nbhkdz.com冰点文库

【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套 3.7


第七节
正弦定理和余弦定理

【知识梳理】

1.必会知识
(1)正弦定理:
a sinA

教材回扣

填一填

b c =_____=_____=2R(R 是△ABC外接圆的半径) sinB sinC

(2)余弦定理:

①在△ABC中,有 b2+c2-2bccosA a2=_____________;

c2+a2-2cacosB b2=_____________;
a2+b2-2abcosC c2=_____________.
b2 ? c2 ? a 2 ②在△ABC中,有:cosA=_________; 2bc a 2 ? c2 ? b2 cosB=__________; 2ac a 2 ? b2 ? c2 cosC=__________. 2ab

(3)在△ABC中,已知a,b和A时,三角形解的情况: A为锐角 A为钝角或直角

图形

关系式

a=bsinA 一解 _____

bsinA<a<b 两解 _____

a≥b 一解 _____

a>b 一解 _____

a≤b 无解 _____

解的 个数

2.必备结论

教材提炼

记一记

π 其变式有:A+B=_____, π -C (1)三角形的内角和定理:在△ABC中,A+B+C=___,
π C ? A ? B =_____ 2 2 等. 2

sinC (2)三角形中的三角函数关系:sin(A+B)=_____; -cosC cos(A+B)=______;
C sin A ? B =_______; 2 2 C sin cos A ? B =_______. 2 2 cos

(3)正弦定理的公式变形:
2RsinA 2RsinB 2RsinC ①a=_______,b=_______,c=_______; a∶b∶c ②sinA∶sinB∶sinC=________;
b c ③sinA= a ,sinB=____,sinC=____; 2R 2R 2R a ?b?c ④ a ? b ? c ? . sinA sinB sinC sinA ? sinB ? sinC

?a ? b cos C ? c cos B, (4)三角形中的射影定理 ?b ? a cos C ? c cos A, ? ?c ? b cos A ? a cos B. ?

3.必用技法

核心总结

看一看

(1)常用方法:代入法、边角转化法. (2)数学思想:数形结合、分类讨论.

【小题快练】
1.思考辨析 静心思考 判一判

(1)正弦定理和余弦定理对任意三角形都成立.
(2)三角形中各边和它所对角的弧度数之比相等.

(
(

)
)

(3)已知两边及其夹角求第三边,用余弦定理.

(

)
( )

(4)在△ABC的六个元素中,已知任意三个元素可求其他元素. (5)在△ABC中,若sinA>sinB,则A>B. ( )

【解析】(1)正确.由正弦定理和余弦定理的证明过程可知,它们对任

意三角形都成立.
(2)错误.由正弦定理可知该结论错误. (3)正确.由余弦定理可知该结论正确. (4)错误.当已知三个角时不能求三边. (5)正确.由正弦定理知sinA= a ,sinB= b ,由sinA>sinB得a>b,即A>B.
2R 2R

答案:(1)√ (2)×

(3)√

(4)×

(5)√

2.教材改编

链接教材

练一练 )

(1)(必修5P51T2改编)在△ABC中,已知a=5,b=7,c=8,则A+C= ( A.90° B.120° C.135° D.150°

【解析】选B.先求B.
2 2 2 a ? c ? b 25 ? 64 ? 49 1 cosB= ? ? , 2ac 2? 5?8 2

因为0°<B<180°, 所以B=60°,故A+C=120°.

(2)(必修5P49练习2T1改编)在△ABC中,已知A=60°,B=75°,c=20,则 a= .

【解析】C=180°-(A+B)=180°-(60°+75°)=45°.
由正弦定理,得 a ? csin A ? 20 ? sin 60? ? 10 6.
sin C sin 45?

答案:10

6

3.真题小试

感悟考题

试一试

(1)(2014·湖北高考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c. 已知A= π ,a=1,b= 3 ,则B=
6

.
1 sin π 6 ? 3 ,得出sinB= 3 . sin B 2

【解析】依题意,由正弦定理知 由于0<B<π, 所以B= π 或 2π .
3 答案: π 或 2π 3 3 3

(2)(2014·福建高考)在△ABC中,A=60°,AC=2,BC= 3 ,则AB等 于 .

【解析】由余弦定理BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cosA, 得3=AB2+4-2×2AB·cos60°,即AB2-2AB+1=0, 解得AB=1. 答案:1

考点1

正弦定理的应用

【典例1】(1)在△ABC中,已知a=2,b= 6 ,A=45°,则满足条件的三角 形有 ( ) B.两个 D.无法确定

A.一个 C.0个

(2)(2014·广东高考)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 bcosC+ccosB=2b,则 =
a b

.

(3)(2014·庆阳模拟)如图,在△ABC中,AB=AC=2,BC=2 3 ,点D在BC边 上,∠ADC=75°,则AD的长为 .

【解题提示】(1)利用正弦定理计算.

(2)利用正弦定理化边为角,利用三角恒等变换进行化简.
(3)根据等腰三角形三线合一的性质求出角 B,再利用正弦定理求解.

【规范解答】(1)选B.由正弦定理, 得sinB= bsin A ? 6 sin 45? ? 3 .
a 2 2

因为b>a,所以B=60°或120°. 故满足条件的三角形有两个.

(2)由正弦定理得, sinBcosC+sinCcosB=2sinB, 所以sin(B+C)=2sinB,sin(π-A)=2sinB, 即sinA=2sinB, 再由正弦定理得a=2b,所以 a =2.
b

答案:2

(3)过点A作AE⊥BC,垂足为E,则在Rt△ABE中,
1 BC BE 2 3 cos B ? ? ? , 故B ? 30?. AB AB 2

在△ABD中,∠ADB=180°-∠ADC=180°-75°=105°. 由正弦定理得AD=
? 1 6 2 ? 4 4
AB sin B 2 ? sin 30? ? sin?ADB sin 105?

? 6 ? 2.

答案:

6? 2

【一题多解】解答本例(1),(2)你还有其他方法吗? (1)选B.数形结合法:如图,CD= 6 ×sin45°= 3 , 又a=2,b= 6 , 所以CD<a<b, 故满足条件的三角形有两个. (2)如图,作AD⊥BC于点D,则a=BC=BD+DC =ccosB+bcosC=2b,即 答案:2
a =2. b

【规律方法】正弦定理的应用技巧 (1)求边:利用公式 a= bsin A ,b ? asin B ,c ? asin C 或其他相应变形公
sin B sin A sin A

式求解. (2)求角:先求出正弦值,再求角,即利用公式sinA= asin B , sinB= bsin A , sinC= csin A 或其他相应变形公式求解.
a b a

(3)相同的元素归到等号的一边:即

a sin A b sin B c sin C ? , ? , ? , b sin B c sin C a sin A

可应用这些公式解决边或角的比例关系问题.

【变式训练】(2015·南昌模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是 a,b,c.若a=5bsinC,且cosA=5cosBcosC,则tanA的值为 A.5 B.6 C.-4 D.-6 ( )

【解析】选B.由正弦定理得sinA=5sinBsinC①, 又cosA=5cosBcosC②, ②-①得, cosA-sinA=5(cosBcosC-sinBsinC)=5cos(B+C)=-5cosA, 所以sinA=6cosA,所以tanA=6.

【加固训练】(2015·合肥模拟)在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别为
a a,b,c,已知bcosC+ccosB=b,则 = b

.

【解析】将bcosC+ccosB=b,利用正弦定理化简得:
sinBcosC+sinCcosB=sinB,

即sin(B+C)=sinB,
因为sin(B+C)=sinA,所以sinA=sinB,利用正弦定理化简得:a=b,则 a =1.
b

答案:1

考点2

余弦定理的应用

【典例2】(1)已知锐角三角形的边长分别为1,3,x,则x的取值范围
是 ( )

A.8<x<10
C.2 2 <x<10

B.2 2 <x< 10
D. 10 <x<8 .

(2)(2015·阜阳模拟)在△ABC中,a2-c2+b2= 3 ab,则C=

(3)(2014·辽宁高考)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,

且a>c,已知 BA BC=2,cosB= ,b=3, 3 求:①a和c的值;②cos(B-C)的值.

1

【解题提示】(1)使大边的对角是锐角,其余弦值大于0,列不等式组求
解.

(2)由余弦定理,将条件代入求解.
(3)①利用向量运算及余弦定理找等量关系求解;

②利用已知条件求sinB,cosC,sinC,代入公式求值.

【规范解答】(1)选B.因为3>1, 所以只需使边长为3及x的对角都为锐角即可,
2 2 2 ? ?1 ? x ? 3 , 2 即 8 ? x ? 10. 故?2 2 2 ? ?1 ? 3 ? x ,

又因为x>0,所以 2 2<x< 10.

(2)由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC,代入题中条件得,cosC=
又C∈(0,π),故C=
? . 6

3 , 2

答案: ?
6

(3)①由 BA BC ? 2,cos B ? 1 得BA BC =cacos B=2,所以ac=6.
3

又由b=3及余弦定理得b2=a2+c2-2accos B, 所以a2+c2=13,因为a>c,解得a=3,c=2.
2 2 2 a ? b ? c 7 ②由a=3,b=3,c=2得cos C= ? , 2ab 9 sin C= 1 ? cos 2C ? 4 2 , 9 由cos B= 1 得sin B= 1 ? cos 2 B ? 2 2 ; 3 3 所以cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C= 1 ? 7 ? 2 2 ? 4 2 ? 23 . 3 9 3 9 27

【规律方法】

1.利用余弦定理解三角形的步骤

2.利用余弦定理判断三角形的形状

在△ABC中,c是最大的边,
若c2<a2+b2,则△ABC是锐角三角形;

若c2=a2+b2,则△ABC是直角三角形;
若c2>a2+b2,则△ABC是钝角三角形. 提醒:已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形,可用正弦定理, 也可用余弦定理,用正弦定理时,需判断其解的个数,用余弦定理时,可 根据一元二次方程根的情况判断解的个数.

3.判断解的个数的两种方法

(1)代数法:根据大边对大角的性质、三角形内角和公式、正弦函数的
值域等判断.

(2)几何图形法:根据条件画出图形,通过图形直观判断解的个数.

【变式训练】已知在△ABC中,a=x,b=2,B=45°,若三角形有两解,则x
的取值范围是 A.x>2 C.2<x<2 2 ( ) B.x<2 D.2<x<2 3

【解析】选C.由题设条件可知x>2且xsin45°<2, 所以2<x<2 2 .

【加固训练】1.在△ABC中,a=10,B=60°,C=45°,则c等于 (

)

A.10+ 3
C. 3+1

B.10( 3 -1)
D.10 3

【解析】选B.A=180°-(B+C)=180°-(60°+45°)=75°.
由正弦定理,得
c? asin C 10sin 45? ? ? sin A sin 75? 10 ? 2 2 ? 10 6? 2 4

?

3- 1.

?

2.在锐角△ABC中,角A,B所对的边分别为a,b,若2asinB= 3 b,则角

A=

.
2

【解析】由正弦定理得2sinA·sinB= 3 sinB,又sinB≠0,故sinA= 3 ,

又0°<A<90°,所以A=60°.
答案:60°

3.若△ABC的三内角A,B,C满足A+C=2B,且最大边为最小边的2倍,则三
角形三内角之比为 .

【解析】因为A+C=2B,不妨设A=B-α,C=B+α.因为A+B+C=π,所以B-

α+B+B+α=π,所以B= .
再设最小边为a,则最大边为2a.
a 2a ? , 由正弦定理得 π π sin( ? α) sin( ? α) 3 3 π π 即sin( ? α) ? 2sin( ? α), 3 3 π π π 即sin cosα+cos sinα=2(sin π cos α-cos sin α), 3 3 3 3 所以tanα= 3 ,α= π . 所以三内角分别为 π , π , π , 它们的比为1∶2∶3. 6 3 2 6 3

π 3

答案:1∶2∶3

考点3

正、余弦定理的综合应用
知·考情

利用正、余弦定理求三角形中的边和角、判断三角形的形状是高
考的重要考向,常与三角恒等变换相结合,以选择题、填空题、解答题

的形式出现,以后两种题型为主.

明·角度

命题角度1:综合利用正、余弦定理求角(或其正、余弦值)
【典例3】(2014·天津高考)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是

a,b,c.已知b-c=

1 a,2sinB=3sinC,则cosA的值为 4

.

【解题提示】利用正弦定理化角为边,解方程组得边的关系,然后利用

余弦定理求cosA的值.

【规范解答】因为2sinB=3sinC,所以2b=3c,

又b-c= 1 a,解得b= 3c , a=2c.
2 b ? c -a 1 ?- . 所以cosA= 2bc 4 答案:- 1 4
2 2 2

4

命题角度2:判断三角形的形状 【典例4】设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB =asinA,且sin2B=sin2C,则△ABC的形状为 ( )

A.等腰三角形
C.直角三角形

B.锐角三角形
D.等腰直角三角形

【解题提示】由正弦定理对题中的两个等式分别变形判断.

【规范解答】选D.因为bcosC+ccosB=asinA,所以由正弦定理得

sinBcosC+sinCcosB=sin2A,所以sin(B+C)=sin2A,sinA=sin2A,sinA=1,
即A= π ,又因为sin2B=sin2C,
2

所以由正弦定理得b2=c2,即b=c,
故△ABC为等腰直角三角形.

命题角度3:综合利用正、余弦定理求边长
【典例5】(2014·湖南高考)如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,

AC= 7 .
(1)求cos∠CAD的值. (2)若cos∠BAD= ? 7 ,sin∠CBA=
14 21 求BC的长. , 6

【解题提示】利用余弦定理和正弦定理求解.

【规范解答】(1)在△ADC中,由余弦定理,
2 2 2 AC ? AD - CD 7 ?1 -4 2 7 得cos∠CAD= ? ? . 2AC AD 7 2 7

(2)设∠BAC=α,则α=∠BAD-∠CAD. 因为cos∠CAD= 2 7 ,cos∠BAD= - 7 ,
7 14

所以sin∠CAD= 1-cos 2?CAD ? 1-( 2 7 ) 2 ? 21 ,
7 7 sin?BAD ? 1 -cos 2?BAD ? 1 -- ( 7 2 3 21 ) ? . 14 14

于是sinα ? sin(?BAD-?CAD) ? sin?BADcos?CAD-cos?BADsin?CAD ? 3 21 2 7 7 21 3 -(- ) ? . 14 7 14 7 2

BC AC 在 ABC中,由正弦定理得, ? . sinα sin?CBA 故BC ? AC sinα ? sin?CBA 7 3 2 ? 3. 21 6

悟·技法 1.综合利用正、余弦定理求边和角的步骤 (1)根据已知的边和角画出相应的图形,并在图中标出. (2)结合图形选择用正弦定理或余弦定理求解. 提醒:在运算和求解过程中注意三角恒等变换和三角形内角和定理的 运用.

2.判断三角形形状的方法

若已知条件中有边又有角,则
(1)化边:通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形

的形状.
(2)化角:通过三角恒等变形,得出内角的关系,从而判断三角形的形状.

此时要注意应用A+B+C=π 这个结论.

通·一类 1.(2013·山东高考)△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c, 若B=2A,a=1,b= 3 ,则c=( A.2 3 B.2 ) C. 2 D.1

a b ? , sin A sin B 3 3 所以A= π , 即 1 ? 3 ? 3 ? , 所以cosA= , 6 sin A sin B sin2A 2sin Acos A 2 B=2A= π , 所以C=π-B-A= π ,所以c2=a2+b2=1+3=4,故c=2. 2 3

【解析】选B.由B=2A,则sinB=sin2A,由正弦定理知

2.(2015·宝鸡模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,其面积

为S,且b2+c2-a2= 4 3 S.
3

(1)求A.

(2)若a=5 3 ,cosB= 4 ,求c.
5

【解析】(1)由已知得:2bc cos A= 4 3 ? 1 bcsin A,
所以tan A= 3 ,由A是三角形内角,所以A= ? . 3
3 (2)由cos B= 4 ,得sin B= 所以, 5 5

3

2

sin C= sin(B ? ? ) ? 1 sin B ? 3 cos B ? 3 ? 4 3 ,
2 2 asin C 由正弦定理得: c? ? 3 ? 4 3. sin A 3 10

3.(2015·开封模拟)如图△ABC中,已知点D在BC边上, 满足 AD AC =0,sin∠BAC= 2 2 , AB=3
3
2,BD= 3.

(1)求AD的长. (2)求cosC.

【解析】(1)因为 AD AC ? 0, 所以AD⊥AC, 所以sin∠BAC=sin(
3 所以cos∠BAD= 2 2 . 3
π +∠BAD)=cos∠BAD, 2

因为sin∠BAC= 2 2 ,

在△ABD中,由余弦定理可知BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos∠BAD, 即AD2-8AD+15=0, 解之得AD=5或AD=3. 由于AB>AD,所以AD=3.

(2)在△ABD中,由正弦定理可知 又由cos∠BAD= 2 2 ,

BD AB ? , sin?BAD sin?ADB

3 可知sin∠BAD= 1 , 3 所以sin∠ADB= ABsin?BAD ? 6 , BD 3 因为∠ADB=∠DAC+∠C,∠DAC= π ,所以cos C= 6 . 2 3

规范解答4

正、余弦定理在三角形计算中的应用

【典例】(13分)(2014·天津高考)在△ABC中,内角A,B,C所对 的边分别为a,b,c,已知a-c= (1)求cos A的值. (2)求cos(2A-
π )的值. 6

6 b,sin B= 6 sin C. 6

解题导思

研读信息

快速破题

规范解答

阅卷标准 体会规范
b c ? , 及sin B= sin B sin C

(1)在△ABC中,由

6 sin C,可得b= 6 c,

………………………………………………………………………2分
6 b,有a=2c. …………………………………………4分 6 2 2 2 b ? c ? a 所以cos A= 2bc 6c 2 ? c 2 ? 4c 2 6 ? ? . 2 4 2 6c

又由a-c=

………………………………………………………………………7分

(2)在△ABC中,由cos A=
4

可得sin A= 10 . ………………………………………………8分 于是,cos 2A=2cos2A-1= ? 1 , …………………………………9分 sin 2A=2sin A·cos A=
π cos(2A ? ) 6 所以,
4 15 …………………………………10分 . 4

6 , 4

π π ? cos 2Acos ? sin 2Asin 6 6

1 3 15 1 15 ? 3 ?? ? ? ? ? .………………………………………13分 4 2 4 2 8

高考状元

满分心得

把握规则

争取满分

1.认真审题,把握变形的方向 认真审题,弄清已知条件和要求的值的关系,确定条件的变形方向是解 答三角函数、解三角形问题的关键,如本题第(1)问求cosA的值,自然 想到用余弦定理,由此确定化角为边,找出边的关系.

2.大胆书写,争取多得分
解答题不同于选择、填空题,它是按步给分,故要善于把已知条件变形,

在变形中探究解题思路,即使不能把问题全部解答完整,也要争取多得
几分.

3.计算准确,争取得满分
(1)公式运用要准确,这是算对的前提. (2)算数要准确无误,尤其注意正、负号的选择,计算时要尽量利用学 过的公式简化计算过程,简单了就不易算错,要是算错了结果,扣分是 很重的.


【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套习题:单元评估检测(七)立体几何

【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套习题:单元评估检测(七)...答案:3π -7- 12. 如图 , 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中 ,M,N,P,Q,...

【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套 专项强化训练(六)

【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套 专项强化训练(六)_数学_高中教育_教育专区。圆学子梦想 铸金字品牌 温馨提示: 此套题为 Word 版,请按住...

【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套习题:单元评估检测(五)数列 Word版含答案

【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套习题:单元评估检测(五)数列 Word版含答案_数学_高中教育_教育专区。单元评估检测(五) 第五章 (120 分钟 ...

【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套习题:专项强化训练(三)数列的综合应用

【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套习题:专项强化训练(三)数列的综合应用_数学_高中教育_教育专区。专项强化训练(三) 数列的综合应用 一、选择...

【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套 专项强化训练(四)

【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套 专项强化训练(四)_数学_高中教育_教育专区。圆学子梦想 铸金字品牌 温馨提示: 此套题为 Word 版,请按住...

【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套习题:课时提升作业(五十三) 8.5椭圆

【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套习题:课时提升作业(五十...1<4-k<4,即 0<k<3; ∈ , ) B. D.(0,2) ∈ , ,则实数 60 分...

【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套习题:单元评估检测(一)集合与简易逻辑

【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套习题:单元评估检测(一)集合与简易逻辑_数学_高中教育_教育专区。单元评估检测(一) 第一章 (120 分钟 150 ...

【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套习题:单元评估检测(六)不等式推理与证明

【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套习题:单元评估检测(六)不等式推理与证明_数学_高中教育_教育专区。单元评估检测(六) 第六章 (120 分钟 ...

【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套习题:课时提升作业(一) 1.1集合

【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套习题:课时提升作业(一) ...7.(2013·山东高考)已知集合 A,B 均为全集 U={1,2,3,4}的子集,且 (...

【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套习题:课时提升作业(五十四) 8.6抛物线

【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套习题:课时提升作业(五十四) 8.6抛物线_数学_高中教育_教育专区。课时提升作业(五十四) 抛物线 60 分) (...