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河北省衡水中学2014-2015学年高二下学期期末考试数学(理)试题

时间:2016-08-17


2014~2015 学年下学期高二年级期末考试 理科数学试卷
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的) 1、若 a, b, c 为实数,则下列命题正确的是
2 2 A.若 a ? b ,则 ac ? bc

B.若 a ? b ? 0 ,则 a

? ab ? b
2

2

C.若 a ? b ? 0 ,则

1 1 ? a b

D.若 a ? b ? 0 ,则

b a ? a b

2、若 0 ? x1 ? x2 ,0 ? y1 ? y2 ,且 x1 ? x2 ? y1 ? y2 ,则下列代数式中值最大的是 A. x1 y1 ? x2 y2 B. x1 x2 ? y1 y2 C. x1 y2 ? x2 y1 D.

1 2

3、已知实数 x, y 满足 x2 ? y 2 ? 4x ? 6 y ? 12 ? 0 ,则 2 x ? y ? 2 的最小值是 A. 4 ? 5 B. 5 ? 5 C. 5 ? 1 D. 5 5

4、以下四个命题中: ①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后,方差恒不变; ②两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值越接近于 1; ③在某项测量中,测量结果 ? 服从正态分布 N (1, ? )(? ? 0) ,若 ? 在 (0,1) 内取值的概率为 0.4,
2

则 ? 在 (0, 2) 内取值的概率为 0.8; ④对分类变量 X 与 Y 的随机变量 K 的观测值 k 来说, k 越小, 判断 “X 与 Y 有关” 的把握程度越大。 其中真命题的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4
2

5、定义在区间 ? a, b? (b ? a) 上的函数 f ? x ? ?

1 1 3 sin x ? cos x 的值域是 [ ,1] ,则 b ? a 的最小值 2 2 2

m 和最大值 M 分别是
A. m ?

?
6

,M ?

?
3

B. m ?

?
3

,M ?

2? 3

C. m ?

4? , M ? 2? 3

D. m ?

2? 4? ,M ? 3 3

6、函数 f ? x ? ? x ? 1 ? x ? a ,若不等式 f ? x ? ? 6 的解集为 (??, ?2] ? [4, ??) ,则实数 a 的值为

A. ?3

B. 3

C. 3
?

D. ? 3
?

7、如图,已知 ?DEC ? 80 ,弧 CD 的度数与弧 AB 的度数的差为 20 , 则 ?DAC 的度数为 A. 35
?

B. 45

?

C. 55

?

D. 70

?

8、右图是函数 y ? A sin( wx ? ? )( A ? 0, w ? 0, ? ?

?
2

) 图象的一部分,为了

得到这个函数的图象,只要将 y ? sin x( x ? R) 的图象上所有的点

? 1 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 ,纵坐标不变; 2 6 ? B.向左平移 个单位长度,在把所的各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变; 6 ? 1 C.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标到原来的 ,纵坐标不变; 2 3 ? D.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标商场到原来的 2 倍,纵坐标不变。 3
A.向左平移 9、圆 O 的割线 PAB 交圆 O 与 A、B 两点,割线 PCD 经过圆心,已知 PA ? 6, PO ? 12, AB ? 圆 O 的半径为 A.4 B. 6 ? 14 C. 6 ? 14 D. 8

22 ,则 3

10、某班班会准备从甲乙等 7 名学生中选派 4 名学生发言,要求甲乙两人至少有一人参加,当甲乙 同时参加市,他们两人的发言不能相等,那么不同的发言顺序的种数为 A.3600 B.520 C.600 D.720

11、如图,已知 AB 为半圆 O 的直径,AB=4,C 为平面上一点,过点 C 作半圆 的切线 CD,过 A 点作 AD ? CD 于 D,角半圆于点 E,DE=1,则 BC 的长为 A.1 B.2 C.1.5 D.2.5

12、已知 f ? x ? 为偶函数,当 x ? 0 时, f ? x ? ? m( x ? 2 ?1)(m ? 0) ,若函数 y ? f [ f ( x)] 恰有 4 个零点,则 m 的取值范围为 A. (0,1) B. (1,3) C. (1, ??) D. (3, ??)

第Ⅱ卷

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卷的横线上。.

1 ? 3 x? t ? 2 ? 2 13、已知曲线 ? : P ? 相交与 A、B 两点,原点 O (0, 0) , ,? ? R 与曲线 C : ? 1 3 ? 1 ? cos ? y? t 2 ? ? 2
则 OA ? OB ? 14、若 max{a, b} 表示 a , b 两数中的最大值,若 f ? x ? ? max{e , e
x x ?t

} 关于 x ? 2015 对称,

则t ? 15、已知映射 f : P(m, n) ? P2 ( m, n )(m ? 0, n ? 0) ,设点 A(1,3), B(2, 2) ,点 M 是线段 AB 上 一动点, f : M ? M 2 ,当点 M 在线段 AB 上从点 A 开始运动到点 B 结束时,点 M 的对应点 M 所
2

经过的路线长度为 16、如图,过点 P 作圆 O 的割线 PAB 与切线 PE,E 为切点,连接 AE、BE, ? APE 的平分线与 AE、BE 分别交于点 C、D,若 ? AEB=30 ,则 ? PCE=
?

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17、 (本小题满分 10 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且 3c ? a sin C ? 3 cos A (1)求 A ; (2)若 ?ABC 的面积 S ? 3 ,求 ?ABC 周长的最小值。

18、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? 2x ?1 ? x ? 4 (1)解关于 x 的不等式 f ? x ? ? 2 (2)已知当 x ? ?0, 4? 时,函数 f ? x ? 的最值是 t ,实数 x, y, z 满足 2 x ? 3 y ? 6 z ? a(a ? 0) ,
2 2 2

且 x ? y ? z 的最大值是 t ,求 a 的值。

19、 (本小题满分 12 分) 如图,过圆 O 外一点 P 分别作为圆 O 的切线 PA 和割线 PBC,其中 A 为切点,过点 A 作 PC 的平行 线交圆 O 与点 D,BD 的延长线交直线 PA 与点 Q。 (1)求证: AB ? PB ? AD ;
2

(2)若 PA ? 2 AQ, AD ? 3, QD ? 2 ,求 PC 的长。

20、 (本小题满分 12 分) 某工厂商场交易两种芯片,其质量按测试指标划分为:指标大于互殴等于 82 为合格品,小于 82 的为次品,现随机抽取两种芯片个 100 件进行检测,检测结果统计如下:

(1)试分别估计芯片甲,芯片乙为合格品的概率; (2)生产一件芯片甲,若是合格品可盈利 40 元,若是次品则亏损 5 圆,生产一件芯片乙,若是合 格品可盈利 50 元,若是次品可亏损 10 圆,在(1)的前提下。 ①记 X 为生产 1 件芯片甲和 1 件芯片乙所得的总利润,求随机变量 X 的分布列及期望 E ( X ) ; ②求生产 5 件芯片所获得的利润不少于 140 元的概率。

21、 (本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C : ?

? x ? cos? ,将 C1 上的所有点的横坐标,总 (? 为参数) ? y ? sin ?

坐标分别伸长为原来的 2 和 2 倍后得到曲线 C2 ,以平面直角坐标系 xOy 的原点 O 为极点,x 轴的 正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线 l : ? ( 2 cos? ? sin ? ) ? 4 。 (1)试写出曲线 C2 的极坐标方程与曲线 C1 的参数方程; (2)在曲线 C2 上求一点 P,使点 P 到直线 l 的距离最小,并求此最小值。

21、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? a ln x ? ax ? 3(a ? R) (1)讨论函数 f ? x ? 的单调性; ( 2 ) 若 函 数 f ? x ? 的 图 象 在 点 (2, f (2)) 处 的 切 线 的 倾 斜 角 为 45 , 且 函 数
?

g ? x ? ? x3 ? x 2 [ f ( x) ?
(3)试比较 结论。

m ] 在区间 (1,3) 上部单调,求 m 的取值范围; 2

ln 22 ln 32 ln n2 (n ? 1) ? (2n ? 1) ? ? ? ? 与 的大小( n ? N ,且 n ? 2 ) ,并证明你的 22 32 n2 2(n ? 1)


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