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广东省汕头市潮南区东山中学2013届高三上学期第四次月考数学(文)试题


潮南区东山中学高三级数学(文科)第四学月考试
(2012-2013 学年度第一学期 )
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.) 1.复数 z ? (2 ? i )i 的虚部是( A. 2 B. ? 2 ※ ) C. 2i D. ? 2i

1, 2,3, 4,

5?, B ? ? 2, ?? ? ,则图中阴影部分所表 2.已知全集 U ? R, 集合 A ? ?
示的集合为( A. {0,1, 2} C. {1, 2} 3.设曲线 y ? A .1 ※ ) B. {0,1} D. {1}

A

B

(第 2 题图)

ax 2 在点(1, a )处的切线与直线 2 x ? y ? 6 ? 0 平行,则 a ? ( ※ )
B.

1 2

C. ?

1 2

D. ? 1
频率 组距

4.对某校 400 名学生的体重(单位: kg )进行统计,得到 如图所示的频率分布直方图, 则学生体重在 60 kg 以上的人 数为( ※ ) B . 100 D . 20 ※ ) B. log 0..5 0.4 ? log 0..5 0.6 D. lg1.6 ? lg1.4 0.010 0 0.060 0.040 0.034

A. 300 C. 60 5.下列各式中错误 的是( .. A. 0.83 ? 0.73 C. 0.75?0.1 ? 0.750.1

45

50 55 60 65 70 体重 ( kg )
(第 4 题图)

6.在等差数列 {a n } 中,已知 a 5 ? a 7 ? 10 , Sn 是数列 {a n } 的前 n 项和,则

主视图

侧视图

俯视图
(第 7 题图)

S11 ? (



) B.50 C.55 D.60

A.45

7.如图所示,一个空间几何体的主视图和俯视图都是边长为 1 的正方形,侧视图是一个直 径为 1 的圆,那么这个几何体的表面积为( A. 4? C. 2? B. 3? D. ? ※ )

3 2

?2 x ? y ? 0 ? 8 .实数 x, y 满足不等式组 ? x ? y ? 2 ? 0 ,且 z ? ax ? y? a ? 0 ? 取得最小值的最优解有无 ?6 x ? 3 y ? 18 ?
穷多个, 则实数 a 的取值范围是( A. ? ※ ) C.

4 5

B.

1

2


D. 无法确定 )

9.已知函数 f ( x) 的部分图象如图所示,则 f ( x) 的解析式可能为(

A.

?x ? ? f ( x) ? 2sin ? ? ? ?2 6?

B.

f ( x) ? 2 cos ?4 x ?

? ?

??
? 4?

C.

?x ? ? f ( x) ? 2cos ? ? ? ?2 3?

D.

f ( x) ? 2sin ?4 x ?

? ?

??
? 6?
(第 9 题图)

10.已知函数 f ( x ? 1) 是定义在 R 上的奇函数,若对于任意给定 的不等实数 x1 、 x2 ,不等式 ( x1 ? x2 )[ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? 0 恒成立,则 不等式 f (1 ? x) ? 0 的解集为( A. ?1, ?? ※ ) C. ? 0, ??

?

B. ? ?? ,0 ?

?

D. ? ?? ,1?

二、 填空题.(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填答题纸上。) (一)必做题:第 11、12、13 题为必做题,每道试题考生都必须作答.

11.已知 f ( x) ? ?

x? 0 ?sin πx 5 ,则 f ( ) 的值为 6 ? f (x-1)+1 x>0





12. ? ABC 中,如果 (a ? b ? c)(b ? c ? a ) ? 3bc ,那么 A 等于 13. 已 知 向 量





? ? ? ? a = ( x ? 1,2), b = ( 4, y) , 若 a ? b , 则 9 x ? 3 y 的 最 小 值 为





(二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计算前一题的 得分. 14. (坐标系与参数方程选做题) 过点 (2,

?
3

) 且平行于极轴的直线的极坐标方程为
A B





15.(几何证明选讲选做题)已知 PA 是圆 O 的切线,切点 为

A , 直 线 PO 交 圆 O 于 B 、 C 两 点 , AC ? 2 ,
※ . O C

P

? PAB ? 120?,则圆 O 的面积为

(第 15 题图)

三、解答题(本大题共 6 小题,80 分,解答应写出必要的 文字说明、证明过程或演算步骤.) 16.(本小题满分 12 分) 已知集合

A ? x x2 ? 2 x ? 3 ? 0 , B ? ?x ( x ? 2)( x ? 3) ? 0?,

?

?

(1)在区间 ? ?3,3? 上任取一个实数 x ,求“ x ?

A? B ”的概率;

(2)设 ? a , b ? 为有序实数对,其中 a 是从集合 A中任取的一个整数,b 是从集合 B 中任 取的一个整数,求“ a ? b ?

A? B ”的概率.

17.(本小题满分 14 分) 已 知 向 量 m?

??

?

? 2 s ? i ?n ? x ?

? ? ? ? , ?c x, o sn ? ? 3 cos x, 2sin( ? x) ? , 函 数 2 ? ?

f ( x) ?

?? ? 1 ? m? .n

(1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)当 x ? ? 0, ? ? 时,求 f ( x) 的单调递增区间; (3)说明 f ( x) 的图象可以由 g ( x) ? sin x 的图象经过怎样的变换而得到.

18.(本小题满分 14 分) 已知向量 a ? (1, cos ) 与 b ? ( 3 sin
?

x

?

2

? cos , y) 共线,记函数 y ? f ( x) . 2 2

x

x

(Ⅰ)若 f ( x) ? 1 ,求 cos(

2? ? 2 x) 的值; 3

(Ⅱ)在 ? ABC中,角 A 、B、 C 的对边分别是 a、、 b c ,且满足 2a cosC ? c ? 2b ,求函 数 f ( B) 的取值范围.

19. (本题满分 12 分) 某商店经销一种洗衣粉,年销售总量为 6000 包,每包进价为 2.8 元,销售价为 3.4 元, 全年分若干次进货,每次进货均为 x 包,已知每次进货的运输劳务费为 62.5 元,全部 洗衣粉全年保管费为 1.5 x 元. (1)将该商店经销洗衣粉一年的利润

y (元)表示为每次进货量 x (包)的函数;

(2)为使利润最大,每次应进货多少包?

20.(本小题满分 14 分) 如图, AB 为圆 O 的直径,点 E 、 F 在圆 O 上, AB ∥ EF ,矩形 ABCD 所在的平面 和圆 O 所在的平面互相垂直,且

AB ? 2 , AD ? EF ? 1 .

C

(1)求证: AF ? 平面 CBF ; (2)设 FC 的中点为 M ,求证: OM ∥平面 DAF ; (3)求三棱锥 F ? CBE 的体积.
O

D

B

M
E

A
(第 20 题图)

F

21. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? xlnx , (1)求 f ( x) 的最小值; (2)若对所有 x ? 1都有 f ( x) ? ax ? 1,求实数 a 的取值范围.

潮南区东山中学高三级数学(文科)答案
(2012-2013 学年度第一学期 )

一、选择题
题号 答案 1 A 2 D 3 A 4 B 5 C 6 7 D 8 B 9 C 10 B

C

二、 填空题 11.

1 . 2

12.

? . 3

13. 6.

14. ? sin ? ?

3.

15. 4? .

解答过程分析:
1.选 A.解析: z ? (2 ? i )i

? ? 1 ? 2i ,虚部是 2 .特别提醒:不是 2i .
A且 x ? B ,即 A? CU B ,选项 D 符合要求.
依题意得 k ? y? x?1 ? 2a ? 2 , ax 2 上,

2.选 D.解析:阴影部分的元素 x ?

a) 3. 选 A. 解析: 由 y? ? 2ax , 又点 ( 1, 在曲线 y ?
解得 a ? 1 .

4.选 B.解析: 60 kg 以频率为 0.040 ? 5 ? 0.010 ? 5 ? 0.25 ,故人数为 400 ? 0.25 ? 100 (人). 5.选 C.解析:构造相应函数,再利用函数的性质解决,对于 A,构造幂函数 y ? x3 ,为 增函数,故 A 是对;对于 B、 D,构造对数函数 y ? log 0.5 x 为减函数, y ? lg x 为增函数, B、 D 都正确;对于 C,构造指数函数 y ? 0.75x ,为减函数,故 C 错.

10 ? 11 ? 55 . 2 2 2 1 7. 选 D.解 析:这 是一 个横放 的圆 柱体, 其底面 半径 r ? , 高 h ? 1 , 底面 面积 2 ? 3? S底 ? ? r 2 ? ,侧面积 S侧 ? 2? rh ? ? ,故 S表 ? 2S底 ? S侧 ? . 4 2
6.选 C.解析:

S11 ?

a1 ? a11

? 11 ?

a5 ? a 7

? 11 ?

8.选 B.解析:要使目标函数取得最小值的最优解有无穷多个,令 ax+y=0 并平移使之与过点 C(

2 4 , )(可行域中最左侧的点)的边界重合即可, 3 3

注意到 a>0,只能和 AC 重合, ∴a=1

9.选 C.解析:由点 A、点 C 的横坐标可知

T
4

? ? , ∴ T ? 4? ?

2?

?

,? ?

1 ,排除 B、 2

D,又点 ? 0,1? 在图象上,代入 f ( x) ? 2sin ? ?

?x ? ? ? ?? ? 得 1 ? 2sin ?? ? 不成立,排除 A,只 ?2 6 ? ? 6?

有 C 合适.说明,本题得出的是最佳选项,由图象无法确定振幅的值. 10.选 B.解析: f ( x ? 1) 是奇函数,即其的图象关于点 (0, 0) 对称,将 f ( x ? 1) 向右平 移 1 个单位长度, 得 f ( x) , 故 f ( x) 的图象关于点 (1, 0) 对称, 由 ( x1 ? x2 )[ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? 0 恒成立,知 ?

x1 ? x2 ? 0 ? x1 ? x2 ? 0 或? , f ( x) 为 R 上 的 减 函 数 ; 又 将 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0
?

f (1) ? 0,不等式 f (1 ? x) ? 0 即 f (1 ? x) ? f (1) ,有 1 ? x ?1 ,故 x ? 0 .

11.填

1 .解析: 2

1 1 ?5 ? ?5 ? ? 1? ? ?? f ? ? ? f ? ? 1? ? 1 ? f ?? ? ? 1 ? sin ?? ? ? 1 ? ? ? 1 ? . 2 2 ?6 ? ?6 ? ? 6? ? 6?

12.填

2 ? ? ? b ? c ? ? a 2 ? 3bc , . 解析:( a ? b ? c )(b ? c ? a ) ? ? b ? c ? ? a ?? ?b ? c? ? a ? ? ?? ? 3
2 2

得 b ? c ? a ? bc , 由 余 弦 定 理 得 c o sA ? ∴ A?

2

b2 ? c2 ? a 2 bc 1 ? ? , 又 0 ? A?? , 2b c 2bc 2

?
3



? ? ? ? a ? b ? 0 ? ( x ? 1,2) ?(4, y) ? 0 ? 2 x ? y ? 2 a ? b 13.填 6.解析:由已知 ?
2x y 2x y 2 x? y ? 2 3 2 ? 6, 则 9 ? 3 ? 3 ? 3 ? 2 3 ?3 ? 2 3

x

y

当且仅当 3

2x

1 ? 3 y , 即 x ? 2 , y ? 1 时取得等号 .
(2, . 解析: 先将极坐标化成直角坐标表示,

n i ? ?3 14. 填? s

?
3

) 化为 (1, 3) , ( , 3 ) 过1

且平行于 x 轴的直线为 y ?

3 ,再化成极坐标表示,即 ? sin ? ? 3 . 3。

法二:在极坐标系中直接构造直角三角形由其边角关系得方程 ? sin ? ?

15.填 4? .解析:由弦切角定理, ? PAC ? ? ABC ,由 ? PAB ? 120?, ? CAB ? 90?得 ? PAC ? ? ABC ? 30? , 在 R t ? AB中 C , 2 R ? B C? 2 A C ? 2 ? 2 ?, 4 R? 4 ,

S ? ? R2 ? 4? .

A B P O C

三、解答题(本大题共 6 小题,80 分,解答应写出必要的文 字说明、证明过程或演算步骤.) 16.解:(1)由已知 A ? x ? 3 ? x ?1 , B ? x ? 2 ? x ? 3 ,??????????2 分 设事件“ x ?

?

?

?

?

A? B ”的概率为 P1 ,
3 1 ? 。???????????????5 分 6 2

这是一个几何概型,则 P1 ?

(2)因为 a , b ? Z ,且 a ? A, b ? B , 所以, a ? ?? 2, ? 1,0? , b ? ?? 1,0,1, 2? 基本事件由下表列出,共 12 个:

a ? b 共有 12 个结果,即 12 个基本事件:
? 1, ? 2, ? 3, ? 4,0, ? 1, ? 2, ? 3,1,0, ? 1, ? 2
分 又因为 A? B ? ? ?3,3? , 设事件 E 为“ a ? b ? 分 事件 E 的概率 P ( E ) ? ???????9

A? B ”,则事件 E 中包含 9 个基本事件,??????11
9 3 ? 。???????????????? 12 分 12 4

17.解:(1)∵m?n ? ? 2sin ? ? ? x? 3 cos x ? 2 cos x sin ?

?? ? ? x? ?2 ?

? ?2 3 sin x cos x ? 2cos2 x ? ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 1??????2 分
∴ f ( x) ? 1 ? m?n ?

3 sin 2 x ? cos 2 x ,????????????????3 分

∴ f ( x) ? 2sin ?2 x ? (2)由 ?

? ?

??
?
6

?。?????????????????????4 分 6?
?

?
2

? 2k? ? 2 x ?

?
2

? 2k?

(k ? Z ) ,

解得 ?

?
6

? k? ? x ?

?
3

? k?

(k ? Z ) ,??????????????6 分

∵取 k=0 和 1 且 x ? ? 0, ? ? ,得 0 ? x ? ∴ f ( x) 的单调递增区间为 ?0, 法二:∵ x ? ? 0, ? ? ,∴ ?

?
3



11? ? x?? , 6

? ? ? ?11? ? 和 , ? ? 。???????????8 分 ? 6 ? ? 3? ? ?
? 2x ?

11? , 6 6 6 ? ? ? 3? ? 11? ∴由 ? ? 2 x ? ? 和 , ??????????6 分 ? 2x ? ? 6 6 2 2 6 6 ? 11? ? x?? , 解得 0 ? x ? 和 6 3

?

?

?

∴ f ( x) 的单调递增区间为 ?0,

? ? ? ?11? ? 和 , ? ? 。???????????8 分 ? 6 ? ? 3? ? ? ? ?

(3) g ( x) ? sin x 的图象可以经过下面三步变换得到 f ( x) ? 2sin ?2 x ?

??

? 的图象: 6?

g ( x) ? sin x 的图象向右平移

? 个单位长度, 再把所得各点的横坐标缩短到原来的 6

1 倍(纵坐标不变),最后把所得各点的纵坐标伸长为原来的 2 倍(横坐标不变),得到 2

?? ? f ( x) ? 2sin ?2 x ? ? 的图象. ????????????????14 分(每一步变换 2 6? ?
分)

18. 解:(Ⅰ)∵ a 与 b 共线 ∴

?

?

x x x y ? cos ( 3 sin ? cos )
2 2 2

3 1 ? 1 sin x ? (1 ? cos x) ? sin( x ? ) ? ?????? 3 分 2 2 6 2 ? 1 ? 1 ∴ f ( x) ? sin( x ? ) ? ? 1 ,即 sin( x ? ) ? ???????4 分 6 2 6 2 2? ? ? ? 1 cos( ? 2 x) ? cos 2( ? x) ? 2 cos2 ( ? x) ? 1 ? 2 sin 2 ( x ? ) ? 1 ? ? 3 3 3 6 2 ?
???????6 分 (Ⅱ)已知 2a cos C ? c ? 2b 由正弦定理得:

2 sin Acos C ? sin C ? 2 sin B ? 2 sin( A ? C ) 2 sin Acos C ? sin C ? 2 sin Acos C ? 2 cos Asin C

1 ? , ∴在 ? ABC 中 ∠ A ? . 2 3 ? 1 f ( B) ? sin( B ? ) ? 6 2 ? 2? ? ? 5? ∵∠ A ? ∴0 ? B ? , ?B? ? 3 3 6 6 6 1 ? 3 ∴ ? sin( B ? ) ? 1 , 1 ? f ( B) ? 2 6 2 3 ∴函数 f ( B) 的取值范围为 (1, ] . 2
∴ cos A ?

??????9 分

???????11 分 ???????13 分 ???????14 分

19.解:(1)?平面 ABCD ? 平面 ABEF , CB ? 平面 ABCD ? 平面 ABEF ? AB ,

AB ,

? CB ? 平面 ABEF , ∵ AF ? 平面 ABEF ,∴ AF ? CB ,????????????? 2 分 又 AB 为圆 O 的直径,∴ AF ? BF , ∴ AF ? 平面 CBF . ???????????????? 4 分 // 1 // 1 CD ,又 AO CD , (2)设 DF 的中点为 N ,则 MN 2 2
则 MN

//

AO ,四边形 MNAO 为平行四边形,
C

∴ OM / / AN ,又 AN ? 平面 DAF , OM ? 平面 DAF , ∴ OM / / 平面 DAF . ?????? 8 分 (3)∵ BC ? 面 BEF ,∴ VF ? CBE ? VC ? BEF ?

1 ? S? BEF ? BC , 3

D

B

M

B 到 EF 的距离等于 O 到 EF 的距离, 过点 O 作 OG ? EF 于 G ,连结 OE 、 OF , ∴ ? OEF 为正三角形, ∴ OG 为正 ? OEF 的高,
∴ OG ?

E

O
A

F

3 3 OA ? ,???????????????????? 11 分 2 2
1 ? S? BEF ? BC 3
??????????????? 12 分

∴ VF ? CBE ? VC ? BEF ?

1 1 1 1 3 3 ? ? ? EF ? OG ? BC ? ? ? 1? ?1 ? 。 ????? 3 2 3 2 2 12


14

20.解:(1)由题意可知:一年总共需要进货 分 ∴ y ? 3.4 ? 6000 ? 2.8 ? 6000 ? 整理得:

6000

x

次( x ? N 且 x ≤ 6000 ),???2
?

6000

x

?62.5 ? 1.5 x ,????????????5 分

3x ? ( x ? N 且 x ≤ 6000 ).????????6 分 x 2 375000 3x ? 375000 3x ? (2) y ? 3600 ? ? ? 3600 ? ? ? ? ( x ? N ? 且 x ≤ 6000 ), x 2 2? ? x

y ? 3600 ?

375000

?

3x 375000 3x ≥2 ? ? 2 562500 ? 2 ? 750 ? 1500 , x 2 x 2 375000 3x ? (当且仅当 ,即 x ? 500 时取等号)?????????????9 分 x 2 ∴当 x ? 500 时, ymax ? 3600 ? 1500 ? 2100 (元),


375000

?

答:当每次进货 500 包时,利润最大为 2100 元。??????????????12 分

( x) ? 1? ln x . 21 .解:( 1 ) f ( x) 的定义域为 ? 0, ?? ? , f ( x) 的导数 f ?


?????2

( x) ? 0 ,解得 x ? 令 f?

1

e

( x) ? 0 ,解得 0 ? x ? . ;令 f ?

1

e

从而 f ( x) 在 ?0, ? 单调递减,在 ? , ?? ? 单调递增. 所以,当 x ?

? 1? ? e?
1

?1 ?e

? ?

e

时, f ( x) 取得最小值

f ( ) ? ? . ????????? 6 分 e e

1

1

(2)解法一:依题意,得 f ( x) ? ax ? 1 在 ?1, ?? ? 上恒成立, 即不等式 a ? ln x ? 令 g ( x) ? ln x ?

1

x

对于 x ? ?1, ?? ? 恒成立 . ??????????????8 分 则 g? ( x) ?

1

x



1

x x

?

1
2

?

1? 1? 1? ?. x? ? x?

?????????10 分

当 x ?1 时,因为 g ? ( x) ?

1? 1? 1? ? ? 0 , x? ? x?
所以 g ( x) 的最小值是 g (1) ? 1 ,????? 13 分 ????????????????????14 分

故 g ( x) 是 ?1, ?? ? 上的增函数, 所以 a 的取值范围是 ? ?? ,1? .

( x) ? f ? ( x) ? a ? 1 ? a ? ln x , 解法二:令 g ( x) ? f ( x) ? (ax ? 1) ,则 g ?

① 若 a ? 1 ,当 x ?1 时, g ? ( x) ? 1 ? a ? ln x ? 1 ? a ? 0 , 故 g ( x) 在 ?1, ?? ? 上为增函数, 所以, x ? 1 时, g ( x) ? g (1) ? 1? a ? 0 ,即 f ( x) ? ax ? 1;??????? 10 分 ② 若 a ?1 ,方程 g ? ( x) ? 0 的根为 x0 ?

e a ?1 ,

此时,若 x ? ?1, x0 ? ,则 g ? ( x) ? 0 ,故 g ( x) 在该区间为减函数. 所以 x ? ?1, x0 ? 时, g ( x) ? g (1) ? 1 ? a ? 0 , 即 f ( x) ? ax ? 1,与题设 f ( x) ? ax ? 1 相矛盾. 综上,满足条件的 a 的取值范围是 ? ?? ,1? . ????????????? 14 分


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