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广东省肇庆市中小学教学质量评估2012—2013学年第一学期统一检测题高三数学(理科)


肇庆市中小学教学质量评估 2012—2013 学年第一学期统一检测题

高三数学(理科)
注意事项:1. 答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填写 在答题卡的密封线内. 2. 选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需要改动,用橡皮 擦干净后,再选涂其它答案,答案不能写在试卷上. 3. 非

选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内相 应的位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以 上要求作答的答案无效. 参考公式:1、锥体的体积公式 V ?
1 3 S h ,其中 S 为锥体的底面积, h 为锥体的高。

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.设 z ? 1 ? i ( i 是虚数单位) ,则 A. 2 B. 3 C. 2 ? 2 i
2 z ? z ?

(

)

D. 2 ? 2 i )

2.已知集合 A ? ?1, 2 , m ? , B ? ? 3, 4 ? , A ? B ? ?1, 2 , 3, 4 ? 则 m ? ( A. 0 B. 3 C. 4 D. 3 或 4

3.已知向量 a ? (1, ? c o s ? ), b ? (1, 2 c o s ? ) 且 a ? b ,则 co s 2? 等于 (
1 2
2 2



A. ? 1

B.0

C.

D.

?x ? y ? 1 ? 4.已知变量 x , y 满足约束条件 ? x ? 1 ? 0 ,则 z ? 2 x ? 3 y 的取值范围是( ?x ? y ?1 ?



A. [ ? 8 , 4 ]

B. [ ? 8 , 2 ]

C. [ ? 4 , 2 ]

D. [ ? 4 , ? 8 ] )

5. 1 是某算法的程序框图, 图 则程序运行后输出的结果是 27, 则判断框①处应填入的条件是 ( A. n ? 2 B. n ? 3 C. n ? 4 D. n ? 5

6.已知某个几何体的三视图如图 2 所示,根据图中标出的尺寸(单位:cm) ,则这个几何体的体积是 ( ). A. 8 c m 3 B. 1 2 c m 3 C. 2 4 c m 3 D. 7 2 c m 3

? 7. ? ?

1 ? x ? ? x ?

10

的展开式中含 x 的正整数指数幂的项数是( B.2 C.4 D.6

)

A.0

8.定义空间两个向量的一种运算 a ? b ? a ? b sin ? a , b ? , 则关于空间向量上述运算的以下结论中, ① a ? b ? b ? a ,② ? ( a ? b ) ? ( ? a ) ? b ,③ ( a ? b ) ? c ? ( a ? c ) ? ( b ? c ) , ④若 a ? ( x 1 , y 1 ) , b ? ( x 2 , y 2 ) ,则 a ? b ? x1 y 2 ? x 2 y 1 . 恒成立的有 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分.

(一)必做题(9~13 题) 9.不等式 3 ? | 5 ? 2 x |? 9 的解集是 .

10.等比数列{ a n }中, a 1 ? a 2 ? 2 0 , a 3 ? a 4 ? 4 0 ,则 a 5 ? a 6 等于 11.函数 f ( x ) ?
1 3 x ? 2 x ? 3 x ? 2 在区间 [ 0 , 2 ] 上最大值为
3 2

12.圆心在直线 x ? 2 y ? 7 ? 0 上的圆 C 与 x 轴交于两点 A ( ? 2 , 0 ) 、 B ( ? 4 , 0 ) ,则圆 C 的方程为 __________. 13. 某班有学生 40 人, 将其数学期中考试成绩平均分为两组, 第一组的平均分为 80 分, 标准差为 4, 第二组的平均分为 90 分,标准差为 6, 则此班 40 名学生的数学期中考试成绩平均分 方差为






?
2

14. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系 ? ? , ? ? ( ? ? 0 , 0 ? ? ?
? ? 2 c o s ? 的交点的极坐标为_____

)中,曲线 ? ? 2 s i n ? 与

15. ( 几 何 证 明 选 讲 选 做 题 ) 如 图 3,△ABC 的 外 角 平 分 线 AD 交 外 接 圆 于 D, B D ? 4 , 则 . CD ?

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 已知向量 a ? ? As i n
? ? x A , x ? ? c o s b ?, ? ? 3? ?

?

3

c o s 6

? ?

, ?s , 函 数 f ( x ) ? a ?b ( A ? 0 , x ? R ) 且 in , 6 ?

(2)设 ? , ? ? [ 0 , f ( 2 ? ) ? 2 .(1)求函数 y ? f ( x ) 的表达式;
5? ? 20 ? f ? 3? ? ;求 c o s ( ? ? ? ) 的值 ? ? ? 2 ? 13 ?

?
2

],

f (3 ? ? ? ) ?

16 5

,

17.(本小题满分 12 分) 2012 年“双节”期间,高速公路车辆较多。某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务 区的先后每间隔 50 辆就抽取一辆的抽样方法抽取 40 名驾驶员进行询问调查, 将他们在某段高速公路

的车速(km/t)分成六段: [ 6 0 , 6 5 ), [ 6 5 , 7 0 ), [ 7 0 , 7 5 ), [ 7 5 , 8 0 ), [8 0 , 8 5 ),
[8 5 , 9 0 ) 后得到如图 4 的频率分布直方图.问: (1)某调查公司在采样中,用到的是什么抽样方法?

(2)求这 40 辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值. (3)若从车速在 [ 6 0 , 7 0 ) 的车辆中任抽取 2 辆,求抽出的 2 辆车中速车在 [ 6 5 , 7 0 ) 的车辆数 ? 的分布列及其均值(即数学期望) .

18. (本题满分 14 分)
? 如图 5, 在四棱锥 P ? A B C D 中, 底面为直角梯形,A D // B C , ? B A D ? 9 0 , P A 垂直于底面 A B C D ,

P A ? A D ? A B ? 2 B C ? 2 , M , N 分别为 P C , P B 的中点。

(1)求证: P B ? D M ; (2)求平面 A D M N 与平面 A B C D 所成的二面角的余弦值; (3)求点 B 到平 面 P A C 的距离.

19.(本小题满分 14 分) 某产品在不做广告宣传且每千克获利 a 元的前提下,可卖出 b 千克。若做广告宣传,广告费为 n 千元 时比广告费为 ( n ? 1) 千元时多卖出
b 2
n

千克, n ? N ) ( 。

?

(1)当广告费分别为 1 千元和 2 千元时,用 b 表示销售量 s ; (2)试写出销售量 s 与 n 的函数关系式; (3)当 a =50, b =200 时厂家应生产多少千克这种产品,做几千元广告,才能获利最大? 20. (本小题满分 14 分)
2 2 2 2 已知两圆 C 1 : x ? y ? 2 x ? 0 , C 2 : ( x ? 1) ? y ? 4 的圆心分别为 C 1 , C 2 , P 为一个动点,且

| P C 1 | ? | P C 2 |? 2

2 .

(1) 求动点 P 的轨迹 M 的方程; (2) 是否存在过点 A ( 2 , 0 ) 的直线 l 与轨迹 M 交于不同的两点 C、 D, 使得 | C 1 C | ? | C 1 D | ?若存在,求直线 l 的方程;若不存在,请说明理由. 21. (本小题满分 14 分)
2 x 已知函数 f ( x ) ? ( a x ? x ) e ,其中 e 是自然对数的底数, a ? R .

(1)当 a ? 0 时,解不等式 f ( x ) ? 0 ; (2)当 a ? 0 时,求整数 t 的所有值,使方程 f ( x ) ? x ? 2 在 [ t , t ? 1] 上有解; (3)若 f ( x ) 在 [ ? 1,1] 上是单调增函数,求 a 的取值范围.

肇庆市中小学教学质量评估 2012—2013 学年第一学期统一检测题

高三数学(理科)参考答案
1D 解析:
2 z ? z ? 2 1? i ? 1 ? i ? 2 ? 2i

2D 解析: m ? 3 或 4 3B 解析: a ? b ? ? 1 ? 2 c o s 2 ? ? 0 ? c o s 2 ? ? 0 . 4A 解 析 : 约 束 条 件 对 应 的 三 个 “ 角 点 ” 坐 标 分 别 为 : A (1, 0 ), B ( ? 1, 2 ), C ( ? 1, ? 2 )
z ? 2 x ? 3 y ? [ ?8 , 4 ]

,则

5B 解析:由框图的顺序,s=0,n=1,s=(s+n)n=(0+1)*1=1,n=n+1=2,依次循环 s=(1+2)*2=6,n=3,注 意此刻 3>3 仍然是否,所以还要循环一次 s =(6+3)*3=27,n=4, 此刻输出 s=27. 6B 解析: 三视图的直观图是有一个侧面垂直于底面三棱锥, 底面是底边长为 6 高为 4 的等腰三角形, 三棱锥的高为 3,所以,这个几何体的体积 V ?
1 x
1 3 ? 1 2
10 ? 3 r r r 2

? 6 ? 4 ? 3 ? 12

7B 解析: 展开式通项为 Tr+1= C 1 0 (
r

x)

10 ? r

(?

) ? C 1 0 ( ? 1) x
r

, 若展开式中含 x 的正整数指数幂,

即5 ?

3 2

r ∈N ,且 0 ? r ? 1 0 , r ? N ,所以 r ? 2 .

*

8B 解析: ①恒成立; ②
? (a ? b ) ?

? a ? b sin ? a , b ?

, (? a ) ? b ?

? a ? b sin ? a , b ? , 当 ? ? 0 时 ,

? ( a ? b ) ? a ? b 不成立; ? ( )

③当 a , b , c 不共面时, ( a ? b ) ? c ? ( a ? c ) ? ( b ? c ) 不成立,例如取 a , b , c 为两两垂直的单位向量, 易得 ( a ? b ) ? c ?
2

, (a ? c ) ? (b ? c ) ? 2 ;
2 2

④ 由 a ? b ? a ? b i n ? a, b ? a ?b ? a ? b c o s ? a , b ? , 可 知 ( a ? b ) 2 ? ( a ?b ) 2 ? a ? b , s
(a ? b ) ? a
2



2

? b

2

? ( a ?b ) ? ( x 1 ? y 1 )( x 2 ? y 2 ) ? ( x 1 x 2 ? y 1 y 2 ) ? ( x 1 y 2 ? x 2 y 1 ) ,
2 2 2 2 2 2 2

故 a ? b ? x1 y 2 ? x 2 y 1 恒成立. 9 填: [ ? 2 ,1) ? (4 , 7 ] 解析:不等式 3 ? | 5 ? 2 x |? 9 等价于

? x ? 1或 x ? 4 ? | 5 ? 2 x |? 3 ? ? ? ? 2 ? x ? 1或 4 ? x ? 7 ? ? | 5 ? 2 x |? 9 ??2 ? x ? 7

10 解析: 8 0
2 3

? a1 ? a1 q ? 2 0 2 4 5 2 2 3 ? q ? 2 , a 5 ? a 6 ? a1q ? a1q ? q ( a1q ? a1q ) ? 8 0 ? 2 3 ? a1 q ? a1 q ? 4 0
f ?( x ) ? x ? 4 x ? 3 ? 0 ? x ? 1 ,x ? 3f ( 0 ) ? ? 2 , f (1) ? ? ,
2

11 解析: ?

2 3

, f (2) ? ?

4 3

2 2 ( 12 解析: x ? 3 ) ? ( y ? 2 ) ? 5

直线 AB 的中垂线方程为 x ? ? 3 , 代入 x ? 2 y ? 7 ? 0 , y ? 2 , 得
5

故圆心的坐标为 C ( ? 3, 2 ) ,再由两点间的距离公式求得半径 r ? | A C | ?
( x ? 3) ? ( y ? 2 ) ? 5
2 2

,∴ 圆 C 的方程为

13 解析:85, 5 1 14 解析: 2 , ?
? ?

成绩平均分 85 ,方差为 5 1 两式相除得 ta n ? ? 1 ? ? ?
?
4 ? ? ? 2 s in

? ?
? 4 ?

?
4

?

? 交点的极坐标为 ? 2 , ?

2,

? ?
? 4 ?

15 解析:4

∵A、B、C、D 共圆,∴∠DAE=∠BCD.又∵

=

,∴∠DAC=∠DBC.

而∠DAE=∠DAC,∴∠DBC=∠DCB.∴CD= B D ? 4 .

16 解析: (1)依题意得 f ( x ) ? A s in

x 3

cos

?
6

? A cos

x 3

s in

?

? ? ? x ? A s in ? ? ? 6 ? 6 ? 3

(2 分)

又 f ( 2 ? ) ? 2 得 A s in ?
? x ? 3

? 2? ? 3

?

? ?

5? ? 2 ,∴ A ? 4 ? ? 2 ,即 A s in 6 ? 6

(4 分)

∴ f ( x ) ? 4 s in ?

?

? ?
? 6 ?

(5 分)

(2)由 f (3? ? ? ) ?
4 5

16

得 4 s in ? ( 3 ? ? ? ) ? ? ? ,即 4 s in ? ? ? ? ? 6 ? 5 2 ? 5 5 ?3 ?

?1

? ?

16

?

? ?

16

∴ cos ? ?

,
?
2 ] ,∴ s in ? ? 3 5

(7 分) , (8 分)

又∵ ? ? [ 0 ,
? ?

由 f ? 3? ? ∴ s in ? ?

5? ? 20 5? ? ? 20 5 ?1 )? ? ? 得 4 s in ? ( 3 ? ? ,即 s in ( ? ? ? ) ? ? ? ? ? ? 2 ? 13 2 6 ? 13 13 ?3

5 13

,
?
2 ] ,∴ c o s ? ? 12 13 4 5 ? 12 13 ? 3 5 ? 5 13 ? 33 65

(10 分)

又∵ ? ? [ 0 ,

c o s ( ? ? ? ) ? c o s ? c o s ? ? s in ? s in ? ?

(12 分) (2 分) (4 分)

17 解:(1)系统抽样 (2)众数的估计值为最高的矩形的中点,即众数的估计值等于 7 7 .5

设图中虚线所对应的车速为 x ,则中位数的估计值为:
0 .0 1 ? 5 ? 0 .0 2 ? 5 ? 0 .0 4 ? 5 ? 0 .0 6 ? ( x ? 7 5 ) ? 0 .5 ,解得 x ? 7 7 .5

即中位数的估计值为 7 7 .5

(6 分)

(3)从图中可知,车速在 [ 6 0 , 6 5 ) 的车辆数为: m 1 ? 0 .0 1 ? 5 ? 4 0 ? 2 (辆) ,(7 分)

车速在 [ 6 5 , 7 0 ) 的车辆数为: m 2 ? 0 .0 2 ? 5 ? 4 0 ? 4 (辆) ∴ ? ? 0 , 1, 2 ,
P (? ? 0 ) ? C2C4 C6
2 2 0

(8 分)

?

1 15

, P ( ? ? 1) ?

C 2C 4 C6
2

1

1

?

8 15

, P (? ? 2 ) ?

C2C4 C6
2

0

2

?

6 15



? 的分布列为

?

0
1

1
8 15

2
6 15

P

15

(11 分) 均值 E ( ? ) ? 0 ? 1 ?
8 15 ? 2? 6 15 ? 4 3

.

(12 分) (1 分)

18 解: (1)证明:因为 N 是 P B 的中点, P A ? A B , 所以 A N ? P B 由 P A ? 底面 A B C D ,得 P A ? A D ,
? 又 ? B A D ? 9 0 ,即 B A ? A D ,又 B A , P A 在平面 P A B 内,

(2 分) (3 分) (4 分)

?

A D ? 平面 P A B ,所以 A D ? P B



又 A D , A N 在平面 A D M N 内,
?

P B ? 平面 A D M N , ? P B ? D M 。

(5 分)

(2)方法一: 由(1)知, A D ? 平面 P A B ,所以 A N ? A D , 由已知可知, A B ? A D 所以 ? B A N 是平面 A D M N 与平面 A B C D 所成的二面角的平面角 在直角三角形 P A B 中, P B ?
PA ? AB
2 2

(6 分)

?

2 ? 2
2

2

? 2

2

(7 分) (8 分)

因为 N 直角三角形 P A B 斜边 P B 的中点,所以 A N ?
AN AB 2 2

2

在直角三角形 N A B 中, c o s ? B A N ?

?

(9 分)

即平面 A D M N 与平面 A B C D 所成的二面角的余弦值为

2 2

.

(10 分)

方法二:如图建立空间直角坐标系,则 A ( 0 , 0 , 0 ), N (1, 0 ,1) , D ( 0 , 2 , 0 )

???? A N ? (1, 0 , 1)

, A D ? (0, 2, 0 )

????

(6 分)

? ???? ? n ?A N ? 0 ? ? 设平面 A D M N 的法向量为 n ? ( x , y , z ) ,则 ? ? ???? ? ? n ?A D ? 0

即?

?x ? z ? 0 ?2 y ? 0

,令 z ? ? 1 ,则 x ? 1 ,
?

所以平面 A D M N 的一个法向量为 n ? (1, 0 , ? 1) 显然 a ? ( 0 , 0 , 2 ) 是平面 A B C D 的一个法向量 设平面 A D M N 与平面 A B C D 所成的二面角的平面角为 ? ,则
cos ? ? ? ? ? | n |?| a | ? ? n ?a ?2 2 ?2 ? 2 2
?

(7 分)

(9 分)

即平面 A D M N 与平面 A B C D 所成的二面角的余弦值为

2 2

.

(10 分)

(3)由已知得, A C ?
V P ? ABC ? 1 3

AB ? BC
2

2

?

5
2 3

(11 分) (12 分)

S ?ABC ? P A ?

1 3

?

1 2

? 2 ?1? 2 ?

设点 B 到平面 P A C 的距离为 h , 则V B ? A C P ?
1 3 S ?ACP ? h ? 1 3 ? 1 2 ?2? 5 ?h ? 5 3

h

(13 分)

由 V P ? A B C ? V B ? A C P ,即

5 3

h ?

2 3

,得 h ?

2 5

5

即点 B 到平面 P A C 的距离

2 5

5

.
b 2 3b 2

(14 分)

19 解: (1)当广告费为 1 千元时,销售量 s ? b ?

?

(2 分)

当广告费为 2 千元时,销售量 s ? b ?

b 2

?

b 2
2

?

7b 4

(4 分)

(2)设 s 0 表示广告费为 0 千元时的销售量,
? s ? s0 ? ? 1 ? ?s ? s ? ? 2 1 由题意得 ? ?? ? ? ? s ? s n ?1 ? n ? b 2 b 2
2



(7 分)

?

b 2
n

以上 n 个等式相加得 s n ? s 0 ?

b 2

?

b 2
2

?

b 2
3

?? ?
n ?1

b 2
n

(8 分)

即s ? b ?

b 2

?

b 2
2

?

b 2
3

?? ?

b 2
n

?

? ?1 ? b ?1 ? ? ? ? 2? ? ? 1? 1 2

? ? ? ?

1 ? ? ? b?2? n ? 2 ? ?

(10 分)

(3)当 a =50, b =200 时,设获利为 T n ,则有
1 ? ? Tn ? sa ? 1 0 0 0 n ? 1 0 0 0 0 ? ? 2 ? n ? ? 1 0 0 0 n 2 ? ?

(11 分)

欲使 T n 最大,则 ?
? ?1 0 0 0 0 ? ? 即? ?1 0 0 0 0 ? ? ?

?T n ? T n ?1 ? T n ? T n ?1



1 ? 1 ? ? ? ? 2 ? n ? ? 1 0 0 0 n ? 1 0 0 0 0 ? ? 2 ? n ? 1 ? ? 1 0 0 0 ( n ? 1) 2 ? 2 ? ? ? 1 ? 1 ? ? ? ? 2 ? n ? ? 1 0 0 0 n ? 1 0 0 0 0 ? ? 2 ? n ? 1 ? ? 1 0 0 0 ( n ? 1) 2 ? 2 ? ? ?

(12 分)

得?

?n ? 2 ?n ? 4



故 n ? 3 ,此时 s ? 3 5 0 (14 分)

即该厂家应生产 350 千克产品,做 3 千元的广告,能获利最大。 20 解: (1)两圆的圆心坐标分别为 C 1 (1, 0 ) , 和 C 2 ( ? 1, 0 ) ∵ | P C 1 | ? | P C 2 |? 2 2 ? | C 1C 2 |? 2

(2 分)

∴根据椭圆的定义可知,动点 P 的轨迹为以原点为中心, C 1 (1, 0 ) , 和 C 2 ( ? 1, 0 ) 为焦点,长轴长为

2a ? 2

2 的椭圆, a ?
x
2

2 , c ? 1, b ?

a ?c
2

2

?

2 ?1 ? 1
x
2

(4 分)

∴椭圆的方程为

? y

2

? 1 ,即动点 P 的轨迹 M 的方程为

? y

2

? 1 (6 分)

2

2

(2)(i)当直线 l 的斜率不存在时,易知点 A ( 2 , 0 ) 在椭圆 M 的外部,直线 l 与椭圆 M 无交点,所以直 线 l 不存在。 分) (7 (ii)设直线 l 斜率存在,设为 k ,则直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2 )
?x 2 ? y ?1 ? 2 2 2 2 由方程组 ? 2 得 ( 2 k ? 1) x ? 8 k x ? 8 k ? 2 ? 0 ① ? y ? k (x ? 2) ?
2

(8 分)

(9 分)

2 依题意 ? ? ? 8 ( 2 k ? 1) ? 0 解得 ?

2 2

? k ?

2 2

(10 分)

当?

2 2

? k ?

2 2

时,设交点 C ( x 1 , y 1 ) , D ( x 2 , y 2 ) ,CD 的中点为 N ( x 0 , y 0 ) ,
x1 ? x 2 2
2

方程①的解为 x 1 ?

8k

2

?
2

? ? 2
2

4k

, x2 ?

8k

2

?
2

? ? 2

4k

,则 x 0 ?

?

4k 2k
2

?1

? 4k ? ?2k ? 2? ? ∴ y0 ? k ( x0 ? 2 ) ? k ? 2 2 2k ? 1 ? 2k ? 1 ?

(11 分)

要使 | C 1 C | ? | C 1 D | ,必须 C 1 N ? l ,即 k ? k C
?2k ?1 ? ? 1 ,即 k ?0
1 2 ? ? 1 ? 0 或,∴ k
2 2

1N

? ?1

(12 分)

∴k ?

2k 2k

2

?1
2

?k ?

1 2

? 0②

4k
2

?1

∵?1 ? 1 ? 4 ?

?k ?

1 2

? 0 无解

(13 分)

所以不存在直线 l ,使得 | C 1 C | ? | C 1 D | 综上所述,不存在直线 l,使得 | C 1 C | ? | C 1 D | 21 解:(1)因为 e x
x(x ? 1 a
? 0

(14 分)
2

,所以不等式

f ( x ) ? 0 即为 a x ? x ? 0
? ? 1 a ? ? ?

,又因为 a

? 0

,所以不等式可化为 (4 分)

) ? 0 ,所以不等式 f ( x ) ? 0

的解集为 ? ? ,由于 e x

,0


? 0

(2)当 a

? 0

时, 方程即为 x e x

? x ? 2

? 0

,所以 x

不是方程的解,所以原方程等价于

e ?
x

2 x

?1? 0

,令 h ( x ) ?

e ?
x

2 x

?1

,因为 h ? ( x )

? e ?
x

2 x
2

? 0

对于 x ? ? ? ? , 0 ? ? ? 0 , ? ? ? 恒成立, ,h ( 2 )
? e ? 2 ? 0
2

所以 h ( x ) 在 ? ? ? , 0 ? 和 ? 0 , ? ? ? 内是单调增函数, 又 h (1)
h(?2) ? e
?2

? e?3? 0

, ( ? 3) ? h

e

?3

?

1 3

? 0



? 0

,所以方程

f (x) ? x ? 2

2 ? 有且只有两个实数根,且分别在区间 ?1 , ? 和 ? ? 3 , 2 ? 上,所以

整数 t 的所有值为 ? ? 3 ,1? . (3)
f ? ( x ) ? ( 2 a x ? 1) e ? ( a x ? x ) e
x 2 x 2

(8 分)
? [ a x ? ( 2 a ? 1) x ? 1]e
x


? ? 1 时取等号,故 a ? 0

①当 a

? 0

x 时, f ? ( x ) ? ( x ? 1) e , f ? ( x ) ≥

0

在 [ ? 1 , 上恒成立,当且仅当 x 1]



合要求; ②当 a
? 0

(10 分) 时,令 g ( x )
? 0

? a x ? ( 2 a ? 1) x ? 1
2

,因为 ?

? ( 2 a ? 1) ? 4 a ? 4 a
2

2

?1? 0



所以 g ( x ) 若a 故
? 0

有两个不相等的实数根 x 1 , x 2 ,不妨设 x 1
?a ? 0

? x2

,因此

f (x)

有极大值又有极小值.

,因为 g ( ? 1) ? g (0 ) ?
1 在 ? ? 1 ,? 上不单调.

,所以

f (x)

在 ( ? 1 , 内有极值点, 1) (12 分)

f (x)

若a

? 0

,可知 x1

? 0 ? x2


? g (1) ≥ 0 , ? g ( ? 1) ≥ 0 .

因为 g ( x ) 的图象开口向下,要使
?3a ? 2 ≥ 0 , ? ??a ≥ 0.

f (x)

在 [ ? 1 , 上单调,因为 g ( 0 ) ? 1 ? 1]

0

,必须满足 ?



所以 ?

2 3

≤ a ? 0

.

综上可知, a 的取值范围是 ? ?
?

?

2 3

,0

? ? ?



(14 分)

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