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广东省深圳市南山区2014-2015学年高一下学期期末考试数学试卷


2014-2015 学年广东省深圳市南山区高一(下)期末数学试卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项最符 合题目要求. 1.求值 sin210°=( ) A. B. ﹣ C. D. ﹣

2.已知角 α 的终边上一点 P(1, A. B. C. D.

) ,则 sinα=(

/>


3.函数 f(x)=x?sin(

+x)是(



A. 奇函数 B. 偶函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D. 非奇非偶函数 4.如图所示的茎叶图记录了甲、乙两个小组(每小组 4 人)在期末考试中的数学成绩.乙 组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中以 α 表示.已知甲、乙两个小组的数学成绩 的平均分相同,则乙组数学成绩的中位数为( )

A. 92 B. 93 C. 93.5 D. 94

5.已知向量 =(4,2) , =(x,3) ,若 ∥ ,则实数 x 的值为( A. 3 B. 6 C. D.



6.如图所示的程序框图,若输出的 S 是 62,则①可以为(



A. n≤3? B. n≤4? C. n≤5? D. n≤6?

7.已知向量 =(1,1) , =(2,﹣3) ,若 k ﹣2 与 垂直,则实数 k 的值为( A. ﹣1 B. 1 C. 2 D. ﹣2 8.若 A. B. C. D. ,则 tanα?tanβ=( )



9.设非零向量 , , 满足 + = ,且

=

=

,则向量 与 的夹角为(



A.

B.

C.

D.

10.甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记为 a,再由乙猜甲刚才所想的数 字,把乙猜的数字记为 b,其中 a,b∈{1,2,3,4,5,6},若|a﹣b|≤1,就称甲乙“心有灵 犀”.现任意找两人玩这个游戏,则他们“心有灵犀”的概率为( ) A. B. C. D.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 11.已知向量 =(2,2) , =(﹣3,4) ,则 ? = .

12.已知 sin(π+α)= ,则 cos2α=



13.某单位有职工 200 名,现要从中抽取 40 名职工作样本,用系统抽样法,将全体职工随 机按 1﹣200 编号,并按编号顺序平均分为 40 组(1﹣5 号,6﹣10 号,…,196﹣200 号) .若 第 5 组抽出的号码为 22,则第 8 组抽出的号码应是 . 14.在区间[﹣1,1]内随机取两个数分别记为 a,b,则使得函数 f(x)=x +2ax﹣b +1 有零 点的概率为 .
2 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明或演算步骤. 15. (12 分) (2015 春?深圳期末)已知 tanα=2 (1)求 tan2α 的值; 2 2 (2)求 sin α+sinα cosα﹣2cos α 的值. 16. (12 分) (2015 春?深圳期末)已知 cos(α+ )= , ≤α< .

(1)求 sin(α+ (2)求 cos(2α+

)的值; )的值.

17. (14 分) (2015 春?深圳期末)某个体服装店经营某种服装,在某周内获纯利 y(元)与 该周每天销售这件服装件数 x 之间的一组数据关系如表所示: x3456789 y 66 69 73 81 89 90 91

已知:

xi =280,

2

xiyi=3487, =

, = ﹣

(Ⅰ)求 , ; (Ⅱ)若纯利 y 与每天销售件数 x 之间的回归直线方程; (Ⅲ)若该周内某天销售服装 20 件,估计可获纯利多少元? 18. (14 分) (2015 春?深圳期末)已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ) (ω>0,0≤φ<2π)的部

分图象如图所示. (Ⅰ)求 f(x)的表达式; (Ⅱ)求函数 f(x)的单调递减区间; (Ⅲ)若 x∈[0, ],求 f(x)的值域.

19. (14 分) (2015 春?抚顺期末)某工厂有 25 周岁以上(含 25 周岁)的工人 300 名,25 周岁以下的工人 200 名. 为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关, 现采用分层抽样的方 法,从中抽取了 100 名工人,先统计了他们某月的日平均生产件数,然后按工人年龄在“25 周岁以上(含 25 周岁)”和“25 周岁以下”分为两组,并将两组工人的日平均生产件数分成 5 组:[50,60) ,[60,70) ,[70,80) ,[80,90) ,[90,100]加以统计,得到如图所示的频率 分布直方图. (1)从样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中随机抽取 2 名,求至少抽到一名 25 周岁 以下的工人的概率. (2) 规定日平均生产件数不少于 80 件者为“生产能手”, 请你根据已知条件作出 2×2 列联表, 并判断是否有 90%以上的把握认为“生产能手与工人的年龄有关”?

附表及公示 2 P(K ≥k) 0.100 0.050 0.010 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 K=
2



20. (14 分) (2015 春?深圳期末)设向量 f(x)= ? cos∠AOB

=(a,cos2x) ,

=(1+sin2x,1) ,x∈R,函数

(Ⅰ)当 y=f(x)的图象经过点(

,2)时,求实数 a 的值;
2

(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若 x 为锐角,当 sin x=sin(

+α)?sin(

﹣α)+

时,求△ OAB 的面积; (Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下,记函数 h(x)=f(x+t) (其中实数 t 为常数,且 0<t<π) .若 h (x)是偶函数,求 t 的值.

2014-2015 学年广东省深圳市南山区高一(下)期末数学 试卷
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项最符 合题目要求. 1.求值 sin210°=( ) A. B. ﹣ C. D. ﹣

考点: 运用诱导公式化简求值.

分析: 通过诱导公式得 sin 210°=﹣sin(210°﹣180°)=﹣sin30°得出答案. 解答: 解:∵sin 210°=﹣sin(210°﹣180°)=﹣sin30°=﹣ 故答案为 D 点评: 本题主要考查三角函数中的诱导公式的应用.可以根据角的象限判断正负. 2.已知角 α 的终边上一点 P(1, A. B. C. D. ) ,则 sinα=( )

考点: 任意角的三角函数的定义. 专题: 三角函数的求值. 分析: 根据三角函数的定义进行求解即可. 解答: 解:角 α 的终边上一点 P(1, ) , 则 r=|0P|=2, 则 sinα= ,

故选:A 点评: 本题主要考查三角函数的定义,比较基础.

3.函数 f(x)=x?sin(

+x)是(



A. 奇函数 B. 偶函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D. 非奇非偶函数 考点: 正弦函数的奇偶性;运用诱导公式化简求值. 专题: 函数的性质及应用;三角函数的图像与性质. 分析: 运用诱导公式化简解析式可得 f(x)=﹣xcosx,由 f(﹣x)=﹣(﹣x)cos(﹣x) =xcosx=﹣f(x) ,即可得函数 f(x)=x?sin( 解答: 解:∵f(x)=x?sin( ﹣f(x) , ∴函数 f(x)=x?sin( +x)是奇函数. +x)是奇函数.

+x)=﹣xcosx,又 f(﹣x)=﹣(﹣x)cos(﹣x)=xcosx=

故选:A. 点评: 本题主要考查了运用诱导公式化简求值,正弦函数的奇偶性等知识的应用,属于基 本知识的考查. 4.如图所示的茎叶图记录了甲、乙两个小组(每小组 4 人)在期末考试中的数学成绩.乙 组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中以 α 表示.已知甲、乙两个小组的数学成绩 的平均分相同,则乙组数学成绩的中位数为( )

A. 92 B. 93 C. 93.5 D. 94 考点: 专题: 分析: 解答: ∴ α=2 ∴乙组数学成绩的中位数为 =93. 众数、中位数、平均数. 计算题;概率与统计. 先根据甲、乙两组的平均分相同,求出 α 的值,再求乙组的中位数即可. 解:∵甲、乙两个小组的平均分相同, =

故选:B. 点评: 本题考查了求平均数与中位数的应用问题,是基础题目.

5.已知向量 =(4,2) , =(x,3) ,若 ∥ ,则实数 x 的值为( A. 3 B. 6 C. D.



考点: 平行向量与共线向量. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用向量共线的充要条件,列出方程求解即可. 解答: 解:向量 =(4,2) , =(x,3) ,若 ∥ , 可得 12=2x,解得 x=6. 故选:B. 点评: 本题考查向量共线定理的应用,基本知识的考查. 6.如图所示的程序框图,若输出的 S 是 62,则①可以为( )

A. n≤3? B. n≤4? C. n≤5? D. n≤6? 考点: 专题: 分析: 解答: 程序框图. 算法和程序框图. 根据程序框图进行模拟计算即可得到结论. 1 解:第一次,n=1,S=0,满足条件.S=0+2 =2,n=2,

第二次,n=2,S=2,满足条件.S=2+2 =6,n=3, 3 第三次,n=3,S=6,满足条件.S=6+2 =14,n=4, 4 第四次,n=4,S=14,满足条件.S=14+2 =30,n=5, 5 第五次,n=5,S=30,满足条件.S=30+2 =62,n=6, 第六次,n=6,S=62,不满足条件输出 S=62, 则①可以为 n≤5?, 故选:C 点评: 本题主要考查程序框图的识别和应用,根据条件进行模拟运算是解决本题的关键.

2

7.已知向量 =(1,1) , =(2,﹣3) ,若 k ﹣2 与 垂直,则实数 k 的值为( A. ﹣1 B. 1 C. 2 D. ﹣2 考点: 数量积判断两个平面向量的垂直关系. 专题: 平面向量及应用.



分析: 利用已知条件表示 k ﹣2 ,通过向量互相垂直?数量积为 0,列出方程解得 k. 解答: 解:∵向量 =(1,1) , =(2,﹣3) ,∴k ﹣2 =k(1,1)﹣2(2,﹣3)=(k ﹣4,k+6) . ∵k ﹣2 与 垂直, ∴(k ﹣2 )? =k﹣4+k+6=0, 解得 k=﹣1. 故选:A. 点评: 本题考查了向量的运算、向量垂直与数量积的关系,属于基础题.

8.若 A. B. C. D.

,则 tanα?tanβ=(



考点: 两角和与差的正弦函数;弦切互化. 专题: 计算题. 分析: 利用两角和与差的余弦公式,化简 sinαsinβ 与 cosαcosβ 的关系,然后求出 tanα?tanβ. 解答: 解:因为 , ,求出

所以



. 故选 D 点评: 本题考查两角和与差的余弦函数,弦切互化,考查计算能力,是基础题.

9.设非零向量 , , 满足 + = ,且

=

=

,则向量 与 的夹角为(



A.

B.

C.

D.

考点: 数量积表示两个向量的夹角. 专题: 平面向量及应用. 分析: 把已知式子平方由数量积的运算易得向量夹角的余弦值,可得夹角. 解答: 解:由题意可得
2 2 2

=( + ) ,

2

∴| | =| | +| | +2| || |cosθ,其中 θ 为向量 与 的夹角, ∵ = = ,∴cosθ=﹣ ,

∴向量 与 的夹角为 故选:D 点评: 本题考查平面向量的夹角,属基础题. 10.甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记为 a,再由乙猜甲刚才所想的数 字,把乙猜的数字记为 b,其中 a,b∈{1,2,3,4,5,6},若|a﹣b|≤1,就称甲乙“心有灵 犀”.现任意找两人玩这个游戏,则他们“心有灵犀”的概率为( ) A. B. C. D.

考点: 古典概型及其概率计算公式. 专题: 新定义. 分析: 本题是一个古典概型,试验包含的所有事件是任意找两人玩这个游戏,其中满足条 件的满足|a﹣b|≤1 的情形包括 6 种,列举出所有结果,根据计数原理得到共有的事件数,根 据古典概型概率公式得到结果. 解答: 解:由题意知本题是一个古典概型, ∵试验包含的所有事件是任意找两人玩这个游戏,共有 6×6=36 种猜字结果, 其中满足|a﹣b|≤1 的有如下情形: ①若 a=1,则 b=1,2;②若 a=2,则 b=1,2,3; ③若 a=3,则 b=2,3,4;④若 a=4,则 b=3,4,5; ⑤若 a=5,则 b=4,5,6;⑥若 a=6,则 b=5,6, 总共 16 种,

∴他们“心有灵犀”的概率为



故选 D. 点评: 本题是古典概型问题, 属于高考新增内容, 解本题的关键是准确的分类, 得到他们“心 有灵犀”的各种情形. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 11.已知向量 =(2,2) , =(﹣3,4) ,则 ? = 考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用平面向量的数量积的坐标表示解答. 解答: 解:由已知得到 ? =2×(﹣3)+2×4=﹣6+8=2; 故答案为:2. 点评: 本题考查了平面向量的数量积的坐标运算; = (x, y) , = (m, n) , 则 ? =xm+yn. 2 .

12.已知 sin(π+α)= ,则 cos2α=



考点: 二倍角的余弦;运用诱导公式化简求值. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由诱导公式可求 sinα,利用二倍角的余弦函数公式即可求值. 解答: 解:∵sin(π+α)=﹣sinα= , ∴sin ,
2

∴cos2α=1﹣2sin α=1﹣2× 故答案为: .

= .

点评: 本题主要考查了诱导公式,二倍角的余弦函数公式的应用,属于基本知识的考查. 13.某单位有职工 200 名,现要从中抽取 40 名职工作样本,用系统抽样法,将全体职工随 机按 1﹣200 编号,并按编号顺序平均分为 40 组(1﹣5 号,6﹣10 号,…,196﹣200 号) .若 第 5 组抽出的号码为 22,则第 8 组抽出的号码应是 37 . 考点: 系统抽样方法. 专题: 应用题. 分析: 由分组可知,抽号的间隔为 5,第 5 组抽出的号码为 22,可以一次加上 5 得到下一 组的编号,第 6 组抽出的号码为 27,第 7 组抽出的号码为 32,第 8 组抽出的号码为 37. 解答: 解:由分组可知,抽号的间隔为 5,又因为第 5 组抽出的号码为 22,

所以第 6 组抽出的号码为 27,第 7 组抽出的号码为 32, 第 8 组抽出的号码为 37. 故答案为:37. 点评: 本题考查系统抽样,在系统抽样过程中得到的样本号码是最规则的一组编号,注意 要能从一系列样本中选择出来.本题还考查分层抽样,是一个抽样的综合题目. 14.在区间[﹣1,1]内随机取两个数分别记为 a,b,则使得函数 f(x)=x +2ax﹣b +1 有零 点的概率为 1﹣ .
2 2

考点: 几何概型. 专题: 概率与统计. 分析: 设区间[﹣1,1]内随机取两个数分别记为(a,b) ,对应区域为边长为 2 的正方形, 2 2 而使得函数 f(x)=x +2ax﹣b +1 有零点的 a,b 范围是判别式△ ≥0,求出 a,b 满足范围, 利用面积比求概率. 解答: 解:设区间[﹣1,1]内随机取两个数分别记为(a,b) ,则对应区域面积为 2×2=4, 使得函数 f(x)=x +2ax﹣b +1 有零点 a,b 范围为 4a +4b ﹣4≥0,即 a +b ≥1,对应区域面 积为 4﹣π, 由几何概型的概率公式得到使得函数 ( f x) =x +2ax﹣b +1 有零点的概率为: 故答案为:1﹣ .
2 2 2 2 2 2 2 2



点评: 本题考查了几何概型的概率求法;关键是明确事件的区域面积,利用公式解答. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明或演算步骤. 15. (12 分) (2015 春?深圳期末)已知 tanα=2 (1)求 tan2α 的值; (2)求 sin α+sinα cosα﹣2cos α 的值. 考点: 三角函数的化简求值;同角三角函数间的基本关系. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1)利用二倍角的正切函数求解即可. (2)化简所求表达式为正切函数的形式,然后求解即可. 解答: 解:tanα=2 (1)tan2α= (2)sin α+sinα cosα﹣ 2cos α=
2 2 2 2

=



=

= .

点评: 本题考查三角函数的化简求值,二倍角的正切函数以及同角三角函数的基本关系式 的应用,考查计算能力.

16. (12 分) (2015 春?深圳期末)已知 cos(α+ (1)求 sin(α+ (2)求 cos(2α+ )的值; )的值.

)= ,

≤α<



考点: 两角和与差的余弦函数;二倍角的余弦. 专题: 计算题;三角函数的求值. 分析: (1) 由 < ≤α< . 可得 ≤α+ < , 根据 cos (α+ ) . ) = >0, 可得 ≤α+

,利用同角三角函数关系式即可求 sin(α+

(2)由(1)可得 的余弦函数公式即可求得 cos(2α+ 解答: 解: (1)∵ ∵cos(α+ ∴ ≤α+ ≤α<

,从而可求 sinα,cosα,sin2α,cos2α 的值,由两角和 )的值. ≤α+ < ,

.可得

)= >0, < )=﹣ ≤α+ , )﹣ )﹣ ]= ]= (﹣ ﹣ )=﹣ ( ﹣ )=﹣ , = , (﹣ ﹣ )=﹣ . , , < , , =﹣ .

∴sin(α+

(2)由(1)可得 ∴ ∴sinα=sin[(α+ cosα=cos[(α+

sin2α=2sinαcosα=2× cos2α=2cos α﹣1=﹣ ∴cos(2α+ )=
2

点评: 本题主要考查了两角和与差的余弦函数公式,二倍角的余弦函数公式的应用,考查 了计算能力,属于基本知识的考查. 17. (14 分) (2015 春?深圳期末)某个体服装店经营某种服装,在某周内获纯利 y(元)与 该周每天销售这件服装件数 x 之间的一组数据关系如表所示:

x3456789 y 66 69 73 81 89 90 91

已知:

xi =280,

2

xiyi=3487, =

, = ﹣

(Ⅰ)求 , ; (Ⅱ)若纯利 y 与每天销售件数 x 之间的回归直线方程; (Ⅲ)若该周内某天销售服装 20 件,估计可获纯利多少元? 考点: 线性回归方程. 专题: 应用题;概率与统计. 分析: (Ⅰ)利用平均数公式,可求 , ; (Ⅱ)求出利用最小二乘法来求线性回归方程的系数的量,求出横标和纵标的平均数,求出 系数,再求出 a 的值; (Ⅲ)由回归直线方程预测,只需将 x=20 代入求解即可. 解答: 解: (Ⅰ) = (3+4+5+6+7+8+9)=6, = (66+69+73+81+89+90+91)=80,
2

(Ⅱ)∵

xi =280,

xiyi=3487,

∴b= ∴回归方程为 y= x+

=

,a= ,



(Ⅲ)当 x=20 时,y≈175, 故该周内某天的销售量为 20 件,估计这天可获纯利大约为 175 元. 点评: 本题重点考查了平均值、线性回归直线方程及其求解过程,属于中档题,解题关键 是记住回归系数的求解公式. 18. (14 分) (2015 春?深圳期末)已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ) (ω>0,0≤φ<2π)的部

分图象如图所示. (Ⅰ)求 f(x)的表达式; (Ⅱ)求函数 f(x)的单调递减区间;

(Ⅲ)若 x∈[0,

],求 f(x)的值域.

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (Ⅰ)由函数图象可得 T,由周期公式从而可求 ω,由点( 结合范围 0≤φ<2π,即可解得 φ 的值,从而得解; (Ⅱ)当 f(x)=2sin(3x+ 的单调递减区. 当 f(x)=2sin(3x+ 的单调递减区间. (Ⅲ)当 f(x)=2sin(3x+ 当 f(x)=2sin(3x+ 的值域. 解答: 解: (Ⅰ)由函数图象可得: T=( ω=3, 由点( ,0)在函数图象上, +φ)=0, ,k∈Z, )=π,解得:T= = ,从而可求 )时,由 x∈[0, ],可得 3x+ ∈[ ∈[ ,π],从而可求; )时.由 2k ≤3x+ ≤2k ,k∈Z 可解得函数 f(x) )时,由 2k ≤3x+ ≤2k ,k∈Z 可解得函数 f(x) ,0)在函数图象上,

)时,由 x∈[0,

],可得 3x+

,2π],从而可求 f(x)

所以:2sin(3× 解得:φ=kπ﹣ 由 0≤φ<2π, 从而可得:φ=



. )或 f(x)=2sin(3x+ )时,由 2k , )时.由 2k ﹣ , ≤3x+ ],k∈Z, ≤3x+ ≤2k ,k∈Z 可解得函数 f(x) ) . ≤2k ,k∈Z 可解得函数 f(x)

故可得:f(x)=2sin(3x+ (Ⅱ)当 f(x)=2sin(3x+ 的单调递减区间为:[ 当 f(x)=2sin(3x+ 的单调递减区间为:[

],k∈Z,

(Ⅲ)当 f(x)=2sin(3x+ (3x+ )∈[0,2].

)时,∵x∈[0,

],∴3x+

∈[

,π],可得:f(x)=2sin

当 f(x)=2sin(3x+ (3x+ )∈[﹣2,

)时,∵x∈[0, ].

],∴3x+

∈[

,2π],可得:f(x)=2sin

点评: 本题主要考查了由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,三角函数的图象与 性质,属于基本知识的考查. 19. (14 分) (2015 春?抚顺期末)某工厂有 25 周岁以上(含 25 周岁)的工人 300 名,25 周岁以下的工人 200 名. 为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关, 现采用分层抽样的方 法,从中抽取了 100 名工人,先统计了他们某月的日平均生产件数,然后按工人年龄在“25 周岁以上(含 25 周岁)”和“25 周岁以下”分为两组,并将两组工人的日平均生产件数分成 5 组:[50,60) ,[60,70) ,[70,80) ,[80,90) ,[90,100]加以统计,得到如图所示的频率 分布直方图. (1)从样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中随机抽取 2 名,求至少抽到一名 25 周岁 以下的工人的概率. (2) 规定日平均生产件数不少于 80 件者为“生产能手”, 请你根据已知条件作出 2×2 列联表, 并判断是否有 90%以上的把握认为“生产能手与工人的年龄有关”?

附表及公示 2 P(K ≥k) 0.100 0.050 0.010 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828 K=
2



考点: 独立性检验的应用. 专题: 应用题;概率与统计. 分析: (1)由分层抽样的特点可得样本中有 25 周岁以上、下组工人人数,再由所对应的 频率可得样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中,25 周岁以上、下组工人的人数分别为 3,2,由古典概型的概率公式可得答案; (2)由频率分布直方图可得“25 周岁以上组”中的生产能手的人数,以及“25 周岁以下组”中 2 的生产能手的人数,据此可得 2×2 列联表,可得 k ≈1.79,由 1.79<2.706,可得结论.

解答: 解: (1)由已知可得,样本中有 25 周岁以上组工人 100× 25 周岁以下组工人 100× =40 名,

=60 名,

所以样本中日平均生产件数不足 60 件的工人中,25 周岁以上组工人有 60×0.05=3(人) , 25 周岁以下组工人有 40×0.05=2(人) , 故从中随机抽取 2 名工人所有可能的结果共 其中至少 1 名“25 周岁以下组”工人的结果共 故所求的概率为: ; =10 种, =7 种,

(2)由频率分布直方图可知:在抽取的 100 名工人中,“25 周岁以上组”中的生产能手有 60×0.25=15(人) , “25 周岁以下组”中的生产能手有 40×0.375=15(人) ,据此可得 2×2 列联表如下: 生产能手 非生产能手 合计 25 周岁以上组 15 45 60 25 周岁以下组 15 25 40 合计 30 70 100 所以可得 K =
2

≈1.79,

因为 1.79<2.706,所以没有 90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”. 点评: 本题考查独立性检验,涉及频率分布直方图,以及古典概型的概率公式,属中档题.

20. (14 分) (2015 春?深圳期末)设向量 f(x)= ? cos∠AOB

=(a,cos2x) ,

=(1+sin2x,1) ,x∈R,函数

(Ⅰ)当 y=f(x)的图象经过点(

,2)时,求实数 a 的值;
2

(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若 x 为锐角,当 sin x=sin(

+α)?sin(

﹣α)+

时,求△ OAB 的面积; (Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下,记函数 h(x)=f(x+t) (其中实数 t 为常数,且 0<t<π) .若 h (x)是偶函数,求 t 的值. 考点: 两角和与差的正弦函数;平面向量数量积的运算. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1)由题意可得 f(x)= ? =a(1+sin2x)+cos2x,代点可得 a 值;

(2)由三角函数公式化简可得 sin x= ,由 x 的范围可得 x 值,可得

2



的坐标,由夹

角公式可得∠AOB 的余弦值,进而可得正弦值,由三角形的面积公式可得; (3)可得 h(x)=f(x+t)=1+ 的范围可得 t 值. 解答: 解: (1)由题意可得 f(x)= ? cos∠AOB sin(2x+2t+ ) ,由偶函数可得 2t+ =kπ+ ,结合 t

=

?

=a(1+sin2x)+cos2x ,2) , =2a=2,

∵图象经过点( ∴a(1+sin ∴a=1; (2)∵sin x=sin( ∴sin x=sin( = sin( = cos2α+ ∵x 为锐角,∴x= ∴ =(1,0) ,
2 2

)+cos

+α)?sin( +α)+

﹣α)+



+α)cos(

+2α)+ = , , =(2,1) , ,∴sin∠AOB= × ,

∴cos∠AOB= ∴△OAB 的面积 S=

= ; sin(2x+ ) , ) ,

(3)可得 f(x)=1+sin2x+cos2x=1+ ∴h(x)=f(x+t)=1+ sin(2x+2t+ =kπ+ ,

∵h(x)是偶函数,∴2t+ ∴t= + ,k∈Z, 或

又∵0<t<π,∴t=



点评: 本题考查两角和与差的三角函数公式,涉及向量的运算和三角形的面积公式,属中 档题.


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