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哈尔滨市2013届高三数学二轮复习专题能力提升训练十五:选考内容

时间:2013-05-23


哈尔滨 2013 届高三数学二轮复习专题能力提升训练:选考内容 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题 (本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的) 1.不等式

1 ? 3x ? 4 ? 6

的解集为(

)

? 10 5 ? ? 2 ? ? 10 5 ? ? 2 ? ? ,? ? 1, ?? 3 ,? 3 ? ? ?1, 3 ? ? ? ? ? B. ? 3 3 ? ? 3 ? ? ? ? ? A.
? 10 5 ? ? 2 ? ? 10 5 ? ? 2 ? ? ,? ? ? 1, ?? 3 ,? 3 ? ? ?1, 3 ? ? ? ? D. ? 3 3 ? ? 3 ? ? ? ? C. ?
【答案】B 2.如图,A、B 是⊙O 上的两点,AC 是⊙O 的切线,∠B=70°,则∠BAC 等于( )

A. 70° 【答案】C

B. 35°

C. 20°

D. 10°

A(6,
3. 在极坐标系中与点

4? ) 3 重合的点是(

)

(6, ) 3 A.
【答案】C

?

(6,
B.

7? ? 2? ) ( ?6, ) ( ?6, ) 3 3 D. 3 C.

4.如图已知 ?ABC 的一边 BC ? 2c ,另外两边 AB ? AC ? 2a ,直线 l 是 ?ABC 外角的平分线,记边 BC 的 中点为 O ,过点 O 作边 AB 的平行线与直线 l 相交于点 P ,则线段 OP 的长度为( )

A

P

B

O

C

A.

a B. c

a?c 2 C.

a?c 2 D.

【答案】A

5.方 程

1 ? ?x ? t ? ? t ? y?2 ?

(t 为参数)表示的曲线是(

)

A.一条直线 B.两条射线 C.一条线段 D.抛物线的一部分 【答案】B 6.已知二面角 ?

? l ? ? 的平面角为 ?

,P 为空间一点,作 PA ? ? ,PB ? ? ,A,B 为垂足,且 PA ? 4 ,

PB ? 5 ,设点 A、B 到二面角 ? ? l ? ? 的棱 l 的距离为别为 x, y .则当 ? 变化时,点 ( x, y) 的轨迹是下
列图形中的( )

【答案】D 7.不等式 | x ? 5 | ? | x ? 3 |? 10 的解集是( A.[-5,7] C. B.[-4,6] D. )

? ??, ?5? ? ?7, ???

? ??, ?4? ? ?6, ???

【答案】D

?? ? cos ? ? ? ? ? 表示的曲线是( ?4 8.极坐标方程 ? =
A.双曲线 【答案】D B.椭圆 C.抛物线 D.圆

)

? 9.极坐标系内曲线 ? ? 2 cos? 上的动点 P 与定点 Q( 2 )的最近距离等于(
1,
A. 2 ? 1 【答案】A B.

)

5 ? 1 C.1
2

D. 2

3 1 a 3a 对任意实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围为( 10.不等式 | x+ | + | x- |≥ -
A.[-1,4] C.[-2,5] 【答案】A 11. A. B.(-∞,-2]∪[5,+∞) D.(-∞,-1]∪[4,+∞)

)

2x ? 2 ? 2x ? 2 ? a

能成立,则实数 a 的取值范围是( D.

)

? ??, ?4?

B.

? 4, ?? ? C. ??4, ???

? ?4, ???

【答案】C

? a1 b1 c1 ? ? ? a b2 c2 ? 12 . 已 知 关 于 x、 y 的 二 元 一 次 线 性 方 程 组 的 增 广 矩 阵 为 ? 2 , 记 ? ? ? a ? ( a , a ) ,? 1(b 2 b ? c 1,则此线性方程组有无穷多组解的充要条件是( b , ), c2 c ) ( , 1 2 )
? ? ? ? A. a ? b ? c ? 0 ? ? a / /b . C.
? ? ? a、、 两两平行. b c B. ? ? ? a、、 方向都相同. b c D.

【答案】B 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题 (本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上) 13.如图,? ABC 是圆 O 的内接三角形,圆 O 的半径 r ? 1 , AB ? 1 , BC ? 则 ?ACE ? ____________.

2 , EC 是圆 O 的切线,

【答案】 15

?

? ? 2 M (2, ) l : ? sin(? ? ) ? 3 到直线 4 2 的距离为____________ 14.在极坐标系中,点
6 【答案】 2
15.极坐标方程分别为 ? ? cos ? 与 ? ? sin ? 的两个圆的圆心距为____________

2 【答案】 2
16.若关于 x 的不等式 【答案】 (??,1] 三、解答题 (本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

x ? x ?1 ? a a ? ( R)的解集为 ? ,则 a 的取值范围是



C1 : y ?
17.已知曲线

1 2 2 x 绕原点逆时针旋转 45? 后可得到曲线 C2 : y ? x ? 2 ,

(I)求由曲线

C1 变换到曲线 C2 对应的矩阵 M 1 ;

? 2 0? M2 ? ? ? ? 0 3 ? ,求曲线 C1 依次经过矩阵 M1 , M 2 对应的变换 T1 , T2 变换后得到的曲线方程. (II)若矩阵
? ? M1 ? ? ? ? ? 【答案】 (I)依题意得
(II ) 设 依 次 经 过

2 2 2 2


?

2? ? 2 ? 2 ? ? 2 ?;



M1 , M 2











T1 , T2











? ? ? 2 0? ? M ? M 2M1 ? ? ? 0 3? ? ? ? ? ? ? ?

2 2 2 2

?

2? ? ? 2 2 ? ? ?3 2 2 ? ? ? ? ? 2 2 ?

? 2? ? 3 2? ? 2 ?

? x' ? ? x? 1 ? ' ? ? M? ? C1 : y ? ? y? ? ? ' ' ' ? ? ,即 x 上的一 点 P( x, y), 它在变换 TM 作用下变成点 P ( x , y ), 则有 ? y ? 任取曲线
? 3x ' ? 2 y ' x? ? ? x' ? 2x ? 2 y ? 6 2 ?? ? 2 y ' ? 3x ' ? ' 3 2 3 2 ?y ? ?y ? 2 x ? 2 y ? 6 2 ? , ?

y' x' 1 y x C1 : y ? ? ?1 ? ?1 x 上,得到 18 8 8 又因为点 P 在 即 18 。
? x ? 5cos ? (? ? xOy 中,椭圆 C 方程为 ? y ? 3sin ? 为参数 ) 18.在平面直角坐标系 ? x ? 4 ? 2t (t ? ?y ? 3?t (Ⅰ)求过椭圆的右焦点,且与直线 为参数)平行的直线 l 的普通方程。
(Ⅱ)求椭圆 C 的内接矩形 ABCD 面积的最大值。 【答案】 (1)由已知得椭圆的右焦点为

2

2

2

2

? 4, 0 ? ,已知直线的参数方程可化为普通方程: x ? 2 y ? 2 ? 0 ,所

k?


1 2 ,于是所求直线方程为 x ? 2 y ? 4 ? 0 。

? 2? ? S ? 4 xy ? 60sin ? cos? ? 30sin 2? 2 时,面积最大为 30 (2) ,当
19.如图,AB 是⊙O 的直径,C,F 是⊙O 上的点,OC 垂直于直径 AB,过 F 点作⊙O 的切线交 AB 的延 长线于 D.连结 CF 交 AB 于 E 点.

(1)求证:DE2=DB·DA; (2)若⊙O 的半径为 2 3 ,OB= 3 OE,求 EF 的长.

【答案】 (Ⅰ)连结 OF.∵DF 切⊙O 于 F,

∴∠OFD=90°.∴∠OFC+∠CFD=90°. ∵OC=OF,∴∠O CF=∠OFC. ∵CO⊥AB 于 O,∴∠OCF+∠CEO=90°. ∴∠ CFD=∠CEO=∠DEF,∴DF=DE. ∵DF 是⊙O 的切线,∴DF2=DB·DA. ∴DE2=DB·DA.

OE ?
(Ⅱ)

1 3

OB ? 2

,CO= 2 3 ,

CE ? CO 2 ? OE 2 ? 4

∵CE·EF= AE·EB= ( 2 3 +2)( 2 3 -2)=8,∴EF=2.

?2 0 ? A?? ? ?0 3 ? ,点 M (?1, ? 1) ,点 N (1,1) . 20.已知矩阵
(1)求线段 MN 在矩阵 A 对应的变换作用下得到的线段 M ?N ? 的长度; (2)求矩阵 A 的特征值与特征向量.

?3 0 ? ??1? ? ? 3? ?3 0 ? ?1? ? 3 ? ?0 4? ??1? ? ? ?4 ? ?0 4? ?1? ? ? 4 ? ?? ? ? ? ,? ?? ? ? ? , 【答案】 (1)由 ?
? ? 所以 M (?3, ? 4), N (3, 4)

所以

M ?N ? ? (?3 ? 3)2 ? (?4 ? 4)2 ? 10
? ?3
0 0 ? (? ? 3)(? ? 4) ? 0 ? ?4

f (? ) ?

(2)

得矩阵 A 特征值为

? 1 ? 3, ? 2 ? 4



?(? ? 3) x ? 0?y ? 0 , ? ? ? 3, ? 2 ? 4 0?x ? (? ? 4) y ? 0 , 分别将 1 代入方程组 ?

?1 ? ? ? ?0 ? A 属于特征值 ?1 ? 3 的特征向量为 得矩阵
?2 ? ? ? ?0 ? 当 属于特征值 ? 2 ? 4 的特征向量为
? 1 3 ? ?? ? A?1 ? ? 4 4 ? ? 1 ? 1? ? 2 2 ? , 求矩阵 A 的特征值. ? ? 21.已知矩阵 A 的逆矩阵
?1 【答案】∵ A A = E ,∴

?1 ?

?1 ?

A = ? A ?1 ?

?1



? 1 3 ? ?? 4 4 ? ?1 A ?? ? ?1 ? 2 3? ? 1 ? 1? A = ? A?1 ? ? ? ? ? 2 ?2 1 ? 。 2 ? ,∴ ? ? ∵
?? ? 2 ? 3 ? 2 f ?? ? = ? =? ? 3? ? 4 ? ?1 ? ? ?2 ? A 的特征多项式为 ∴矩阵 。


f ? ? ? =0

, ,解得矩阵 A 的特征值 ?1 = ? 1 ?2 =4 。

22.在极坐标系中 ,直线 l 的极坐标方程为

??

?
3

( ? ? R)

,以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴建立平面

? x ? 2cos ? , ? y ? 1 ? cos 2? ,( ? 为参数) 求直线 l 与曲线 C 的交点 P 的直角坐标. 直角坐标系, 曲线 C 的参数方程为 ? ,
【答案】因为直线 l 的极坐标方程为

? = ( ? ?R)

? 3



所以直线 l 的普通方程为 y ? 3x ,①
? x ? 2cos ? , ? y ? 1 ? cos 2? 又因为曲线 C 的参数方程为 ? (α 为参数),

所以曲线 C 的直角坐标方程为
? x ? 0, ? ?y ? 0

y?

1 2 x 2 ( x ? [?2, 2]) ,②

联立①②解方程组得

? x ? 2 3, ? ? ? y ? 6. 或?

根据 x 的范围应舍去

? x ? 2 3, ? ? ? y ? 6, ?

故 P 点的直角坐标为(0,0).


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