∵y=f(x)为偶函数,∴直线 x=0(即 y 轴)是函数 f(x)图象的一条对称轴,又 函数 f(x)是周期为 4 的函数, ∴直线 x=﹣4 是函数 f(x)图象的一条对称轴,故③正确; 对于④,∵f(﹣2)=f(2)=0,函数 f(x)是周期为 4 的函数,

∴f(﹣6)=f(﹣2)=0,f(6)=f(2)=0,又 y=f(x)在区间[﹣6,﹣4],[﹣2,0],[2,4] 上均为减函数; 在区间[﹣4,﹣2],[0,2],[4,6]上是增函数, ∴函数 f(x)在区间[﹣6,6]上有且仅有 4 个零点,故④正确. 综上所述,正确命题的个数是 3 个, 故选:C. 点评: 本题考查抽象函数的应用,突出考查函数的单调性、周期性、对称性与函数的零点, 属于中档题. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.请把答案填在答题卷的相应位置. 11. (4 分)设 ,则 = .

考点: 定积分的简单应用. 专题: 计算题. 分析: 分段函数的积分必须分段求解,故先将原式化成再分别求各个和式的积分,最后只 要求出被积函数的原函数,结合积分计算公式求解即可. 解答: 解: = = x |0 +(2x﹣ x )|1
3 1 2 2

=

=( ﹣0)﹣(2﹣ ) = 故答案为: 点评: 本题主要考查定积分、定积分的应用、导数等基础知识,考查运算求解能力、化归 与转化思想.属于基础题.

12. (4 分)已知双曲线 C1: 近线,则 C1 的离心率= .



=1(a>0,b>0)与双曲线 C2:



=1 有相同的渐

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.

分析: 双曲线 C1: 可得 = =2,利用



=1(a>0,b>0)与双曲线 C2: ,即可求出 C1 的离心率.



=1 有相同的渐近线,

解答: 解:∵双曲线 C1: 近线, ∴ = =2, ∴ = ,



=1(a>0,b>0)与双曲线 C2:



=1 有相同的渐

故答案为: . 点评: 本题主要考查了双曲线的标准方程,双曲线的几何性质,属基础题 13. (4 分)已知 =2 , =3 , =4 ,…,若 =7 , (a、b 均为

正实数) ,则类比以上等式,可推测 a、b 的值,进而可得 a+b=55. 考点: 类比推理. 专题: 计算题;推理和证明. 分析: 观察所给的等式,照此规律,第 7 个等式中:a=7,b=7 ﹣1=48,即可写出结果. 解答: 解:观察下列等式 =2 , =3 , =4
2 2

,… ,

照此规律,第 7 个等式中:a=7,b=7 ﹣1=48, ∴a+b=55, 故答案为:55 点评: 本题考查归纳推理,考查对于所给的式子的理解,主要看清楚式子中的项与项的数 目与式子的个数之间的关系. 14. (4 分)若定义在[a,b]上的函数 f(x)=x ﹣3x +1 的值域为[﹣3,1],则 b﹣a 的最大值 是 4. 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 本题先通过导函数研究函数的极值,再利用方程得到相应的边界点,然后解不等式 得到 x 的取值范围,从而得到最大的区间[a,b],求出 b﹣a 的最大值,得到本题结论. 3 2 解答: 解:∵函数 f(x)=x ﹣3x +1, 2 ∴f′(x)=3x ﹣6x=3x(x﹣2) , ∴当 x<0 时,f′(x)>0,函数 f(x)在(﹣∞,0)上单调递增; 当 0<x<2 时,f′(x)<0,函数 f(x)在(0,2)上单调递减; 当 x>2 时,f′(x)>0,函数 f(x)在(2,+∞)上单调递增.
3 2

∴当 x=0 时,f(x)有极大值,f(0)=1, 当 x=2 时,f(x)有极小值,f(2)=2 ﹣3×2 +1=﹣3, ∵当 f(x)=1 时,x=0 或 x=3, 当 f(x)=﹣3 时,x=2 或 x=﹣1, ∴若﹣3≤f(x)≤1,则﹣1≤x≤3. 3 2 ∴定义在[a,b]上的函数 f(x)=x ﹣3x +1 的值域为[﹣3,1],则 b﹣a 的最大值是 1﹣(﹣3) =4. 故答案为:4. 点评: 本题考查了导函数与函数的最值,还考查了数形结合思想,本题难度适中,计算量 略大,属于中档题. 15. (4 分)已知 Ai(i=1,2,3,…,n,n≥3,n∈N )是△ AOB 所在的平面内的 n 个相异点, 且 ①| ②| ? |=| = .给出下列命题: |=…=| |= ; |;
* 3 2

|的最小值不可能是|

③点 A,A1,A2,…,An 在一条直线上; ④向量 及 在向量 的方向上的投影必相等.

其中正确命题的序号是③④. (请填上所有正确命题的序号) 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 平面向量及应用;简易逻辑. 分析: 由条件利用两个向量的数量积的定义,可得 结论. 解答: 解:如图, 由 | 故有| 即 和 ? |?| = ,可得 |?| |cos∠AOB, 和 在 上的投影相等,从而得出

|cos∠Ai OB=| |cos∠Ai OB=| 在

|cos∠AOB,

上的投影相等,

即点 A、Ai 在同一条垂直于直线 OB 的直线 l 上,如图所示, 故③④正确,①不正确. 由图可知,当 Ai 位于 ∴正确的命题是③④. 故答案为:③④. 所在直线上时| |有最小值,故②不正确.

点评: 本题主要考查两个向量的数量积的定义及向量在向量上的投影,关键是对题意的理 解,是中档题. 三、解答题:本大题共 6 小题,每小题分数见旁注,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程 或演算步骤.请在答题卷相应题目的答题区域内作答. 2 16. (13 分)已知全集 U=R,m>0,集合 A={x|x ﹣x﹣12<0},B={x||x﹣3|≤m}. (1)当 m=2 时,求 A∩(?UB) ; (2)命题 p:x∈A,命题 q:x∈B,若 p 是 q 的充分条件,求实数 m 的取值范围. 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断;交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: (1)当 m=2 时,求出集合 A,B,即可求 A∩(?UB) ; (2)若 p 是 q 的充分条件,建立集合关系即可求实数 m 的取值范围 2 解答: 解: (1)由 x ﹣x﹣12<0,解得﹣3<x<4,即 A=(﹣3,4) , 当 m=2 时,B={x||x﹣3|≤2}={x|1≤x≤5}, 则?UB={x|x>5 或 x<1}, 则 A∩(?UB)={x|﹣3<x<1}, (2)若 p 是 q 的充分条件,则 A?B, 由 m>0 知 B={x||x﹣3|≤m}={x|3﹣m≤x≤3+m}, 则 ,即 ,

即 m≥6, 故实数 m 的取值范围是[6,+∞) . 点评: 本题主要考查函数的基本运算以及充分条件和必要条件的应用,根据条件求出函数 的定义域和值域是解决本题的关键.

17. (13 分)已知向量 =(

sinx,﹣cosx) , =(cosx,cosx) ,记函数 f(x)= ? .

(1)求 f(x)的最小正周期及单调递增区间; (2)设△ ABC 的内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且 c= sinA)与 =(2,sinB)共线,求 a,b 的值. ,f(C)= ,若向量 =(1,

考点: 余弦定理;平面向量数量积的运算;两角和与差的正弦函数. 专题: 三角函数的图像与性质;解三角形. 分析: (1)函数化简为:f(x)=sin(2x﹣ 调递增区间; (2)由 f(C)= 可求 C 的值,根据向量 m 与 n 共线可求得 b=2a,再根据 a +b ﹣ab=3,进 而解得 a,b 的值. 解答: 解: (1)依题意,f(x)= ﹣ =sin(2x﹣ )﹣ (3 分) =π, (4 分) ≤2kπ ,k∈Z,解得 kπ﹣ ,k ≤x≤kπ+ ,k∈Z, sinxcosx﹣cos x=
2 2 2

)﹣ ,即可求得 f(x)的最小正周期及单

sin2x﹣

=

sin2x﹣ cos2x

所以最小正周期 T= 令 2kπ ≤2x﹣

所以 f(x)的单调递增区间是:[k (2)由 f(C)=sin(2C﹣ 因为 0<C<π,所以﹣

],k∈Z. (6 分) )=1, (7 分) = ,解得 C= , (8 分)

)﹣ = ,得 sin(2C﹣ < ,所以 2C﹣

<2C﹣

因为向量 m=(1,sinA)与 n=(2,sinB)共线,所以 sinB=2sinA,由正弦定理得 b=2a,…① (9 分) 在△ ABC 中,由余弦定理得 ,即 a +b ﹣ab=3,…②(11 分)
2 2

由①②,解得 a=1,b=2. (13 分) 点评: 本题主要考察了平面向量数量积的运算,余弦定理、两角和与差的正弦函数公式的 综合应用,属于中档题.

18. (13 分) 平面直角坐标系中, 点 M 的坐标是 (3,

) , 曲线 C1 的参数方程为

(α 为参数) ,在以坐标原点为极点、x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中,曲线 C2 的极 坐标方程为 ρ=4sinθ. (1)将曲线 C1 和 C2 化成普通方程,并求曲线 C1 和 C2 公共弦所在直线的极坐标方程; (2)若过点 M,倾斜角为 的直线 l 与曲线 C1 交于 A,B 两点,求| |?| |的值.

考点: 简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程. 专题: 坐标系和参数方程. 分析: (1)曲线 C1 和 C2 消去参数方程中的参数,得到普通方程,再利用参数求出公共弦 所在直线的极坐标方程,得到本题结论; (2)利用直线 l 的参数方程,求出对应参数 t1?t2 的值,得到| |?| |的值,得到本题结论.

解答: 解: (1)∵曲线 C1 的参数方程为 ∴C1 的普通方程: (x﹣1) +y =1,…① 2 ∵C2:ρ =4ρsinθ, 2 2 ∴x +y =4y, 2 2 即 x +(y﹣2) =4,…② ①﹣②可得,x﹣2y=0,
2 2

(α 为参数) ,

∴曲线 C1 和 C2 公共弦所在直线的极坐标方程为 ρcosθ﹣2ρsinθ=0, tanθ= , (ρ∈R) .

(2)依题意,直线 l 的参数方程为

(T 为参数) ,

点 A、B 分别对应参数 t1,t2, 代入 C1 的方程: (3+
2

) +(

2

+

) =1,

2

∴整理得 t +5t+6=0, ∴t1t2=6, ∴MA|?|MB|=6. 点评: 本题考查了参数方程转化为普通方程,以及参数方程的应用,本题难度不大,属于 基础题. 19. (13 分)经过多年的运作,“双十一”抢购活动已经演变成为整个电商行业的大型集体促销 盛宴.为迎接 2014 年“双十一”网购狂欢节,某厂商拟投入适当的广告费,对网上所售产品进 行促销. 经调查测算, 该促销产品在“双十一”的销售量 P 万件与促销费用 x 万元满足 P=3﹣ (其中 0≤x≤a,a 为正常数) .已知生产该批产品 P 万件还需投入成本 10+2P 万元(不含促销 费用) ,产品的销售价格定为 元/件,假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需

求. (Ⅰ)将该产品的利润 y 万元表示为促销费用 x 万元的函数; (Ⅱ)促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大? 考点: 根据实际问题选择函数类型. 专题: 应用题;函数的性质及应用. 分析: (Ⅰ)根据产品的利润=销售额﹣产品的成本建立函数关系; (Ⅱ)利用导数基本不等式可求出该函数的最值,注意等号成立的条件. 解答: 解: (Ⅰ)由题意知, ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(3 分) 将 代入化简得: (0≤x≤a) .﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(6 分)

(Ⅱ)

当 a≥1 时,x∈(0,1)时 y'>0,所以函数 时 y'<0,所以函数 在(1,a)上单调递减

在(0,1)上单调递增 x∈(1,a)

促销费用投入 1 万元时,厂家的利润最大;﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(9 分) 当 a<1 时,因为函数 在(0,1)上单调递增 在[0,a]上单调

递增, 所以 x=a 时,函数有最大值.即促销费用投入 a 万元时,厂家的利润最大. 综上,当 a≥1 时,促销费用投入 1 万元,厂家的利润最大; 当 a<1 时,促销费用投入 a 万元,厂家的利润最大﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(12 分) (注:当 a≥1 时,也可: 当且仅当 时,上式取等号) ,

点评: 本题主要考查了函数模型的选择与应用,以及基本不等式在最值问题中的应用,同 时考查了计算能力,属于中档题.

20. (14 分)已知中心在坐标原点 O,焦点在 x 轴上的椭圆 C 的离心率为 ,且经过点 M(1, ) . (1)求椭圆 C 的方程; (2) 若 F 是椭圆 C 的右焦点, 过 F 的直线交椭圆 C 于 M、 N 两点, T 为直线 x=4 上任意一点, 且 T 不在 x 轴上, (ⅰ)求 ? 的取值范围;

(ⅱ)若 OT 平分线段 MN,证明:TF⊥MN(其中 O 为坐标原点) . 考点: 直线与圆锥曲线的关系;平面向量数量积的运算;椭圆的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)椭圆 C 的方程为 =1a>0,b>0,运用方程组求解, (2) (ⅰ)分类①若

直线 l 斜率不存在,②若直线 l 斜率存在,利用韦达定理求解, (ⅱ)求出直线 OT 的斜率 k′= = ,TF 的斜率 kTF= =﹣ ,根据斜率判断.

解答: 解: (1) 设椭圆 C 的方程为

=1a>0, b>0, 则

解得 a =4, b =3,

2

2

所以椭圆 C:

=1,

(2) (ⅰ)易得 F(1,0) ①若直线 l 斜率不存在,则 l:x=1,此时 M(1, ) ,n(1,﹣ ) , ②若直线 l 斜率存在,设 l:y=k(x﹣1) ,M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,则 由 消去 y 得: (4k +3)x ﹣8k x+4k ﹣12=0,
2 2 2 2

=



∴x1+x2=

,x1x2=





=(x1﹣1,y1)?(x2﹣1,y2)=(1+k )[x1x2﹣(x1+x2)+1]=

2



∵k ≥0∴0 ∴﹣3≤ 综上,

2

≤1∴3

<4

的取值范围为[﹣3,

) ,

(ⅱ)线段 MN 的中点为 Q, 则由 (ⅰ) 可得,xQ=

=

,yQ=k(xQ﹣1)=



所以直线 OT 的斜率 k′=

=

,所以直线 OT 的方程为:y=﹣

x,

从而 T(4,﹣ ) ,此时 TF 的斜率 kTF= 所以 kTFkMN=﹣ ?k=﹣1,所以 TF⊥MN.

=﹣ ,

点评: 本题综合考查了椭圆的方程,性质,结合韦达定理求解,运算量较大,属于难题.

21. (14 分)已知函数 f(x)=

(a∈R) ,曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线方程为

y=x﹣1. (1)求实数 a 的值,并求 f(x)的单调区间; 2015 2014 (2)试比较 2014 与 2015 的大小,并说明理由; (3)是否存在 k∈Z,使得 kx>f(x)+2 对任意 x>0 恒成立?若存在,求出 k 的最小值;若 不存在,请说明理由. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;导数在最大值、最小值问题中的应用. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)由求导公式求出导数,再由切线的方程得 f′(1)=1,列出方程求出 a 的值,代 入函数解析式和导数,分别求出 f′(x)>0、f′(x)<0 对应的 x 的范围,即求出函数 f(x) 的单调区间; (2)解法一:根据函数 f(x)的单调性得: 简即可, 解法二:将 化为: ,由二项式定理化简 > ,由对数的运算律、单调性化

= (3)先将 kx>f(x)+2 分离出 k:

,再由放缩法和裂项相消法进行化简; ,构造函数 g(x)= ,再求出此函数的

导数 g′(x)并化简,再构造函数并二次求导,通过特殊函数值的符号,确定函数零点所在的 区间,列出表格判断出 g(x)的单调性,从而求出 g(x)的最大值,再由自变量的范围确定 出 g(x)的最大值的范围,从而求出满足条件的 k 的最小值. 解答: 解: (1)依题意, (x>0) , (1 分)

所以

=



由切线方程得 f′(1)=1,即

=1,解得 a=0,

此时

(x>0) ,

, (3 分)

令 f′(x)>0 得,1﹣lnx>0,解得 0<x<e; 令 f′(x)<0 得,1﹣lnx<0,解得 x>e, 所以 f(x)的增区间为(0,e) ,减区间为(e,+∞) . (5 分) (2)解法一: 由(1)知,函数 f(x)在(e,+∞)上单调递减,所以 f>f, 即 > ,则 2015ln2014>2014ln2015,

所以 ln2014 解法二:

2015

>ln2015

2014

,即 2014

2015

>2015

2014

(9 分)

=



因为 =1+1+ <2+ <2+ <2+(1﹣ )+( =3﹣ <3,

= + +…+

)+…+(





所以

,所以 2014

2015

>2015

2014

. (9 分) ,

(3)若 kx>f(x)+2 对任意 x>0 恒成立,则 记 g(x)= ,只需 k>g(x)max.



=

, (10 分)

记 h(x)=1﹣2x﹣2lnx(x>0) ,则 所以 h(x)在(0,+∞)上单调递减. 又 h(1)=﹣1<0, 所以存在唯一 =1﹣



+ln2>1﹣ +ln2=ln

>0,

,使得 h(x0)=0,即 1﹣2x0﹣2lnx0=0, (11 分)

当 x>0 时,h(x) 、g′(x) 、g(x)的变化情况如下: x (0,x0)x0 (x0,+∞) h(x) + 0 ﹣ g′(x)+ 0 ﹣ g(x) ↗ 极大值↘ (12 分) 所以 g(x)max=g(x0)= ,

又因为 1﹣2x0﹣2lnx0=0,所以 2x0+2lnx0=1,

所以 g(x0)=

=

=



因为

,所以

,所以

, (13 分)

又 g(x)max≥g(1)=2,所以



因为 k>g(x)max,即 k>g(x0) ,且 k∈Z,故 k 的最小整数值为 3. 所以存在最小整数 k=3,使得 kx>f(x)+2 对任意 x>0 恒成立. (14 分) 点评: 本题考查导数的几何意义,导数与函数的单调性、最值之间的关系,恒成立问题转 化为求函数的最值,以及构造法、二次求导判断函数的单调性,考查分析问题、解决问题的能 力,化简计算能力.


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