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高等代数课件(北大版)第四章 矩阵§4-3

时间:2012-09-22


一、矩阵乘积的行列式 二、非退化矩阵

三、矩阵乘积的秩

2012-9-22

数学与计算科学学院

引入
行列式乘法规则
a 11 a 12 ? a1 n a 21 a 22 ? a 2 n D1 ? , ? ? ? ? a n1 a n 2 ? a nn
A B

b1 1 b1 2 ? b1 n b21 b22 ? b2 n D2 ? ? ? ? ? bn1 bn 2 ? bnn

则 其中
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c11 c12 ? c1 n c 21 c 22 ? c 2 n D1 D 2 ? , ? ? ? ? c n1 c n 2 ? c nn

AB

c ij ? a i 1 b1 j ? a i 2 b 2 j ? ? ? a in b n j ?

? a ik b k j ,
k ?1

n

i , j ? 1, 2, ? , n
§4.3 矩阵乘积的行列式与秩数学与计算科学学院

一、矩阵乘积的行列式
定理1 设 A , B 为数域 P 上的 n 级矩阵,则
AB ? A B .

推广

A1 , A 2 , ? , A t

为数域 P 上的 n 级方阵,则

| A 1 A 2 ? A t | ? | A 1 || A 2 | ? | A t | .

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二、非退化矩阵
定义 设 A 为数域 P 上的 n 级方阵,
若A 若
? 0,则称 A 为非退化的;

A ? 0 ,称 A 为退化的. ? R ( A ) ? n ? A ? 0;

注:n 级方阵 A 非退化
n 级方阵 A

退化

? R ( A ) ? n ? A ? 0.

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推论 设 A , B 为数域 P上的 n 级矩阵,则
AB

非退化 ? A , B 都非退化
? A 或 B 退化

? A B 退化
证:

?

A B 非退化 ? A B ? 0 ? A B ? 0

? A ? 0 且 B ? 0 ? A, B

都非退化 .

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三、矩阵乘积的秩
定理2 设
A n ? m , B m ? s 为数域 P 上的矩阵,则

R ( A B ) ? m in ? R ( A ), R ( B ) ? .

证: 令

A ? ( a ij ) n ? m , B ? ( b ij ) m ? s , A B ? C ? ( c ij ) n ? s .

设 B 的行向量组为 B 1 , ? , B m , C 的行向量组为 C 1 , ? , C n . 则向量组合
a i 1 B 1 ? a i 2 B 2 ? ? ? a im B m

? ? a i 1 b1 1 ? a i 2 b 2 1 ? ? ? a im b m 1 , ? , a i 1 b1 s ? a i 2 b 2 s ? ? ? a im b m s ?
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即有

a i 1 B 1 ? a i 2 B 2 ? ? ? a im B m

n n ? n ? ? ? a ik b k 1 , ? a ik b k 2 , ? , ? a ik b k s k ?1 k ?1 ? k ?1

? ?, ?

? ? c i 1 , c i 2 , ? , c is ? ? C i ,

i ? 1, 2, ? , n



C 1 , C 2 , ? , C n 可由 B 1 , B 2 , ? , B m

线性表示.

所以 R ( C ) ? R ( B ) . 同理,R ( C ) ? R ( A ).
? R ( A B ) ? m in ? R ( A ), R ( B ) ? .

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三、矩阵乘积的秩
定理2 设
A n ? m , B m ? s 为数域 P 上的矩阵,则

R ( A B ) ? m in ? R ( A ), R ( B ) ? .

推广 如果

A ? A1 A 2 ? A t

,则

R ( A ) ? m in { R ( A 1 ), R ( A 2 ), ? , R ( A t )}.

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例1.设A为n级方阵,且

A A? ? E , A ? 0,

证明: A ?
证:
A? E

E ? 0.

? A ? A A? ? A( E ? A?) ? A E ? A?

? A ( E ? A ? )? ? A E ? A

又由
?

A A? ? E ,



A

2

? 1,



A ? 0,

A ? ? 1,

于是有

A? E ? ? A? E ,

所以
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A ? E ? 0.

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