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2013 高中数学竞赛试题精选


O 已知 A B C D ? A1 B 1 C 1 D 1 是一个棱长为 1 的正方体, 1 是底面 A1 B 1 C 1 D 1 的中心, 是棱 B B 1 上 M

的点,且 S △ D B M : S △ O

1B1M

? 2 : 3 ,则四面体 O 1 A D M 的体积为

7

48

(江苏 2007 夏令营)

在正方体 ABCD

? A 1 B 1 C 1 D 1 中,P 是侧面 BB 1 C 1 C 内一动点,若 P 到直线 BC 与直线 C1D1 的距离相

等,则动点 P 的轨迹所在的曲线是抛物线
3

已知 x 为锐角,则 sin

x ? cos

3

x ?

2 2

是x ?

?
4

的(充要条件)

同信一寝室的四名女生,她们当中有一人在修指甲,一人在看书,一人在梳头发,另一人在听音乐。①A 既不在修指甲,也不在看书;②B 既不在听音乐,也不在修指甲;③如果 A 不在听音乐,那么 C 不在修指 甲;④D 既不在看书,也不在修指甲;⑤C 既不在看书,也不在听音乐。若上面的命题都是真命题,问她们 各在干什么?答:ABCD 分别在听音乐;看书;修指甲;梳头发 已知 tan ? ?
1 ? cos 20 ? 2 sin 20 ?

3 (1 ? m ) , 且

3a n t(

? ?a n t

? ? m) ? a n t
3 2

? ? 0 , ? , ? 为锐角, ? ? ? 的值为 ? 则
3

? sin 10 ? (cot 5 ? ? tan 5 ? ) ? ? cos 30 ? ?

函数 f ( x ) ? x 值为(28 )

4

? ax

3

? bx

2

? cx ? d ,若 f (1 ) ? 1, f ( 2 ) ? 2 , f ( 3 ) ? 3 ,那么 f ( 0 ) ? f ( 4 ) 的

在 ? ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a , b , c ,且 cos A ? 值; (2)若 a ?

1 3

。 (1)求 sin

2

B ? C 2

? cos 2 A 的

3 ,求 bc 的最大值。 (-1/9; 9/4)
2

若 m 、 n ? ? x x ? a 2 ? 1 0 ? a 1 ? 1 0 ? a 0 ? ,其中 a i ? ?1,,,,,,? , i ? 0, 2 ,并且 1, 2 3 4 5 6 7

m ? n ? 6 3 6 ,则实数对 ( m , n ) 表示平面上不同点的个数为(
2

90 )

圆锥曲线

x

? y

2

? 6 x ? 2 y ? 10 ? | x ? y ? 3 | ? 0 的离心率是

2 .

斜三棱柱 A B C ? A1 B 1 C 1 中,面 A A1 C 1 C 是菱形, ? A C C 1 ? 6 0 ? ,侧面 A B B 1 A1 ? A A1 C 1 C ,
A1 B ? A B ? A C ? 1 .求证: (1) A A1 ? B C 1 ; (2)求点 A 1 到平面 A B C 的距离.
15 5

满足 y ?

x ? 3 ?

x ? 2007

的正整数数对(x,y)恰有两对

设集合 M={-2,0,1},N={1,2,3,4,5},映射 f:M ? N 使对任意的 x∈M,都有 x ? f ( x ) ? xf ( x ) 是 奇数,则这样的映射 f 的个数是(45) 将一个三位数的三个数字顺序颠倒,将所得到的数与原数相加,若和中没有一个数字是偶数,则称这个数 为“奇和数” 。那么,所有的三位数中,奇和数有( 100 设 a 1 ? 6 , a n ?1 ? [ )个

5 4

an ?

3 4

a n ? 2 ]( n ? N
2

?

) , 其 中 [x] 表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数 。 则
n ?1

a 1 ? a 2 ? ? ? ? ? a 2007 的个位数字为(

2

)an ? 5 ? 2
1 2 ? a2

?1

设 a1,a2,?,a2007 均为正实数,且

1 2 ? a1

?

? ????

1 2 ? a 2007

?

1 2

,则 a 1 a 2 ? ? ? a 2007 的最小

值是

。 4012

2007

将号码分别为 1、2、?、9 的九个小球放入一个袋中,这些小球仅号码不同,其余完全相同。甲从袋中摸 出一个球,其号码为 a,放回后,乙从此袋中再摸出一个球,其号码为 b。则使不等式 a?2b+10>0 成立的 事件发生的概率等于(
61 81



设函数 f(x)=3sinx+2cosx+1。若实数 a、b、c 使得 af(x)+bf(x?c)=1 对任意实数 x 恒成立,则 于 ?1

b cos c a

的值等

. 将 2 个 a 和 2 个 b 共 4 个字母填在如图所示的 4X4(16)个小方格内,每个小方格内至多填 1 个字母, 若使相同字母既不同行也不同列,则不同的填法共有 3960 种
n

设an ?

?
k ?1

1 k (n ? 1 ? k )

,求证:当正整数 n≥2 时,an+1<an(07 全国)

数 812934756 是一个包含 1 至 9 每个数字恰好一次的九位数,它具有如下性质:数字 1 至 6 在其中是从小 到大排列的,但是数字 1 至 7 不是从小到大排列的.这样的九位数共有 432 个.
5 5

一个三角形的最短边长度是 1,三个角的正切值都是整数,则该三角形的最长边的长度为 3

正三棱锥底面一个顶点与它所对侧面重心的距离为 8,则这个正三棱锥的体积的最大值为 144 对每一个正整数 k ,设 a k ? 1 ?
1 2 ?? 1 k

,则 ( 3 a 1 ? 5 a 2 ? 7 a 3 ? ? ? 99 a 49 ) ? 2500 a 49 =-1225

集合 S ? ?1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 ? 的五元子集共有 21 个,每个子集的数从小到大排好后,取出中间的数,则所 有这些数之和是( 84 ) (07 福建)
1 4x

已知 f ( x ) ? sin 2 x ? 2 sin x , g ( x ) ? 3 x ? 试求 m 的最大值.
3 2

,若对任意 x 1 , x 2 ? ( 0 , ? ? ) 恒有 f ( x 1 ) ? g ( x 2 ) ? m ,

(07 吉林)

D 25

1/32 07 陕西) (

0

3 8/15

3 若实数 x , y 满足:
2 x
10

?5

3

? 2

y
10

?6

3

? 1, 3

x
10

?5

3

? 3

y
10

?6

3

? 1 ,则 x ? y ? 2

10

?3

10

?5 ? 6
3

3

抛物线顶点为 O ,焦点为 F , M 是抛物线上的动点,则

MO MF

的最大值为

2 3

3

过直线 l : y ? x ? 9 上的一点 P 作一个长轴最短的椭圆,使其焦点为 F1 ? ? 3, 0 ? , F 2 ? 3, 0 ? ,则椭圆 的方程
x
2

?

y

2

?1

45

36
? 1 2 , a n ?1 ? nan

数列 ? a n ? 满足: a

1

?n

? 1? ? nan ? 1?

;令 x k ? a 1 ? a 2 ? ? ? a k ,
n ? n ? 1 ? ? 3 n ? 1 1n ? 4 ?
2

n

yk ?

1 a1

?

1 a2

?? ?

1 ak

, k ? 1, 2 , ? ;求

?
k ?1

xk yk ?

36

15、 若四位数 n ? a b c d 的各位数码 a , b , c , d 中, 任三个数码皆可构成一个三角形的三条边长, 则称 n 为 四位三角形数,试求所有四位三角形数的个数. 9 ? 3 0 4 ? 9 8 4 ? 3 8 4 ? 1 6 8 1

方程 3 ( x ? 1)( x ? 4 ) ?

3

( x ? 2 )( 5 ? x ) ? 6 的实数解的个数为 0 x? a ? y ? b ) ,若 x ? y 的最大值为 40,

已知 a , b 为正整数, a ? b ,实数 x , y 满足 x ? y ? 4 ( 则满足条件的数对 ( a , b ) 的数目为 5

6.过四面体 A B C D 的顶点 D 作半径为 1 的球,该球与四面体 A B C D 的外接球相切于点 D ,且与平面

A B C 相切。若 A D ? 2 3 , ? B A D ? ? C A D ? 4 5 ? , ? B A C ? 6 0 ? ,则四面体 A B C D 的外接球的半
径r 为 3 .设集合 A ? ? a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 ? , B ? ? a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5
2 2 2 2 2

? ,其中 a

1

, a 2 , a 3 , a 4 , a 5 是五个不同的

正整数, 1 ? a 2 ? a 3 ? a 4 ? a 5 , A ? B ? ? a 1 , a 4 ? , a 1 ? a 4 ? 1 0 , A ? B 中所有元素的和为 2 4 6 , 若 a 则满足条件的集合 A 的个数为 2 已知数列 ? a n ? ? n ? 0 ? 满足 a 0 ? 0 , a 1 ? 1 ,对于所有正整数 n ,有 a n ? 1 ? 2 a n ? 2 0 0 7 a n ? 1 ,求 使得 2 0 0 8 a n 成立的最小正整数 n 。 (2008)07 天津 在(2 ?
x)
2 n ?1

的展开式中, x 的幂指数是整数的各项系数之和为(

1 2

(3

2 n ?1

? 1) )

在 1,2,3,4,5 的排列 a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 中,满足条件 a 1 ? a 2 , a 3 ? a 2 ,
a 3 ? a 4 , a 5 ? a 4 的排列个数是(16



在三角形 ABC 中,已知三个内角 A、B、C 成等差数列,设他们所对的边分别是 a、b、c,并且 c ? a 等于

AC 边上的高 h,则 sin

C ? A 2

?
2

1 2

斜率为 1 的直线与椭圆 x ?
2

y

? 1 交于 A、B 两点,P 为线段 AB 上的点,且

AP PB

? 2 . 则 P 点的轨迹

4

方程是_ 4 x

? y ?

2 3

5 ? ( y ? x)

2

( y ? x ?

5)

一枚均匀的硬币掷十次,没有连续出现正面向上的概率是_ a、b、c 为正实数,试证明:
a
2

9 64

a ? 9 bc

? b
2

b ? 9 ca

? c
2

c ? 9 ab

?

3 10

设 f ( x , y , z ) ? s in 2 ( x ? y ) ? s in 2 ( y ? z ) ? s in 2 ( z ? x ) , x , y , z ?

R

,求 f ( x , y , z ) 的最大值

9 4

(07 浙江)


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