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【步步高 通用(理)】2014届高三《考前三个月》专题复习篇【配套课件】专题六 第二讲


考点整合

专题六 第二讲

第二讲 圆锥曲线的方程与性质

本 讲 栏 目 开

圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质 名称 定义 椭圆 双曲线 抛物线 |PF|= |PM|,点 F 不 在 直线 l 上, PM⊥ l 于 M y2= 2px (p> 0)

|PF1|+ |PF2

|= 2a ||PF1|- |PF2||= 2a (2a> |F1F2|) x2 y2 + =1 a2 b2 (a> b> 0) (2a< |F1F2|) x2 y2 - =1 a2 b2 (a> 0, b> 0)

标准 方程

考点整合

专题六 第二讲

图形 几 范围 何 顶点 性 对称 质 性 焦点 轴 |x|≥ a, |y|≥ b (± a,0)(0,± b) |x|≥ a (± a,0) x≥0 (0,0) 关于 x 轴对称 p ( , 0) 2

本 讲 栏 目 开

关于 x 轴, y 轴和原点对称 (± c,0) 长轴长 2a, 短轴长 2b 实轴长 2a, 实轴长 2a,

考点整合

专题六 第二讲

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c b2 c b2 e= = 1- 2 e= = 1+ 2 a a a a 几 离心率 (0< e<1) (e> 1) 何 性 质 准线 渐近线 b y=± x a

e=1 p x=- 2

真题感悟

专题六 第二讲

1.(2013· 课标全国Ⅱ)设抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F, 点
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M 在 C 上,|MF|=5,若以 MF 为直径的圆过点(0,2),则 C 的方程为 A.y2=4x 或 y2=8x C.y2=4x 或 y2=16x B.y2=2x 或 y2=8x D.y2=2x 或 y2=16x ( )

解析

?p ? 由题意知:F?2,0?,抛物线的准线方程为 ? ?

p x=-2,

p 则由抛物线的定义知,xM=5- , 2

真题感悟
?5 yM? 为直径的圆的圆心为? , ?, 2? ?2

专题六 第二讲

设以 MF

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? 5?2 ? yM?2 25 所以圆的方程为?x-2? +?y- 2 ? = 4 , ? ? ? ?

又因为圆过点(0,2),所以 yM=4,
? p? 又因为点M在C上,所以16=2p?5-2?,解得p=2或p=8, ? ?

所以抛物线 C 的方程为 y2=4x 或 y2=16x,故选 C.
答案 C

真题感悟

专题六 第二讲

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x2 y2 2.(2013· 课标全国Ⅰ )已知双曲线 C: 2- 2= 1(a>0,b>0)的离 a b 5 心率为 ,则 C 的渐近线方程为 ( C ) 2 1 1 A.y=± x B.y=± x 4 3 1 C.y=± x D.y=± x 2
c 5 + 解析 由e= = 2 知,a=2k,c= 5k(k∈R ), a

由 b2=c2-a2=k2 知 b=k.
b 1 所以 =2. a 1 即渐近线方程为y=± x.故选C. 2

真题感悟

专题六 第二讲

1 2 x2 3.(2013· 山东)抛物线 C1: y= x (p>0)的焦点与双曲线 C2: - 2p 3 y2=1 的右焦点的连线交 C1 于第一象限的点 M.若 C1 在点 M 处的切线平行于 C2 的一条渐近线,则 p 等于 3 3 2 3 4 3 A. B. C. D. 16 8 3 3 ( D )

本 讲 栏 目 开

解析 抛物线 C1 的标准方程为: x

2

? p? =2py, 其焦点 F 为?0,2?, ? ?

3 双曲线 C2 的右焦点 F′为(2,0),渐近线方程为:y=± 3 x. ? 3 1 3 3 p? ? 由 y′= x= 3 得 x= 3 p,故 M? p, ? ?. p 3 6 ? ?
4 3 由F、F′、M三点共线得p= . 3

真题感悟

专题六 第二讲

x2 y2 4.(2013· 福建)椭圆Г: 2 + 2 =1(a>b>0)的左,右焦点分别为 a b F1,F2,焦距为2c.若直线y= 3 (x+c)与椭圆Г的一个交点 3-1 M满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等于____.
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解析 由直线方程为 y= 3(x+c), 知∠MF1F2=60° ,又∠MF1F2= 2∠MF2F1,
所以∠MF2F1=30° ,MF1⊥MF2,

所以|MF1|=c,|MF2 |= 3c,
c 所以|MF1|+|MF2 |=c+ 3c=2a.即e= = 3-1. a

真题感悟

专题六 第二讲

5.(2013· 浙江)设 F 为抛物线 C:y2=4x 的焦点,过点 P(-1,0) 的直线 l 交抛物线 C 于 A、 B 两点, 点 Q 为线段 AB 的中点, 若|FQ|=2,则直线 l 的斜率等于________.
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解析

设直线 l 的方程为 y=k(x+1),A(x1,y1)、B(x2,y2)、 .

? ?y=k?x+1? Q(x0,y0).解方程组? 2 ? ?y =4x

化简得:k2x2+(2k2-4)x+k2=0,
4-2k2 4 ∴x1+x2= 2 ,y1+y2=k(x1+x2+2)= . k k
2-k2 2 ∴x0= 2 ,y0= . k k

真题感悟

专题六 第二讲

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?2- 2k2? 2?2 2 2 ? ?2 ? ? x0-1? +? y0-0? =2 得:? 2 ? +? ? =4. ?k ? ? k ?

∴k=± 1.
答案 ± 1

题型与方法

专题六 第二讲

题型一
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圆锥曲线的定义与标准方程

例1

(1)在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点, 2 焦点 F1, F2 在 x 轴上, 离心率为 .过 F1 的直线 l 交 C 于 A, 2 B 两点, 且△ ABF2 的周长为 16, 那么椭圆 C 的方程为 ______. 2 x2 2 y (2)已知 P 为椭圆 + y = 1 和双曲线 x2- =1 的一个交点, 4 2 F1,F2 为椭圆的两个焦点,那么∠ F1PF2 的余弦值为_____.

2 审题破题 (1)根据椭圆定义, △ABF2 的周长=4a, 又 e= 2 可求方程;(2)在焦点△F1PF2 中使用余弦定理.

题型与方法
x2 y2 解析 (1)设椭圆方程为 2+ 2=1, a b 2 c 2 由 e= 知 = , 2 a 2
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专题六 第二讲

b2 1 故 2= . a 2
由于△ABF2的周长为|AB|+|BF2|+|AF2 |=|AF1 |+|AF2|+|BF1 |+ |BF2|=4a=16,故a=4.
2 2 x y ∴b2=8.∴椭圆C的方程为 + =1. 16 8

(2)由椭圆和双曲线的方程可知,F1,F2 为它们的公共焦点,不
?|PF |+ |PF |=4 ? 1 2 妨设|PF1|>|PF2 |,则 ? ? ?|PF1|- |PF2 |=2



题型与方法

专题六 第二讲

? ?|PF1|= 3 所以? ? ?|PF2|= 1

.

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又|F1F2 |=2 3,
1 由余弦定理可知 cos∠F1PF2=- . 3

x2 y2 答案 (1)16+ 8 =1

1 (2)-3

题型与方法

专题六 第二讲

反思归纳
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圆锥曲线的定义反映了它们的基本特征, 理解定义

是掌握其性质的基础.因此, 对于圆锥曲线的定义不仅要熟记, 还 要 深 入 理 解 细节 部 分 : 比如 椭 圆 的 定 义中要 求 |PF1| + |PF2|>|F1F2|,双曲线的定义中要求||PF1|- |PF2||<|F1F2|.

题型与方法

专题六 第二讲

x2 y2 变式训练1 (1)已知双曲线 2 - 2 =1 (a>0,b>0)的两个焦点 a b F1, F2, M为双曲线上一点,且满足∠ F1MF2=90° ,点M 7 到x轴的距离为 .若△F1MF2的面积为14,则双曲线的渐近 2 y=± 7x 线方程为__________.

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1 7 解析 由题意得2· 2c· 2=14,所以c=4.

? ?||MF1 |-|MF2 ||=2a, ?|MF1|2+|MF2 |2=82, 又? ?1 · |MF1|· |MF2 |=14. ? ?2 所以 a= 2,b= 14.
所以渐近线方程为 y=± 7x.

题型与方法

专题六 第二讲

(2)设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax(a≠0)的焦点F,且和y轴 交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方 2 y =± 8x 程为________.
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解析 率为 2

?a ? 抛物线 y =ax(a≠0)的焦点坐标为? ,0?,过焦点且斜 ?4 ? ? a? a ? ? 的直线方程为 y=2 x-4 ,令 x=0 得 y=-2. ? ?
2

1 ?a? ? a? ∴△OAF 的面积为2×?4?×?-2?=4, ? ? ? ?

∴a2=64,∴a=± 8. ∴抛物线方程为 y2=± 8x.

题型与方法
题型二 例2 圆锥曲线的性质

专题六 第二讲

(1)等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,C 与抛 ( B.2 2 C.4 D.8 )

物线 y2= 16x 的准线交于 A, B 两点, |AB|= 4 3,则 C 的
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实轴长为 A. 2

(2)设圆锥曲线 C 的两个焦点分别为 F1,F2,若曲线 C 上存 在点 P 满足 |PF1|∶ |F1F2|∶ |PF2|= 4∶ 3∶ 2,则曲线 C 的离 心率等于 1 3 A. 或 2 2 1 C. 或 2 2 ( 2 B. 或 2 3 2 3 D. 或 3 2 )

题型与方法
审题破题

专题六 第二讲
(1)利用抛物线的几何性质结合方程组求解;(2)由

于已知圆锥曲线的两个焦点,所以该圆锥曲线为椭圆或双曲 线,再由离心率的定义即可求解.
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解析

x2 y2 (1)设 C: 2- 2=1. a a

2 2 x y ∵抛物线 y2=16x 的准线为 x=-4,联立 2- 2=1 和 x=-4 a a

得 A(-4, 16-a2 ),B(-4,- 16-a2),
∴|AB |=2 16-a2=4 3, ∴a=2,∴2a=4.∴C 的实轴长为 4.

题型与方法

专题六 第二讲

|F1F2| 3 1 (2)当曲线 C 为椭圆时,e= = = ; |PF1|+ |PF2| 4+2 2
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|F1F2 | 3 3 当曲线 C 为双曲线时,e= = =2. |PF1|-|PF2 | 4-2

答案 (1)C
(2)A

题型与方法

专题六 第二讲

反思归纳

(1)求椭圆或双曲线的离心率的方法: c ①直接求出 a和 c,代入e= ; a
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②建立关于 a, b, c的方程或不等式,然后把b用a, c代换.通 c 过解关于 的方程或不等式求得离心率的值或范围. a (2)研究圆锥曲线的几何性质,实质是求参数a、 b、c或者建 立 a、 b、 c的关系式(等式或不等式),然后根据概念讨论相应 的几何性质 .

题型与方法

专题六 第二讲

x2 y2 变式训练 2 (1)已知 O为坐标原点,双曲线 2 - 2 =1(a>0, a b b>0)的右焦点为 F,以 OF为直径作圆与双曲线的渐近线交 → → → 于异于原点的两点A, B,若 ( AO + AF )· OF = 0,则双曲线
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的离心率 e为 A.2 B.3 C. 2 D. 3
解析 如图,设OF的中点为T, → → → 由(AO+AF)· OF=0可知AT⊥OF, ?c c? 又A在以OF为直径的圆上,∴A?2,2?, ? ? b 又A在直线y= x上, a

(C )

∴a=b,∴e= 2.

题型与方法

专题六 第二讲

x2 y2 (2)已知双曲线 2- 2=1 (a>0, b>0)的左顶点与抛物线 y2=2px a b (p>0)的焦点的距离为 4, 且双曲线的一条渐近线与抛物线的准 线的交点坐标为(-2,-1),则双曲线的焦距为
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(

)

A.2 3

B.2 5

C.4 3
bp ? ?y=-2a ,解得? ?x=-p 2 ? ?b 1 ? = ,得?a 2 ? ?p=4

D.4 5

? b ?y=ax 解析 由? ?x=-p 2 ?



? bp ?-2a=-1 由题意得? ?-p=-2 ? 2



题型与方法

专题六 第二讲

p 又知 +a=4,故 a=2,b=1, 2
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c= a2+b2= 5,∴焦距2c=2 5.

答案 B

题型与方法

专题六 第二讲

题型三

直线与圆锥曲线的位置关系 x2 y2 3 例 3 已知椭圆 C: 2+ 2= 1(a>b>0)的离心率为 ,过右焦 a b 3
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点 F 的直线 l 与 C 相交于 A,B 两点.当 l 的斜率为 1 时, 坐 2 标原点 O 到 l 的距离为 . 2 (1)求 a、 b 的值; → (2)C 上是否存在点 P, 使得当 l 绕 F 转到某一位置时, 有OP → → =OA+OB成立?若存在, 求出所有的 P 的坐标与 l 的方程; 若不存在,说明理由.

题型与方法

专题六 第二讲

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审题破题 (1)由直线 l 的斜率为 1 过焦点 F, 原点 O 到 l 的距 2 离为 可求解;(2)需分直线 l 的斜率存在或不存在两种情况 2 → → → 讨论.设 A(x1, y1), B(x2,y2),由条件OP=OA+OB可得 P 点 坐标,结合 A、B、P 在椭圆上列等式消元求解.

题型与方法


专题六 第二讲

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(1)设F(c,0),当l的斜率为1时,其方程为x-y-c=0, |0-0-c| c c 2 O到l的距离为 = ,故 = ,c=1. 2 2 2 2 c 3 由 e= = 3 ,得 a= 3,b= a2-c2= 2. a → → (2)C 上存在点 P, 使得当 l 绕 F 转到某一位置时, 有OP=OA+ → OB成立.
由(1)知 C 的方程为 2x2+3y2=6.设 A(x1,y1),B(x2,y2). (ⅰ)当 l 不垂直于 x 轴时,设 l 的方程为 y=k(x-1).
→ → → C 上的点 P 使OP=OA+OB成立的充要条件是 P 点坐标为(x1
2 +x2, y1+y2), 且 2(x1+x2)2+3(y1+y2)2=6, 整理得 2x2 + 3 y 1 1+ 2 2x2 +3y2 2+4x1x2+6y1y2=6,

题型与方法

专题六 第二讲

2 2 2 又 A、B 在椭圆 C 上,即 2x1 +3y2 = 6,2 x + 3 y 1 2 2=6,

故2x1x2+3y1y2+3=0.



将y=k(x-1)代入2x2+3y2=6,并化简得
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(2+3k2)x2-6k2x+3k2-6=0,

3k2-6 6k2 于是 x1+x2= x2= 2,x1· 2, 2+3k 2+3k 2 - 4 k y1· y2=k2(x1-1)(x2-1)= 2. 2+3k 3 2 代入①解得 k =2,此时 x1+x2=2.
?3 k k? 于是 y1+y2=k(x1+x2-2)=-2,即 P?2,-2?. ? ?

题型与方法
?3 2时,P? ?2, ?

专题六 第二讲
2? ? ,l 的方程为 2x+y- 2=0; 2? ?

因此,当 k=-

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2? ? 当 k= ,l 的方程为 2x-y- 2=0. 2? ? → → (ⅱ)当 l 垂直于 x 轴时,由OA+OB=(2,0)知,C 上不存在点 P → → → 使OP=OA+OB成立.
?3 2? → → → ? ? 综上,C上存在点P ? ,± ?使OP =OA +OB 成立,此时l的方 2? ?2

?3 2时,P? ?2,- ?

程为 2x± y- 2=0.

题型与方法

专题六 第二讲

反思归纳
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解决直线与圆锥曲线位置关系问题的步骤:

(1)设方程及点的坐标; (2)联立直线方程与曲线方程得方程组,消元得方程(注意二次 项系数是否为零); (3)应用根与系数的关系及判别式; (4)结合已知条件、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解 .

题型与方法
变式训练 3 (2013· 浙江)如图,点 P(0,-1) x2 y2 是椭圆 C1: 2+ 2= 1(a>b>0)的一个顶点, a b C1 的长轴是圆 C2:x2+y2= 4 的直径 .l1, l2
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专题六 第二讲

是过点 P 且互相垂直的两条直线,其中 l1 交圆 C2 于 A,B 两点,l2 交椭圆 C1 于另一 点 D. (1)求椭圆 C1 的方程; (2)求△ ABD 面积取最大值时直线 l1 的方程 .
? ?b=1, (1)由题意得? ? ?a=2.



x2 2 所以椭圆 C1 的方程为 4 +y =1.

题型与方法
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0).

专题六 第二讲

由题意知直线l1的斜率存在,不妨设其为k,
则直线l1的方程为y=kx-1.
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又圆C2:x2+y2=4,

故点O到直线l1的距离 1 d= 2 , k +1

所以|AB |=2 4-d2=2

4k2+3 . 2 k +1

又l2⊥l1,故直线l2的方程为x+ky+k=0.

题型与方法
?x+ky+k=0, ? 由? 2 2 ? x + 4 y =4. ?

专题六 第二讲

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消去y,整理得(4+k2)x2+8kx=0,
8 k2+1 8k 故 x0=- 2.所以|PD |= 2 . 4+k 4+k
1 设△ABD 的面积为 S,则 S= · |AB|· |PD| 2 8 4k2+3 = 2 , 4+k

题型与方法

专题六 第二讲

所以 S=

32 13 2 4k +3+ 4k2+3

≤ 2

32 13 4k +3· 2 4k +3
2

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16 13 = , 13
10 当且仅当 k=± 2 时取等号.
10 所以所求直线 l1 的方程为 y=± x-1. 2

阅卷评析

专题六 第二讲

典例
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x2 y2 (12分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1: 2 + 2 a b

=1(a>b>0)的左焦点为F1(-1,0),且点P(0,1)在 C1上 . (1)求椭圆C1的方程; (2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2:y2= 4x相切,求直线l 的方程.

规范解答 解 (1)因为椭圆C1的左焦点为F1(-1,0),所以c=1.

阅卷评析

专题六 第二讲

x2 y2 1 将点P(0,1)代入椭圆方程 2+ 2=1,得 2=1,即b=1, a b b

所以a2=b2+c2=2.
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x2 2 所以椭圆C1的方程为 +y =1. 2

[4分]

(2)由题意可知,直线l的斜率显然存在且不等于0,设直线l的 2 ?x ? +y2=1, 方程为y=kx+m,由? 2 ? ?y=kx+m,
消去 y 并整理得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0.

因为直线 l 与椭圆 C1 相切,

阅卷评析

专题六 第二讲

所以 Δ1=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-2)=0.
整理得2k2-m2+1=0.
本 讲 栏 目 开
?y2=4x, ? 由? ? ?y=kx+m,

①[7分]

消去 y 并整理得 k2x2+(2km-4)x+m2=0.

因为直线l与抛物线C2相切,
所以Δ2=(2km-4)2-4k2m2=0,整理得km=1. ②[10分]

阅卷评析

专题六 第二讲

本 讲 栏 目 开

? ?k= 2, 2 综合①②,解得? ? ?m= 2

? ?k=- 2, 2 或? ? ?m=- 2.

2 2 所以直线 l 的方程为 y= 2 x+ 2或 y=- 2 x- 2.

[12 分]

阅卷评析

专题六 第二讲

评分细则

(1)得到 b= 1 给 2 分;(2)两个判别式应用中,得到

化简后的方程均给 1 分,判别式等于 0 没化简不扣分;(3)k、
本 讲 栏 目 开

m 的值不全扣 2 分 . 阅卷老师提醒 (1)对于直线和圆锥曲线相切的问题,除曲线 为 y2= ax 形式的,一般都利用判别式. (2)直线和圆锥曲线是高考热点,判别式、弦长公式、设而不 求思想是常用工具.

小题冲关

专题六 第二讲

2 y 1.(2013· 四川)抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2- =1的渐近线 3

本 讲 栏 目 开

的距离是 1 3 A. B. 2 2

( B ) C.1 D. 3

2 y 解析 抛物线 y2=4x 的焦点 F(1,0),双曲线 x2- 3 =1 的渐

近线是 y=± 3x,即 3x± y=0,
| 3± 0| 3 ∴所求距离为 2 2= 2 .选 B. ? 3? +?± 1?

小题冲关

专题六 第二讲

π x2 y2 2.(2013· 湖北 )已知 0< θ< ,则双曲线 C1: 2 - 2 = 1 与 4 cos θ sin θ y2 x2 C2: 2 - 2 =1 的 ( D ) sin θ sin θtan2θ
本 讲 栏 目 开

A.实轴长相等 C.焦距相等

B.虚轴长相等 D.离心率相等

sin2θ+cos2θ 1 解析 双曲线 C1:e= = 2 , cos2θ cos θ
sin2θ+sin2θtan2θ 1 2 双曲线 C2:e= =1+tan θ= 2 , sin2θ cos θ

∴C1,C2离心率相等.

小题冲关

专题六 第二讲

x2 y2 3.已知方程 + = 1表示焦点在y轴上的椭圆,则实数 2- k 2k- 1 k的取值范围是 ?1 ? A.? , 2? ?2 ? C.(1,2) ( C ) B.(1,+∞)
?1 ? D.? , 1? ?2 ?

本 讲 栏 目 开

解析 由题意可得,2k-1>2-k>0,
? ?2k-1>2-k, 即? ? ?2-k>0,

解得 1<k<2,故选 C.

小题冲关

专题六 第二讲

4.(2013· 江西)抛物线 x2=2py(p>0)的焦点为 F,其准线与双曲 x2 y2 线 - = 1 相交于 A、B 两点,若△ABF 为等边三角形, 3 3

6 则 p= ________.
本 讲 栏 目 开

解析 因为△ABF 为等边三角形,
所以由题意知
? B? ? ?

p p? ,-2? ?, 3 ?

x2 y2 代入方程 3 - 3 =1 得 p=6.

小题冲关

专题六 第二讲

x2 y2 5.(2013· 湖南)设 F1,F2 是双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的两 a b 个焦点,P 是 C 上一点,若|PF1|+|PF2|=6a 且△PF1F2 的 3 最小内角为 30° ,则双曲线 C 的离心率为______.
本 讲 栏 目 开

解析 不妨设|PF1|>|PF2 |,
则|PF1|-|PF2 |=2a,
又∵|PF1|+|PF2 |=6a,∴|PF1 |=4a,|PF2 |=2a. 又在△PF1F2中,∠PF1F2=30° , 由正弦定理得,∠PF2F1=90° ,∴|F1F2 |=2 3a,
2 3a ∴双曲线 C 的离心率 e= = 3. 2a

小题冲关

专题六 第二讲

x2 y2 6.(2013· 辽宁)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点为 F, a b 椭圆 C 与过原点的直线相交于 A,B 两点,连接 AF,BF. 4 若|AB|=10, |AF|=6, cos∠ABF= , 则 C 的离心率 e=____. 5
本 讲 栏 目 开

解析 如图,在△ABF中,|AB |=10, 4 |AF|=6,且cos∠ABF= , 5
设|BF|=m,
由余弦定理,得 4 6 =10 +m -20m· 5,
2 2 2

∴m2-16m+64=0,∴m=8.

小题冲关

专题六 第二讲

1 因此|BF|=8,AF⊥BF,c=|OF|= |AB|=5. 2
设椭圆右焦点为 F′,连接 BF′,AF′,
本 讲 栏 目 开

由对称性,|BF′|=|AF|=6, ∴2a=|BF|+|BF′|=14.
c 5 ∴a=7,因此离心率 e= =7. a
5 答案 7


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