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基本能力与创新应用:数学归纳法证明不等式

时间:2015-03-26


数学归纳法证明不等
基本能力与创新应用 数学归纳法证明不等式 有关自然数的不等式证明问题,可以考 虑用数学归纳法,其主要步骤是: (1)证明当 n = n 0 (第一个自然数)时不 等式成立; 例 4-1 用数学归纳法证明 n 2 ? n < 判断下列证明过程是否 n +1( n ? N ) 成立, 正确: 证明: (1) n =1 时,左边= 1 ? 1 = 2 ,

右边=1+1=2, 2 <2, ∴不等式成立;

(2)假设不等式当 n = k 时( k ≥ n 0 )时 (2)设 n = k 时,不等式 k 2 ? k < k +1 成立,证明 n = k +1 时不等式也成立;由 成立,则当 n = k +1 时, (1) 、 (2)对于 n ≥ n 0 的一切自然数, 不等式都成立. 在证明归纳递推时,要把“证明的目 标”牢记在心里,摆放在一个“明显的位 置”,采用“分解动作”,用以前学过的不 等式的证明方法,如作差法、放缩法、 分析法、综合法、反正法等,从一边 左边= (k ? 1) 2 ? (k ? 1) = k 2 ? 3k ? 2 <

k 2 ? 4k ? 4 = k +2=( k +1)+1,
∴ n = k +1 时不等式成立。由(1) 、 (2 ) 可知当 n ? N 时,不等式成立。 解:该证明过程错误。实际上第二步不符 合数学归纳法要求的, 它是在没有应用归 纳假设的情形下证明的, 因此第二步证明 不具备递推性。正确的证明 如下:设 n = k 时,不等式 k 2 ? k < k +1 即 k 2 ? k <( k +1) 2 成立,当 n = k +1 时
(k ? 1) 2 ? (k ? 1) = k 2 ? 3k ? 2 = k 2 ? k ? 2(k ? 1) < ( k ? 1) 2 ? 2( k ? 1)

n = k +1 的结果推证到另一边 n = k +1 的
结果.这是数学归纳的核心, 也是最困难 的一步.但与其它方法比较起来, 用数学 归纳法证明含有自然数 n 的命题还是容 易些,建议同学们遇到这类题目而又一 时找不到更简单的方法时,可以尝试用 数学归纳法,避免因寻找证题思路而耽 误过多的时间,造成“延时失分”. 但有 时数学归纳法并非是最好的证法.它虽 然有过程相对固定,较易下手的优点,

< (k ? 1) 2 ? 2(k ? 1) ? 1 = ( k +1) +1 成立。

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但一般说来,数学归纳法整体较繁,除 非题目明确要求使用外,应先虑能否用 其它证法解决问题.

例 4-2 用数学归纳法证明
2 n >2 n +1( n ? N ,且 n≥3).

数学归纳法证明包括验证归纳基础和证 证明: (1)当 n =3 时,23 =8>2×3+1 成立, 明归纳递推两个步骤,在第二步证明中 命题成立. 用不用归纳假设是不是用数学归纳法的 标志之一.如果没有归纳假设过程就不 是用数学归纳法. 使用数学归纳法证明不等式, 难点往 往出现在由 (2)假设 n = k (k≥3)时,命题成立,即
2 k >2 k +1 成立,

当 n = k +1 时,
2 k ?1 =2 ? 2 k >2(2 k +1)=4k+2=2(k+1)+1+(2k-

n = k 时命题成立推出 n = k +1 时命题
成立.为了完成这步证明, 不仅要正确使 用归纳假设,还要灵活利用问题中的其 它条件以及相关知识,过去讲过的证明 不等式的方法在此都可以使用.如比较 法、放缩法、分析法、反证法等. 例如:若不等式 …+
1 1 1 + + + n ?1 n ? 2 n ? 3

1), ∵k≥3, ∴2k-1>0, 从而 2 k ?1 >2(k+1)+1+(2k-1) >2(k+1)+1. 由(1) (2)可知,当 n ? N ,且 n≥3 时,
2 n >2 n +1.

例 4-3 证明:

1 a > ,对于一切自然数 n 均成 3n ? 1 24

coska ? coskb ≤ k 2 cosa ? cosb , k ? N+,
a , b 为常数.

立,

求自然数 a 的最大值,且证明你的结论. 证明:教材的例 2 可知 sin k? ≤ k sin ? , 解: ∵ f ( n) =
1 1 1 1 + + +…+ . n ?1 n ? 2 n ? 3 3n ? 1 a , 24

? ? R,
则 coska ? coskb
ka ? kb ka ? kb sin 2 2 a?b a ?b sin k 2 2

依题意,在 n =1 时必满足 f (1) > 即

= ? 2 sin

1 1 1 a a 26 + + > ,则 < . 24 24 1 ? 1 1 ? 2 1 ? 3 24

=2 sin(k ∴ a <26.取 a =25( a ? N ? ).
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1 1 1 1 25 + + +…+ > (*) n ?1 n ? 2 n ? 3 3n ? 1 24

≤2 k sin

a?b a ?b k sin 2 2 a?b a ?b sin 2 2

(1)当 n =1 时,由上述求 a 过程可知不等 式(*)成立. (2)假设 n = k ( k ? N ? )时,不等式(*)成立, 即
1 1 1 1 25 + + +…+ > . k ?1 k ? 2 k ? 3 3k ? 1 24

=k

2

? 2 sin

=k

2

cosa ? cosb .

因此

当 n = k +1 时,有
f (k ? 1) =

coska ? coskb ≤ k 2 cosa ? cosb , k ? N+,
例 4-4 设 Pn =(1+ x) n -1, Qn =
nx ,其中 1? x

1 1 + + (k ? 1) ? 1 (k ? 1) ? 2

1 (k ? 1) ? 3

x ?(-1,0),且 x ?N+,试比较 Pn 与 Qn 的大
小,并给出证明. 解: Pn - Qn =(1+ x) n -1-
(1 ? x) n ?1 ? [1 ? (n ? 1) x] , 1? x
nx 1? x

1 1 1 1 +…+ + + + 3k ? 1 3k ? 2 3k ? 3 3(k ? 1) ? 1
1 1 1 1 =( + + +…+ )+ k ?1 k ? 2 k ? 3 3k ? 1

=

( >

1 1 1 1 + + - ) 3k ? 2 3k ? 3 3k ? 4 k ?1 25 1 1 2 +( + - ) 24 3k ? 2 3k ? 4 3k ? 3 1 1 2 + - 3k ? 2 3k ? 4 3k ? 3 1 1 1 1 - )+( - ) 3k ? 2 3k ? 3 3k ? 4 3k ? 3

令 an = (1 ? x) n?1 ? [1 ? (n ? 1) x] ,则

Pn - Qn =

an . 1? x

而 =(

∵-1< x <0,∴1+ x >0,故 Pn - Qn 与 an 符号一致. 在 n =1 时,a1 =(1+ x) 2 -(1+2 x) = x 2 >0;
2 3 在 n =2 时, (1+3 x) = x ( x +3) a2 =(1+ x) -

=(

1 1 - (3k ? 2)(3k ? 3) (3k ? 3)(3k ? 4)

=

1 1 1 ( - )>0, 3k ? 3 3k ? 2 3k ? 4 1 1 2 + > . 3k ? 2 3k ? 4 3k ? 3

>0; 在 n =3 时, a3 =(1+ x) 4
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从而 f (k ? 1) >

25 亦成立. 24

(1+4 x) = x 2 [( x +2)2+3]. 在此推测:an >0.下面使用数学归纳法证 明. (1) 在 n =1 时, (1+2 x) = x 2 > a1 =(1+ x) 2 - 0, ∴此时命题成立. (2) 假设 n = k (k≥1, k ? N+)时, ak >0 成立. 那么在 n = k +1 时,

综上所述,对一切自然数 n ? N ? ,不等 式(*)恒成立.
1 1 2 + > 另一种证法: 3k ? 2 3k ? 4 3k ? 3 1 1 6( k ? 1) ∵ + = 2 > 3k ? 2 3k ? 4 9k ? 18 k ? 8

2 , 3(k ? 1) 2 1 1 + - >0. 3k ? 2 3k ? 4 3(k ? 1)



a k ?1 =(1+ x) k ? 2 -[1+( k +2) x ].
或解:令
1 1 1 1 + + +…+ n ?1 n ? 2 n ? 3 3n ? 1 1 1 ,则 f (n ? 1) - f (n) = + 3n ? 2 3n ? 4
f ( n) =

∴ a k ?1 =(1+ x) k ?1 - [1+( k +1) x ]+ x [(1+ x ) k ?1 - 1]= ak + x [(1+ x ) k ?1 -1] 对于 x [(1+ x ) k ?1 -1],因为-1< x <0,

2 - . 3(n ? 1)

由前一种解法中知: f (n ? 1) - f (n) >0. 则 故数列 ? f (n)?是递增数列,则
f (n) ≥ f (1) .

(1+ x) n -1<0,于是有 x [(1+ x ) k ?1 -1]> 0.

而依题意,要 f (n) >

故 a k ?1 = ak + x [(1+ x ) k ?1 -1] >0. a 恒成立,只需要 24 a a 26 这就是说在 n = k +1 时, an >0. < f (1) 即可,于是 < f (1) = . 24 24 24 由(1)(2)可知,对于任何 x ?N+, ,an >0 都 成立.

∴ a <26.取 a =25( a ? N ? ). ①教材的例 1 通过数列给出了一个不等

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式.通过观察、计算、归纳 n 2 与 2 n 的大 小关系,然后利用数学归纳法证明.在推 证 n = k +1 成立时, 两次利用了 n ≥5 这个 取值范围进行放缩. ②教材的例 2 是一个涉及正整数 n 的三 角函数问题,在推证 n = k +1 成立时,利 用了正弦函数、余弦函数的有界性,绝 对值三角不等式等知识. ③教材的例 3 给出了一个经典不等式 ——贝努利不等式:如果 x 是实数,且 x >-1, x ≠0, n 为大于 1 的自然数,那 么有 (1 ? x) >1+ n x .它的证明过程比
n

因此 Pn - Qn =

an >0 成立,故 Pn > Qn . 1? x

[点评]本题关键处是“ (1 ? x) n?1 > 1+( n +1) x , -1< x <0”, 贝努利不等式变形的形式. 例 4-5 数列 ?an ? 与 ?bn ? 满足条件 0≤ an ≤1 且 an + bn =1 ( n ? N+) , 用数学归纳法证明:

b1 ? b2 ? … ? bn ≥1-( a1 + a2 +…+ an )
证明: (1) n =1 时, a1 + b1 =1 ∴ b1 =1- a1 即 b1 ≥1- a1 成立 (2)假设 n = k 时,

较简单, 在推证 n = k +1 成立时, 用了“去 正缩小”的方法.之所以说贝努利不等式 是一个经典不等式,是因为它有多种形 式的变形.如 当 ? 是实数, 并且满足 ? >1 或者 ? <0 时,有

b1 ? b2 ? … ? bk ≥1-( a1 + a2 +…+ ak )成立,
当 n = k +1 时∵0≤ an ≤1, an + bn =1 ∴0≤ bn ≤1 ∴ b1 ? b2 ? … ? bk ? bk ?1 ≥ bk ?1 [1-( a1 + a2 +…+ ak )] =(1- ak ?1 )[1-( a1 + a2 +…+ ak )] =1-( a1 + a2 +…+ ak )-

(1 ? x) ≥1+ ? x ( x >-1);
?

当 ? 是实数,并且满足 0< ? <1 时, 有

(1 ? x)? ≤1+ ? x ( x >-1).
当 x 是实数, 且 x >-1, x ≠0, n 为不小 于 2 的自然数, 有 (1 ?
x n nx ) ≥1 ? . 1? x 1? x

a k ?1 + ak ?1 ( a1 + a2 +…+ ak )

④教材的例 4 给出了一个形式简洁和谐 ∵0≤ a ≤1 ∴ a ( a + a +…+ a )≥0 n k 1 2 k ?1 的、有较高应用价值的不等式. 在推证
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n = k +1 成立时采用了分类讨论和在不
失一般性的前提下把一般转化为特殊的 方法.这些方法对我们今后证明不等式 有很好的指导意义. 右边例 4-2 还可以用二项式展开式来证明,方法更 直观简洁. 当 n ≥3 时, 2 n =(1+1) n
0 1 n ?1 n = Cn + Cn +…+ Cn + Cn (至少有四项)

∴ b1 ? b2 ? … ? bk ? bk ?1 ≥1- ( a1 + a2 +…+ ak + ak ?1 )成立 据(1) 、 (2)可知 n ? N 时,原不等式成 立。 [点评]在应用不等式的性质进行推理时, 要注 意使不等式性质成立的条件,给出每一 步推理的 根据。

=1+ n +…+ n +1≥2 n +2>2 n +1.

右边例 4-5 【误解】 (1) a1 + b1 =1 n =1 时, ∴ b1 =1- a1 即 b1 ≥1- a1 成立 (2)假设 n = k 时,

b1 ? b2 ? … ? bk ≥1-( a1 + a2 +…+ ak )成立,
当 n = k +1

b1 ? b2 ? … ? bk ? bk ?1 ≥ bk ?1 [1-
( a1 + a2 +…+ ak )] ≥(1- ak ?1 )[1-( a1 + a2 +…+ ak )] ≥*1-( a1 + a2 +…+ ak )]- a k ?1 [1-( a1 + a2 +…+ ak )] ≥1-( a1 + a2 +…+ ak + ak ?1 )成立

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∴ n = k +1 时不等式仍成立 据(1) 、 (2)可知 n ?N+时,原不等式成 立。 [误解]的错误在于完成 n = k +1 的证明过 程中说理不充分.由

b1 ? b2 ? … ? bk ≥1-( a1 + a2 +…+ ak )得 b1 ? b2 ? … ? bk ? bk ?1 ≥ bk ?1 【1-
( a1 + a2 +…+ ak )】 时没有交代 bk ?1 ≥0 的条 件;将 1- ak ?1 后的展开式中,没有交 代

ak ?1 ( a1 + a2 +…+ ak )≥0,而这一步正是
解题的关键之一。

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