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2-10第10讲 导数及导数的运算


第10讲 导数及导数的运算

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【2013年高考会这样考】 1.利用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程. 2.考查导数的有关计算,尤其是简单的函数求导. 【复习指导】 本节复习时,应充分利用具体实际情景,理解导数的

意义及几 何意义,应能灵活运用导数公式及导数运算法则进行某些函数 求导.

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基础梳理 1.平均变化率 (1)函数f(x)从x1到x2的平均变化率可以表示为 f?x2?-f?x1? . x2-x1 Δy (2)函数f(x)在x0附近的平均变化率 = Δx f?x0+Δx?-f?x0? . Δx

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2.函数y=f(x)在x=x0处的导数 (1)定义 称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率

为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f′(x0)或y′|x=x0,即

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(2)几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y=f(x)上在 点 (x0,f(x0)) 处的

切线的斜率


.相应地,切线

方程为 y-y0=f′(x0)(x-x0) 3.函数f(x)的导函数 称函数 时也记作y′.

为f(x)的导函数,导函数有

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4.基本初等函数的导数公式 若f(x)=c,则f′(x)=0; 若f(x)=xn(n∈Q),则f′(x)= nxn-1 ; 若f(x)=sin x,则f′(x)=

cos x



若f(x)=cos x,则f′(x)= -sin x ; 若f(x)=ax,则f′(x)= 若f(x)=ex,则f′(x)=

axln a ex


(a>0且a≠1);

1 若f(x)=logax,则f′(x)= xln a (a>0且a≠1); 1 若f(x)=ln x,则f′(x)= x .
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5.导数的运算法则 若f′(x)、g′(x)存在,则有 (1)[f(x)± g(x)]′= f′(x)±g′(x) ; ; (g(x)≠0).

(2)[f(x)· g(x)]′= f′(x)g(x)+f(x)g′(x)
? f?x? ? ? (3)? ?g?x??′= ? ?

f′?x?g?x?-f?x?g′?x? [g?x?]2

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一个区别 曲线y=f(x)“在点P(x0,y0)处的切线”与“过点P(x0,y0)的切 线”的区别:曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线是指P为切 点,切线唯一,当f′(x0)存在时,切线的斜率k=f′(x0).曲线 y=f(x)过点P(x0,y0)的切线,是指切线经过P点,点P可以是切 点,也可以不是切点,而且这样的直线可能有多条.

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两个防范 (1)利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,防止 与乘法公式混淆. (2)不能正确理解直线与曲线相切和直线与曲线只有一个交点 的区别.

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双基自测 1.(人教A版教材习题改编)已知函数f(x)=ax2+c,且f′(1)=2, 则a的值为( A.1 解析 答案 ). B. 2 C.-1 D.0

∵f′(x)=2ax,∴f′(1)=2a=2,∴a=1. A ). 1 D.e

2.(2011· 江西)曲线y=ex在点A(0,1)处的切线斜率为( A.1 解析 答案 B.2 ∵y′=ex,∴y′|x=0=1. A
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C.e

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3.(2012· 杭州调研)曲线f(x)=x3+x-2在P0点处的切线平行于 直线y=4x-1,则P0点的坐标为( A.(1,0)或(-1,-4) C.(1,0) ). B.(0,1) D.(-1,-4)

解析 f′(x)=3x2+1,∴3x2+1=4,∴x=± 1,当x=1时,y =0,当x=-1时,y=-4,∴点P0的坐标为(1,0)或(-1,- 4). 答案 A

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4.已知函数f(x)的导函数f′(x),且满足f(x)=2xf′(1)+ln x, 则f′(1)=( A.-e ). B.-1 C.1 D.e

1 解析 f′(x)=2f′(1)+ , x ∴f′(1)=2f′(1)+1,∴f′(1)=-1. 答案 B

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5.(2011· 厦门质检)已知函数f(x)=xex,则f′(x)=______;函 数f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线方程为________. 解析 f′(x)=ex+xex=(x+1)ex,∴f′(0)=1,f(0)=0,故函

数f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线方程为y=x. 答案 (x+1)ex y=x

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考向一 利用导数的定义求函数的导数 【例1】?用导数的定义,求函数y= x在x=x0处的导数. [审题视点] 利用导数的定义求解.

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求函数f(x)平均变化率的步骤 (1)求函数值的增量Δf=f(x2)-f(x1); Δf f?x2?-f?x1? (2)计算平均变化率Δx= . x2-x1

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1 【训练1】 利用导数的定义,求出函数y=x+ 的导数,并据 x 此求函数在x=1处的导数.
? 1? 1 Δx Δy ?x+ ? =Δx- 解 Δy=(x+Δx)+ - , =1- x+Δx ? x ? x?x+Δx? Δx

1 , x?x+Δx? ∴y′= 1 ∴y′|x=1=1-12=0.
? ? 1 1 ? ? ?1-x?x+Δx??=1-x2, ? ?

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考向二

导数的运算

【例2】?(2011· 泉州月考)求下列函数的导数:
? 1 1? 2 (1)y=x?x +x +x3?; ? ?

x x (2)y=x-sin cos ; 2 2 (3)y=(
? x+1)? ? ? ? 1 -1?. ? x ?

[审题视点] 则求导.

若式子能化简,可先化简,再利用公式和运算法

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1 2 2 (1)∵y=x +1+ 2,∴y′=3x - 3. x x
3

(2)先使用三角公式进行化简,得 x x 1 y=x-sin cos =x- sin x, 2 2 2
? ? 1 1 ?x- sin x?′=x′- (sin ∴y′= 2 2 ? ?

1 x)′=1-2cos x.

1 1 1 1 (3)先化简,y= x· - x+ -1=-x2+x-2, x x 1? 1 1 1 3 1 ? ?1+ ?. ∴y′=-2x-2-2x-2=- x? 2 x?

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(1)求导之前,应利用代数、三角恒等式等变形对函 数进行化简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速 度,减少差错;(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形 式,但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简,然后 进行求导,有时可以避免使用商的求导法则,减少运算量.

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【训练2】 求下列函数的导数: (1)y=( x-2)2; x x? x? (2)y=cos2?sin 2-cos 2?; ? ? (3)y=log2(ax3). 解 (1)∵y=( x-2)2=x-4 x+4, 2 ∴y′=(x-4 x+4)′=1- . x

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x x? x? x x x ?sin -cos ?=cos sin -cos2 (2)∵y=cos 2 2 2? 2 2 2 ? 1 1 1 1 =2sin x-2(1+cos x)=2(sin x-cos x)-2,
?1 ∴y′=?2?sin ?

1? 1 ?′= (sin x-cos x)′ x-cos x?-2 2 ?

1 2 ? π? =2(cos x+sin x)= 2 sin?x+4?. ? ? (3)∵y=log2(ax3)=log2a+3log2x, 3 ∴y′=(log2a)′+(3log2x)′=xln 2.

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考向三

导数的几何意义

【例3】?已知抛物线y=ax2+bx+c通过点P(1,1),且在点 Q(2,-1)处与直线y=x-3相切,求实数a,b,c的值. [审题视点] 函数y=ax2+bx+c在点Q(2,-1)处的导数值等于 切线斜率为1,且点Q(2,-1)、点P(1,1)都在抛物线上. 解 ∵y′=2ax+b, ∴抛物线在Q(2,-1)处的切线斜率为k=y′|x=2=4a+b. ∴4a+b=1. 又∵P(1,1)、Q(2,-1)在抛物线上,∴a+b+c=1, 4a+2b+c=-1.
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① ② ③
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?a=3, ? 联立①②③解方程组,得?b=-11, ?c=9. ? ∴实数a,b,c的值分别为3,-11,9. (1)解决此类问题一定要分清“在某点处的切线”, 还是“过某点的切线”的问法. (2)解决“过某点的切线”问题,一般是设出切点坐标为P(x0, y0),然后求其切线斜率k=f′(x0),写出其切线方程.而“在 某点处的切线”就是指“某点”为切点.

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【训练3】 已知曲线方程为y=x2. (1)求过A(2,4)点且与曲线相切的直线方程; (2)求过B(3,5)点且与曲线相切的直线方程. 解 (1)∵A在曲线y=x2上, ∴过A与曲线y=x2相切的直线只有一条, 且A为切点. 由y=x2,得y′=2x,∴y′|x=2=4, 因此所求直线的方程为y-4=4(x-2), 即4x-y-4=0.

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(2)法一 设过B(3,5)与曲线y=x2相切的直线方程为y-5=k(x -3),即y=kx+5-3k,
?y=kx+5-3k, ? 由? ?y=x2, ?

得x2-kx+3k-5=0,

Δ=k2-4(3k-5)=0,整理得:(k-2)(k-10)=0, ∴k=2或k=10. 所求的直线方程为2x-y-1=0,10x-y-25=0.

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法二 设切点P的坐标为(x0,y0), 由y=x2得y′=2x,∴y′|x=x0=2x0, 5-y0 由已知kPA=2x0,即 =2x0. 3-x0 又y0=x2代入上式整理得:x0=1或x0=5, 0 ∴切点坐标为(1,1),(5,25), ∴所求直线方程为2x-y-1=0,10x-y-25=0.

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规范解答5——如何求曲线上某一点的切线方程
【问题研究】 利用导数的几何意义求函数在某一点的坐标或 某一点处的切线方程是高考常常涉及的问题.这类问题最容易 出现的错误就是分不清楚所求切线所过的点是不是切点而导致 错误. 【解决方案】 解这类问题的关键就是抓住切点.看准题目所求 的是“在曲线上某点处的切线方程”还是“过某点的切线方 程”,然后求某点处的斜率,用点斜式写出切线方程.

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【示例】?(本题满分12分)(2010· 山东)已知函数f(x)=ln x-ax+ 1-a -1(a∈R). x (1)当a=-1时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; 1 (2)当a≤ 时,讨论f(x)的单调性. 2 (1)求出在点(2,f(2))处的斜率及f(2),由点斜式写出 切线方程; (2)求f′(x),再对a分类讨论.

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2 [解答示范] (1)当a=-1时,f(x)=ln x+x+ -1, x x2+x-2 x∈(0,+∞).所以f′(x)= ,x∈(0,+∞),(1分) x2 因此f′(2)=1,即曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为1. 又f(2)=ln 2+2, 所以曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 y-(ln 2+2)=x-2,即x-y+ln 2=0.(3分)

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1-a a-1 1 (2)因为f(x)=ln x-ax+ -1,所以f′(x)= -a+ 2 =- x x x ax2-x+1-a ,x∈(0,+∞).(4分) x2 令g(x)=ax2-x+1-a,x∈(0,+∞). ①当a=0时,g(x)=-x+1,x∈(0,+∞), 所以当x∈(0,1)时,g(x)>0, 此时f′(x)<0,函数f(x)单调递减; 当x∈(1,+∞)时,g(x)<0,此时f′(x)>0,函数f(x)单调递 增;(6分) ②当a≠0时,由f′(x)=0, 1 即ax -x+1-a=0,解得x1=1,x2=a-1.
2
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1 a.当a= 2时,x1=x2,g(x)≥0恒成立,此时f′(x)≤0,函数f(x) 在(0,+∞)上单调递减;(7分) 1 1 b.当0<a<2时,a-1>1>0. x∈(0,1)时,g(x)>0,此时f′(x)<0,函数f(x)单调递减;
? ? 1 x∈ ?1,a-1? 时,g(x)<0,此时f′(x)>0,函数f(x)单调递增; ? ?

x∈

?1 ? ? -1,+∞? ?a ?

时,g(x)>0,此时f′(x)<0,函数f(x)单调递

减;(9分)

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1 c.当a<0时,由于 a -1<0,x∈(0,1)时,g(x)>0,此时f′(x) <0,函数f(x)单调递减; x∈(1,+∞)时,g(x)<0,此时f′(x)>0,函数f(x)单调递 增.(11分) 综上所述: 当a≤0时,函数f(x)在(0,1)上单调递减, 函数f(x)在(1,+∞)上单调递增; 1 当a= 时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减; 2

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1 当0<a<2时,函数f(x)在(0,1)上单调递减,
? ? 1 函数f(x)在?1,a-1?上单调递增, ? ? ?1 ? 函数f(x)在?a-1,+∞?上单调递减.(12分) ? ?

求解切线问题的关键是切点坐标,无论是已知切线 斜率还是切线经过某一点,切点坐标都是化解难点的关键所 在.

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1 3 4 【试一试】 已知曲线y= x + . 3 3 (1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程; (2)求曲线过点P(2,4)的切线方程. [尝试解答] (1)所求切线的斜率为y′|x=2=22=4,

故所求曲线的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0. 1 3 4 1 3 (2)设曲线y= 3 x + 3 与过点P(2,4)的切线相切于点A(x0, 3 x 0 + ?1 4? 4 3 2 ),则切线的斜率为k=y′|x=x0=x 0 切线方程为y- ?3x0+3? = 3 ? ? ?1 4? 3 2 x 0 (x-x0),因为点P(2,4)在切线上,所以4- ?3x0+3? =x 2 (2- 0 ? ? x0),解得x0=2或x0=-1,故所求切线的方程为:4x-y-4=0 或x-y+2=0.
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