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河南省豫东、豫北十所名校2014届高三下学期阶段性测试(五)数学(理)试题(扫描版)


2013—2014 学年豫东、豫北十所名校高中毕业班阶段性测试(五) 数学(理科)· 答案

(18)解:由题意得,该 100 名青少年中有 25 个是“网瘾”患者. (Ⅰ)设 Ai (0≤i≤3) 表示“所挑选的 3 名青少年有 i 个青少年是网瘾患者” , “至少有一人 是网瘾患者”记为事件 A , 则 P( A) ? P( A1 ) ?

P( A2 ) ? P( A3 ) ? 1 ? P( A0 ) ? 1 ? ( 分) (Ⅱ) X 的可能取值为 0,1, 2,3, 4 ,

75 3 37 . ?????????( 4 ) ? 100 64

3 81 27 1 3 3 1 , P( X ? 1) ? C4 ( ) ( ) ? , P( X ? 0) ? ( ) 4 ? 4 256 4 4 64 3 2 1 2 27 3 3 3 1 3 , P( X ? 3) ? C4 ( )( ) ? , P( X ? 2) ? C2 4( ) ( ) ? 4 4 128 4 4 64 1 4 1 .???????????????????????(10 分) P( X ? 4) ? C4 4( ) ? 4 256 X 的分布列为
X

0

1

2

3

4

P

81 27 27 3 1 64 64 256 128 256 81 27 27 3 1 则 E( X ) ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3? ? 4 ? ? 1 . ??????????( 12 256 64 128 64 256

分)

(Ⅱ)由 VP ? ABCD ?

1 1 4 2 S矩形ABCD ? PO ? ? 2 ? 2 ? PO ? ,可得 PO ? 2 ,???( 7 3 3 3

分) 建立如图所示空间直角坐标系,则有

A(1, 0, 0), P(0, 0, 2), C(?1,2, 0), D( ?1, 0, 0) , , 0, 2), AC ? (?2,2, 0) , DP ? (1, 0, 2), DC ? (0,2, 0) . ????????( 8 故 AP ? (?1
分) 设平面 PAC 的一个法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) ,

??? ?

????

??? ?

????

??? ? ? ? n ? AP ?0 ? 1 ?? x1 ? 2 z1 ? 0 则有 ? ,即 ? , ???? ? 2 x ? 2 y ? 0 n ? AC ? 0 ? ? ? 1 1 ? 1
令z1 ? 1, 得 n1 ? (2, 2 2,1) ,

同理,设平面 PAD 的一个法向量为 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) ,

??? ? ? ?n1 ? DP ? 0 则有 ? ,可得 n2 ? (2, 0, ?1) , ???? n ? DC ? 0 ? ? 1
cos n1 , n2 ? n1 ? n2 4 ?1 3 65 ? ? , ?????????????????( 10 n1 ? n2 65 13 ? 5

分) 由图可知二面角 A ? PC ? D 为锐二面角, 故二面角 A ? PC ? D 的余弦值为

3 65 .??????????????????(12 分) 65

(20)解: (Ⅰ)设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ,直线 l : y ? kx ?
2

p , 2
2

则将直线 l 的方程代入抛物线 C 的方程可得 x ? 2 pkx ? p ? 0 , 则 x1 ? x2 ? 2 pk , x1 x2 ? ? p , (*)
2

故 AB ? AF ? BF ? y1 ?

p p ? y2 ? ? kx1 ? p ? kx2 ? p ? 2 p(k 2 ? 1) . 2 2
1

因直线 MA 为抛物线在 A 点处的切线,则 k MA ? y? x ? x ?

x1 , p

故直线 MA 的方程为 y ?

x1 x2 x? 1 , p 2p x2 x2 x? 2 , p 2p

同理,直线 MB 的方程为 y ?

联立直线 MA, MB 的方程可得 M ( 则点 M 到直线 l : y ? kx ? 故 S?MAB ?

p x1 ? x2 x1 x2 , ) ,又由(*)式可得 M ( pk , ? ) , 2 2p 2

p 2 的距离 d ? p k ? 1 , 2

3 1 AB d ? p 2 ? k 2 ? 1? 2 ≥p 2 , 2

由 △MAB 的面积的最小值为 4,可得 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 k MA ? kMB ? 故 | MA | ? | MB | ?| AB | , ①
2 2 2

p 2 = 4 ,故 p = 2 .???????????(6 分)

x1 x2 ? ?1 ,故 MA ? MB ,则△MAB 为直角三角形, p2

由 △MAB 的三边长成等差数列,不妨设 MA ? MB ,可得 | MA | ? | AB |? 2 | MB |, ② 联立①,②可得 MA : MB : AB ? 3 : 4 : 5 , 由 S△MAB

=

d 12 1 1 = , MA MB = AB d ,可得 AB 25 2 2
2 2

2 2 又 AB ? 2 p(k ? 1) ? 4(k ? 1) , d ? p k ? 1 ? 2 k ? 1 ,



d 1 12 25 2 ? ? ,故 k ? 1 ? , 2 AB 2 k ? 1 25 24
25 .??????????????? (12 分) 12

得此时 M 到直线 AB 的距离 d ? 2 k 2 ? 1 ?

(Ⅱ)令 ? ( x) ? af ( x) ? g ( x) ,则有 x≥1 时 ? ( x)≤0 .

? ( x) ? ax ln x ? 2ln x ? ax ? x 2 ? a ? 1 ,

? ?( x) ? a ln x ? 2 x ? ,
1 2 (a ? 2 x ? ) , x x 1 2 因为当 x≥1 时, x ? ≥2 ,故 a ? 2 x ? ≤a ? 4 . x x
记 ? ??( x) 为 ? ?( x) 的导函数,则 ? ??( x) ? ①若 a ? 4≤0 ,即 a≤4 ,此时 ? ??( x)≤0 ,故 ? ?( x) 在区间 [1, ??) 上单调递减,当 x≥1 时 有 ? ?( x)≤? ?(1) ? 0 ,故 ? ( x) 在区间 [1, ??) 上单调递减,当 x≥1 时有 ? ( x)≤? (1) ? 0 ,故

2 x

a≤4 时,原不等式恒成立;
②若 a ? 4 ? 0 , 即a ? 4, 令 ? ??( x) ?

a ? a 2 ? 16 1 2 , 故 ? ?( x) (a ? 2 x ? ) ? 0 可得 1≤x ? 4 x x

在区间 [1,

a ? a 2 ? 16 a ? a 2 ? 16 ) 上单调递增,故当 1 ? x ? 时,? ?( x) ? ? ?(1) ? 0 ,故 4 4 a ? a 2 ? 16 a ? a 2 ? 16 ) 上单调递增, 故当 1 ? x ? 时, ? ( x) ? ? (1) ? 0 , 4 4

? ( x) 在区间 [1,

故 a ? 4 时,原不等式不恒成立.???????????????????????(11 分)

4 ? .????????????????? 综上可知 a≤4 , 即 a 的取值范围为 ? ??, (12 分)

(23)解: (Ⅰ)当 tan ? ? ?2 时,将直线 C1 的参数方程化成直角坐标方程为 y ? ?2 x ? 4 , 曲线 C2 的极坐标方程化成直角坐标方程为 ( x ? 1) ? y ? 1 ,
2 2

则圆 C2 的圆心为 C2 (1, 0) , 半径 r ? 1, ???????????????????? (3 分) 则圆心 C2 到直线 C1 : y ? ?2 x ? 4 的距离 d ?

2 , 5

则 AB ? 2 r ? d ? 2 1 ?
2 2

4 2 5 ? . ????????????????????( 5 5 5

分) (Ⅱ)由直线 C1 的方程可知,直线 C1 恒经过定点 (1, 2) ,记该定点为 Q ,弦 AB 的中点 P 满足

C2 P ^ QP ,故点 P 到 C2Q 的中点 D (1,1) 的距离为定值 1,当直线 C1 与圆 C2 相切时,切
点分别记为 E , F .????????????????????????????? (7 分)

由 图 , 可 知

?EDC2 ? ?FDC2 ? 60?

, 则 点

P 的 参 数 方 程 为

ì 11π ? x = 1 + cos j 7 π ( <j < ), í 6 6 ? ? y = 1 + sin j
表示的是一段圆弧.???????????????????????????? (10 分)

1 ? ?5 x ? 2, x≥ 2 ? 1 ? 1 (24)解: (Ⅰ)当 a ? 2 时, f ( x) ? 3 x ? 1 ? 2 x ? 1 ? ? x, ? x ? ,?????(2 2 ? 3 1 ? ??5 x ? 2, x≤ 3 ?
分) 当 x≥ 时, f ( x) ? 5 x ? 2≥4 ,得 x≥ ;

1 2

6 5

1 1 ? x ? 时, f ( x) ? x≥4 ,无解; 3 2 1 2 当 x≤ 时, f ( x) ? ?5x ? 2≥4 ,解得 x≤ ? ; 3 5
当 综上可知, f ( x)≥4 的解集为 ? x x≥ 或x≤ ? ? .?????????????? (5 分)

? ?

6 5

2? 5?


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