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福建省长泰一中2014-2015学年高二数学下学期期中试卷 理(A卷,实验班)


长泰一中 2014/2015 学年下学期期中考试 高二理科数学 A 卷
一、选择题 (本大题共 12 小题,每小题 5 分,合计 60 分,答案用 2B 铅笔在机读 答题卡上填涂。) 1.a=0 是复数 z=a+bi(a,b∈R)为纯虚数的( ). A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.函数 y ? f ( x ) 的图

象如图所示,则导函数 y ? f ?(x) 的图象可能是( ).

y
f(x)

y

f ?( x)

f ?( x)

y x

y O

f ?( x)

y O x
f ?( x )

O

x

O A

x

O B C

x D ) 3. 在 证 明

命题“对于任意角 θ,cos4θ-sin4θ=cos2θ”的过程: cos4θ-sin4θ=(cos2θ+sin2θ)(cos2θ-sin2θ)=cos2θ-sin2θ=cos2θ 中应用了( A.分析法 B.综合法 C.分析法和综合法综合使用 D.间接证法 -1+i 4.复数 z= -1,在复平面内 z 所对应的点在( 1+i A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 ) D.第四象限

5.用火柴棒摆“金鱼”,如图所示:

按照上面的规律,第 n 个“金鱼”图需要火柴的根数为( ) A.6n-2 B.6n+2 C. 8n-2 D.8n+2 1 1 1 6.设 a,b,c 都大于 0,则 3 个数:a+b,b+c ,c+a的值( A.都大于 2 C.都小于 2 B.至少有一个不大于 2 D.至少有一个不小于 2 ) )

x 7.函数 f(x)=cos2x-2cos22的一个单调增区间是(

?π 2π? A. 3, 3 ? ?
1 A. 3 2 B. 3

?π π? B. 6,2 ? ?
4 C.3

? π? C. 0,3 ? ?

? π π? D. -6,6 ? ?
)

8.曲线 y=x2-1 与 x 轴围成图形的面积等于( D. 1

9.已知曲线方程 f(x)=sin2x+2ax(a∈R),若对任意实数 m,直线 l:x+y+m=0 都不是
-1-

曲线 y=f(x)的切线,则 a 的取值范围是( ) A.(-∞,-1)∪(0,+∞) B.(-∞,-1)∪(-1,0) C.(-1,0)∪(0,+∞) D.a∈R 且 a≠0,a≠-1

-i ? ? 1 +i ? ?1 ? ? +? ? =2 +i ? ? 1 -i ? 10.若 ? 1 ,则 n 的值可能是(

n

n

) ) ,才能使材料最省。

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 11.圆柱形金属饮料罐容积一定时,它的高与底面半径的比为(

1 A. 2

B.2

1 C. 3

D.3

3 ? ? x , x ? 0, f ? x? ? ? 2 ? ?ln ? x ? 1? , x ? 0, 若 f 2 ? x ? f ? x ? ,则实数 x 的取值范围是( 12.已知函数

?

?



A. (??, ?1) ? (2, ??)

B. (??, ?2) ? (1, ??)

C. (?1, 2)

D. (?2,1)

二、 填空题(本大题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分.把正确答案直接写在答题卷相应位置上。 ) 13.已知复数 z=(3+i)2 ,则|z|= ▲ . 14.函数 f(x)=x2-2ln x 的最小值为 ▲ . 1 1 1 n 15.已知 f(n)=1+2+3+…+n (n∈ N*) ,证明不等式 f(2n)>2 时, f(2k+ 1) 比 f(2k) 多的项数是 ▲ . 1 4 27 m 16.已知 m>0,不等式 x+x ≥2,x+x2≥3,x+x3≥4,可推广为 x+xn≥n+1, 则 m 的值为 ▲ . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 10 分)已知 1+i 是实系数方程 x2+ax+b=0 的一个根. (1)求 a,b 的值; (2)试判断 1-i 是否是方程的根.

18.(本小题满分 12 分)用数学归纳法证明: n?n+1? 12-22+32-42+…+(-1)n-1· n2=(-1)n-1· . 2

19.(本小题满分 12 分)设函数 f(x)=ln x+ln(2-x)+ax(a>0). (1)当 a=1 时,求 f(x)的单调区间;

-2-

1 (2)若 f(x)在(0,1]上的最大值为2,求 a 的值.

x2 y2 20.(本小题满分 12 分) 求椭圆25 +16 =1 围成的面积.

21.(本小题满分 12 分)已知 a 是实数,函数 f ( x) ? (Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间;

x ( x ? a) 。

(Ⅱ)求 f ( x) 在区间 ?0,2? 上的最小值 g (a ) 的表达式。

22.(本小题满分 12 分)已知数列 (Ⅰ)求

{an }

的首项

a1 ?

3 a ? 3an n ?1 2an ? 1 , n ? 1, 2, ?. 5,

{an }

的通项公式;

(Ⅱ)证明:对任意的 x ? 0 ,

an ≥

1 1 ?2 ? ? ? x? 2 ? n 1 ? x (1 ? x) ? 3 2, ?。 ? , n ? 1,

??????????????????? 线??????????????????????O

长泰一中 2014/2015 学年下学期期中考试 高二理科数学 A 卷答题卷 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13___________ 15___________ 14___________ 16___________

__________

-3-

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分 17.(本小题满分 10 分)

18.(本小题满分 12 分)

-4-

19.(本小题满分 12 分)

-5-

20.(本小题满分 12 分)

-6-

21.(本小题满分 12 分)

-7-

22.(本小题满分 12 分)

14-15 下中高二理科数学 A 卷参考答案 选择题: (每题 5 分,共 60 分) 2 3 4 5 题号 1 答案 B D B B B

6 D

7 A

8 C

9 A

10 A

11 B

12 D
-8-

12. D

2 ?2 ? x 【 解析】当 x ? 2 时 , 2? x ? 0 ,有

2 3

?

? l n? x ? ? 1

,此时因为

?2 ? x ?

2 3

? 0, ln ? x ? 1? ? 0

, 所 以 不 等 式 无 解 ; 当 0? x?

2 时 , 2 ? x2 ? 0 , 有

l n? 2 ? x 2 ? ?1 ?

n? ? 1 ?l x ,等价于

? 2 ? x 2 ? 1? x ? 1, ? ?x ?1 ? 0 , ?3 ? x 2 ? 0 , ?

解 得 ?1 ? x ? 1 , 结 合 前 提 条 件 得

2 3 0 ? x ? 1 ; 当 ? 2 ? x ? 0 时 , 2 ? x2 ? 0 , 有 ln 2 ? x ? 1 ? x , 此 时 因 为

?

?

ln ? 2 ? x 2 ? 1? ? ln ? 3 ? x 2 ? ? ln1 ? 0, x3 ? 0
2 ?2 ? x 时, 2? x ? 0 ,有
2 3

,不等式恒成立,故有 ? 2 ? x ? 0 ;当 x ? ? 2

?

? x3

2 , 即 2 ? x ? x , 解 得 ?2 ? x ? 1 , 结 合 前 提 条 件 得

?2 ? x ? ? 2 ;综上,得 ?2 ? x ? 1 .(也可用特殊值验证法)
填空题: (每题 5 分,共 20 分) 13.10 14.1 15.2k 16.nn

4 x x 4 27 x x x 27 16.解析 x+x2=2+2+x2,x+x3=3+3+3+x3,易得其展开后各项之积为定值 1,所以可 m x x x m 猜想出 x+xn=n+n+…+n+xn,也满足各项乘积为定值 1,于是 m=nn. 解答题(共六个小题,满分 70 分) 17.解:(1)∵1+i 是方程 x2+ax+b=0 的根, ∴(1+i)2+a(1+i)+b=0, 即(a+b)+(a+2)i=0.
? ? ?a+b=0, ?a=-2, ∴? ∴? ∴a,b 的值为 a=-2,b=2 ?a+2=0, ?b=2. ? ?

.………6 分

方程为 x2-2x+2=0, 把 1-i 代入方程 左边=(1-i)2-2(1-i)+2=-2i-2+2i+2=0 显然 方程成立. ∴1-i 也是方程的一个根. ………10 分 1×2 18.证明:(1)当 n=1 时,左边=1,右边=(-1)1-1× 2 =1,结论成立.……2 分 (2)假设当 n=k 时,结论成立. k?k+1? 即 12-22+32-42+…+(-1)k-1· k2=(-1)k-1· ,……4 分 2 那么当 n=k+1 时, 12-22+32-42+…+(-1)k-1k2+(-1)k(k+1)2 k?k+1? =(-1)k-1· +(-1)k(k+1)2 2 -k+2k+2 =(-1)k· (k+1) 2 ?k+1? ? k+2? =(-1)k· 2

-9-

?k+1?[?k+1?+1] =(-1)(k+1)-1· . 2 即 n=k+1 时结论也成立. 由(1)(2)可知,对一切正整数 n 都有此结论成立. ……12 分 1 1 19.解: 函数 f(x)的定义域为(0,2), f′(x)=x - +a. 2-x

……2 分

-x2+2 (1)当 a=1 时,f′(x)= ,所以 f(x)的单调递增区间为(0, 2),单调递减区间为( 2, x?2-x? 2).…7 分 2-2x (2)当 x∈(0,1]时,f′(x)= +a>0, x?2-x? 1 即 f(x)在(0,1]上单调递增,故 f(x)在(0,1]上的最大值为 f(1)=a,因此 a=2. …12 分 x2 y2 解:设椭圆25+16=1 围成的面积为 S,椭圆在第一象限内围成图形的面积为 S1,则由对称性 得 S=4S1, ……2 分 x2 y2 4 在第一象限内椭圆25+16=1 的方程可化为 y=5 25-x2,椭圆在第一象限内围成的面积为 4 4 S1=∫505 25-x2dx=5∫50 25-x2dx,……5 分 1 1 25 而∫50 25-x2dx 表示以 5 为半径的4圆的面积,从而∫50 25-x2dx=4π×52= 4 π,……10 分 4 25 所以 S1=5× 4 π=5π, 从而,S=20 π. ……12 分

? ?) , 21.解: (Ⅰ)函数的定义域为 [0,

f ?( x) ? x ?

x ? a 3x ? a ? 2 x 2 x (x ?0) .…1 分

? ? ?) . 若 a ≤ 0 ,则 f ( x) ? 0 , f ( x) 有单调递增区间 [0,
? 若 a ? 0 ,令 f ( x) ? 0 ,得

x?

a a a x? 0? x? ? f ( x ) ? 0 3 ,当 3 时, f ?( x) ? 0 . 3 时, ,当

? a? ?a ? 0, ? , ? ?? ? ? f ( x) 有单调递减区间 ? 3 ? ,单调递增区间 ? 3 ? .…6 分
2] 上单调递增,所以 g (a) ? f (0) ? 0 . (Ⅱ)若 a ≤ 0 , f ( x) 在 [0,

? a? ?a ? 0, ? 2? ? , ? 若 0 ? a ? 6 , f ( x) 在 ? 3 ? 上单调递减,在 ? 3 ? 上单调递增,

- 10 -

2a a ?a? g (a) ? f ? ? ? ? 3 3. ?3? 所以
2] 上单调递减,所以 g (a) ? f (2) ? 2(2 ? a) . 若 a ≥ 6 , f ( x) 在 [0,

a ≤ 0, ?0, ? ? 2a a g (a) ? ?? , 0 ? a ? 6, ? 3 3 ? 2(2 ? a), a ≥ 6. ? 综上所述,
? an?1 ?
22.解及证: (Ⅰ)

…12 分

? 1 1? 1 3an 1 2 1 ? ? 1 ? ? ? 1? ? ? ? 3 ? an ? 2an ? 1 , an ?1 3 3a n , an?1 ,…4 分

?1 ? 1 2 1 2 ? ? ? 1? ?1 ? a 3 , ? an ? 是以 3 为首项, 3 为公比的等比数列. 又 n
n 1 2 1 2 ? 1 ? ? n ?1 ? n ? an ? 3 3 3 3 , 3n ? 2 .注:也可计算、猜想、数归法证之。…6 分 ? an

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

an ?

3n ?0 3n ? 2 ,

1 1 ?2 ? ? ? x? 2 ? n 1 ? x (1 ? x) ? 3 ? ? 1 1 ?2 ? ? ?1?1? x ? 2 ? n 1 ? x (1 ? x) ? 3 ?

?

? 1 1 ?1 ? ? (1 ? x) ? 2 ? 1 ? x (1 ? x) ? an ?
1 1 2 ? ? 2 an (1 ? x) 1 ? x
2

??

1? 1 ? ?? ? ? an ? ? an ≤ an ? an ? 1 ? x ? , 原不等式成立.…12 分
f ( x) ?
法二:设

1 1 ?2 ? ? ? x? 2 ? n 1 ? x (1 ? x) ? 3 ?,

?2 ? ? 2 ? ?(1 ? x) 2 ? ? n ? x ??2(1 ? x) 2 ? n ? x ? 1 3 ?3 ? ? f ?( x) ? ? ? ? ? 2 2 2 (1 ? x) (1 ? x) (1 ? x) 则
- 11 -

? x ? 0 ,? 当

x?

2 2 x? n n ? 3 时, f ( x) ? 0 ;当 3 时, f ?( x) ? 0 ,

1 ?2? f ? n ?? ? an 2 2 3 ? ? x? n 1? n 3 3 时, f ( x) 取得最大值 ?当 .? 原不等式成立.

- 12 -


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