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不等式恒成立—学生版1


不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析及应用
问题引入: 例 1 :已知不等式 x
2

? 2ax ? 1 ? 0 对 x ? [1,2] 恒成立,其中 a ? 0 .求实数 a 的取值范围.

小结:不等式恒成立问题的处理方法 1、转换求函数的最值:
⑴若不等式 ⑵若不等式 B

A ?

f ? x ? 在区间 D 上恒成立,则等价于在区间 D 上 A ? f ? x ?min ? f ? x ? 的下界大于 A

? f ? x ? 在区间 D 上恒成立,则等价于在区间 D 上 B ? f ? x ?max ? f ? x ? 的上界小于 B。

2、分离参数法 (1) 将参数与变量分离,即化为 g (2) 求

? ? ? ? f ? x ? (或 g ? ? ? ? f ? x ? )恒成立的形式;
(或 g

f ? x ? 在 x ? D 上的最大(或最小)值;

(3) 解不等式 g

? ? ? ? f ? x ?max

? ? ? ? f ? x ?min ) ,得 ? 的取值范围。
y ? f ? x ? 和图象在函数 y ? f ? x ? 和图象在函数

3.转换成函数图象问题 ⑴若不等式

f ? x? ? g ? x? 在区间 f ? x? ? g ? x? 在区间

D 上恒成立,则等价于在区间 D 上函数

y ? g ? x? 图象上方;
⑵若不等式 D 上恒成立,则等价于在区间 D 上函数

y ? g ? x? 图象下方。
【变式练习】 对 x ? [1,2] , x ? 2ax ? 1 ? 0 ? x ? 2ax ? 1 ? 0 ? lnx ? 2ax ? 1 ? 0 均恒 成立,该如何处理?
2 3

a ,其中 a ? 0 , x ? 0 . x 1)对任意 x ? [1,2] ,都有 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围; 2)对任意 x1 ?[1,2], x2 ?[2,4] ,都有 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 恒成立,求实数 a 的取值范围;
例 2:已知函数 f ( x) ? x ? 2ax ? 1 , g ( x) ?
2

例 3 设函数 h( x) ? 数 b 的取值范围

a 1 1 ? x ? b ,对任意 a ? [ ,2] ,都有 h( x) ? 10 在 x ? [ ,1] 恒成立,求实 x 2 4

1

练习题 1、设 f ? x ? ? x ? 2ax ? 2 ,当 x ? [-1,+ ? ]时,都有 f ? x ? ? a 恒成立,求 a 的取值范围。
2

解:a 的取值范围为[-3,1]

2、已知 f ? x ? ?

x2 ? 2x ? a 对任意 x ? ?1, ?? ? , f ? x ? ? 0 恒成立,试求实数 a 的取值范围; x

3、R 上的函数 f ? x ? 既是奇函数,又是减函数,且当 ? ? ? 0,

时,有 f cos2 ? ? 2m sin ? ? f ? ?2m ? 2 ? ? 0 恒成立,求实数 m 的取值范围.

?

?

? ?

??
? 2?

4、已知函数 f ? x ? ? ax ln x ? bx ? c ? x ? 0 ? 在 x ? 1 处取得极值 ?3 ? c ,其中 a, b 为常数.
4 4

(1)试确定 a, b 的值; (2)讨论函数 f ? x ? 的单调区间;
2 (3)若对任意 x ? 0 ,不等式 f ? x ? ? ?2c 恒成立,求 c 的取值范围。

5、若不等式 ax ?1 ? 0 对 x ? ?1, 2? 恒成立,实数 a 的取值范围是

。a ?

1 2

6、若对于任意 a ? 1 ,不等式 x ? ? a ? 4 ? x ? 4 ? 2a ? 0 恒成立,求实数 x 的取值范围
2

7、已知函数 f ? x ? ?

a 3 3 2 x ? x ? ? a ? 1? x ? 1 ,其中 a 为实数.若不等式 3 2

f ' ? x ? ? x 2 ? x ? a ? 1 对任意 a ? ? 0, ?? ? 都成立,求实数 x 的取值范围

8、当 x ? ?1, 2 ? 时,不等式 x ? mx ? 4 ? 0 恒成立,则 m 的取值范围是
2

9 、若对任意 x ? R ,不等式 | x |? ax 恒成立,则实数 a 的取值范围是________

2

二、不等式能成立问题的处理方法

若在区间 D 上存在实数 x 使不等式 f ? x ? ? A 成立,则等价于在区间 D 上 f ? x ?max ? A ;

若在区间 D 上存在实数 x 使不等式 f ? x ? ? B 成立,则等价于在区间 D 上的 f ? x ?min ? B . 10、已知不等式 x ? 4 ? x ? 3 ? a 在实数集 R 上的解集不是空集,求实数 a 的取值范围

11、若关于 x 的不等式 x ? ax ? a ? ?3 的解集不是空集,则实数 a 的取值范围是
2

12、已知函数 f ? x ? ? ln x ?

1 2 ax ? 2 x ? a ? 0 ? 存在单调递减区间,求 a 的取值范围 2

三、不等式恰好成立问题的处理方法

1? ? 13、不等式 ax ? bx ? 1 ? 0 的解集为 ? x | ?1 ? x ? ? 则 a ? b ? __________:
2

?

3?

x2 ? 2x ? a 14、已知 f ? x ? ? 当 x ? ?1, ?? ? , f ? x ? 的值域是 ? 0, ?? ? ,试求实数 a 的值. x

15.已知两个函数 f ? x ? ? 8 x ? 16 x ? k , g ? x ? ? 2 x ? 5 x ? 4 x ,其中 k 为实数。
2 3 2

⑴对任意 x ? ? ?3,3? ,都有 f ? x ? ? g ? x ? 成立,求 k 的范围; ⑵存在 x ? ? ?3,3? ,使 f ? x ? ? g ? x ? 成立,求 k 的范围; ⑶对任意 x1 , x2 ? ? ?3,3? ,都有 f ? x1 ? ? g ? x2 ? ,求 k 的范围。

3

不等式恒成立、能成立、恰成立问题专项练习
2

1、若不等式 ? m ? 1? x ? ? m ? 1? x ? 3 ? m ? 1? ? 0 对任意实数 x 恒成立,求实数 m 取值范围

kx 2 ? kx ? 6 2、已知不等式 2 ? 2 对任意的 x ? R 恒成立,求实数 k 的取值范围 x ?x?2
3、设函数 f ? x ? ? x3 ?

9 2 x ? 6 x ? a .对于任意实数 x , f ' ? x ? ? m 恒成立,求 m 的最大值。 2

2 4、对于满足 p ? 2 的所有实数 p,求使不等式 x ? px ? 1 ? p ? 2 x 恒成立的 x 的取值范围。

5、已知不等式 x ? 2 x ? a ? 0 对任意实数 x ? ? 2,3? 恒成立,求实数 a 的取值范围。
2

6、对任意的 a ? ? ?2, 2? ,函数 f ? x ? ? x ? ? a ? 4 ? x ? 4 ? 2a 的值总是正数,求 x 的范围
2

7、 若不等式 x ? log m x ? 0 在 ? 0, ? 内恒成立,则实数 m 的取值范围。
2

? ?

1? 2?

8、不等式 ax ?
2

x ? 4 ? x ? 在 x ? ? 0,3? 内恒成立,求实数 a 的取值范围。

9、不等式 kx ? k ? 2 ? 0 有解,求 k 的取值范围。 10、①对一切实数 x,不等式 x ? 3 ? x ? 2 ? a 恒成立,求实数 a 的范围。 ②若不等式 x ? 3 ? x ? 2 ? a 有解,求实数 a 的范围。 ③若方程 x ? 3 ? x ? 2 ? a 有解,求实数 a 的范围。

11、设函数 f ? x ? ? x ? ax ? 2 x ? b ? x ? R? ,其中 a, b ? R .若对于任意的 a ? ? ?2, 2? ,
4 3 2

不等式 f ? x ? ? 1 在 ? ?1,1? 上恒成立,求 b 的取值范围.

2 b 12、已知向量 a ? x , x ? 1 , b ? ?1 ? x, t ? 。若函数 f ? x ? ? a ? 在区间(-1,1)上是增函数,

?

?

?

?

? ?

求 t 的取值范围。

4


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