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03高考数学概念方法题型易误点技巧总结(三)


高考数学概念方法题型易误点技巧总结(三)





1、数列的概念:数列是一个定义域为正整数集 N*(或它的有限子集{1,2,3,?, n} 的特殊函数,数列的通项公式也就是相应函数的解析式。如(1)已知 )

n 1 (n ? N * ) ,则在数列 {an } 的最大项为__(答: ) ;(2

)数列 {an } 的 n ? 156 25 an 通 项 为 an ? , 其 中 a, b 均 为 正 数 , 则 an 与 an?1 的 大 小 关 系 为 ___ ( 答 : bn ? 1 ;(3)已知数列 {an } 中, an ? n2 ? ? n ,且 {an } 是递增数列,求实数 ? 的 an ? an?1 ) 取值范围(答: ? ? ?3 ) ;(4)一给定函数 y ? f (x) 的图象在下列图中,并且对任意 an ?
2

a1 ? (0,1) ,由关系式 an?1 ? f (an ) 得到的数列 {an } 满足 an?1 ? an (n ? N * ) ,则该函
数的图象是 () (答:A)

A B C 2.等差数列的有关概念: (1)等差数列的判断方法:定义法 an?1 ? an ? d (d为常数) 或

D

an?1 ? an ? an ? an?1 (n ? 2) 。如设 {an } 是等差数列,求证:以 bn=
n ? N * 为通项公式的数列 {bn } 为等差数列。

a1 ? a 2 ? ? ? a n n

(2) 等差数列的通项:an ? a1 ? (n ?1)d 或 an ? am ? (n ? m)d 。 如(1)等差数列 {an } 中, a10 ? 30 , a20 ? 50 ,则通项 an ? (答: 2 n ? 10 );(2)首项为-24 的

等差数列,从第 10 项起开始为正数,则公差的取值范围是______(答: (3)等差数列的前 n 和: S n ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) d 。如(1)数列 , S n ? na1 ? 2 2 1 3 15 * {an } 中, an ? an ?1 ? (n ? 2, n ? N ) , an ? ,前 n 项和 S n ? ? ,则 a1 =_, n 2 2 2

8 ? d ?3) 3

1

=_(答: a1 ? ?3 , n ? 10 );(2)已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 12n ? n2 ,求

?12n ? n 2 (n ? 6, n ? N * ) ? 数列 {| an |} 的前 n 项和 Tn (答: Tn ? ? 2 ). * ?n ? 12n ? 72(n ? 6, n ? N ) ?
a?b 。 2 提醒: (1)等差数列的通项公式及前 n 和公式中,涉及到 5 个元素: a1 、 d 、 n 、 an 及 Sn ,其中 a1 、 d 称作为基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个,便可求出
(4) 等差中项: a, A, b 成等差数列, A 叫做 a 与 b 的等差中项, A ? 若 则 且 其余 2 个,即知 3 求 2。 (2)为减少运算量,要注意设元的技巧,如奇数个数成等差, 可设为?,a ? 2d , a ? d , a, a ? d , a ? 2d ?(公差为 d ) ;偶数个数成等差,可设为?,

a ? 3d , a ? d , a ? d , a ? 3d ,?(公差为 2 d )
3.等差数列的性质: (1) 当公差 d ? 0 时, 等差数列的通项公式 an ? a1 ? (n ?1)d ? dn ? a1 ? d 是关于 n 的一次函数, 且斜率为公差 d ; n 和 S n ? na1 ? 前

n(n ? 1) d d d ? n 2 ? (a1 ? )n 是关于 2 2 2

(2)若公差 d ? 0 ,则为递增等差数列,若公差 d ? 0 ,则为递减等差数列,若 公差 d ? 0 ,则为常数列。 (3)当 m ? n ? p ? q 时,则有 am ? an ? a p ? aq ,特别地,当 m ? n ? 2 p 时,则 有 am ? an ? 2a p .如(1)等差数列 {an } 中, Sn ? 18, an ? an?1 ? an?2 ? 3, S3 ? 1 ,则 n =____(答:27)(2)在等差数列 ?an ? 中, a10 ? 0, a11 ? 0 ,且 a11 ?| a10 | , S n 是其 ; 前 n 项和,则 A、 S1 , S2 ?S10 都小于 0, S11 , S12 ? 都大于 0 于 0, S20 , S21 ? 都大于 0 B、 S1 , S2 ?S19 都小 D、 C、 S1 , S2 ? S5 都小于 0, S6 , S7 ? 都大于 0

n 的二次函数且常数项为 0.

S1 , S2 ?S20 都小于 0, S21 , S22 ? 都大于 0 (答:B) (4) 若 {an } 、 {bn } 是等差数列,则 {kan } 、 {kan ? pbn } ( k 、 p 是非零常数)、

{ap?nq }( p, q ? N * ) 、 Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n ,?也成等差数列,而 {a an } 成等比数列;
若 {an } 是等比数列,且 an ? 0 ,则 {lg an } 是等差数列. 如等差数列的前 n 项和为 25, 前 2n 项和为 100,则它的前 3n 和为 。 (答:225) (5) 在等差数列 {an } 中, 当项数为偶数 2n 时,S偶-S奇 ? nd ; 项数为奇数 2n ? 1 时, S奇 ? S偶 ? a中 , S2n?1 ? (2n ?1) ? a中 (这里 a中 即 an ) S奇 : ; S


? )? k k 1 ( :

。如

(1) 在等差数列中, 11=22, a6 =______ S 则 (答: ; 2) (2) 项数为奇数的等差数列 {an } 中,奇数项和为 80,偶数项和为 75,求此数列的中间项与项数(答:5;31). ( 6 ) 若 等 差 数 列 {an } 、 {bn } 的 前 n 和 分 别 为 An 、 Bn , 且

An ? f ( n) , 则 Bn

2

an (2n ? 1)an A2 n ?1 ? ? ? f (2n ? 1) .如设{ an }与{ bn }是两个等差数列,它们的前 n bn (2n ? 1)bn B2 n ?1 a 6n ? 2 S 3n ? 1 项和分别为 S n 和 Tn ,若 n ? ,那么 n ? ___________(答: ) 8n ? 7 bn Tn 4n ? 3
(7)“首正”的递减等差数列中,前 n 项和的最大值是所有非负项之和; “首负”的 递增等差数列中,前 n 项和的最小值是所有非正项之和。法一:由不等式组
?an ? 0 ? ?an ? 0 ? 确定出前多少项为非负(或非正) ;法二:因等差数列前 n 项是 ? 或? ? ? ? ? ?an ?1 ? 0? ?an ?1 ? 0 ?

关于 n 的二次函数,故可转化为求二次函数的最值,但要注意数列的特殊性 n ? N 。 上述两种方法是运用了哪种数学思想?(函数思想) ,由此你能求一般数列中的最大或 最小项吗?如(1)等差数列 {an } 中, a1 ? 25 , S9 ? S17 ,问此数列前多少项和最大?
*

并求此最大值。 (答:前 13 项和最大,最大值为 169)(2)若 {an } 是等差数列,首项 ;

a1 ? 0, a2003 ? a2004 ? 0 , a2003 ? a2004 ? 0 ,则使前 n 项和 Sn ? 0 成立的最大正整数 n 是 (答: 4006) (8)如果两等差数列有公共项,那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数 列,且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意:公共项仅是公共的 项,其项数不一定相同,即研究 an ? bm .
4.等比数列的有关概念: (1)等比数列的判断方法:定义法

an ?1 , ? q(q为常数) 其 中 q ? 0, an ? 0 或 an

an?1 an ? an an?1
(n ? 2) 。如(1)一个等比数列{ an }共有 2n ? 1 项,奇数项之积为 100,偶数项之积为
120,则 an ?1 为____(答:

5 ) (2)数列 {an } 中, Sn =4 an ?1 +1 ( n ? 2 )且 a1 =1,若 ; 6 bn ? an?1 ? 2an ,求证:数列{ bn }是等比数列。
(2)等比数列的通项: an ? a1qn?1 或 an ? amqn?m 。如设等比数列 {an } 中,

a1 ? an ? 66 ,a2 an?1 ? 128 ,前 n 项和 Sn =126,求 n 和公比 q . (答:n ? 6 ,q ?
或 2) (3)等比数列的前 n 和:当 q ? 1 时, Sn ? na1 ;当 q ? 1 时, Sn ?

1 2

a1 (1 ? q n ) 1? q

?

a1 ? an q 。如(1)等比数列中, q =2,S99=77,求 a3 ? a6 ? ? ? a99 (答:44) ; 1? q
; ? (? Cnk ) 的值为__________(答:2046)
n ?1 k ?0 10 n

(2)

3

特别提醒:等比数列前 n 项和公式有两种形式,为此在求等比数列前 n 项和时, 首先要判断公比 q 是否为 1,再由 q 的情况选择求和公式的形式,当不能判断公比 q 是 否为 1 时,要对 q 分 q ? 1 和 q ? 1 两种情形讨论求解。 (4)等比中项:若 a, A, b 成等比数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等比中项。提醒:不 是任何两数都有等比中项,只有同号两数才存在等比中项,且有两个 ? ab 。如已知 两个正数 a, b(a ? b) 的等差中项为 A, 等比中项为 B, A 与 B 的大小关系为______ 答: 则 ( A>B) 提醒: (1)等比数列的通项公式及前 n 和公式中,涉及到 5 个元素: a1 、 q 、 n 、

an 及 Sn ,其中 a1 、 q 称作为基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个,便可求出
其余 2 个,即知 3 求 2; (2)为减少运算量,要注意设元的技巧,如奇数个数成等比, 可设为?,

a a , , a ,aq ,aq 2 ?(公比为 q ) ;但偶数个数成等比时,不能设为? q2 q

a a ?, 只有公比为正时才可如此设, 且公比为 q 2 。 , , aq, aq3 , 因公比不一定为正数, 3 q q
如有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个成等比数列,且第一个数与第四个数 的和是 16, 第二个数与第三个数的和为 12, 求此四个数。 (答: 15, 3,1 或 0,4, ,9, 8,16) 5.等比数列的性质: (1)当 m ? n ? p ? q 时,则有 am ? n ? a p ? q ,特别地,当 m ? n ? 2 p 时,则有 a a

am ? n ? ap 2 .如(1)在等比数列 {an } 中,a3 ? a8 ? 124, a4a7 ? ?512 ,公比 q 是整数, a
则 a10 =___(答:512) (2)各项均为正数的等比数列 {an } 中,若 a5 ? a6 ? 9 ,则 ;

log3 a1 ? log a 2 ?? ? log a 1 0 ? 3 3

(答:10) 。
*

(2) 若 {an } 是等比数列,则 {| an |} 、 {ap?nq }( p, q ? N ) 、 {kan } 成等比数列;

an } 成等比数列; 若 {an } 是等比数列,且公 bn 比 q ? ?1 ,则数列 Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n ,?也是等比数列。当 q ? ?1 ,且 n 为偶
若 {an }、 n } 成等比数列,则 {anbn } 、 { {b 数时,数列 Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n ,?是常数数列 0,它不是等比数列. 如(1)已知
a ? 0 且 a ? 1 , 设 数 列 {xn } 满 足 l oa x ?n ? ? 1 xla o(ng N * , 且 ) g 1 n?

x1 ? x ? ? ? x 2

1

? 100 ,则 x101 ? x102 ? ? ? x200 ? 0 0

. (答: 100a

100

)(2) ;

在等比数列 {an } 中, S n 为其前 n 项和,若 S30 ? 13S10 , S10 ? S30 ? 140 ,则 S 20 的值 为______(答:40) (3)若 a1 ? 0, q ? 1 ,则 {an } 为递增数列;若 a1 ? 0, q ? 1 , 则 {an } 为递减数列;若

a1 ? 0,0 ? q ? 1 ,则 {an } 为递减数列;若 a1 ? 0,0 ? q ? 1 , 则 {an } 为递增数列;若 q ? 0 ,则 {an } 为摆动数列;若 q ? 1 ,则 {an } 为常数列. ? a1 n a , ? (4) 当 q ? 1 时, n ? 这里 但 S q ? 1 ? aqn ? b , a ? b ? 0 , a ? 0 b 0 , 1? q 1? q
4

这是等比数列前 n 项和公式的一个特征,据此很容易根据 Sn ,判断数列 {an } 是否为等 比数列。如若 {an } 是等比数列,且 Sn ? 3 n ? r ,则 r =
m n

(答:-1)

(5) Sm?n ? Sm ? q Sn ? Sn ? q Sm .如设等比数列 {an } 的公比为 q ,前 n 项和为

Sn ,若 Sn?1 , Sn , Sn?2 成等差数列,则 q 的值为_____(答:-2) (6) 在等比数列 {an } 中,当项数为偶数 2n 时, S偶 ? qS奇 ;项数为奇数 2n ? 1 时,

S奇 ? a1 ? qS偶 .
(7)如果数列 {an } 既成等差数列又成等比数列,那么数列 {an } 是非零常数数列,故 常数数列 {an } 仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。如设数列

? an ? 的 前 n 项 和 为 S n
a n ? a n?1

Sn ? a n

2

? an ? 既 是 等 差 数 列 又 是 等 比 数 列 ; ② 若 n ? b n ? a 、 ? R ? ,则 ? an ? 是等差数列;③若 S n ? 1 ? ? ? 1 ? ,则 ? an ? 是等比 b
( n ? N) , 则

( n?N ) , 关 于 数 列 ? an ? 有 下 列 三 个 命 题 : ① 若

数列。这些命题中,真命题的序号是 (答:②③) 6.数列的通项的求法: ⑴公式法:①等差数列通项公式;②等比数列通项公式。如已知数列

1 1 1 1 1 3 ,5 ,7 ,9 , ? 试写出其一个通项公式:__________(答: an ? 2n ? 1 ? n ?1 ) 2 4 8 16 32 S ,(n ? 1) a ⑵已知 Sn (即 a1 ? a2 ? ? ? an ? f (n) ) an , 求 用作差法: n ? 1 。 Sn ? Sn ?1 ,(n ? 2)

?

如① 已知 {an } 的前 n 项和满足 log2 (Sn ? 1) ? n ? 1,求 an (答: an ? 数列 {an } 满足

1 1 1 14, n ? 1 a1 ? 2 a2 ? ? ? n an ? 2n ? 5 ,求 an (答: an ? n ?1 ) 2 ,n ? 2 2 2 2 ? f (1),(n ? 1) ? ⑶已知 a1 ? 2 ? an ? f (n) 求 an ,用作商法: an ? ? f (n) 。如数列 a ?? ,(n ? 2) ? f (n ? 1) ? 61 则 (答: ) {an } 中,a1 ? 1, 对所有的 n ? 2 都有 a1a2 a3 ?an ? n 2 , a3 ? a5 ? ______ 16 ⑷ 若 求 用 累 加 法 : an?1 ? an ? f (n) an

?

?

3, n ? 1 ) ;② 2n , n ? 2

an ? (

an?? 1

)an

?( ?1

? ?? an 2

)an

?

2

( ? a1
1

)? a
(n ? 2) , 则

? a1 (n ? 2) 。 如 已 知 数 列 {an } 满 足 a1 ? 1 , a n ? a n ?1 ?

n ?1 ? n

an =________(答: an ? n ? 1 ? 2 ? 1) a a a a ⑸已知 n ?1 ? f (n) 求 an ,用累乘法: an ? n ? n ?1 ? ? ? 2 ? a1 (n ? 2) 。如已 an an ?1 an ? 2 a1

5

知数列 {an } 中, a1 ? 2 ,前 n 项和 S n ,若 S n ? n 2 an ,求 an (答: an ?

4 ) n(n ? 1)

⑹已知递推关系求 an ,用构造法(构造等差、等比数列) 。特别地, (1)形如

an ? kan?1 ? b 、an ? kan?1 ? bn( k , b 为常数)的递推数列都可以用待定系数法转化为 公 比 为 k 的 等 比 数 列 后 , 再 求 an 。 如 ①已 知 a1 ? 1, an ? 3an?1 ? 2 , 求 an ( 答 :
;② ; an ? 2? n?1 ?1 ) 已知 a1 ? 1, an ? 3an?1 ? 2n ,求 an (答: an ? 5? n?1 ? 2n?1 )(2) 3 3 an ?1 an ?1 形如 an ? 的递推数列都可以用倒数法求通项。 已知 a1 ? 1, an ? 如① , k n ?1 b a ? 3an ?1 ? 1 1 求 an (答:an ? ) 已知数列满足 a1 =1, an?1 ? an ? an an?1 ,求 an (答: ;② 3n ? 2 1 an ? 2 ) n 注意: (1)用 an ? S n ? S n?1 求数列的通项公式时,你注意到此等式成立的条件了 吗?( n ? 2 ,当 n ? 1 时, a1 ? S1 )(2)一般地当已知条件中含有 an 与 Sn 的混合关 ; 系时,常需运用关系式 an ? S n ? S n?1 ,先将已知条件转化为只含 an 或 Sn 的关系式, 5 4, n ? 1 a 然后再求解。 如数列 {an } 满足 a1 ? 4, S n ? S n ?1 ? an ?1 , an(答: n ? 求 ) 3?4n ?1 , n ? 2 3

?

7.数列求和的常用方法: (1)公式法:①等差数列求和公式;②等比数列求和公式,特别声明:运用等比 数列求和公式,务必检查其公比与 1 的关系,必要时需分类讨论.;③常用公式:

1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 1 n(n ? 1) 12 ? 22 ? ? ? n2 ? 1 n(n ? 1)(2n ? 1) , , 2 6 n(n ? 1) 2 13 ? 23 ? 33 ? ? ? n3 ? [ ] .如(1)等比数列 {an } 的前 n 项和 Sn=2n-1,则 2 4n ? 1 2 2 2 )(2)计算机是将信息转换成二进制数 ; a12 ? a2 ? a3 ? ? ? an =_____(答: 3 进行处理的。二进制即“逢 2 进 1” ,如 (1101 2 表示二进制数,将它转换成十进制形式 ) 3 2 1 0 是 1? 2 ? 1? 2 ? 0 ? 2 ? 1? 2 ? 13 , 那 么 将 二 进 制 (111?11) 2 转 换 成 十 进 制 数 是 ?? ? ? ?
2005 个1

?1 ) _______(答: 2 (2)分组求和法:在直接运用公式法求和有困难时,常将“和式”中“同类项”
2005

先合并在一起, 再运用公式法求和. 如求:Sn ? ?1 ? 3 ? 5 ? 7 ??? (?1) (2n ?1) (答:
n

(?1)n ? n )
(3)倒序相加法:若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组 合数相关联,则常可考虑选用倒序相加法,发挥其共性的作用求和(这也是等差数列 前 n 和公式的推导方法). 如①求证: Cn ? 3Cn ? 5Cn ? ?? (2n ? 1)Cn ? (n ? 1)? ; 2
0 1 2 n n

6

②已知 f ( x) ? (答:

1 1 1 x2 ,则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) =______ 2 2 3 4 1? x

7 ) 2

(4)错位相减法:如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通 项相乘构成,那么常选用错位相减法(这也是等比数列前 n 和公式的推导方法). 如 (1)设 {an } 为等比数列,Tn ? na1 ? (n ? 1)a2 ? ? ? 2an?1 ? an ,已知 T1 ? 1 ,T2 ? 4 ,① 求数列 {an } 的首项和公比;②求数列 {Tn } 的通项公式.(答:① a1 ? 1 , q ? 2 ; ② Tn ? 2n?1 ? n ? 2 )(2)设函数 f ( x) ? ( x ? 1) 2 ,g ( x) ? 4( x ? 1) ,数列 {an } 满足: ;

a1 ? 2, f (an ) ? (an ? an?1 ) g (an )(n ? N ? ) , ① 求 证 : 数 列 {an ? 1} 是 等 比 数 列 ; ② 令

h( x) ? (a1 ?1) x ? (a2 ?1) x2
8 8 8 2 处的导数 h ?( ) , 并比较 h ?( ) 与 2n ? n 的 3 3 3 8 8 2 2n 大小。 (答:①略;② h?( ) ? (n ? 1)? ? 1 ,当 n ? 1 时, h ?( ) = 2n ? n ;当 n ? 2 3 3 8 8 2 2 时, h ?( ) < 2n ? n ;当 n ? 3 时, h ?( ) > 2n ? n ) 3 3
求函数 h(x) 在点 x ? ?? ? (an ?1) xn , (5)裂项相消法:如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式,且相邻项分裂后 相关联,那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有:

1 1 ?1? 1 ; ② ? 1 (1 ? 1 ) ; n(n ? 1) n n ? 1 n(n ? k ) k n n ? k 1 1 1 1 1 ? 2 ? ( ? ) ③ , 2 k k ?1 2 k ?1 k ?1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? 2? ? ? ; k k ? 1 (k ? 1)k k (k ? 1)k k ? 1 k n 1 1 1 1 1 1 ? [ ? ] ;⑤ ④ ; ? ? n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) (n ? 1)! n! (n ? 1)! 2 2 ? 1 ? ? 2( n ? n ? 1) . ⑥ 2( n ? 1 ? n ) ? n ? n ?1 n n ? n ?1 n 1 1 1 ? ??? ? 如(1)求和: (答: )(2) ; 1? 4 4 ? 7 (3n ? 2) ? (3n ? 1) 3n ? 1 1 在数列 {an } 中, a n ? ,且 Sn=9,则 n=_____(答:99) ; n ? n ?1
① (6)通项转换法:先对通项进行变形,发现其内在特征,再运用分组求和法求和。 如①求数列 1×4,2×5,3×6,?, n ? (n ? 3) ,?前 n 项和 Sn = (答:

7

n(n ? 1)(n ? 5) 1 1 1 ) ;②求和: 1 ? ? ??? ? 3 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ??? n 2n ) n ?1

(答:

8. “分期付款”“森林木材”型应用问题 、 (1)这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题.但在求解过程中, “卡 务必 手指” ,细心计算“年限”.对于“森林木材”既增长又砍伐的问题,则常选用“统一 法”统一到“最后”解决. (2)利率问题:①单利问题:如零存整取储蓄(单利)本利和计算模型:若每期存 入 本 金 p 元 , 每 期 利 率 为 r , 则 n 期 后 本 利 和 为 :

Sn ? ( 1 ? r ) ? p( ? ?r ? ) p ?( 1 r ) p 1 2 n n(n ? 1) ? p (n ? r ) (等差数列问题) ;②复利问题:按揭贷款的分期等额还款(复利) 2 模型:若贷款(向银行借款) p 元,采用分期等额还款方式,从借款日算起,一期(如 一年)后为第一次还款日,如此下去,分 n 期还清。如果每期利率为 r (按复利) ,那 n n?1 n ?2 么每期等额还款 x 元应满足:p(1 ? r ) ? x(1 ? r ) ? x(1 ? r ) ? ? ? x(1 ? r ) ? x (等
比数列问题).

8


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