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2015年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅰ卷)文数答案解析(正式版)(原卷版)


2015 年普通高等学校招生全国统一考试(新课标 1 卷)文
一、选择题:每小题 5 分,共 60 分 1、已知集合 A ? {x x ? 3n ? 2, n ? N}, B ? {6,8,10,12,14},则集合 A (A ) 5 (B)4 (C)3 (D)2

B 中的元素个数为

2、已知点 A(0,1), B(3, 2)

,向量 AC ? (?4, ?3) ,则向量 BC ? ( A) (?7, ?4) (B) (7, 4) (C) (?1, 4) (D) (1, 4)

3、已知复数 z 满足 ( z ? 1)i ? 1 ? i ,则 z ? ( ) (A) ?2 ? i (B) ?2 ? i (C) 2 ? i (D) 2 ? i

4、如果 3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这 3 个数为一组勾股数,从 1, 2,3, 4,5 中任 取 3 个不同的数,则这 3 个数构成一组勾股数的概率为( ) (A)

3 10

(B)

1 5

(C)

1 10

(D)

1 20

5、已知椭圆 E 的中心为坐标原点,离心率为 的准线与 E 的两个交点,则 AB ? (A) 3 (B) 6

1 2 ,E 的右焦点与抛物线 C : y ? 8x 的焦点重合, A, B 是 C 2

(C) 9

(D) 12

6、 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺, 高五尺,问”积及为米几何? ”其意思为:“在屋内墙 角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一) ,米 堆底部的弧长为 8 尺,米堆的高为 5 尺,米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立 方尺,圆周率约为 3,估算出堆放的米有( )

(A) 14 斛

(B) 22 斛

(C) 36 斛

(D) 66 斛

7、已知 {an } 是公差为 1 的等差数列, Sn 为 {an } 的前 n 项和,若 S8 ? 4S4 ,则 a10 ? ( ) (A)

17 2

(B)

19 2

(C) 10

(D) 12

[来源:Z_xx_k.Com]

1

8、函数 f ( x) ? cos(? x ? ? ) 的部分图像如图所示,则 f ( x ) 的单调递减区间为(



[来源:Z。xx。k.Com]

1 3 , k? ? ), k ? Z 4 4 1 3 (B) (2k? ? , 2k? ? ), k ? Z 4 4 1 3 (C) (k ? , k ? ), k ? Z 4 4 1 3 (D) (2k ? , 2k ? ), k ? Z 4 4
(A) ( k? ? 9、执行右面的程序框图,如果输入的 t ? 0.01 ,则输出的 n ? ( ) (A) 5 (B) 6 (C) 10 (D) 12

10、已知函数 f ( x ) ? ? (A) ?

? 2 x ?1 ? 2, x ? 1 ? ? log 2 ( x ? 1), x ? 1
(B) ?

,且 f (a) ? ?3 ,则 f (6 ? a) ? (C) ?

7 4

5 4

3 4

(D) ?

1 4

11、圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r )组成一个几何体,该几何体的三视图中的正视图和俯 视图如图所示,若 该几何体的表面积为 16 ? 20? ,则 r ? ( ) (A) 1 (C) 4 (B) 2 (D) 8
x?a

12、设函数 y ? f ( x) 的图像与 y ? 2

的图像关于直线 y ? ? x

对称,且 f (?2) ? f (?4) ? 1 ,则 a ? ( ) (A) ?1 (B) 1 (C) 2 (D) 4

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分
2

13、数列 ?an ? 中 a1 ? 2, an?1 ? 2an , Sn 为 ?an ? 的前 n 项和,若 Sn ? 126 ,则 n ? 14.已知函数 f ? x ? ? ax ? x ?1 的图像在点 1, f ?1? 的处的切线过点 ? 2, 7 ? ,则
3

.

?

?

a?

.

? x? y?2?0 ? 15. 若 x,y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 1 ? 0 ,则 z=3x+y 的最大值为 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?
16.已知 F 是双曲线 C : x ?
2



y2 ? 1 的右焦点,P 是 C 左支上一点, A 0, 6 6 8

?

?

,当 ?APF 周长最小时,该

三角形的面积为 三、解答题



2 17. (本小题满分 12 分)已知 a, b, c 分别是 ?ABC 内角 A, B, C 的对边, sin B ? 2sin A sin C .

(I)若 a ? b ,求 cos B; (II)若 B ? 90 ,且 a ? 2, 求 ?ABC 的面积. 18. (本小题满分 12 分)如图四边形 ABCD 为菱形,G 为 AC 与 BD 交点, BE ? 平面ABCD ,

(I)证明:平面 AEC ? 平面 BED ; (II)若 ?ABC ? 120 , AE ? EC , 三棱锥 E ? ACD 的体积为

6 ,求该三棱锥的侧面积. 3

19. (本小题满分 12 分)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费 x(单位:千元) 对年销售量 y (单位: t) 和年利润 z (单位: 千元) 的影响, 对近 8 年的宣传费 xi 和年销售量 yi ? i ? 1, 2, 数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.

,8?

3

x

y

w

? ( xi ? x)2
i ?1

n

? (wi ? w)2
i ?1

n

? ( xi ? x)( yi ? y)
i ?1

n

? (w ? w)( y ? y)
i ?1 i i
[来 源:学科网]

n

46.6

56.3

6.8

289.8

1.6
n

1469

108.8

表中 w1 = x 1,



w =

1 8

?w
i ?1

i

(I)根据散点图判断, y ? a ? bx 与 y ? c ? d x ,哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方 程类型(给出判断即可,不必说明理由); (II)根据(I)的判断结果及表中数 据,建立 y 关于 x 的回归方程; (III)已知这种产品的年利润 z 与 x,y 的关系为 z ? 0.2 y ? x ,根据(II)的结果回答下列问题: (i)当年宣传费 x ? 90 时,年销售量及年利润的预报值时多少? (ii)当年宣传费 x 为何值时,年利润的预报值最大?
[来源:学。科。网 Z。X。X。K]

附:对于一组数据 (u1 , v1 ) , (u2 , v2 ) ,…… ,(un , vn ) ,其回归线 v ? ? ? ? u 的斜率和截距的最小 二乘估计分别为:

?=

? (u ? u )(v ? v)
i ?1 i i

n

? (u ? u )
i ?1 i

n

, ? =v ? ? u

2

20. (本小题满分 12 分)已知过点 A ?1,0 ? 且斜率为 k 的直线 l 与圆 C: ? x ? 2 ? ? ? y ? 3? ? 1 交于 M,N
2 2

两点. (I)求 k 的取值范围; (II) OM ? ON ? 12 ,其中 O 为坐标原点,求 MN . 21. (本小题满分 12 分)设函数 f ? x ? ? e
2x

? a ln x .
4

(I)讨论 f ? x ? 的导函数 f ? ? x ? 的零点的个数; (II)证明:当 a ? 0 时 f ? x ? ? 2a ? a ln

2 . a

请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图 AB 是 O 直径,AC 是 O 切线,BC 交 O 与点 E.

(I)若 D 为 AC 中点,求证:DE 是

O 切线;

[来源:学.科.网]

(II)若 OA ? 3CE ,求 ?ACB 的 大小. 23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,直线 C1 : x ? ?2 ,圆 C2 : ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 1 ,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为
2 2

极轴建立极坐标系. (I)求 C1 , C2 的极坐标方程. (II)若直线 C3 的极坐标方程为 ? ?

π ? ? ? R ? ,设 C2 , C3 的交点为 M , N ,求 ?C2 MN 的面积. 4

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? x ?1 ? 2 x ? a , a ? 0 . (I)当 a ? 1 时求不等式 f ? x ? ? 1 的解集; (II)若 f ? x ? 图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6,求 a 的取值范围.

5


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