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【数学】2014版《6年高考4年模拟》:第5章 平面向量、解三角形 第1节 平面向量

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掌门 1 对 1 教育 高中数学 【数学】2014 版《6 年高考 4 年模拟》 第五章 平面向量、解三角形 平面向量 第一部分 六年高考荟萃

2013 年高考题
一、选择题 1 .(2013 年高考上海卷(理))在边长为 1 的正六边形 ABCDEF 中,记以 A 为起点,其余顶点

为终点的向量分别为 a1, a2 , a3

, a4 , a5 ; 以 D 为起点 , 其余顶点为终点的向量分别为

?? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ?

?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? d1, d2 , d3 , d4 , d5 .若 m, M 分别为 (ai ? a j ? ak ) ? (dr ? ds ? dt ) 的最小值、最大值,其中
{i, j, k} ? {1, 2,3, 4,5} , {r, s, t} ? {1, 2,3, 4,5} ,则 m, M 满足
A. m ? 0, M ? 0 答案:D. B. m ? 0, M ? 0 C. m ? 0, M ? 0 D. m ? 0, M ? 0 ( )

【解答】作图知,只有 AF ? DE ? AB ? DC ? 0 ,其余均有 ai ? dr ? 0 ,故选 D.
2 . ( 2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 辽 宁 数 学 ( 理 ) 试 题 ( WORD 版 ) ) 已 知 点

??? ? ??? ?

??? ? ????

?? ?? ?

??? ? A ?1,3? , B ? 4, ?1? , 则与向量 AB同方向的单位向量为
A. ? ,答案:A

( D. ? ? , ?



?3 ?5

4? ? 5?

B. ? ,- ?

?4 ?5

3? 5?

C. ? ? , ?

? 3 4? ? 5 5?

? 4 3? ? 5 5?

? ??? ? ??? ? 1 ??? 3 4 AB ? (3, ?4) ,所以 | AB |? 5 ,所以同方向的单位向量是 AB ? ( , ? ) ,选 A. 5 5 5
3 .(2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学(理)试题(纯 WORD 版))设 ?ABC, P 0是

边 AB 上 一 定 点 , 满 足 P0 B ?

1 AB , 且 对 于 边 AB 上 任 一 点 P , 恒 有 4

0

PB ? PC ? P0 B ? P0C .则
A. ?ABC ? 90
0



B. ?BAC ? 90

C. AB ? AC

D. AC ? BC

答案:D 以 AB 所在的直线为 x 轴,以 AB 的中垂线为 y 轴建立直角坐标系,设 AB=4,C(a,b) , P(x,0)则 BP0=1,A(﹣2,0) ,B(2,0) ,P0(1,0) 所以 因为恒有 所以(2﹣x) (a﹣x)≥a﹣1 恒成立 2 整理可得 x ﹣(a+2)x+a+1≥0 恒成立 2 所以△ =(a+2) ﹣4(a+1)≤0 2 即△ =a ≤0 所以 a=0,即 C 在 AB 的垂直平分线上 所以 AC=BC 故△ ABC 为等腰三角形 故选 D =(1,0) , =(2﹣x,0) , =(a﹣x,b) , =(a﹣1,b)

4 .(2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学(理)试题(纯 WORD 版))在四边形 ABCD

中, AC ? (1, 2) , BD ? (?4, 2) ,则四边形的面积为 A. 5 B. 2 5 C .5 D.10

????

??? ?





答案:C 由题意,容易得到 AC ? BD .设对角线交于 O 点,则四边形面积等于四个三角形面积之 和 即 S=

1 1 ( AO * DO ? AO * BO ? CO * DO ? CO * BO) ? ( AC * BD ) . 容 易 算 出 2 2

AC ? 5, BD ? 2 5 ,则算出 S=5.故答案 C
5 .(2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学(理)试题(纯 WORD 版))在平面直角坐

OB ? 2, 则 点 集 标 系 中 , O 是 坐 标 原 点 , 两 定 点 A, B 满 足 OA ? OB ? OA?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

?

??? ? ??? ? ??? ? P | OP ? ? OA ? ? OB, ? ? ? ? 1, ? , ? ? R 所表示的区域的面积是

?





A. 2 2 答案:D

B. 2 3

C. 4 2

D. 4 3

若A, B, C三点共线 , P是线外一点则 PA ? ? PB ? ? PC, 其中? ? ? ? 1.
在本题中, OA ? OB ?| OA | ? | OB | ? cos ? ? 4 cos ? ? 2 ? ? ? 建立直角坐标系,设 A(2,0), B(1 3).则当? ? 0, ? ? 0,? ? ? ? 1时,P在三角形 OAB内(含边界).

?
3

.

根据对称性,所求区域 的面积S ? 4 ? 三角形OAB的面积 ? 4 3
所以选 D
6 . ( 2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 重 庆 数 学 ( 理 ) 试 题 ( 含 答 案 ) ) 在 平 面

上, AB1 ? AB2 , OB1 ? OB2 ? 1 , AP ? AB1 ? AB2 .若 OP ? 是 A. ? 0, 答案:D

????

???? ?

????

???? ?

??? ? ???? ???? ?

??? ?

??? ? 1 ,则 OA 的取值范围 2
( )

? ? ?

5? ? 2 ?

B. ?

? 5 7? ? 2 , 2 ? ? ?

C. ?

? 5 ? , 2 ? ? 2 ? ?

D. ?

? 7 ? , 2 ? ? 2 ? ?

【命题立意】本题考查平面向量的应用以及平面向量的基本定理。因为 AB1 ? AB2 ,所以 将在直角坐标系中取点 A, B1 , B2 ,因为 OB1 ? OB2 ? 1 ,所以过点 B1 , B2 作一个半径为 1 的 单 位 圆 , 圆 心 为

????

???? ?

????

???? ?

O ( a,

b .) 设

B1 (0, y), B2 ( x,0)







???? ???? ? ??? ? ???? ???? ? AP ? AB1 ? AB2 ,所以 P( x, y ) 。因为 OB1 ? OB2 ? 1 ,所以
2 2 2 ( x ? a)2 ? b2 ? 1, a2 ? ( y ? b)2 ? 1 , 两 式 相 加 得 ( x ? a) ? ( y ? b2 ) ?b ?a ?, 2 又
2 O P ? ( x? a ) ? ( y? 2 b ) , OA ?

2

a? ,2所以 b OP ? OA ? 2 , 即 OA ? 2 ? OP ,

2

2

2

2

所以 OA ?

??? ? 1 ??? ?2 1 ??? ?2 1 2 2 ? OP ,因为 OP ? ,所以 OP ? ,即 2 ? ? 2 ? OP ? 2 ,即 2 4 4

??? ?2 ??? ? ??? ?2 7 7 7 ? 2 ? OP ? 2 ,所以 ? OA ? 2 ,所以 OA 的取值范 ? 2 ? OP ? 2 ,即 4 2 4
围是 (

7 , 2] ,选 D. 2

b ? 0 .若向量 7 . ( 2013 年 高 考 湖 南 卷 ( 理 ) ) 已 知 a , b 是 单 位 向 量 , a?

c 满足
( )

c ? a ? b ? 1, 则 c 的取值范围是
, 2+1? A. ? 2-1, ? ? , 2+1? C. ?1, ? ?
答案:A

, , 2+2? B. ? 2-1 ? ? , 2+2 ? D. ?1, ? ? ? ? 2 ,不妨

本题考查数量积的应用。因为 a ? b ? 0 ,即 a ? b ,又 a ? b ? 1 ,所以 a ? b ?

? ?

?

?

?

?

让 a, b 固定,设 u ? a ? b ,则 c ? u ? 1,即 c 的终点在以 u 对应点为圆心,半径为 1 的圆 上。 则当 c 与 u 方向相同时, c

? ?

?

? ?

? ?

?

?

?

?

?

max

? ? ? ? 2 ? 1, 当 c 与 u 方向相反时, c

min

? ? 2 ?1 , 所以 c

, 2+1? ,选 A. 的取值范围是 ? 2-1, ? ?
8 .(2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理)WORD 版含答案(已校对))已知向

量 m ? ? ? ? 1,1? , n ? ? ? ? 2, 2 ? ,若 m ? n ? m ? n ,则 ? = A. ? 4 答案:B 因为 所以 因为 所以 B. ? 3 , =(2λ+3,3) , , =0, C. ? 2 . . D. -1

??

?

?

?? ?

? ?

?? ?

?





所以﹣(2λ+3)﹣3=0,解得 λ=﹣3.故选 B.
9 . (2013 年高考湖北卷 (理) )已知点 A ? ?1,1? . B ?1, 2 ? . C ? ?2, ?1? . D ? 3, 4 ? ,则向量 AB

??? ?

在 CD 方向上的投影为

??? ?





A.

3 2 2

B.

3 15 2

C. ?

3 2 2

D. ?

3 15 2

答案:A 本 题 考 查 向 量 的 投 影 以 及 数 量 的 坐 标 运 算 。 因 为 AB ? (2,1), CD ? (5,5) , 所 以

??? ?

??? ?

??? ? ? ? ?? ? ? ?? CD A B? C D ?( 2 , 1) ? (5, 5 ?) ,1 5 ? 52 ? 52 ? 5 2 。所以向量 AB 在 CD 方向上的投影 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AB ? CD 15 3 2 为 AB cos ? AB, CD ?? ??? ,选 A. ? ? ? 2 5 2 CD
二、填空题 10.(2013 年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学(理)(纯 WORD 版含答案))已知正

方形 ABCD 的边长为 2 , E 为 CD 的中点,则 AE ?BD ? _______. 答案:2 因为已知正方形 ABCD 的边长为 2,E 为 CD 的中点,则 故 ﹣ = ( =4+0﹣0﹣ ) ( ? ) = ( ) ( ? ) = =0, ﹣ +

??? ? ??? ?

=2,故答案为 2.

??? ? 11. (2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学(理)试题(含答案))已知向量 与 AB
的夹角为 120 °,且 AB ? 3 , AC ? 2 ,若 AP ? ? AB ? AC ,且 AP ? BC , 则实数 ? 的值为__________. 答案: 向 量

???? AC

??? ?

????

??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

7 12 ??? ? AB



???? AC

的 夹 角 为

120?

, 且

??? ? |A B ?|

??? ? 3 ? A , |C 所 | 以 2 ,

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ??? ? ??? ? A ?B A ? C ?A c B o s? A 1 C 2 ?0 ? ?。 由 3? A P 2? ? B ?C 3得 , A P? B C ?0 ,即 2 ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ???? 2 ??? ?2 ??? ? ???? A P? B C?(? A B ? A )C ?( A? C )A ? B, 0 所 以 AC ? ? AB ? (? ? 1) AB ? AC ? 0 , 即

?? 4 ? 9? ? 3? ( ? 1) ? ,解得 0
则 t=_____. 答案: t = 2 . 因为 ,

7 。 12

12( .2013 年高考新课标 1 (理) ) 已知两个单位向量 a,b 的夹角为 60°,c=ta+(1-t)b,若 b·c=0,

,所以 =0,解得 t=2.故答案为 2.

=0,

所以 tcos60° +1﹣t=0,所以 1

13. (2013 年高考北京卷 (理) ) 向量 a,b,c 在正方形网格中的位置如图所示.若 c=λ a+μ b

(λ ,μ ∈R),则

? =_________. ?

b

a
答案:4

c

以向量 、 的公共点为坐标原点,建立如图直角坐标系 可得 =(﹣1,1) , =(6,2) , =(﹣1,﹣3) 因为

所以

,解之得 λ=﹣2 且 μ=﹣

因此,

=

=4

故答案为:4

14.(2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学(理)试题(纯 WORD 版))设 e1 , e2 为

单位向量,非零向量 b ? xe1 ? ye2 , x, y ? R ,若 e1 , e2 的夹角为 ________. 答案:2 |x| |x| |x| = = = |b| (xe1+ye2)2 x2+y2+ 3xy 的最大值为 2

|x| ? ,则 的最大值等于 6 |b|

= x +y + 3xy x2
2 2

1

1
2

?y? + 3y+1 ?x? x

=

|x| , 所以 | b| ?y? 3 ? +1 ?x 2 ? 4
2

1

15. (2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷 (数学) (已校对纯 WORD 版含附加题) )

设 D,E 分 别 是 ?A B C 的 边 AB,BC 上 的 点 , AD ?

1 2 AB , BE ? BC , 若 2 3

DE ? ?1 AB ? ?2 AC ( ?1,?2 为实数),则 ?1 ? ?2 的值为__________.
答案:

1 2

易知 DE ?

? 2 ??? ? 1 ??? ? 2 ???? ??? ? ? 2 ???? 1 ??? 1 ??? AB ? BC ? AB ? AC ? AB ? ? AB ? AC 2 3 2 3 6 3

?

?

所以 ?1 ? ?2 ?

1 2

16 . ( 2013 年高 考 四 川卷( 理 ) ) 在平行四边形 ABCD 中 , 对角线 AC 与 BD 交于点

??? ? ???? ???? O , AB ? AD ? ? AO ,则 ? ? _________.
答案:2 因为四边形 ABCD 为平行四边形,对角线 AC 与 BD 交于点 O, 所以 + = ,

又 O 为 AC 的中点, 所以 所以 因为 =2 + + , =2 =λ , ,

所以 λ=2.

故答案为:2.
17 . ( 2013 年 高 考 江 西 卷 ( 理 ) ) 设

e1 , e2 为 单 位 向 量 . 且 e1 , e2 的 夹 角 为

? ,若 3

a ? e1 ? 3e2 , b ? 2e1 ,则向量 a 在 b 方向上的射影为 ___________
答案:

5 2

本题考查向量的投影的概念,以及平面向量的数量积的运算。向量 a 在 b 方向上的射影

?

?

? ? ? ? ?? ?? ? ?? ?? 2 ?? ?? ? ? ? ? 1 a ?b ? a ? b ? (e1 ? 3e2 ) ? 2e1 ? 2e1 ? 6e1 ? e2 ? 2 ? 6 ? ? 5 , 为 a cos ? a, b ?? ? 。b ? 2 , 2 b

? ? ? ? a ?b 5 所以向量 a 在 b 方向上的射影为 ? ? 。 2 b
18.(2013 年普通高等学校招生统一考试天津数学(理)试题(含答案))在平行四边形 ABCD ???? ??? ? BE ? 1 , 则 AB 的长为______. 中, AD = 1, ?BAD ? 60? , E 为 CD 的中点. 若 AD·

答案:

1 2

? ??? ? ??? ? ??? ? ???? 1 ???? ???? 1 ??? ? ???? ???? ??? 因为 E 为 CD 的中点,所以 BE ? BC ? CE ? AD ? DC ? AD ? AB . AC ? AD ? AB 因为 2 2 ???? ??? ? ???? ??? ? ???? 1 ??? ? ???? ??? ? ???? 2 1 ??? ? 2 1 ??? ? ???? AC· BE ? 1 , 所 以 AC· BE ? ( AD ? AB) ? ( AD ? AB) ? AD ? AB ? AB ? AD ? 1 , 即 2 2 2 ? 2 1 ??? ? ? 2 1 ??? ? ??? ? 1 1 ??? 1 ??? 1 ? AB ? AB cos60? ? 1 ,所以 ? AB ? AB ? 0 ,解得 AB ? 。 2 2 2 4 2

2012 年高考题
1.[2012· 浙江卷] 设 a,b 是两个非零向量( ) A.若|a+b|=|a|-|b|,则 a⊥b B.若 a⊥b,则|a+b|=|a|-|b| C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数 λ,使得 b=λa D.若存在实数 λ,使得 b=λa,则|a+b|=|a|-|b| 答案:C [解析] 本题主要考查平面向量的相关概念与性质以及应用等基础知识,考查学生 基本能力和素质. 法一:对于选项 A,若|a+b|=|a|-|b|可得 a· b=-|a||b|,则 a 与 b 为方向相反的向量, A 不正确;对于选项 B,由 a⊥b,得 a· b=0,由|a+b|=|a|-|b|,得 a· b=-|a||b|,B 不正确; 对于选项 C, 若|a+b|=|a|-|b|可得 a· b=-|a||b|, 则 a 与 b 为方向相反的共线向量, ∴b=λa; 对于选项 D,若 b=λa,当 λ>0 时,|a+b|=|a|+|b|,当 λ<0 时,可有|a+b|=|a|-|b|,故不正 确. 法二:特值验证排除.先取 a=(2,0),b=(-1,0),满足|a+b|=|a|-|b|,但两向量不 垂直,故 A 错;再取 a=(2,0),b=(1,0),满足 a=λb,但不满足|a+b|=|a|-|b|,故 D 错;取 a=(2,0),b=(0,-1),满足 a⊥b,但不满足|a+b|=|a|-|b|,故 B 错,所以答案 为 C. → → → 2.[2012· 广东卷] 若向量BA=(2,3),CA=(4,7),则BC=( A.(-2,-4) B.(2,4)C.(6,10) D.(-6,-10) → → → → 答案:A [解析] ∵BC=BA-CA,∴BC=(2,3)-(4,7)=(-2,-4),所以选择 A. → → 3.[2012· 全国卷] △ ABC 中,AB 边的高为 CD,若CB=a,CA=b,a· b=0,|a|=1,|b|=2, → 则AD=( 1 1 2 2 )A. a- b B. a- b 3 3 3 3 3 3 C. a- b 5 5 4 4 D. a- b 5 5 )

答案:D [解析] 本小题主要考查平面向量的基本定理,解题的突破口为设法用 a 和 b 作为

2 5 → 基底去表示向量AD.易知 a⊥b,|AB|= 5,用等面积法求得|CD|= , 5 4 5 → 4→ 4 ∵AD= AC2-CD2= ,AB= 5,∴AD= AB= (a-b),故选 D. 5 5 5 → 4.[2012· 安徽卷] 在平面直角坐标系中,点 O(0,0),P(6,8),将向量OP绕点 O 按逆时针方向 3π → 旋转 后得向量OQ,则点 Q 的坐标是( 4 )

A.(-7 2,- 2) B.(-7 2, 2) C.(-4 6,-2) D.(-4 6,2) 3 → 答案:A [解析]设∠POx=α,因为 P(6,8),所以OP=(10cosα,10sinα)?cosα= ,sinα= 5 4 → ?θ+3π?,10cos?θ+3π??=(-7 2,- 2).故答案为 A. ,则OQ=? 10cos 4? 4 ?? ? ? ? 5 5.[2012· 江西卷] 在直角三角形 ABC 中,点 D 是斜边 AB 的中点,点 P 为线段 CD 的中点, |PA|2+|PB|2 则 =( |PC|2 )A.2 B.4 C.5 D.10

答案:D [解析] 考查向量基本定理、向量的线性运算、向量的数量积及其应用,考查化归 转化能力. 解题的突破口是建立平面直角坐标系转化为平面向量坐标运算问题求解, 或利用 平面向量基本定理,将问题转化为只含基底的两个向量的运算问题求解. → 1 → → → 1 → → 方法一:∵D 是 AB 中点,∴CD= (CA+CB).∵P 是 CD 中点,∴CP= (CA+CB), 2 4 3→ 1→ → → → 1→ 3→ → → → ∴AP=CP-CA=- CA+ CB,BP=CP-CB= CA- CB. 4 4 4 4 9→ 1→ 1→ 9→ 1→ 1→ → → → → → ∵CA· CB=0,∴AP2= CA2+ CB2,BP2= CA2+ CB2,CP2= CA2+ CB2, 16 16 16 16 16 16 ∴ |PA|2+|PB|2 =10. |PC|2

→ → → → → → → → → →2 → 方法二: ∵D 是 AB 中点, ∴PA+PB=2PD,PA-PB=BA, ∴PA2+2PA· PB+PB =4PD
2

→ → → →2 →2 ,PA2-2PA· PB+PB =BA ,∴2(|PA|2+|PB|2)=4|PD|2+|AB|2.∵D 是 AB 的中点,∴2|CD|
2 2 2

|PA|2+|PB|2 =|AB|.∵P 是 CD 中点,∴|CD|=2|PC|,∴|PA| +|PB| =10|CP| ,故 =10. |PC|2 方法三:以 C 为坐标原点,AC,BC 所在的直线为 x 轴,y 轴,建立平面直角坐标系,
2 2 a b? a b 9a2 b2 9b2 a2 10?a +b ? , ,P? , ?,|PA|2+|PB|2= + + + = 设 A(a,0),B(0,b),则 D? , ?2 2? ?4 4? 16 16 16 16 16

而|PC|2=

a2+b2 |PA|2+|PB|2 ,故 =10. 16 |PC|2

6.[2012· 重庆卷] 设 x,y∈R,向量 a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且 a⊥c,b∥c,则 |a+b|=( )A. 5 B. 10C.2 5 D.10 答案:B [解析] 因为 a⊥c,所以 a· c=0,即 2x-4=0,解得 x=2,由 b∥c,得-4=2y, 解得 y=-2, 所以 a=(2,1), b=(1, -2), 所以 a+b=(3, -1), 所以|a+b|= 32+?-1?2 = 10.

π 7.[2012· 上海卷] 在平行四边形 ABCD 中,∠A= ,边 AB、AD 的长分别为 2、1.若 M、N 3 → → |BM| |CN| → → 分别是边 BC、CD 上的点,且满足 = ,则AM· AN的取值范围是________. → → |BC| |CD| → → → → → 答案:[2,5] [解析] 令BM=nBC(0≤n≤1),则DN=(1-n)DC,在平行四边形 ABCD 中,AM → → → → → → → → → → → =AB+nAD,AN=AD+(1-n)AB,所以AM· AN=(AB+nAD)· [AD+(1-n)AB] =-n2-2n+5,而函数 f(n)=-n2-2n+5 在[0,1]上是单调递减的,其值域为[2,5], → → 所以AM· AN的取值范围是[2,5]. 8.[2012· 辽宁卷] 已知两个非零向量 a,b 满足|a+b|=|a-b|,则下面结论正确的是( ) A.a∥b B.a⊥bC.|a|=|b| D.a+b=a-b 答案:B [解析] 本小题主要考查向量的数量积以及性质.解题的突破口为对于模的理解, 向量的模平方就等于向量的平方. (a+b)2=(a-b)2? 因为|a+b|=|a-b|? a· b=0,所以 a⊥b,答案选 B. 9.[2012· 课标全国卷] 已知向量 a,b 夹角为 45° ,且|a|=1,|2a-b|= 10,则|b|=________. 2 [答案] 3 2[解析] 由|2a-b|= 10,得 4a -4a· b+b2=10,得 4-4× |b|× cos45° +|b|2=10, 即-6-2 2|b|+|b|2=0,解得|b|=3 2或|b|=- 2(舍去). 10.[2012· 江苏卷] 如图 1-3,在矩形 ABCD 中,AB= 2,BC=2,点 E 为 BC 的中点,点 F → → → → 在边 CD 上,若AB· AF= 2,则AE· BF的值是________. 答案: 2 [解析] 本题考查几何图形中的向量的数量积的求解,解题突破口为合理建立平 面直角坐标系,确定点 F 的位置.以点 A 为坐标原点,AB 所在直线为 x 轴建立平面直角坐 → → 标系,则AB=( 2,0).设AF=(x,2),则由条件得 2x= 2,得 x=1, → → → → 从而 F(1,2),AE=( 2,1),BF=(1- 2,2),于是AE· BF= 2. 11.[2012· 安徽卷] 若平面向量 a,b 满足|2a-b|≤3,则 a· b 的最小值是________. 9 答案:- 8 [解析] 本题考查平面向量的数量积,模的有关运算.

因为|2a-b|≤3,所以|2a-b|2=(2a-b)2=4|a|2-4a· b+|b|2≤9.所以 9+4a· b≥4|a|2+ |b|2.又由均 9 值不等式得 4|a|2+|b|2≥4|a||b|≥-4a· b,所以 9+4a· b≥-4a· b,解得 a· b≥- ,当且仅当 2|a|= 8 9 |b|且 a,b 方向相反,即 b=-2a 时取等号,故 a· b 的最小值为- . 8 α· β 12.[2012· 广东卷] 对任意两个非零的平面向量 α 和 β,定义 α? β= .若平面向量 a,b 满足 β· β
? n? ? π? ? ? |a|≥|b|>0,a 与 b 的夹角 θ∈? ?0,4?,且 a? b 和 b? a 都在集合? 2?n∈Z?中,则 a? b=(

)

1 A. 2

3 B.1C. 2

5 D. 2

答案:C [解析] 本题考查平面向量的数量积的运算以及向量的新定义,突破口是通过新定

a· b |a||b|cosθ |a|cosθ 2 义把问题转化为熟悉的问题解决.根据新定义得:a? b= = = ≥cosθ> , b· b |b||b| |b| 2
? n ? b· a |a||b|cosθ |b|cosθ ?中,所以 b? a= b? a= = = ≤cosθ<1,且 a? b 和 b? a 都在集合? 2? n ∈ Z a· a |a||a| |a| ? ? ?

|b|cosθ 1 |b| 1 |a|cosθ 3 = , = ,所以 a? b= =2cos2θ<2,所以 1<a? b<2,所以 a? b= .所以选 |a| 2 |a| 2cosθ |b| 2 择 C. → → 13.[2012· 北京卷] 已知正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 是 AB 边上的动点,则DE· CB的值 → → 为________.DE· DC的最大值为________. 答案:1 1 [解析] 本题考查平面向量的数量积,平面向量的投影等基础知识.

→ → → → → → → → 法一:投影法:设向量DE,DA的夹角为 θ,则DE· CB=DE· DA=|DE|· |DA|cosθ,由图可知, → → → → → → → |DE|cosθ=|DA|,所以原式等于|DA|2=1,要使DE· DC最大只要使向量DE在向量DC上的投影 → → → → → → 达到最大即可, 因为DE在向量DC上的投影达到最大为|DC|=1, 所以(DE· DC)max=|DC|2=1; → → → → → → → → → → → → → → 法二:因为DE=DA+AE且DA⊥AE,所以DE· CB=(DA+AE)· DA=|DA|2=1,DE· DC=(DA → → → → → → → → → → +AE)· AB=AB· AE=|AB||AE|=|AE|,所以要使DE· DC最大,只要|AE|最大即可,明显随着 E → → → 点在 AB 边上移动|AE|max=1,故(DE· DC)max=1. → → 法三:以 D 为坐标原点,DC与DA所在直线分别为 x,y 轴建立平面直角坐标系,如图所示, → → → → 可知 E(x,1),0≤x≤1,所以DE=(x,1),CB=(0,1),可得DE· CB=x× 0+1× 1=1. → → → → → 因为DC=(1,0),所以DE· DC=x,因为 1≥x≥0,所以(DE· DC)max=1.

14. [2012· 重庆卷] 设 x,y∈R,向量 a=(x,1),b=(1,y),c=(2,-4),且 a⊥c,b∥c,则 |a+b|=( )A. 5 B. 10C.2 5 D.10

答案:B

[解析] 因为 a⊥c,所以 a· c=0,即 2x-4=0,解得 x=2,由 b∥c,得-4=2y,

解得 y=-2, 所以 a=(2,1), b=(1, -2), 所以 a+b=(3, -1), 所以|a+b|= 32+?-1?2 = 10. → → 15.[2012· 浙江卷] 在△ ABC 中,M 是 BC 的中点,AM=3,BC=10,则AB· AC=________. 答案:-16 [解析] 本题主要考查平面几何的性质、平面向量的线性运算与数量积. → → → → → → → → → → → → →2 法一:AB· AC=(MB-MA)· (MC-MA)=MB· MC-MB· MA-MA· MC+MA =5× 5× cos180° - 5× 3× cos∠BMA-3× 5× cos∠AMC+32=-16,故应填-16. 法二:特例法:假设△ ABC 是以 AB、AC 为腰的等腰三角形,如图,

34+34-100 8 → → → → AM=3,BC=10,AB=AC= 34,cos∠BAC= =- ,AB· AC=|AB|· |AC 2× 34 17 |· cos∠BAC=-16.[点评] 对平面向量进行正确的线性分解是解决本题的关键,同时注意向 量的夹角之间的关系与应用. → → 16.[2012· 湖南卷] 在△ ABC 中,AB=2,AC=3,AB· BC=1,则 BC=( )

A. 3 B. 7 C.2 2 D. 23 答案:A [解析] 考查向量的数量积运算和解三角形,主要是余弦定理的运用,是此题的关 → → 键.由AB· BC=1 可得 2|BC|cos(180° -B)=1,即 2|BC|cosB=-1,又由三角形的余弦定理可 得 32=|BC|2+22-2× 2|BC|cosB,把 2|BC|cosB=-1 代入,解得 9=|BC|2+4+2, 即|BC|= 3,故选 A. → → → 17.[2012· 天津卷] 已知△ ABC 为等边三角形,AB=2,设点 P,Q 满足AP=λAB,AQ=(1 3 → → → -λ)AC,λ∈R.若BQ· CP=- ,则 λ=( 2 1 )A. 2 -3± 2 2 1± 2 1± 10 B. C. D. 2 2 2

答案:A [解析] 本题考查平面向量基本定理及向量的数量积的运算,考查数据处理能力, → → → → → → → → → → 中档题.BQ· CP=(AQ-AB)· (AP-AC)=[(1-λ)AC-AB]· (λAB-AC) 3 1 → → → → -λ?λ+1]AB =-(1-λ)AC2-λAB2+[? 1 · AC=-2λ2+2λ-2=- ,解之得 λ= . 2 2 18.[2012· 浙江卷] 设 a,b 是两个非零向量( ) A.若|a+b|=|a|-|b|,则 a⊥b B.若 a⊥b,则|a+b|=|a|-|b| C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数 λ,使得 b=λa D.若存在实数 λ,使得 b=λa,则|a+b|=|a|-|b| 答案:C [解析] 本题主要考查平面向量的相关概念与性质以及应用等基础知识,考查学生 基本能力和素质. 法一:对于选项 A,若|a+b|=|a|-|b|可得 a· b=-|a||b|,则 a 与 b 为方向相反的向量,A 不

正确;对于选项 B,由 a⊥b,得 a· b=0,由|a+b|=|a|-|b|,得 a· b=-|a||b|,B 不正确;对 于选项 C,若|a+b|=|a|-|b|可得 a· b=-|a||b|,则 a 与 b 为方向相反的共线向量,∴b=λa; 对于选项 D,若 b=λa,当 λ>0 时,|a+b|=|a|+|b|,当 λ<0 时,可有|a+b|=|a|-|b|,故不正 确. 法二:特值验证排除.先取 a=(2,0),b=(-1,0),满足|a+b|=|a|-|b|,但两向量不垂直, 故 A 错;再取 a=(2,0),b=(1,0),满足 a=λb,但不满足|a+b|=|a|-|b|,故 D 错;取 a=(2,0),b=(0,-1),满足 a⊥b,但不满足|a+b|=|a|-|b|,故 B 错,所以答案为 C. a b 19.[2012· 四川卷] 设 a, b 都是非零向量, 下列四个条件中, 使 = 成立的充分条件是( |a| |b| A.a=-b B.a∥bC.a=2b D.a∥b 且|a|=|b| 答案:C a b [解析] 要使得 = ,在 a,b 都为非零向量的前提下,必须且只需 a、b 同向即 |a| |b| )

可,对照四个选项,只有 C 满足这一条件. 20.[2012· 山东卷] 如图 1-4 所示,在平面直角坐标系 xOy 中,一单位圆的圆心的初始位置 在(0,1),此时圆上一点 P 的位置在(0,0),圆在 x 轴上沿正向滚动,当圆滚动到圆心位于(2,1) → 时,OP的坐标为________.

答案:(2-sin2,1-cos2) [解析] 本题考查向量坐标运算与三角函数,考查数据处理能力与 创新意识,偏难.根据题意可知圆滚动了 2 个单位弧长,点 P 旋转了 2 弧度.结合图象, 设滚动后圆与 x 轴的交点为 Q,圆心为 C2,作 C2M⊥y 轴于 M,∠PC2Q=2,∠PC2M=2 π? π ? π? - ,∴点 P 的横坐标为 2-1× cos? ?2-2?=2-sin2,点 P 的纵坐标为 1+1×sin?2-2?=1- 2 cos2. x2 21. [2012· 陕西卷] 已知椭圆 C1: +y2=1,椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴,且与 C1 有相同的 4 → 离心率.(1)求椭圆 C2 的方程;(2)设 O 为坐标原点,点 A,B 分别在椭圆 C1 和 C2 上,OB= → 2OA,求直线 AB 的方程. y2 x2 解:(1)由已知可设椭圆 C2 的方程为 2+ =1(a>2), a 4 其离心率为 a2-4 3 3 y2 x2 ,故 = ,则 a=4,故椭圆 C2 的方程为 + =1. 2 a 2 16 4

(2)解法一:A,B 两点的坐标分别记为(xA,yA),(xB,yB), → → 由OB=2OA及(1)知,O,A,B 三点共线且点 A,B 不在 y 轴上,因此可设直线 AB 的方程为 x2 4 y=kx.将 y=kx 代入 +y2=1 中,得(1+4k2)x2=4,所以 x2 , A= 4 1+4k2

y2 x2 16 将 y=kx 代入 + =1 中,得(4+k2)x2=16,所以 x2 , B= 16 4 4+k2 16 16 → → 2 又由OB=2OA,得 x2 ,解得 k=± 1,故直线 AB 的方程为 y=x 或 y 2= B=4xA,即 4+k 1+4k2 =-x. 解法二:A,B 两点的坐标分别记为(xA,yA),(xB,yB), → → 由OB=2OA及(1)知,O,A,B 三点共线且点 A,B 不在 y 轴上,因此可设直线 AB 的方程为 y=kx. x2 4 将 y=kx 代入 +y2=1 中,得(1+4k2)x2=4,所以 x2 , A= 4 1+4k2 16 16k2 → → 2 由OB=2OA,得 x2 = , y = , 2 B B 1+4k 1+4k2 4+k2 y2 x2 2 将 x2 , y 代入 + = 1 中,得 =1,即 4+k2=1+4k2, B B 16 4 1+4k2 解得 k=± 1,故直线 AB 的方程为 y=x 或 y=-x. x2 y2 22.[2012· 福建卷] 如图,椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点为 F1,右焦点为 F2,离心率 a b 1 e= ,过 F1 的直线交椭圆于 A、B 两点,且△ ABF2 的周长为 8.(1)求椭圆 E 的方程;(2)设动 2 直线 l:y=kx+m 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P,且与直线 x=4 相交于点 Q.试探究:在 坐标平面内是否存在定点 M,使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M?若存在,求出点 M 的坐标; 若不存在,说明理由.

答案:解:解法一: (1)因为|AB|+|AF2|+|BF2|=8,即|AF1|+|F1B|+|AF2|+|BF2|=8, 1 c 1 又|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a,所以 4a=8,a=2.又因为 e= ,即 = ,所以 c=1, 2 a 2 x2 y2 所以 b= a2-c2= 3.故椭圆 E 的方程是 + =1. 4 3 y=kx+m, ? ?2 2 (2)由?x y 得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0. + = 1 , ? ?4 3 因为动直线 l 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P(x0,y0),所以 m≠0 且 Δ=0, 即 64k2m2-4(4k2+3)(4m2-12)=0,化简得 4k2-m2+3=0.(*) 4k 3 4km 4k 3 - , ?. 此时 x0=- 2 =- ,y0=kx0+m= ,所以 P? ? m m? m m 4k +3
?x=4, ? 由? 得 Q(4,4k+m). ? ?y=kx+m

假设平面内存在定点 M 满足条件,由图形对称性知,点 M 必在 x 轴上. → → 设 M(x1,0),则MP· MQ=0 对满足(*)式的 m、k 恒成立. 4k 3 → → → → - -x1, ?,MQ=(4-x1,4k+m),由MP· 因为MP=? MQ=0, m? ? m 16k 4kx1 12k 得- + -4x1+x2 +3=0, 1+ m m m k 整理,得(4x1-4) +x2 -4x1+3=0.(**) m 1
? ?4x1-4=0, 由于(**)式对满足(*)式的 m,k 恒成立,所以? 2 解得 x1=1. ?x1-4x1+3=0, ?

故存在定点 M(1,0),使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M. 解法二:(1)同解法一. y=kx+m, ? ?2 2 (2)由?x y 得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0. + = 1 , ? ?4 3 因为动直线 l 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P(x0,y0),所以 m≠0 且 Δ=0, 即 64k2m2-4(4k2+3)(4m2-12)=0,化简得 4k2-m2+3=0.(*) 4k 3 4km 4k 3 - , ?. 此时 x0=- 2 =- ,y0=kx0+m= ,所以 P? ? m m? m m 4k +3
?x=4, ? 由? 得 Q(4,4k+m). ? ?y=kx+m,

假设平面内存在定点 M 满足条件,由图形对称性知,点 M 必在 x 轴上. 取 k=0,m= 3,此时 P(0, 3),Q(4, 3),以 PQ 为直径的圆为(x-2)2+(y- 3)2 3? 1 =4,交 x 轴于点 M1(1,0),M2(3,0);取 k=- ,m=2,此时 P? ?1,2?,Q(4,0),以 PQ 为直 2 5?2 ? 3?2 45 径的圆为? 交 x 轴于点 M3(1,0), M4(4,0). 所以若符合条件的点 M 存在, ?x-2? +?y-4? =16, 则 M 的坐标必为(1,0). 以下证明 M(1,0)就是满足条件的点: 4k 3 → → - -1, ?,MQ=(3,4k+m), 因为 M 的坐标为(1,0),所以MP=? m? ? m 12k 12k → → 从而MP· MQ=- -3+ +3=0, m m → → 故恒有MP⊥MQ,即存在定点 M(1,0),使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M.

2011 年高考题
一、选择题 1.(四川理 4)如图,正六边形 ABCDEF 中, BA ? CD ? EF =

??? ? ??? ? ??? ?

A.0 【答案】D

B. BE C. AD D. CF

??? ?

????

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? BA ? CD ? EF ? BA ? AF ? EF ? BF ? EF ? CE ? EF ? CF 【解析】

????? ????? A A A A A A ? ? A1 A2 1 2 3 4 1 3 2. (山东理 12) 设 , , , 是平面直角坐标系中两两不同的四点, 若
1 1 ????? ????? ? ?2 A A A A A A ? ? A1 A2 (μ∈R),且 ? ? (λ∈R), 1 4 ,则称 3 , 4 调和分割 1 , 2 ,已知平
面上的点 C,D 调和分割点 A,B 则下面说法正确的是 A.C 可能是线段 AB 的中点 B.D 可能是线段 AB 的中点 C.C,D 可能同时在线段 AB 上 D.C,D 不可能同时在线段 AB 的延长线上 【答案】D 3.(全国新课标理 10)已知 a,b 均为单位向量,其夹角为 ? ,有下列四个命题

p1 :| a ? b |? 1 ? ? ? [0,

2? ) 3

p2 : | a? b? | ? 1 ??

p13 :| a ? b |? 1 ? ? ? [0, ) 3
其中真命题是 (A)

?

2? ( ?, ] 3

p4 :| a ? b |? 1 ? ? ? ( , ? ] 3

?

p1, p4

(B)

p1 , p3

(C)

p2 , p3

(D)

p2 , p4

【答案】A

1 c a b a ? c, b ? c 60 0 4.(全国大纲理 12)设向量 a,b,c 满足 = =1, a ?b = 2 , = ,则 ?
的最大值等于 A.2 【答案】A 5.(辽宁理 10)若 a , b , c 均为单位向量,且 a ? b ? 0 , (a ? c) ? (b ? c) ? 0 ,则 | a ? b ? c | 的最大值为 (A) 2 ? 1 【答案】B 6.(湖北理 8)已知向量 a=(x+z,3),b=(2,y-z),且 a⊥ b.若 x,y 满足不等式 则 z 的取值范围为 A.[-2,2] 【答案】D B.[-2,3] C.[-3,2] D.[-3,3] (B)1 (C) 2 (D)2 B. 3 C. 2 D.1

x ? y ?1



7.(广东理 3)若向量a,b,c满足a∥b且a⊥b,则 c ? (a ? 2b) ? A.4 【答案】D B.3 C.2 D.0

?0 ? x ? 2 ? ?y ? 2 ? x ? 2y 8.(广东理 5)已知在平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组 ? 给定。若

???? ? ??? ? M ( x, y) 为 D 上的动点,点 A 的坐标为 ( 2,1) ,则 z ? OM ? OA 的最大值为 C
A. 4 2 【答案】 B. 3 2 C.4 D.3

9.(福建理 8)已知 O 是坐标原点,点 A(-1,1)若点 M(x,y)为平面区域

?x ? y ? 2 ? ?x ? 1 ?y ? 2 ?

,上

??? ? ???? ? 的一个动点,则 OA · OM 的取值范围是
A.[-1.0] 【答案】C 二、填空题 B.[0.1] C.[0.2] D.[-1.2]

10.(重庆理 12)已知单位向量 【答案】 3

e1 , e2 的夹角为 60°,则 2e1 ? e2 ? __________

11.(浙江理 14)若平面向量α ,β 满足|α |=1,|β |≤1,且以向量α ,β 为邻边的

1 平行四边形的面积为 2 ,则α 与β 的夹角 ? 的取值范围是



? 5? [ , ] 【答案】 6 6
12.(天津理 14)已知直角梯形 ABCD 中, AD // BC , ?ADC ? 90 , AD ? 2, BC ? 1 , P 是
0

腰 DC 上的动点,则 【答案】5

??? ? ??? ? PA ? 3PB

的最小值为____________.

13. ( 上 海 理 11 ) 在 正 三 角 形 ABC 中 , D 是 BC 上 的 点 , AB ? 3, BD ? 1 , 则

??? ? ???? A B? A D ?



15 【答案】 2

2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? e , e a ? e ? 2 e , b ? k e ? e 3 1 2 1 2, 若 1 2 14. (江苏 10 )已知 是夹角为 的两个单位向量,
? ?

a ? b ? 0 ,则 k 的值为

.

5 【答案】 4
15.(安徽理 13)已知向量 a , b 满足 (a ? ?b) ? (a ? b) ? ?? ,且 则 a 与 b 的夹角为 .

a ?1



b ?2



? 【答案】 3
16.(北京理 10)已知向量 a=( 3 ,1),b=(0,-1),c=(k, 3 )。若 a-2b 与 c 共线, 则 k=__________。 【答案】1

17. ( 湖 南 理 14 ) 在 边 长 为 1 的 正 三 角 形 ABC 中 , 设 BC ? 2BD,CA ? 3CE, 则

??? ?

???? ? ??? ?

??? ?

???? ??? ? AD ? BE ? __________________.

1 【答案】 4 ?

? ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? 2 (a ? 2b) (a ? b) 18.(江西理 11)已知 , · =-2,则 a 与 b 的夹角为

? 【答案】 3

2010 年高考题
一、选择题 1.(2010 湖南文)6. 若非零向量 a,b 满足| a |?| b |,(2a ? b) ? b ? 0 ,则 a 与 b 的夹角为 A. 30
0

B. 60

0

C. 120

0

D. 150

0

【答案】 C 2.(2010 全国卷 2 理)(8) V ABC 中,点 D 在 AB 上, CD 平方 ?ACB .若 CB ? a ,

uur

uur uuu r CA ? b , a ? 1 , b ? 2 ,则 CD ?
(A) a ? 【答案】B 【命题意图】本试题主要考查向量的基本运算,考查角平分线定理. 【解析】因为 CD 平分 ?ACB ,由角平分线定理得 分点,且 AD ? 故选 B. 3.(2010 辽宁文)(8)平面上 O, A, B 三点不共线,设 OA ? a, OB ? b ,则 ?OAB 的面积 等于 (A)

1 3

2 b 3

(B)

2 1 a? b 3 3

(C)

3 4 a? b 5 5

(D)

4 3 a? b 5 5

AD DB

=

CA

2 ? ,所以 D 为 AB 的三等 CB 1

????

? 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? 2 ??? ? 1 ??? ? 2? 1? 2 ??? AB ? (CB ? CA) ,所以 CD ? CA+AD ? CB ? CA ? a ? b , 3 3 3 3 3 3

??? ?

? ??? ?

?

?2 ?2 ? ? a b ? (a ? b) 2

(B)

?2 ?2 ? ? a b ? (a ? b) 2

(C)

1 2

?2 ?2 ? ? a b ? ( a ? b) 2

(D)

1 2

?2 ?2 ? ? a b ? ( a ? b) 2

【答案】C 解析:

S?OAB

? ? ? ? ? ? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? ? (a ? b)2 2 ? | a || b | sin ? a, b ?? | a || b | 1 ? cos ? a, b ? ? | a || b | 1 ? ? 2 ? 2 2 2 2 |a| |b|

?

1 2

?2 ?2 ? ? a b ? (a ? b) 2

4.(2010 辽宁理)(8)平面上 O,A,B 三点不共线,设 OA=a, OB ? b ,则△OAB 的面积等于
2 2 b) 2 (A) |a | | b | ?( a ?

(B) (D)

|a |2 | b |2 ? ( a ? b) 2

(C)

1 |a |2 | b |2 ?(a ? b) 2 2

1 |a |2 | b |2 ?(a? b) 2 2

【答案】C 【命题立意】 本题考查了三角形面积的向量表示, 考查了向量的内积以及同角三角函数的基 本关系。

【解析】三角形的面积 S=

1 |a||b|sin<a,b>,而 2 1 1 | a |2 | b |2 ?(ab) 2 ? | a |2 | b |2 ?(ab) 2 cos 2 ? a, b ? 2 2 1 1 | a || b | 1 ? cos 2 ? a, b ? ? | a || b | sin ? a, b ? 2 2

5.(2010 全国卷 2 文)(10)△ABC 中,点 D 在边 AB 上,CD 平分∠ACB,若 CB = a , CA = b , (A)

??? ?

??? ?

??? ? a = 1 , b = 2, 则 CD =
1 2 a + b 3 3
(B)

2 1 a + b 3 3

(C)

3 4 a + b 5 5

(D)

4 3 a + b 5 5

【答案】 B 【解析】B:本题考查了平面向量的基础知识



CD 为 角 平 分 线 , ∴

BD BC 1 ? ? AD AC 2 , ∵

??? ? ??? ? ??? ? ? ? AB ? CB ? CA ? a ? b , ∴

???? 2 ??? ? 2? 2? ??? ? ??? ? ???? ? 2 ? 2 ? 2 ? 1 ? AD ? AB ? a ? b CD ? CA ? AD ? b ? a ? b ? a ? b 3 3 3 ,∴ 3 3 3 3

6.(2010 安徽文)(3)设向量 a ? (1, 0) , b ? ( , ) ,则下列结论中正确的是 (A) a ? b (C) a / / b 【答案】D

1 1 2 2

b? (B) a?

2 2

(D) a ? b 与 b 垂直

b ? 0 ,所以 a ? b 与 b 垂直. 【解析】 a ? b = ( , ? ) , (a ? b)?
【规律总结】根据向量是坐标运算,直接代入求解,判断即可得出结论.

1 2

1 2

b ? 0 ,则实数 m 的值为 7.(2010 重庆文)(3)若向量 a ? (3, m) , b ? (2, ?1) , a?
(A) ? (C)2 【答案】 D

3 2

(B)

3 2

(D)6

b ? 6 ? m ? 0 ,所以 m =6 解析: a?
8.(2010 重庆理)(2) 已知向量 a,b 满足 a ? b ? 0, a ? 1, b ? 2, ,则 2a ? b ?

A. 0 【答案】 B

B.

2 2

C. 4

D. 8

解析: 2a ? b ?

( 2a ? b) 2 ? 4a 2 ? 4a ? b ? b 2 ? 8 ? 2 2

9.(2010 山东文)(12)定义平面向量之间的一种运算“ ? ”如下:对任意的 a ? (m, n) ,

b ? ( p, q) ,令 a ? b ? mq ? np ,下面说法错误的是
(A)若 a 与 b 共线,则 a ? b ? 0 (B) a ? b ? b ? a (C)对任意的 ? ? R ,有 (? a) ? b ? ? (a ? b) (D) (a ? b)2 ? (a ? b)2 ?| a |2 | b |2 【答案】B 10. ( 2010 四 川 理 ) ( 5 ) 设 点 M 是 线 段 BC 的 中 点 , 点 A 在 直 线 BC 外 ,

? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ???? ? ??? 2 B C ? 1 6? , A B? A C ? ? ?A B? A 则 C ?? ?AM??
(A)8 (B)4 (C) 2 (D)1 解析:由 BC =16,得|BC|=4

??? ?2

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ?AB ? AC ???AB ? AC ??? BC ? =4
而?AB ? AC ?? ??AM? 故?AM?? 2 【答案】C

??? ? ??? ? ???? ?

???? ?

AD ? AB , 11. (2010 天津文) (9) 如图, 在Δ ABC 中, 则A CA D ? BC ? 3 BD ,AD ? 1 ,
(A) 2 3 【答案】D 【解析】本题主要考查平面向量的基本运算与解三角形的基础知 识,属于难题。

??? ?

??? ? ????

? ? ? ?

=

(B)

3 2

(C)

3 3

(D) 3

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AC ? AD ?| AC | ? | AD | cos∠DAC ?| AC | ? cos∠DAC ?| AC | sin∠BAC
??? ? ? BC sin B ? 3

【温馨提示】近几年天津卷中总可以看到平面向量的身影,且均属于中等题或难题,应加强 平面向量的基本运算的训练,尤其是与三角形综合的问题。 12.(2010 广东文)

13.(2010 福建文)

14.(2010 全国卷 1 文)(11)已知圆 O 的半径为 1,PA、PB 为该圆的两条切线,A、B 为 两切点,那么 PA ? PB 的最小值为 (A) ?4 ? 2 【答案】D 【命题意图】 本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理, 着重考查最值的求法— —判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力. 【解析 1】 如图所示: 设 PA=PB= x ( x ? 0) ,∠APO= ? ,则∠ APB= 2? ,PO= 1 ? x2 , sin ? ? A (B) ?3 ? 2 (C) ?4 ? 2 2 (D) ?3 ? 2 2

??? ? ??? ?

1 1 ? x2
=



O

P

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? PA ? PB ?| PA | ? | PB | cos 2?
2 2 4 2

x2 (1 ? 2sin 2 ? )

= B

??? ? ??? ? x ( x ? 1) x ? x x4 ? x2 = 2 ,令 PA ? PB ? y ,则 y ? 2 , x2 ? 1 x ?1 x ?1
即 x ? (1 ? y) x ? y ? 0 ,由 x 是实数,所以
4 2
2

? ? [?(1 ? y)]2 ? 4 ?1? (? y) ? 0 , y 2 ? 6 y ? 1 ? 0 ,解得 y ? ?3 ? 2 2 或 y ? ?3 ? 2 2 .
故 ( PA ? PB)min ? ?3 ? 2 2 .此时 x ?

??? ? ??? ?

2 ?1 .

2 ??? ? ??? ? ?? ? PA ? PB ? ? PA?? PB ? cos ? ? ?1/ tan ? cos ? 【解析 2】设 ?APB ? ? ,0 ? ? ? ? , 2? ?

? ?? ?? ? 1 ? sin 2 ??1 ? 2sin 2 ? ? 2 ?? 2? 2? 2 ? ?1 ? 2sin 2 ? ? ? ? 换 元 : x?s i n ? ? ? ? ? ? 2 2? sin 2 sin 2 2 2
cos 2

?

? , x0?

, 1

??? ? ??? ? ?1 ? x ??1 ? 2 x ? 1 PA ? PB ? ? 2x ? ? 3 ? 2 2 ? 3 x x
【解析 3】建系:园的方程为 x ? y ? 1,设 A( x1 , y1 ), B( x1 , ? y1 ), P( x0 ,0) ,
2 2

??? ? ??? ? 2 2 PA ? PB ? ? x 2 x ? ? 2x 1 ? x 0, y 1? ?? x 1 ? x 0, ? y 1 1 ? 1 x 0 ? x 0 ? y 1

AO ? PA ? ? x1, y1 ? ? ? x1 ? x0 , y1 ? ? 0 ? x12 ? x1x0 ? y12 ? 0 ? x1x0 ? 1
??? ? ??? ? 2 2 2 PA ? PB ? x12 ? 2 x1 x0 ? x0 ? y12 ? x12 ? 2 ? x0 ? ?1 ? x12 ? ? 2 x12 ? x0 ?3? 2 2 ?3
15. ( 2010 四川文)(6)设点 M 是线段 BC 的中点,点 A 在直线 BC 外, BC ? 16 ,

??? ?2

??? ? ???? ??? ? ???? ???? ? AB ? AC ? AB ? AC ,则 AM ?
(A)8 【答案】C 解析:由 BC =16,得|BC|=4 (B)4 (C)2 (D)1

??? ?2

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ?AB ? AC ???AB ? AC ??? BC ? =4
而?AB ? AC ?? ??AM? 故?AM?? 2 16. ( 2010 湖北文) 8. 已知 ?ABC 和点 M 满足 MA ? MB? MC ? 0 . 若存在实 m 使得

??? ? ??? ? ???? ?

???? ?

???? ???? ???? ?

???? ? ??? ? ???? ? AM ? AC ? mAM 成立,则 m =
A.2 B.3 C.4 D.5

17.(2010 山东理)(12)定义平面向量之间的一种运算“ ? ”如下,对任意的 a=(m,n) ,

?

? ? ? b? (p,q) ,令 a ? b=mq-np ,下面说法错误的是(
A.若 a 与 b 共线,则 a ? b=0 C.对任意的 ? ? R ,有 (?a) ? b=?( a ? b) 【答案】B



?

?

?

?

B. a ? b=b ? a

?

? ?

?

?

?

?

?

D. (a ? b)2 +(ab)2 =|a|2 |b|2

?

?

??

? ?

【解析】若 a 与 b 共线,则有 a ? b=mq-np=0 ,故 A 正确;因为 b ? a ? pn-qm ,而

?

?

?

?

?

?

? ? ? ? ? ? a ? b=mq-np ,所以有 a ? b ? b ? a ,故选项 B 错误,故选 B。
【命题意图】本题在平面向量的基础上,加以创新,属创新题型,考查平面向量的基础知识 以及分析问题、解决问题的能力。

18.(2010 湖南理)4、在 Rt ?ABC 中, ?C =90°AC=4,则 AB ? AC 等于 A、-16 B、-8 C、8 D、16

uu u r uuu r

19.(2010 年安徽理)

20.(2010 湖北理)5.已知 ?ABC 和点 M 满足 MA ? MB + MC ? 0 .若存在实数 m 使得

???

???

???

AB? AC ? m AM 成立,则 m=
A.2 B.3 C.4 D.5

???

???

???

二、填空题 1.(2010 上海文)13.在平面直角坐标系中,双曲线 ? 的中心在原点,它的一个焦点坐标为

? ? ( 5,0) , e1 ? (2,1) 、 e2 ? (2, ?1) 分别是两条渐近线的方向向量。任取双曲线 ? 上的

点P , 若O P ? a e b e? 1

??? ? ?? ?

??? ?

2(

b? R) b 满足的一个等式是 4ab?1 , 则a、 a、



解析: 因为 e1 ? (2,1) 、 所以双曲线渐近线方程为 y ? ? e2 ? (2, ?1) 是渐进线方向向量, 又 c ? 5,? a ? 2, b ? 1

?

?

1 x, 2

双曲线方程为

??? ? ?? ? ??? ? x2 ? y 2 ? 1 , OP ? ae1 ? be2 = (2a ? 2b, a ? b) , 4

?

(2a ? 2b) 2 ? (a ? b) 2 ? 1,化简得 4ab?1 4

2.(2010 浙江理)(16)已知平面向量 ? , ? (? ? 0, ? ? ? ) 满足 夹角为 120°,则 ? 的取值范围是__________________ .

? ? 1 ,且 ? 与 ? ? ? 的

解析:利用题设条件及其几何意义表示在三角形中,即可迎刃而解,本题主要考察了平面向 量的四则运算及其几何意义,突出考察了对问题的转化能力和数形结合的能力,属中档题。 3.(2010 陕西文)12.已知向量 a=(2,-1),b=(-1,m),c=(-1,2)若(a+b)

∥c,则 m= . 【答案】-1 解析: a ? b ? (1, m ? 1),由(a ? b) // c得1? 2 ? (m ? 1) ? (?1) ? 0 ,所以 m=-1 4.(2010 江西理)13.已知向量 a , b 满足 a ? 1 , b ? 2 , a 与 b 的夹 角为 60°,则 a ? b ? 【答案】

?

?

?

?

?

?

? ?

3

【解析】考查向量的夹角和向量的模长公式,以及向量三角形法则、余弦 定理等知识,如图 a ? OA, b ? OB, a ? b ? OA ? OB ? BA ,由余弦定理 得: a ? b ? 3 5.(2010 浙江文)(17)在平行四边形 ABCD 中,O 是 AC 与 BD 的交点,P、Q、M、N 分别是 线段 OA、OB、OC、OD 的中点,在 APMC 中任取一点记为 E,在 B、Q、N、D 中任取一点记为 F, 设 G 为满足向量 OG ? OE ?OF 的点,则在上述的点 G 组成的集合中的点,落在平行四边 形 ABCD 外(不含边界)的概率为 。

?

??? ??

??? ? ? ?

??? ? ??? ?

??? ?

? ?

????

????? ???? ?

答案:

3 4

6.(2010 浙江文)(13)已知平面向量 ? , ? , ? ? 1, 是 答案 : 10

? ? 2,? ? (? ? 2? ), 则 2a ? ? 的值

7.(2010 天津理)(15)如图,在 ? ABC 中, AD ? AB , BC ? 3 BD ,

??? ?

??? ?

??? ? ???? ???? AD ? 1 ,则 AC ?AD ?
【答案】D

.

【解析】本题主要考查平面向量的基本运算与解三角形的基础知识,属于难题。

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AC ? AD ?| AC | ? | AD | cos∠DAC ?| AC | ? cos∠DAC ?| AC | sin∠BAC
??? ? ? BC sin B ? 3
【解析】近几年天津卷中总可以看到平面向量的身影,且均属于中等题或难题,应加强平面 向量的基本运算的训练,尤其是与三角形综合的问题。 8. ( 2010 广 东 理 ) 10. 若 向 量 a = ( 1,1,x ) , b =(1,2,1),

r

r

r c =(1,1,1), 满 足 条 件

r r r (c ? a) ? (2b) =-2,则 x =
【答案】2

.

? ? ? ? ? c ? a ? (0,0,1 ? x) , (c ? a) ? (2b) ? 2(0,0,1 ? x) ? (1,2,1) ? 2(1 ? x) ? ?2 ,解得 x ? 2 .
三、解答题 1.(2010 江苏卷)15、(本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,点 A(-1,-2)、B(2,3)、C(-2,-1)。 (1)求以线段 AB、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长; (2)设实数 t 满足( AB ? t OC )· OC =0,求 t 的值。 [解析]本小题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积,考查运算求解能力。满分 14 分。 (1)(方法一)由题设知 AB ? (3,5), AC ? (?1,1) ,则

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AB ? AC ? (2,6), AB ? AC ? (4, 4).
所以 | AB ? AC |? 2 10,| AB ? AC |? 4 2. 故所求的两条对角线的长分别为 4 2 、 2 10 。 (方法二)设该平行四边形的第四个顶点为 D,两条对角线的交点为 E,则: E 为 B、C 的中点,E(0,1) 又 E(0,1)为 A、D 的中点,所以 D(1,4)

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

故所求的两条对角线的长分别为 BC= 4 2 、AD= 2 10 ; (2)由题设知: OC =(-2,-1), AB ? tOC ? (3 ? 2t ,5 ? t ) 。 由( AB ? t OC )· OC =0,得: (3 ? 2t ,5 ? t ) ? (?2, ?1) ? 0 , 从而 5t ? ?11, 所以 t ? ?

????

??? ?

??? ?

11 。 5
| OC | 5

??? ? ??? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? 2 ??? AB ? OC 或者: AB· OC ? tOC , AB ? (3,5), t ? ???? 2 ? ? 11

2009 年高考题
一、选择题

(x,1 ) ,b= 1.(2009 年广东卷文)已知平面向量 a= , 则向量 a ? b ( (-x, x )
2

)

A 平行于 x 轴 C.平行于 y 轴 答案 C 解析

B.平行于第一、三象限的角平分线 D.平行于第二、四象限的角平分线

a ? b ? (0,1 ? x2 ) ,由 1 ? x2 ? 0 及向量的性质可知,C 正确.

2.( 2009 广 东 卷 理 )一质点受到平面上的三个力 F1 , F2 , F3 (单位:牛顿)的作用而处于 平衡状态.已知 F1 , F2 成 60 角,且 F1 , F2 的大小分别为 2 和 4,则 F3 的大小为( A. 6 答案 解析 D B. 2 C. 2 5 D. 2 7
0

)

F32 ? F12 ? F22 ? 2F1 F2 cos(1800 ? 600 ) ? 28,所以 F3 ? 2 7 ,选 D.

3.(2009 浙江卷理)设向量 a , b 满足: | a |? 3 , | b |? 4 , a ? b ? 0 .以 a , b , a ? b 的

模为边长构成三角形,则它的边与半径为 1 的圆的公共点个数最多为 A. 3 答案 C B.4 C. 5 D. 6

(

) w

解析 对于半径为 1 的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆,此时只有三个交点, 对于圆的位置稍一右移或其他的变化,能实现 4 个交点的情况,但 5 个以上的交点不能 实现. 4. (2009 浙江卷文) 已知向量 a ? (1, 2) , 若向量 c 满足 (c ? a ) / / b , b ? (2, ?3) . c ? (a ? b ) , 则c ? A. ( , ) 答案 D 解析 不妨设 C ? (m, n) ,则 a ? c ? ?1 ? m, 2 ? n ? , a ? b ? (3, ?1) ,对于 c ? a // b , 则有 ?3(1 ? m) ? 2(2 ? n) ;又 c ? a ? b ,则有 3m ? n ? 0 ,则有 m ? ? , n ? ? ( B. ( ? )

7 7 9 3

7 7 ,? ) 3 9

C. ( , )

7 7 3 9

D. ( ?

7 7 ,? ) 9 3

??

? ?
?

? ?

?

? ?

?

?

?

? ?

?

7 9

7 3

【命题意图】此题主要考查了平面向量的坐标运算,通过平面向量的平行和垂直关系的 考查,很好地体现了平面向量的坐标运算在解决具体问题中的应用. 5.(2009 北京卷文)已知向量 a ? (1,0), b ? (0,1), c ? ka ? b(k ? R), d ? a ? b ,如果 c // d 那么 A. k ? 1 且 c 与 d 同向 C. k ? ?1 且 c 与 d 同向 答案 D B. k ? 1 且 c 与 d 反向 D. k ? ?1 且 c 与 d 反向 ( )

.w 解析 本题主要考查向量的共线(平行)、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算考 查. ∵a ? ?1,0 ? ,b ? ? 0,1? ,若 k ? 1 ,则 c ? a ? b ? ?1,1? ,d ? a ? b ? ?1, ?1? , 显然,a 与 b 不平行,排除 A、B. 若 k ? ?1 ,则 c ? ? a ? b ? ? ?1,1? ,d ? ? a ? b ? ? ? ?1,1? , 即 c // d 且 c 与 d 反向,排除 C,故选 D. 6.(2009 北京卷文)设 D 是正 ?PP 1 2P 3 及其内部的点构成的集合,点 P 0 是 ?PP 1 2P 3 的中心, 若集合 S ? {P | P ? D,| PP 0 |?| PP i |, i ? 1, 2,3} ,则集合 S 表示的平面区域是 ( )

A. 三角形区域 C. 五边形区域 答案 D

B.四边形区域 D.六边形区域

解析 本题主要考查集合与平面几何基础知识.本题主要 考查阅读与理解、 信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生 分析问题和解决问题的能力. 属于创新题型.如图,A、B、 C、 D、 E、 F 为各边三等分点, 答案是集合 S 为六边形 ABCDEF, 其中, P 0A ? P 2 A ? PA i ? i ? 1,3? 即点 P 可以是点 A. 7. (2009 北京卷理) 已知向量 a、 b 不共线, c ? k a ? b (k ? R),d ? a ? b,如果 c // d, 那么 ( A. k ? 1 且 c 与 d 同向 C. k ? ?1 且 c 与 d 同向 答案 D B. k ? 1 且 c 与 d 反向 D. k ? ?1 且 c 与 d 反向 )

解析 本题主要考查向量的共线(平行)、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算的 考 查. 取 a ? ?1,0 ? ,b ? ? 0,1? ,若 k ? 1 ,则 c ? a ? b ? ?1,1? ,d ? a ? b ? ?1, ?1? , 显然,a 与 b 不平行,排除 A、B. 若 k ? ?1 ,则 c ? ? a ? b ? ? ?1,1? ,d ? ? a ? b ? ? ? ?1,1? , 即 c // d 且 c 与 d 反向,排除 C,故选 D. 8.(2009 山东卷理)设 P 是△ABC 所在平面内的一点, BC ? BA ? 2BP ,则( A. PA ? PB ? 0 答案 B 解析 :因为 BC ? BA ? 2BP ,所以点 P 为线段 AC 的中点,所以应该选 B。 【命题立意】:本题考查了向量的加法运算和平行四边形法则,可以借助图形解答. 9.(2009 全国卷Ⅱ文)已知向量 a = (2,1), a·b = 10,︱a + b ︱= 5 2 ,则︱b ︱= A. 5 答案 C B. 10 C.5 D.25

??? ? ??? ? ?

??? ?



??? ? ??? ?

?

B. PC ? PA ? 0

??? ? ??? ?

?

C. PB ? PC ? 0

??? ? ??? ?

D. PA ? PB ? PC ? 0

??? ? ??? ? ??? ?

?

??? ? ??? ?

??? ?

解析 本题考查平面向量数量积运算和性质,由 a ? b ? 5 2 知(a+b) =a +b +2ab=50,
2 2 2

得|b|=5 选 C. 10.(2009 全国卷Ⅰ理)设 a 、 b 、 c 是单位向量,且 a · b =0,则 小值为 A. ?2 答案 解析 D B. 2 ? 2 C. ?1 D. 1 ? 2

? a ? c ? ? ?b ? c ? 的最
( )

? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?2 ? ?? b ? (a ? b)? c?c ? a, b, c 是单位向量? a ? c ? b ? c ? a?

? ? ? ? ? ? ? 1? | a ? b |? | c |? 1 ? 2 cos ? a ? b, c ?? 1 ? 2 .
11.(2009 湖北卷理)已知

?

??

?

P ? {a | a ? (1,0) ? m(0,1), m ? R}, Q ? {b | b ? (1,1) ? n(?1,1), n ? R} 是两个向量集合,
则PI Q ? A.{〔1,1〕} 答案 A B. {〔-1,1〕} C. {〔1,0〕} ( )

D. {〔0,1〕}

解析 因为 a ? (1, m)

?

? b ? (1? n,1? n) 代入选项可得 P ? Q ? ??1,1?? 故选 A.
( )

12.(2009 全国卷Ⅱ理)已知向量 a ? ? 2,1? , a ? b ? 10,| a ? b |? 5 2 ,则 | b |? A.

5

B.

10

C. 5

D. 25

答案 C 解析 ?50 ?| a ? b |2 ?| a |2 ?2a? | b |? 5 ,故选 C. b? | b |2 ? 5 ? 20? | b |2 ? 13. (2009 辽宁卷理) 平面向量 a 与 b 的夹角为 60 ,a ? (2, 0) , b ? 1 则 a ? 2b ?
0

? ?

?

??

?

?

?

( )

A. 3 答案 B

B. 2 3

C. 4

D.2

解析 由已知|a|=2,|a+2b| =a +4a·b+4b =4+4×2×1×cos60°+4=12 ∴ a ? 2b ? 2 3 14.(2009 宁夏海南卷理)已知 O,N,P 在 ?ABC 所在平面内,且

2

2

2

OA ? OB ? OC , NA ? NB ? NC ? 0 ,且 PA ?PB ? PB ?PC ?PC ? PA ,则点 O,
N,P 依次是 ?ABC 的 A.重心 外心 垂心 C.外心 重心 垂心 答案 C (注:三角形的三条高线交于一点,此点为三角型的垂心) 解析 B.重心 外心 内心 D.外心 重心 内心 ( )

由 OA ? OB ? OC 知, O为?ABC的外心; 由NA ? NB ? NC ? 0知,O为?ABC的重心

? PA ? PB ? PB ? PC, ? PA ? PC ? PB ? 0, ? CA ? PB ? 0,? CA ? PB, 同理,AP ? BC ,? P为?ABC的垂心,选C.
15.(2009 湖北卷文)若向量 a=(1,1),b=(-1,1),c=(4,2),则 c= ( ) B. 3a-b C.-a+3b D. a+3b

?

?

A.3a+b 答案 B 解析

由计算可得 c ? (4, 2) ? 3c ? b 故选 B )

?

? ?

16.(2009 湖南卷文)如图 1, D,E,F 分别是 ? ABC 的边 AB,BC,CA 的中点,则( A. AD ? BE ? CF ? 0

???? ??? ? ??? ?

?

A D B F C
图1

??? ? ??? ? ???? ? B. BD ? CF ? DF ? 0 ???? ??? ? ??? ? ? C. AD ? CE ? CF ? 0
D. BD ? BE ? FC ? 0 答案 A

??? ? ??? ? ??? ?

?

E

解析 ? AD ? DB,? AD ? BE ? DB ? BE ? DE ? FC, 得 AD ? BE ? CF ? 0 . 或 AD ? BE ? CF ? AD ? DF ? CF ? AF ? CF ? 0 . 17.(2009 辽宁卷文)平面向量 a 与 b 的夹角为 60 ,a=(2,0), | b |=1,则 | a+2b | 等于 ( )
0

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

???? ??? ? ??? ?

?

???? ??? ? ??? ?

???? ???? ??? ?

??? ? ??? ?

?

A. 3 答案 B

B.2 3

C.4

D.12

解析 由已知|a|=2,|a+2b| =a +4a·b+4b =4+4×2×1×cos60°+4=12 ∴ a ? 2b ? 2 3 18. (2009 全国卷Ⅰ文) 设非零向量 a 、 则 ? a, b ?? ( c 满足 | a |?| b |?| c |,a ? b ? c , b、 A.150° 答案 B 解析 本小题考查向量的几何运算、考查数形结合的思想,基础题。 解 由向量加法的平行四边形法则,知 a 、 b 可构成菱形的两条相邻边,且 a 、 b 为起 B.120° C.60° D.30° )

2

2

2

点处的对角线长等于菱形的边长,故选择 B。 19. (2009 陕西卷文) 在 ?ABC 中,M 是 BC 的中点, AM=1,点 P 在 AM 上且满足学 PA ? 2PM , 则科网 PA ? ( PB ? PC) 等于 A.

??? ?

???? ?

??? ? ??? ? ??? ?

( C. ?

)

4 9
A.

B.

4 3

4 3

D. ?

4 9

答案

解析 由 AP ? 2PM 知, p 为 ?ABC 的重心,根据向量的加法, PB ? PC ? 2PM 则

??? ?

???? ?

??? ? ??? ?

???? ?

? ???? ? ??? ? ???? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? 2 1 4 AP ? ( PB ? PC) = 2 AP ? PM =2 AP PM cos0? ? 2 ? ? ?1 ? 3 3 9
20.(2009 宁夏海南卷文)已知 a ? ? ?3,2? , b ? ? ?1,0? ,向量 ? a ? b 与 a ? 2b 垂直,则实 数 ? 的值为 A. ? 答案 ( B. A )

1 7

1 7

C. ?

1 6

D.

1 6

解析 向量 ? a ? b =(-3 ? -1,2 ? ), a ? 2b =(-1,2),因为两个向量垂直, 故有 (-3 ? -1, 2? ) × (-1,2) =0, 即 3 ? +1+4 ? =0, 解得:? = ? 21.(2009 湖南卷理)对于非 0 向时 a,b,“a//b”的正确是 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 答案 A B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

1 , 故选.A. 7
( )

解析 由 a ? b ? 0 ,可得 a ? ?b ,即得 a // b ,但 a // b ,不一定有 a ? ?b ,所以 “ a ? b ? 0 ”是“ a // b 的充分不必要条件。 22.(2009 福建卷文)设 a , b , c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量,且满 足 a 与 b 不共线, a ? c
? ? ? ? ? ? ? ? ?

∣ a ∣=∣ c ∣,则∣ b ? c ∣的值一定等于

?

?

?

?

(

)

A.以 a , b 为邻边的平行四边形的面积 B. 以 b , c 为两边的三角形面积 C. a , b 为两边的三角形面积 D. 以 b , c 为邻边的平行四边形的面积 答案 A 解析 假设 a 与 b 的夹角为 ? ,∣ b ? c ∣=︱ b ︱·︱ c ︱·∣cos< b , c >∣ =︱ b ︱·︱ a ︱?∣cos(90 ? ? )∣=︱ b ︱·︱ a ︱?sin ? ,即为以 a , b 为邻边的平
0
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

行四边形的面积. 23.(2009 重庆卷理)已知 a ? 1, b ? 6, a? (b ? a) ? 2 ,则向量 a 与向量 b 的夹角是( A. )

? 6

B.

? 4

C.

? 3

D.

? 2

答案 C 解析 因为由条件得 a ? b ? a ? 2, 所以a ? b ? 2 ? a ? 3 ? a ? b cos ? ? 1? 6 ? cos ? ,
2 2

1 ? 所以 cos ? ? ,所以? ? 2 3
24.(2009 重庆卷文)已知向量 a ? (1,1), b ? (2, x), 若 a + b 与 4b ? 2a 平行,则实数 x 的值 是 A.-2 答案 D 解法 1 因为 a ? (1,1), b ? (2, x) ,所以 a ? b ? (3, x ? 1), 4b ? 2a ? (6, 4 x ? 2), 由于 a ? b 与 4b ? 2a 平行,得 6( x ? 1) ? 3(4 x ? 2) ? 0 ,解得 x ? 2 。 解法 2 因为 a ? b 与 4b ? 2a 平行,则存在常数 ? ,使 a ? b ? ? (4b ? 2a) ,即 B.0 C.1 D. 2 ( )

(2? ? 1)a ? (4? ?1)b ,根据向量共线的条件知,向量 a 与 b 共线,故 x ? 2
25.(2009 湖北卷理)函数 y ? cos(2 x ?

?
6

) ? 2 的图象 F 按向量 a 平移到 F ' , F ' 的函数解析
( )

式为 y ? f ( x), 当 y ? f ( x) 为奇函数时,向量 a 可以等于

A.( ?
答案

?
6

, ?2)
B

B.( ?

?
6

, 2)

C.( , ?2) 6

?

D.( , 2) 6

?

解析 直接用代入法检验比较简单.或者设 a ? ( x?, y?) ,根据定义

v

y ? y? ? cos[2( x ? x?) ? ] ? 2 ,根据 y 是奇函数,对应求出 x? , y? 6
? / / 26. (2009 湖北卷文) 函数 y ? cos(2 x ? ) ? 2 的图像 F 按向量 a 平移到 F , F 的解析式 y=f(x), 6
当 y=f(x)为奇函数时,向量 a 可以等于 ( C. (? )

?

? A. ( ,?2) 6
答案 D

? B. ( ,2) 6

?
6

,?2)

D. (?

?
6

,2)

解析 由平面向量平行规律可知,仅当 a ? ( ?

?

?
6

, 2) 时,

F ? : f ( x ) ? cos[2( x ?

?
6

)?

?
6

] ? 2 = ? sin 2 x 为奇函数,故选 D.

26. ( 2009 广 东 卷 理 )若平面向量 a ,b 满足 a ? b ? 1 ,a ? b 平行于 x 轴,b ? (2,?1) , 则a ? TWT 答案 解析 . (-1,0)-(-2,-1)=(-3,1) B

a ? b ? (1,0) 或 (?1,0) ,则 a ? (1,0) ? (2,?1) ? (?1,1)
A P C

或 a ? (?1,0) ? (2,?1) ? (?3,1) .

27.(2009 江苏卷)已知向量 a 和向量 b 的夹角为 30 ,| a |? 2,| b |? 3 ,则向量 a 和向量 b 的
o

?

?

?

?

?

?

数量积 a ? b = 答案 3 解析

? ?

.

考查数量积的运算。

? ? 3 a ?b ? 2? 3 ? ?3 2

28.(2009 安徽卷理)给定两个长度为 1 的平面向量 OA 和 OB ,它们的夹角为 120 . 如图所示,点 C 在以 O 为圆心的圆弧 AB 上变动. 若 OC ? xOA ? yOB, 其中 x, y ? R ,则 x ? y 的最大值是________. 答案 2 解析 设 ?AOC ? ?

??? ?

??? ?

o

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

1 ? ???? ??? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? cos ? ? x ? y ? ? ? ?OC ? OA ? xOA ? OA ? yOB ? OA, 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ,即 ? ? ? ???? ??? ? ?cos(1200 ? ? ) ? ? 1 x ? y ?OC ? OB ? xOA ? OB ? yOB ? OB, ? ? 2
∴ x ? y ? 2[cos ? ? cos(120 ? ? )] ? cos ? ? 3 sin ? ? 2sin(? ?
0

?
6

)?2

29.(2009 安徽卷文)在平行四边形 ABCD 中,E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点,或 = 答案 4/3 + ,其中 , R ,则 + = _________.0.w.w.k.

解析 设 BC ? b 、 BA ? a 则 AF ? 代入条件得 ? ? u ?

??? ?

?

??? ?

?

??? ?

? ? 1 ? ??? ? ? ? 1 ? ? ??? b ? a , AE ? b ? a , AC ? b ? a 2 2

2 4 ?? ? u ? 3 3 ? ? ? ? ? ? 30.(2009 江西卷文)已知向量 a ? (3,1) , b ? (1,3) , c ? (k , 2) ,若 (a ? c) ? b 则
k=
答案 .

0

解析 因为 a ? c ? (3 ? k , ?1), 所以 k ? 0 . 31.(2009 江西卷理)已知向量 a ? (3,1) , b ? (1,3) , c ? (k ,7) ,若 (a ? c) ∥ b ,则

? ?

?

?

?

? ?

?

k=
答案 解析



5

3 ? k ?6 ? ?k ?5 1 3

32. (2009 湖南卷文) 如图 2, 两块斜边长相等的直角三角板拼在一起, 若 AD ? xAB ? yAC , 则 x? ,y? .

??? ?

??? ?

??? ?

图2 答案

x ? 1?

3 3 , y? . 2 2

解析

作 DF ? AB ,设 AB ? AC ? 1 ? BC ? DE ?

2,

? ?DEB ? 60? ,? BD ?

6 , 2 6 2 3 3 3 ? ? , 故 x ? 1? , y? . 2 2 2 2 2

由 ?DBF ? 45 解得 DF ? BF ?
?

33.(2009 辽宁卷文)在平面直角坐标系 xoy 中,四边形 ABCD 的边 AB∥DC,AD∥BC,已知点 A(-2,0),B(6,8),C(8,6),则 D 点的坐标为___________. 答案 (0,-2) 解析 平行四边形 ABCD 中, OB ? OD ? OA ? OC
???? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ????

∴ OD ? OA ? OC ? OB =(-2,0)+(8,6)-(6,8)=(0,-2) 即 D 点坐标为(0,-2) 34.(2009 年广东卷文) (已知向量 a ? (sin ? ,?2) 与 b ? (1, cos? ) 互相垂直, 其中 ? ? (0, (1)求 sin ? 和 cos ? 的值 (2)若 5 cos(? ? ? ) ? 3 5 cos? , 0 ? ? ? 解

?
2

)

? ,求 cos ? 的值 2

b ? sin ? ? 2cos? ? 0 ,即 sin ? ? 2 cos ? (1) Q a ? b ,? a g
2 2 2 ∴ 4cos ? ? cos ? ? 1,即 cos ?
2

v

v

v v

又∵ sin ? ? cos ? ? 1 ,

1 4 2 ,∴ sin ? ? 5 5



? 2 5 5 ? ? (0, ) ? sin ? ? , cos ? ?
2 5 5

(2) ∵ 5cos(? ? ? ) ? 5(cos ? cos ? ? sin ? sin ? ) ? 5 cos ? ? 2 5 sin ? ? 3 5 cos ?

?cos ? ? sin ? ,?cos2 ? ? sin 2 ? ? 1 ? cos2 ? ,即 cos 2 ? ?

1 2

? 2 , ∴ cos ? ? 2 2 ? ? ? 35.(2009 江苏卷)设向量 a ? (4cos ? ,sin ? ), b ? (sin ? , 4cos ? ), c ? (cos ? , ?4sin ? ) ? ? ? (1)若 a 与 b ? 2c 垂直,求 tan(? ? ? ) 的值; ? ? (2)求 | b ? c | 的最大值; ? ? (3)若 tan ? tan ? ? 16 ,求证: a ∥ b .
又 0 ?? ? 解析 本小题主要考查向量的基本概念,同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角 的正弦、两角和的正弦与余弦公式,考查运算和证明得基本能力。满分 14 分。

36. ( 2009 广 东 卷 理 ) 已知向量 a ? (sin? ,?2) 与 b ? (1, cos? ) 互相垂直, 其中 ? ? (0, (1)求 sin ? 和 cos ? 的值; (2)若 sin(? ? ? ) ?

?
2

).

10 ? , 0 ? ? ? ,求 cos ? 的值. 10 2



(1)∵ a 与 b 互相垂直,则 a ? b ? sin ? ? 2 cos? ? 0 ,即 sin ? ? 2 cos ? ,代入

sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 得 sin ? ? ?

? 2 5 5 ,又 ? ? (0, ) , , cos? ? ? 2 5 5

∴ sin ? ?

2 5 5 . , cos? ? 5 5

(2)∵ 0 ? ? ?

?
2

,0 ?? ?

?
2

,∴ ?

?
2

? ? ?? ?

?
2



则 cos(? ? ? ) ? 1 ? sin (? ? ? ) ?
2

3 10 , 10

37.(2009 湖南卷文)已知向量 a ? (sin ? ,cos? ? 2sin ? ), b ? (1, 2). (1)若 a / / b ,求 tan ? 的值;

?

?

?

?

(2)若 | a |?| b |,0 ? ? ? ?, 求 ? 的值。 解 (1) 因为 a / / b ,所以 2sin ? ? cos ? ? 2sin ? ,

?

?

?

?

于是 4sin ? ? cos ? ,故 tan ? ?

1 . 4

(2)由 | a |?| b | 知, sin 2 ? ? (cos ? ? 2sin ? )2 ? 5, 所以 1 ? 2sin 2? ? 4sin ? ? 5.
2

?

?

从而 ?2sin 2? ? 2(1 ? cos 2? ) ? 4 ,即 sin 2? ? cos 2? ? ?1 , 于是 sin(2? ? 所以 2? ?

?
4

)??

? ? 9? 2 .又由 0 ? ? ? ? 知, ? 2? ? ? , 4 4 4 2

5? ? 7? ,或 2? ? ? . 4 4 4 4 3? ? . 因此 ? ? ,或 ? ? 4 2 ?

?

38.(2009 湖南卷理) 在 ?ABC ,已知 2 AB ? AC ? 3 AB ? AC ? 3BC ,求角 A,B,
2

??? ? ????

??? ? ????

C 的大小. 解 设 BC ? a, AC ? b, AB ? c

由 2 AB ? AC ? 3 AB ? AC 得 2bc cos A ? 3bc ,所以 cos A ? 又 A ? (0, ? ), 因此 A ?

??? ? ????

??? ? ????

3 2

?
6
2

2 2 由 3 AB ? AC ? 3BC 得 bc ? 3a ,于是 sin C ? sin B ? 3 sin A ?

??? ? ????

3 4

所以 sin C ? sin(

5? 3 1 3 3 ? C) ? sin C ) ? , sin C ? ( cos C ? ,因此 6 4 2 2 4

? 2sin C ? cos C ? 2 3sin 2 C ? 3,sin 2C ? 3 cos 2C ? 0 ,既 sin(2C ? ) ? 0 3 ? ? 5? ? 4? 由 A= 知 0 ? C ? ,所以 ? , 2C ? ? ,从而 3 6 6 3 3 ? 2? ? ? ,故 2C ? ? 0, 或 2C ? ? ? , ,既 C ? , 或 C ? 6 3 3 3 ? 2? ? ? ? 2? A? ,B ? ,C ? , 或 A ? , B ? ,C ? 。 6 3 6 6 6 3

39. (2009 上海卷文)

已知Δ ABC 的角 A、 B、 C 所对的边分别是 a、 b、 c, 设向量 m ? (a, b) ,

??

? ? ? n ? (sin B,sin A) , p ? (b ? 2, a ? 2) .
(1) 若 m // n ,求证:Δ ABC 为等腰三角形; (2) 若 m ⊥ p ,边长 c = 2,角 C = 证明:(1) Q m // n,? a sin A ? b sin B, 即a? 三角形 解(2)由题意可知 m // p ? 0,即a(b ? 2) ? b(a ? 2) ? 0

??
??

?

??

? ,求Δ ABC 的面积 . 3

u v v

a b ? b? ,其中 R 是三角形 ABC 外接圆半径, a ? b 2R 2R

? ?ABC 为等腰

u v u v

? a ? b ? ab
由余弦定理可知, 4 ? a2 ? b2 ? ab ? (a ? b)2 ? 3ab

即(ab)2 ? 3ab ? 4 ? 0
? ab ? 4(舍去ab ? ?1)
?S ? 1 1 ? ab sin C ? ? 4 ? sin ? 3 2 2 3

2008 年高考题
一、选择题

AB ? c ,AC ? b . 1. (2008 全国 I) 在 △ ABC 中, 若点 D 满足 BD ? 2DC , 则 AD ? (
A.

??? ?
5 3

??? ?

??? ?

????

????



2 1 b? c 3 3

B. c ?

2 b 3

C.

2 1 b? c 3 3

D. b ?

1 3

2 c 3

答案 A 2.(2008 安徽)在平行四边形 ABCD 中,AC 为一条对角线,若 AB ? (2,4) , AC ? (1,3) , 则 BD ? A. (-2,-4) 答案 B 3.(2008 湖北)设 a ? (1,?2) , b ? (?3,4) , c ? (3,2) 则 (a ? 2b) ? c ? ( ) B.(-3,-5) C.(3,5) D.(2,4)

??? ?

??? ?

??? ?





A. (?15,12) 答案 C

B. 0

C. ?3

D. ?11

4.(2008 湖南)设 D、E、F 分别是△ABC 的三边 BC、CA、AB 上的点,且

? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ??? DC ? 2BD, CE ? 2EA, AF ? 2FB, 则 AD ? BE ? CF 与 BC
A.反向平行 C.互相垂直 答案 A B.同向平行 D.既不平行也不垂直

(

)

5. (2008 广东) 在平行四边形 ABCD 中, AC 与 BD 交于点 O,E 是线段 OD 的中点,AE 的延长线与 CD 交于点 F .若 AC ? a , BD ? b ,则 AF ? A.

??? ?

??? ?

??? ?

( D. a ?



1 1 a? b 4 2

B.

2 1 a? b 3 3

C.

1 1 a? b 2 4

1 3

2 b 3

答案 B 6.(2008 浙江)已知 a ,b 是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量 c 满足

(a ? c) ? (b ? c) ? 0 ,则 c 的最大值是
A.1 答案 C 7.(2007 北京)已知 O 是 △ ABC 所在平面内一点, D 为 BC 边中点,且 B.2 C. 2 D.

(

)

2 2

??? ? ??? ? ??? ? 2OA ? OB ? OC ? 0 ,那么
A. AO ? OD C. AO ? 3OD 答案 二、填空题 13.(2008 陕西)关于平面向量 a,b,c .有下列三个命题: A

( B. AO ? 2OD D. 2 AO ? OD



????

????

????

????

????

????

????

????

b = a? c ,则 b ? c .②若 a ? (1,k ),b ? (?2, 6) , a ∥ b ,则 k ? ?3 . ①若 a ?
③非零向量 a 和 b 满足 | a |?| b |?| a ? b | ,则 a 与 a ? b 的夹角为 60 .
?

其中真命题的序号为 答案 ②

.(写出所有真命题的序号)

b ? 2 且 a 与 b 的夹角为 14. (2008 上海) 若向量 a ,b 满足 a ? 1,
答案

? ?

?

?

?

?

? ? ? , 则 a?b ? 3



7

,, 2) b ? (2, 3) ,若向量 ? a ? b 与向量 c ? (?4, ? 7) 共线, 15.(2008 全国 II)设向量 a ? (1
则? ? 答案 2

(2a ? b) 的值为 16.(2008 北京)已知向量 a 与 b 的夹角为 120 ,且 a ? b ? 4 ,那么 b?
?

答案

0

17.(2008 天津)已知平面向量 a ? (2, 4) , b ? (?1, 2) .若 c ? a ? (a ? b )b ,则

?

?

?

?

? ? ?

? | c |? _____________.
答案

8 2

18.(2008 江苏) a , b 的夹角为 120? , a ? 1 , b ? 3 则 5a ? b ? 答案 7

?

?

?

?

? ?



第二部分

四年联考题汇编

2013-2014 年联考题 一.基础题组 1.【张掖二中 2013—2014 学年度高三月考试卷(11 月)高
??? ? A(6, 2) , B(1,14) ,则与 AB 共线的单位向量为(
A. ( ) 三 数 学
(理科)

】已知点

12 5 12 5 , ? ) 或 (? , ) 13 13 13 13

B. (

5 12 ,? ) 13 13

C. ( ?

5 12 5 12 , ) 或( ,? ) 13 13 13 13

D. ( ?

5 12 , ) 13 13

2.【黑龙江省大庆实验中学 2013--2014 学年度上学期期中考试高三理科数学试题】在
?ABC 中, ?BAC ?

? ? ????? 3

????? ? ,| AB | ? 1,| AC | ? 2, 点 E , F 是边 BC 的三等分点,则

??? ? ??? ? AE ? AF __________

考点:平面向量的几何运算、平面向量数量积. 3.【黑龙江省双鸭山一中 2014 届高三上学期期中考试数学(理)试题】如图, ?ABC 中,

??? ? ??? ? ? ??? ? ? ? AD ? DB ,AE ? EC , CD 与 BE 交于 F , , )y 设 AB ? a ,AC ? b ,AF ? xa ? yb , 则 (x
为( )

A. ( , )

1 1 3 3

B. ( , )

2 2 3 3

C. ( , )

1 1 2 2

D. ( , )

2 1 3 2

4.【银川九中 2014 届高三年级第 4 次月考试卷(理科试卷)】已知平面向量 a ? (1 , 2) ,

?

? ? ? ? ? b ? (?2,m) ,且 a ∥ b ,则 2a ? 3b ? (
? 10) A. (?5,
【答案】D 【解析】



? 4) B. (?2,

? 6) C. (?3,

? 8) D. (?4,

5.【银川九中 2014 届高三年级第 4 次月考试卷(理科试卷)】设点 M 是线段 BC 的中点, 点 A 在直线 BC 外, BC ? 16 , | AB ? AC |?| AB ? AC | ,则 | AM |? ( A.2 B.4 C.6 D.8
2



6.【云南省昆明市 2014 届高三上学期第一次摸底调研测试理科试卷】在 ?ABC 中,

???? ? ??? ? ???? ? ???? ? ?CBA ? 90? , AB ? BC ? 1.点 M 满足 BM ? 2 AM ,则 CM ? CA ? ______.
【答案】 2 【解析】 试题分析:由题意,三角形的形状如下图,且

???? ? ??? ? ??? ? ???? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ? ??? ? ??? ? ???? ? ??? ? CM ? CA ? (CB ? BM ) ? CA ? CB ? CA ? BM ? CA ?| CB |2 ? | BM || BA |? 1? 2 ? 3 .

考点:1.平面向量的数量积运算.

二.能力题组 1.【黑龙江省大庆实验中学 2013--2014 学年度上学期期中考试高三理科数学试题】点 P 是
??? ? ??? ? ??? ? ? ?ABC 内一点且满足 4PA ? 3PB ? 2PC ? 0 ,则 ?PBC, ?PAC, ?PAB 的面积比为
( )

A. 4 : 3 : 2

B.2 : 3 : 4

C.1:1:1

D.3 : 4 : 6

考点:平面向量几何运算、三角形面积计算. 2.【内蒙古巴彦淖尔市一中 2014 届高三上学期期中考试理科数学】已知向量

? ? ? ? a ? (cos? , sin ? ), ? ?[0, ? ], b ? ( 3, ?1) .若 | 2a ? b |? m 恒成立则实数 m 的取值范围是

( ) A. [4, ? ?) B. (4, ? ?) C. (2, ? ?) D. (4, 10)

3.【内蒙古巴彦淖尔市一中 2014 届高三上学期期中考试理科数学】正三角形 ABC 中 D 是

??? ? ???? BC 上的点, ?ABD ? 600 , AB ? 4, BD ? 2 ,则 AB ? AD ? _________.
【答案】14 【解析】

4.【银川九中 2014 届高三年级第 4 次月考试卷(理科试卷) 】设向量

? ? ? ? ?? ? a ? ? cos ? , ?1? , b ? ? 2,sin ? ? ,若 a ? b ,则 tan ? ? ? ? = __________. 4? ?

三.拔高题组 1.【吉林省白山市高三摸底考试理科数学】 已知 A(
1 ,0) ,点 B 是 y 轴上的动点,过 B 作 4

AB 的垂线 l 交 x 轴于点 Q,若 AP ? AQ ? 2 AB , M ?4,0 ? .

(1)求点 P 的轨迹方程; (2)是否存在定直线 x ? a ,以 PM 为直径的圆与直线 x ? a 的相交弦长为定值,若存在, 求出定直线方程;若不存在,请说明理由。

2. 【2013 年云南省第二次高中毕业生复习统一检测理科数学】 已知 F1 、F2 分别是椭圆 E :
a2 x2 y2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 ) 的左、右焦点,点 P( 2 , 3 ) 在直线 x ? 上,线段 PF1 的垂直 b a 2 b2
平分线经过点 F2 .直线 y ? k x ? m 与椭圆 E 交于不同的两点 A 、 B ,且椭圆 E 上存在点

M ,使 OA ? OB ? ? OM ,其中 O 是坐标原点, ? 是实数.
(Ⅰ)求 ? 的取值范围; (Ⅱ)当 ? 取何值时, ? ABO 的面积最大?最大面积等于多少?

试题解析::(Ⅰ)设椭圆 E 的半焦距为 c ,根据题意得

∵ M 在椭圆 E 上,∴
2 2

1 ? 4km 2 2m [ ] ?[ ]2 ? 1 , 2 2 ? (1 ? 2k ) ? (1 ? 2k 2 )
2

化简得: 4m ? ? (1 ? 2k ) .
2 2 2 2 2 ∵ 1 ? 2k ? m ,∴ 4m ? ? m .

∵m ? 0,
2 ∴ ? ? 4 ,即 ? 2 ? ? ? 2 且 ? ? 0 .

综合(1)、(2)两种情况,得实数 ? 的取值范围是 (? 2 , 2 ) .

∴当 ? ? ? 2 时, ? ABO 的面积最大,最大面积为

2 2

考点:直线和椭圆的相关问题,综合考查考生的运算求解能力.

2012-2013 年联考题
1. 【 云 南 省 昆 明 一 中 2013 届 高 三 新 课 程 第 一 次 摸 底 测 试 理 】 已 知 点

? ???? ? ? M (5, ?6)和向量a ? (1, ?2), 若MN ? ?3a ,则点 N 的坐标为
A.(2,0) 【答案】A B.(-3,6) C.(6,2) D.(—2,0)

x,y) ,则 MN ? ( x ? 5, y ? (?6)) ? (?3,6) , 【解析】MN ? ?3a ? ?3(1, ?2) ? (?3,6) , 设 N(
所以 ?

???? ?

?

???? ?

? x ? 5 ? ?3 ?x ? 2 ,即 ? ,选 A. ?y ? 6 ? 6 ? y =0

???? 1 ???? 2. 【云南省玉溪一中 2013 届高三第四次月考理】 如右图,在△ ABC 中, AN ? NC , P 是 BN 3

上的一点,若 AP ? m AB ? A. 【答案】A

?? ?

?? ?

? 2 ?? AC ,则实数 m 的值为( 9

)

1 9

B

1 3

C. 1

D.

3

???? 1 ???? ???? 1 ???? ? ??? ? AN ? NC AN ? AC ??? 3 4 【解析】因为 ,所以 设 BP ? ? BN , ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? 则 AP ? AB ? BP ? AB ? ? BN ? AB ? ?( AB ? AN )

??? ? ???? ??? ? ? ???? ? ? 2 ? (? ? 1) AB ? ? AN ? (? ? 1) AB ? AC ?? ? ?? ? 2 ?? ? ?? ? 4 , 又 AP ? m AB ? AC ,所以有 ? 4 9 ,即 9 ? ?? ? 1 ? m

8 ? ??? ? ? 9 ,选 A. ? ?m ? 1 ? 9 ?
3.【云南省玉溪一中 2013 届高三第四次月考理】定义行列式运算

a1 a2 a3 a 4

= a1a4 ? a2 a3 .将

函数 f ( x) ? ( )

sin 2 x cos 2 x

3 1

的图象向左平移

? 个单位, 以下是所得函数图象的一个对称中心是 6

?? ? ? ,0? A. ? 4 ?

( , 0) B. 2

?

?? ? ? ,0? C. ? 3 ?

?? ? ? ,0? D. ? 12 ?

【答案】B 【解析】 由行列式的定义可知

f ( x) ?

sin 2 x cos 2 x

? sin 2 x ? 3 cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) ,函 3 1

3

?

的图象向左平移 数

? ? ? 个单位,得到的函数为 g ( x) ? 2sin[2( x ? ) ? ] ? 2sin 2 x ,所以有 6 6 3

g ( ) ? 2sin(2 ? ) ? 2sin ? ? 0 ,所以 ( , 0) 是函数 g ( x) 的一个零点,选 B. 2 2 2 ? ?? 4.【天津市天津一中 2013 届高三上学期一月考 理】已知向量 a, b, c 中任意两个都不共线,
且 a ? b 与 c 共线, b ? c 与 a 共线,则向量 a ? b ? c A.a 【答案】D 【解析】因为 a ? b 与 c 共线,所以有 a ? b ? mc ,又 b ? c 与 a 共线,所以有 b ? c ? na , 即 b ? mc ? a 且 b ? ?c ? na ,因为 a, b, c 中任意两个都不共线,则有 ? B.b C.c D.0

?

?

?

? ?

?

? ?

?

? ? ?

? ?

?

? ?

?

? ?

?

? ?

?

?

? ?

?

?

?

? ??

?m ? ?1 ,所以 ?n ? ?1

? ? ? ? ? ? ? ? ? b ? mc ? a ? ?c ? a,即 a ? b ? c ? 0 ,选 D.
5.【天津市新华中学 2012 届高三上学期第二次月考理】已知 a =(-3,2), b =(-1,0), 向量 ?a + b 与 a -2 b 垂直,则实数 ? 的值为 A. -

1 7

B.

1 7

C. -

1 6

D.

1 6

【答案】A 【解析】 ? a ? b ? (?3? ?1, 2? ), a ? 2b ? (?1, 2),因为向量 ?a + b 与 a -2 b 垂直,所 以 (? a ? b)? (a ? 2b) ? 0 ,即 3? ? 1 ? 4? ? 0 ,解得 ? ? ?

? ?
?

?

?

? ?

?

1 ,选 A. 7

6. 【山东省烟台市 2013 届高三上学期期中考试理】 已知向量 a、 b , 其中 a ?

2 ,b ? 2 ,

(a ? b) ? a ,则向量 a 和 b 的夹角是 且
A.

?
4

B.

?
2

C.

3? 4

D. ?

【答案】A 【解析】由题意知 (a ? b) ? a ? a ? a ? b ? 2 ? a ? b ? 0,? a ? b ? 2. 设 a 与 b 的夹角为 ? ,
2

则 cos ? ?

a ?b | a |?| b |

?

2 ? , ? ? . 故选 A,. 2 4

7.【山东省烟台市 2013 届高三上学期期中考试理】在 ?ABC 中, P 是 BC 边中点,角 A ,

B , C 的对边分别是 a , b , c ,若 cAC ? aPA ? bPB ? 0 ,则 ?ABC 的形状为
A. 等边三角形 C.直角三角形 【答案】A B.钝角三角形 D.等腰三角形但不是等边三角形.

??? ?

??? ?

??? ?

?

【 解 析 】 如 图 ,

由 c AC

?

??? ? ??? ? ? aPA ? bPB ? 0 知

c(PC ? PA) ? aPA ? bPC ? (a ? c)PA ? (c ? b)PC ? 0 ,而 PA 与 PC 为不共线向量,
? a ? c ? c ? b ? 0 ,? a ? b ? c. 故选 A.
8.【山东省泰安市 2013 届高三上学期期中考试数学理】已知 a 、 b 均为单位向量,它们的 夹角为 A. 7 【答案】C 【解析】因为 a ? 3b ? a ? 3b ? 2a? 3b ,所以 a ? 3b ? 1 ? 9 ? 2 ? 3cos

?

?

? ? ? ,那么 a ? 3b 等于 3
B. 10 C. 13 D.4

?

?2

?2

?2

? ?

?

?2

?
3

? 13 ,所以

? ? a ? 3b ? 13 ,选 C.

9.【山东省泰安市 2013 届高三上学期期中考试数学理】如图,已知正六边形 P1P2P3P4P5P6

下列向量的数量积中最大的是 A. PP 1 2 ? PP 1 3 C. PP 1 2 ? PP 1 5

???? ? ???? ?

B. PP 1 2 ? PP 1 4

???? ? ???? ? ???? ? ???? ?

???? ? ???? ?

D. PP 1 2 ? PP 1 6

【答案】A 【 解 析 】 设 正 六 边 形 的 边 长 为 1 , 则

???? ? ???? ? ???? ? ???? ? 3 3 ? PP ?PP PP cos30 1 2 ? PP 1 3 1 ? 23 ? 1 ? 3, 2 2 ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? ???? ? ? P PP PP 1P 2? 1P 6 ? 1 2? 1 5 ? PP 1 2 PP 1 5 cos90 ? 0 , P
的选 A.

???? ? ???? ? ???? ? ???? ? 1 ? PP PP ?1 , 1 2? 1 4 ? PP 1 2 PP 1 4 cos 60 ? 2 ? 2 ???? ? ???? ? 1 ? P , 所以数量积最大 1P 2 P 1P 6 cos120 ? ? 2

10. 【 山 东 省 实 验 中 学 2013 届 高 三 第 一 次 诊 断 性 测 试 理 】 已 知 向 量

? ? ? ? ? ? a ? ( 3,1), b ? (0,1), c ? (k, 3), 若a ? 2b与c垂直, 则k ?
A.—3 【答案】A 【 解 析 】 因 为 a ? 2b与c 垂 直 , 所 以 有(a ? 2 b ) ?c = 0, 即 a? c? 2 b ? = c 0, 所 以 B.—2 C.l D.-l

?

? ?

?

? ?

? ?

? ?

3k ?

k ? ?3 ,选 A. 3 ? 2 3? ,解得 0

11. 【 山 东 省 师 大 附 中 2013 届 高 三 12 月 第 三 次 模 拟 检 测 理 】 非 零 向 量 a, b 使 得

? ?

? ? ? ? | a ? b |? | a | ? |b 成立的一个充分非必要条件是( |



? ? A . a / /b
【答案】B

? ? ? B. a ? 2b ? 0

C.

? ? a b ? ? ? |a| |b|

D.

? ? a?b

【解析】要使 | a ? b |?| a | ? | b | 成立,则有 a, b 共线且方向相反,所以当 a ? 2b ? 0 时,满 足 a ? ?2b ,满足条件,所以选 B. 12.【山东省济南外国语学校 2013 届高三上学期期中考试 理科】已知向量 a=(2,1),b= (-1,k),a·(2a-b)=0,则 k=( ) A. -12 B. -6 C. 6 D. 12

? ?

?

?

? ?

?

?

?

?

?

【答案】D 【解析】因为 a? (2a ? b) ? 0 ,即 (2,1)?(5, 2? k ) ? 0,所以 10+2 ? k ? 0 ,即 k ? 12 ,选 D. 13. 【 山 东 省 聊 城 市 东 阿 一 中 2013 届 高 三 上 学 期 期 初 考 试 】已知向量

?

? ?

?

a ? (2,1), a? b ? 10, a ? b ? 5 2 ,则 b ?

? ?

?

?

?





A.

5

B. 10

C. 5

D. 25

【答案】C 【解析】因为 a ? (2,1), a ? b ? 10, a ? b ? 5 2 ? (a ? b) ? 50 ? a ? 2 a ?b ? b ,解得可
2
?

?

? ?

?

?

?

?

?2

? ?

?2

知 b ? 5,选 C 14. 【 山 东 省 临 沂 市 2013 届 高 三 上 学 期 期 中 考 试 理 】 设 x, y ? R, 向 量

? ? a ? ( x, 1 )b ,?
A. 5 【答案】B

? ? ? ? ? ? ? (y 1, c ?) , ? 且 ( 2 , a? 4), c 则 b c, ? /a / ,b |
B. 10 C. 2 5

|
D.10

【解析】因为 a ? c, 所以 2 x ? 4 ? 0 ,解得 x ? 2 ,又 b // c , 所以 2 y ? 4 ? 0 ,所以 y ? ?2 , 所以 a ? b ? ( x ? 1,1 ? y) ? (3, ?1) ,所以 | a ? b |? 10 ,选 B. 15.【山东省临沂市 2013 届高三上学期期中考试理】在△ABC 中,AB=4,∠ABC=30°,D 是边 BC 上的一点,且 AD ? AB ? AD ? AC, 则 AD ? AB 的值等于 A.—4 【答案】C 【解析】由 AD ? AB ? AD ? AC, 得 AD ? ( AB ? AC) ? AD ? CB ? 0 , 即 AD ? CB ,所以 B.0 C.4 D.8

?

?

?

?

? ?

? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

???? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

???? ??? ? ??? ?

???? ??? ?

????

??? ?

???? ??? ? ???? 1 ? AD ? 2, ? BAD ? 60 ,所以 AD ? AB ? 4 ? 2 ? ? 4 ,选 C. 2
函数 f ( x) ? (ax ? b)2 (x ? R) 是 A. 既是奇函数又是偶函数 C. 偶函数 【答案】C B. 非奇非偶函数 D. 奇函数

16.【山东省青岛市 2013 届高三上学期期中考试理】已知非零向量 a 、 b ,满足 a ? b ,则

?

?

?

?

?

?

b ? 0 ,所以 f ( x) ? (ax ? b) ? a x ? b ,所以 【解析】因为 a ? b ,所以 a?
2 2

?

?

??

?

?

?2

?2

? ? f ( x) ? (ax ? b)2 为偶函数,选 C.
17.【山东省实验中学 2013 届高三第一次诊断性测试理】已知点 O 为△ABC 内一点,且

??? ? ??? ? ??? ? ? OA ? 2OB ? 3OC ? 0, 则△AOB、△AOC、△BOC 的面积之比等于

A.9:4:1 【答案】C

B.1:4:9

C.3:2:1

D.1:2:3

【解析】, 延长 OB 到 B ' ,使 OB ' ? 2OB ,延长 OC 到 C ' ,使 OC ' ? 3OC ,连结 B ' C ' ,取 B ' C ' 的中 点 A ' ,则 2OB ? 3OC ? 2OA ' ? ?OA, 所以 A, O, A ' 三点共线且 O 为三角形 AB ' C ' 的 重心, 则 S?AOB ' ? S?AOC ' =S?B 'OC ' , 在△AOB’中, B 为 OB‘边中点, 所以 S ?AOB ? 中, C 为 OC‘边近 O 端三等分点, 所以 S ?AOC ? 中点,所以 S ?BOC ' ?

??? ?

??? ?

????

??? ?

1 S ?AOB ' ,在△AOC’ 2

1 S ?AOC ' 。 在△B'OC'中, 连 BC', B 为 OB‘边 3

1 S ?B 'OC ' ,在△BOC'中,C 为 OC‘边近 O 端三等分点,所以 2 1 1 S ?BOC ? S ?BOC ' ? S ?B 'OC ' ,因为 S?AOB ' ? S?AOC ' =S?B 'OC ' ,所以△AOB: △AOC: △BOC 3 6 1 1 1 面积之比为 :: =3 : 2 :1 ,选 C. 2 3 6
18.【山东省青岛市 2013 届高三上学期期中考试理】已知 O 是 △ ABC 所在平面内一点, D 为 BC 边中点,且 2OA ? OB ? OC ? 0 ,则 A. AO ? 2OD 【答案】B 【解析】因为 D 为 BC 边中点,所以由 2OA ? OB ? OC ? 0 得 OB ? OC ? ?2OA ? 2 AO , 即 2OD ? 2 AO ,所以 AO ? OD ,选 B.

??? ? ??? ? ??? ?
B. AO ? OD

?

????

????

????

????

C. AO ? 3OD

????

????

D. 2 AO ? OD

????

????

??? ? ??? ? ??? ?

?

??? ? ??? ?

??? ?

????

????

????

????

????

b, 19. 【 山东省滨州市滨城区一中 2013 届高三 11 月质检数学理】 已知向量 a , 则a ?b ? 0
是 a ? b 的( )条件 A.充分不必要 C.充要 【答案】B 【解析】因为向量错误!未找到引用源。中有可能为零向量,所以错误!未找到引用源。时, 推不出错误!未找到引用源。。若错误!未找到引用源。,所以错误!未找到引用源。,所以
错误!未找到引用源。是错误!未找到引用源。的必要不充分条件.

?

?

?

?

?

?

B.必要不充分 D.既不充分也不必要

20.【 山东省滨州市滨城区一中 2013 届高三 11 月质检数学理】己知平面向量
, 与 的夹角为 60°, 则“

满足

m ? 1 ” 是 “ (a ? mb) ? a ”的

?

?

?

(A) 充分不必要条件 (C) 充要条件 【答案】C

(B) 必要不充分条件 (D) 既不充分也不必要条件

? 【解析】由 (a ? mb) ? a 得, (a ? mb)? a ? a ? ma? b ? 0 ,即 a ? m a ?b cos 60 ? 0 ,

?

?

?

?

? ?

?2

??

?2

? ?

所以 1 ? m ? 0 ,所以 m ? 1 ,即“ m ? 1 ” 是 “ (a ? mb) ? a ”的充要条件,选 C. 21.【 山东省滨州市滨城区一中 2013 届高三 11 月质检数学理】向量 a ? (2,0) , b =(x, y) 若 b 与 b - a 的夹角等于

?

?

?

?

?

?

? ?

? π ,则 b 的最大值为( 6
C.4

)

A.2 【答案】C

B. 2 3

D.

4 3 3
? ? ?

【解析】由题意可知 a, b 不共线 且 a ? 2 ,则有 a ? b ? a ? b ? 2 b ? a ?b cos

? ?

?

?2

? ?2

?2

?
6

,即

? ?2 ? ? ? ?2 ? ?2 ?2 ? ? ? 3 4 ? b ? a ? b ? 2 b ?b ? a ? , 即 b ? a ? 3 b ?b ? a ? b ? 4 ? 0 , 则 判 别 式 2 ? ? ?2 ?2 ?2 ?2 ? ? ? ( 3 b )2 ? 4( b ? 4) ? 0 ,即 3 b ? 4 b ? 16 ? 0 ,所以 b ? 16 ,即 b ? 4 ,所以 b
的最大值为 4,选 C.

22. 【 北 京 市 东 城 区 普 通 校 2013 届 高 三 12 月 联 考 数 学 ( 理 ) 】 已 知 向 量

a ? (1, 2 ) b,?
【答案】 ? ?

( 1 ,c0 ?) ,

. 若 则 ? 的值为 ( 3? , 为实数, 4) (a ? ?b) / /c ,

?

?

?



5 1 3 2 ? ? ? ? ? 【解析】a ? ?b ? (1, 2) ? ? (1,0) ? (1 ? ?, 2) ,因为 (a ? ?b) / / c ,所以 4(1 ? ? ) ? 3 ? 2 ? 0 ,
解得 ? ?

1 。 2

23.【山东省师大附中 2013 届高三 12 月第三次模拟检测理】下列命题中,正确的是 ①平面向量 a 与 b 的夹角为 60 , a ? (2,0) , b ? 1 ,则 a ? b ?
0

?

?

?

?

?

?

7

? ? ? ? 3π π, ?,则 a ? b ②已知 a ? sin ? , 1 ? cos ? , b ? 1, 1 ? cos ? ,其中 θ∈? 2? ?

?

?

?

?

??? ? ???? ??? ? ??? ? ? AB AC ? ? ③ O 是 ?ABC 所在平面上一定点,动点 P 满足: OP ? OA ? ? ? ? sin C sin B ? ?, ? ?

? ? ? 0, ??? ,则直线 AP 一定通过 ?ABC 的内心
【答案】①②③

【 解 析 】 ① 中 ,

? a ?2

? ? a? b ?
, 所 以 , 所 以

? ? ? ?2 ?2 ?2 a ? b ? a ? b ? 2a? b ? 1? 4 ? 2 ? 7

? ? ? 1 ac o b s 6 ?0 ? 2 ? 1 2 , 所 以 ? ? a ?b ? 7

, 正 确 。 ② 中 ,

?? a? b ? s i? n?
? ? a? b?s ? ?

? 1 ?c o?s
? i
2

?1? c ? o? s
?? ?
1

?s i? n ?

(? 1

cos , ) (1

c即 os
s

)
i

? ?n

,因为

? ? (? c,

3? ) o ?s? 0 2 ,所 以 sin ,所以

?? a? b?sin ? ? s? i n?
AB AC ? ? 2R sin C sin B

? si ?n ? s ?i n

? ? 0 a ,即 ? b ,正确。③中,根据正弦定理可知
s C? i AB n 2R B? AC 2R ,


s


i

n







??? ? ???? ??? ? ???? ???? ???? ???? A ??? ?B A B A C AB A AC C ???? ??? ? ?( ? ? R )? ? 2 ( OP ? OA? 2 R ) ?( ? ) ? AP s C i n B s i A A AB C AC ,n 即 B , 即 AP 与
?BAC 的角平分线共线,所以直线 AP 一定通过 ?ABC 的内心,正确,所以正确的命题为
①②③。 24.【山东省烟台市莱州一中 20l3 届高三第二次质量检测 (理)】已知点 P 是△ABC 的中

位 线

EF

上 任 意 一 点 , 且

EF//BC , 实 数

x , y

满 足

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , SC ,记 P ? A x ? P B 0设 ? y . P C ? , ? A, B ? C 的面积分别为 , P? B C SP A A B 1,S 2 , S3P
S S1 S ? ?1 , 2 ? ?2 , 3 ? ?3 ,则 ?2 ? ?3 取最大值时,2x+y 的值为________. S S S 3 【答案】 2 S ? S3 2 1 ( 2 ) S S 1 ,当且仅当 S2 ? S3 S ? S ? S ? S 【解析】由题意知 1 2 3 2 2 3, ? ? ? ? ? 2 2 3 2 2 S S 16 ??? ? ??? ? ? 时取等号,此时点 P 在 EF 的中点,所以 PF ? PE ? 0 ,由向量加法的四边形法则可得,

??? ? ??? ? ??? ? PA ? PB ? 2 PE



??? ? ??? ? ??? ? PA ? PC ? 2PF







??? ? ??? ? ??? ? ? 2PA ? PB ? PC ? 0





??? ? 1 ??? ? 1 ??? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? 1 3 PA ? PB ? PC ? 0 ,又 PA ? xPB ? yPC ? 0 ,所以 x ? y ? ,所以 x ? 2 y ? 。 2 2 2 2
25.【天津市新华中学 2012 届高三上学期第二次月考理】 若向量 a ,b 满足| a |=1,| b |=2 且 a 与 b 的夹角为 【答案】 7

? ,则| a + b |=________。 3
? ?

b ? a b cos 【解析】a?

? ?

?
3

? 2?

? ? 所以 a ? b ? 7 。

? ?2 ?2 ?2 ? ? 1 ?1, 所以 a ? b ? a ? b ? 2a? b ? 1? 4 ? 2 ? 7 , 2

26.【天津市新华中学 2012 届高三上学期第二次月考理】 已知 OA =1, OB = 3 ,

OA · OB =0,点 C 在∠AOB 内,且∠AOC=30°,设 OC =m OA +n OB (m,n∈R),则
m =________。 n
【答案】3 【解析】因为 OA? OB ? 0 , 所以 OA ? OB ,以 OA, OB 为边作一个矩形,对角线为

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

3 AC 1 AC 3 3 ? OD ? 2 .因为∠AOC=30°, ? 3 ? , ? 所以 tan 30 ? ,所以 AC ? ,所以 OB OA 3 3 3 3
即 AC ?

????

? ???? ??? ? ???? ??? ? 1 ??? ? 1 ??? 1 m OB 。又 OC ? OA ? AC ? OA ? OB ,所以 m ? 1, n ? ,所以 ? 3 如图 3 3 3 n

。 27.【 山东省滨州市滨城区一中 2013 届高三 11 月质检数学理】(本题满分 12 分)在边长 为 1 的等边三角形 ABC 中,设 BC ? 2 BD , CA ? 3 CE (1)用向量 AB, AC 作为基底表示向量 BE (2)求 AD ? BE
? ?? ? ??

? ??

? ??

? ??

? ??

? ?? ? ??

? ??

【答案】(1) BE = BA ? AE = ? AB ?
? ?? ? ?? ? ??
? ??

? ??

? ??

? ??

? ??

?? 2? AC ————————————4 分 3

(2) AD ? BE = AD ? ( ? AB ?
? ?? ? ??

? ?? ?? ? ? ?? ?? ?? 2? 2 ? AC )= AD ? (? AB ) + AD ? AC ———6 分 3 3

= AD ? AB cos150 +
0

?? ? ?? 2? AD ? AC cos300 ——————————9 分 3

=

3 3 2 3 3 1 =- ———————————12 分 ? 1 ? (? )+ ? ? 1? 4 2 2 3 2 2

28.【云南省玉溪一中 2013 届高三第三次月考 理】(本小题满分 12 分)已知定点 A(1, 0) 和 定直线 x ? ?1上的两个动点 E 、 F ,满足 AE ? AF ,动点 P 满足 EP // OA, FO // OP (其中 o 为坐标原点). (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)过点 B(0, 2) 的直线 l 与(1)中轨迹 C 相交于两个不同的点 M 、 N ,若 AM ? AN ? 0 ,求 直线 l 的斜率的取值范围. 【答案】解:(1)设 P( x, y), E(?1, y1 ), F (?1, y2 )( y1 、 y 2 均不为 0) 由 EP // OA 得y1 ? y,即E(?1, y) ????????????2 分 由 FO // OP得y 2 ? ?

y y , 即 F ( ?1,? ) ????????????4 分 x x

由 AE ? AF 得 AE ? AF ? 0 ? (2,? y1 ) ? (2, y2 ) ? 0 ? y1 y2 ? ?4 ? y 2 ? 4x( x ? 0) ∴动点 P 的轨迹 C 的方程为 y 2 ? 4 x( x ? 0) ????????6 分 (2)设直线 l 的方程 y ? kx ? 2(k ? 0), M (

y12 y2 , y1 ), N ( 2 , y 2 ) 4 4

? y ? kx ? 2 消去x得ky 2 ? 4 y ? 8 ? 0 2 ? y ? 4x 4 8 ? y1 ? y 2 ? , y1 y 2 ? , ????????????8 分 k k 1 且 ? ? 16 ? 32 k ? 0即k ? . 2
联立得 ?

? AM ? AN ? (
?

y12 y2 y2 y2 ? 1, y1 ) ? ( 2 ? 1, y 2 ) ? ( 1 ? 1)( 2 ? 1) ? y1 y 2 4 4 4 4

2 2 y1 y2 1 2 2 ? ( y1 ? y 2 ) ? y1 y 2 ? 1 16 4

?

4 1 16 16 8 k ? 12 ? ( 2 ? ) ? ?1 ? 2 4 k k k k k

??????????10 分

? AM ? AN ? 0,? ?12 ? k ? 0.

????????????12 分

2011-2012 年联考题
1.(2012· 黄冈模拟)已知向量 a=( 3,1),b=(0,-2).若实数 k 与向量 c 满足 a+2b=kc,则 c 可以是 A.( 3,-1) C.(- 3,-1) 解析 B.(-1,- 3) D.(-1, 3)

a+2b=( 3,1)+2(0,-2)=( 3,-3),

∵a+2b=kc, ∴k=- 3时,c=(-1, 3). 答案 D

→ |=3,|BC → |=4,|CA →| 2.(2012· 滁州模拟)已知平面上三点 A、B、C 满足|AB →· → +BC →· → +CA →· → 的值等于 =5,则AB BC CA AB A.25 C.-25 B.24 D.-24

解析

3 4 由勾股定理知△ABC 是直角三角形,cos A=5,cos C=5,

→· → +BC →· → +CA →· → 则AB BC CA AB ? 4? ? 3? =0+4×5×?-5?+3×5×?-5?=-25. ? ? ? ? 答案 C

? 3 3 3? →· → =3, → ?, 3. (2012· 南昌模拟)若△ABC 的面积 S△ABC∈? , 且AB BC 则AB 2 ? ?2 → 夹角的取值范围是 与BC ?π π? A.?3,2? ? ? ?π π? C.?6,4? ? ? ?π π? B.?4,3? ? ? ?π π? D.?6,3? ? ?

解析

→ 与BC → 的夹角为 θ,则AB →· → =|AB → ||BC → |cos θ=3, 设AB BC

→ |= 3 , ∴|AB||BC cos θ 1→ → ∴S△ABC=2|AB ||BC|sin(π-θ) 3 ? 3 3 3? ?, =2tanθ∈? , 2 ? ?2 ? 3 ? ∴tan θ∈? , 3?. 3 ? ? ?π π? 又 θ∈[0,π],∴θ∈?6,3?. ? ? 答案 D

4.(2012· 大连模拟)已知向量 a=(sin θ,cos θ),b=(3,4),若 a⊥b,则 tan 2θ 等于 24 A. 7 24 C.-25 解析 6 B.7 24 D.- 7

4 a· b=3sin θ+4cos θ=0,∴tan θ=-3,

2tan θ 24 ∴tan 2θ= 2 = . 1-tan θ 7 答案 A

→ +AB → +AC → =0, 5. (2012· 福州模拟)在△ABC 所在平面内有一点 O, 满足 2OA → |=|OB → |=|AB → |=1,则CA →· → 等于 |OA CB A. 3 C.3 解析 → +AB → +AC → =0, 如图所示,∵2OA 3 B. 2 3 D.2

→ =-(AB → +AC → ), ∴2OA ∴O 是 BC 的中点. → |=|OB → |=|AB → |=1,|OC → |=1, 又∵|OA ∴∠AOB=60° ,∠AOC=120° ,∠OCA=30° ,

由余弦定理得 AC= 3, →· → =|CA → |· → |· ∴CA CB |CB cos ∠OCA 3 = 3×2× 2 =3. 答案 C

6.(2012· 房山一模)如图,边长为 1 的正方形 ABCD 的顶点 A、D 分别在 x →· → 的最大值是 轴、y 轴正半轴上移动,则OB OC

A.2 C.π

B.1+ 2 D.4

解析

π 设∠BAx=θ,则∠OAD=∠CDy=2-θ,∠ADO=θ,

∴A 点的坐标为(sin θ,0),D 点的坐标为(0,cos θ), 由此可知 B(sin θ+cos θ,sin θ),C(cos θ,cos θ+sin θ), →· → =cos θ(sin θ+cos θ)+sin θ(cos θ+sin θ) ∴OB OC =sin 2θ+1, π →· → 的最大值为 2. ∴当 θ=4时,OB OC 答案 A

7.(2012· 台州模拟)设向量 a=(cos θ,1),b=(1,3cos θ),且 a∥b,则 cos 2θ =________. 解析 1 ∵a∥b,∴cos2θ=3,

1 ∴cos 2θ=2cos2θ-1=-3. 答案 1 -3

→ =2DC → ,AD → =mAB → +nAC → ,则 8.(2012· 南京师大附中模拟)在△ABC 中,BD m n =________. 解析 → =AB → +BD → =AB → +2BC → AD 3

→ +2(AC → -AB → )=1AB → 2→ =AB 3 3 +3AC, 1 2 m 1 ∴m=3,n=3,∴ n =2. 答案 1 2

9.(2012· 安徽六校联考)给出下列命题,其中正确的命题是________(写出所 有正确命题的编号). ①非零向量 a、b 满足|a|=|b|=|a-b|,则 a 与 a+b 的夹角为 30° ; ②已知非零向量 a、b,则“a· b>0”是“a、b 的夹角为锐角”的充要条件;

→ → → → ③命题“在三棱锥 O-ABC 中,已知OP=xOA+yOB-2OC,若点 P 在△ ABC 所在的平面内,则 x+y=3”的否命题为真命题; → +AC → )· → -AC → )=0,则△ABC 为等腰三角形. ④若(AB (AB 解析 → =a,AD → =b, ①如图所示,AB

→ =b-a, 则BD ∵|a|=|b|=|a-b|, ∴平行四边形 ABCD 为菱形,且△ABD 是等边三角形,且∠BAC=30° , → =a+b,则 a 与 a+b 的夹角为 30° ∴AC ,故①正确; ②当 a、b 的夹角为 0° 时,a· b>0,故②错; ③原命题的逆命题为“若 x+y=3,则点 P 在△ABC 所在的平面内”. ∵x+y=3,∴y=3-x, → =xOA → +(3-x)OB → -2OC → =xOA → +3OB → -xOB → -2OC →, ∴OP → -OB → =x(OA → -OB → )+2(OB → -OC → ), 即OP → =xBA → -2BC →, ∴BP 根据平面向量基本定理知 P 在△ABC 所在的平面内,故③正确; → +AC → )· → -AC → )=|AB → |2-|AC → |2=0, ④(AB (AB → |=|AC → |, ∴|AB 则△ABC 为等腰三角形. 答案 ①③④

10.(2012· 西城一模)在△ABC 中,已知 sin(A+B)=sin B+sin(A-B). (1)求角 A; → |=7,AB →· → =20,求|AB → +AC → |. (2)若|BC AC 解析 (1)原式可化为 sin B=sin(A+B)-sin(A-B)=2cos Asin B,

1 因为 B∈(0,π),所以 sin B>0,所以 cos A=2, π 因为 A∈(0,π),所以 A=3. → |2=|AB → |2+|AC → |2-2|AB → ||AC → |· (2)由余弦定理,得|BC cos A, → |=7,AB →· → =|AB → ||AC → |· 因为|BC AC cos A=20, → |2+|AC → |2=89, 所以|AB → +AC → |2=|AB → |2+|AC → |2+2AB →· → =129, 因为|AB AC → +AC → |= 129. 所以|AB 5 ? ? 11.已知平面向量|a|=2,|b|=1,且(a+b)⊥?a-2b?,求 a 与 b 的夹角. ? ? 解析 5 ? 5 3 ? 因为(a+b)⊥?a-2b?,所以 a2-2b2-2a· b=0. ? ?

又因为|a|=2,|b|=1,所以 a2=4,b2=1, 5 3 所以 4-2-2a· b=0,所以 a· b=1. 又 a· b=|a|· |b|cos 〈a,b〉=1, 1 所以 cos 〈a,b〉=2. π 又 a 与 b 的夹角范围为[0,π],所以 a 与 b 的夹角为3. 3? ? 12.已知向量 a=?sin x,4?,b=(cos x,-1). ? ? (1)当 a∥b,求 cos2x-sin 2x 的值; (2)设函数 f(x)=2(a+b)· b, 已知在△ABC 中, 内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 π?? ? π?? 6 ? b、c,若 a= 3,b=2,sin B= 3 ,求 f(x)+4cos? 2A+6??x∈?0,3??的取值范 ? ?? ? ?? 围. 解析 (1)∵a∥b,

3 3 ∴4cos x+sin x=0,∴tan x=-4, cos2x-2sin xcos x 1-2tan x 8 ∴cos x-sin 2x= = = . sin2x+cos2x 1+tan2x 5
2

π? 3 ? (2)f(x)=2(a+b)· b= 2sin?2x+4?+2, ? ? a b 由正弦定理,得sin A=sin B, 2 π 可得 sin A= 2 ,∴A=4. π? π? 1 ? ? f(x)+4cos?2A+6?= 2sin?2x+4?-2, ? ? ? ? π? π ?π 11π? ? ∵x∈?0,3?,∴2x+4∈?4, 12 ?. ? ? ? ? π? 3 1 ? ∴ 2 -1≤f(x)+4cos?2A+6?≤ 2-2. ? ?

2011 年联考题
题组一 一、选择题 1.(宁夏银川一中 2011 届高三第五次月考试题全解全析理)
a, b是不共线的向量 , 若AB ? ?1 a ? b, AC ? a ? ?2 b(?1 , ?2 ? R) ,则 A、B、C 三点共线的充要

条件为



) C. ?1 ?? 2 ?1 ? 0 D. ?1 ? 2 ?1 ? 0

A. ?1 ?? 2 ? ?1 B. ?1 ? ? 2 ? 1 【答案】D

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? A , B , C AC , AB AC , AB 【分析】由于向量 由公共起点,因此三点 共线只要 共线即可,根
??? ? ??? ? ? AC ? ? AB 据向量共线的条件即存在实数 使得 ,然后根据平面向量基本定理得到两个方
程,消掉 ? 即得结论。

??? ? ??? ? ???? ??? ? AC , AB ? AC ? ? AB 【解析】只要要 共线即可,根据向量共线的条件即存在实数 使得 ,

? ? ? ? ? ? 1 ? ??1 且 ?2 ? ? ,消 a ? ? b ? ? ( ? a ? b ) a 2 1 即 ,由于 , b 不共线,根据平面向量基本定理得
掉? 得

?1?2 ? 1 。

【考点】平面向量。 【点评】 向量的共线定理和平面向量基本定理是平面向量中的两个带有根本意义的定理, 平 面向量基本定理是平面内任意一个向量都可以用两个不共线的向量唯一地线性表示, 这个定

? ? ? ? ? ? ? a ? ? b ? ? a ? ? b a , b 1 2 1 2 理的一个极为重要的导出结果是, 如果 不共线, 那么 的充要条件


?1 ? ?1 且 ?2 ? ?2 。

2.(浙江省金丽衢十二校 2011 届高三第一次联考文)

? ? ? ? ? ? 120 ? ,a ? ( ? 2,0),| b | ? 1, 则 | a ?b| a 与 b 平面向量 的夹角为
A.3 答案 B. B. 3 C.7 D. 7





? ? ? ? a ? (1,2), b ? ( ? 1, m ) a 3.(山东省日照市 2011 届高三第一次调研考试文) 设平面向量 , 若 // b ,
则实数 m 的值为 (A) ?1 答案 B. (B) ?2 (C) 1 (D) 2

4. (山东省莱阳市 2011 届高三上学期期末数学模拟 6 理) 已知 a ? (?5,6),b ? (6,5) , 则a 与

b(



A、垂直 B、不垂直也不平行 C、平行且同向 D、平行且反向 答案 A. 5.(吉林省东北师大附中 2011 届高三上学期第三次模底考试理) 已知向量

? ? ? ? ? a ? ? cos 75?, sin 75? ?, b ? ? cos 15?, sin 15? ?,那么 | a ? b |

的值是





1 A. 2

3 2 B. 2 C. 2

D.1

答案 D. 6.(湖南省嘉禾一中 2011 届高三上学期 1 月高考押题卷)在平行四边形 ABCD 中, AC 与
BD 交于点 O, E 是线段 OD 的中点, AE 的延长线与 CD 交于点 F .若 AC ? a , BD ? b ,则
???? AF ?

??? ?

?

??? ?

?




2? 1? a? b 3 B. 3 1? 2? a? b 3 D. 3

1? 1? a? b 2 A. 4 1? 1? a? b 4 C. 2

答案 B. 7.(湖北省涟源一中、双峰一中 2011 届高三第五次月考理)已知 ?ABC 和点 M 满足

???? ???? ???? ? ? MA ? MB ? MC ? 0 .若存在实 m 使得 ??? ? ???? ???? ? AB ? AC ? mAM 成立,则 m =
A.2 答案 B. B.3 C.4 D.5





???? 1 ???? AN ? NC 8. 3 (湖北省八校 2011 届高三第一次联考理)如图,在 ?ABC 中, , P 是 BN
A N P

??? ? ??? ? 2 ???? AP ? m AB ? AC 11 上的一点,若 ,则实数 m 的值为(



A. 3 C. 11
答案 C.

9 11

5 B. 11 2 D. 11

9.(黑龙江省佳木斯大学附属中学 2011 届高三上学期期末考试理)已知向量 a =(-2,1),

?

? ? ? b =(-3,0),则 a 在 b 方向上的投影为
A.-2 B. 5 C.2

(

)

D.- 5

答案 C. 10.(黑龙江省哈九中 2011 届高三期末考试试题理)

??? ? ??? ? ??? ??? ? ??? ? OB ? (2,0), OC ? (2, 2), CA ? ( 2 cos ? , 2 sin ? ) OA OB 已知 ,则 与 夹角的取值
范围是 ( )

?? ?? ? 12 , 3 ? ? A. ?
答案 C.

? ? 5? ? ? 4 , 12 ? ? B. ?

? ? 5? ? ? 12 , 12 ? ? C. ?

? 5? ? ? ? 12 , 2 ? ? D. ?

? ? a 11.(河南省鹿邑县五校 2011 届高三 12 月联考理)若两个非零向量 , b 满足 ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ?b ? a ?b ? 2 a a ,则向量 ? b 与 a ? b 的夹角是( )

? A. 6
答案 C.

? B. 3

2? C. 3

5? D. 6

12. (河南省焦作市部分学校 2011 届高三上学期期终调研测试理)如图,向量 A.

等于

B. C.

D. 答案 D. 13.(广东省高州市南塘中学 2011 届高三上学期 16 周抽考理)

n ? ? ? ? ? ( m ? 0) a ? (2 , 3) , b ? ( ? 5 , ? 1) 已知向量 ,若 ma ? nb 与 a 垂直,则 m 等于(
A. ?1 答案 C. B.0 C.1 D.2



14.(广东六校 2011 届高三 12 月联考文) 已知平面向量 a ? (3,1), b ? ( x, ?3) ,且 a ? b , 则x? A. ? 3 答案 C. 15.(北京四中 2011 届高三上学期开学测试理科试题)已知 ,乙: ,则甲是乙的( ) B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 为非零的平面向量,甲: B. ?1 C. 1 D. 3

?

?

?

?

A. 充分不必要条件 C. 充要条件 答案 B.

16.(北京五中 2011 届高三上学期期中考试试题理) 设非零向量 a, b 满足

a ? b ? a ? b,
( A) 30°

,则 a 与 a ? b 的夹角为(



( B ) 60°

(C ) 90°

( D) 120°

答案 D. 17.(福建省安溪梧桐中学 2011 届高三第三次阶段考试理)

? a ? (cos ? , ? 2 ), b ? (sin ? , 1 ) 且 a b 已知向量 ∥ ,则 2sin ? cos ? 等于(
A.3 B.-3



4 C. 5

4 D.- 5

答案 D. 18.(福建省惠安荷山中学 2011 届高三第三次月考理科试卷)

, 若AB ? ?1 a ? b, AC ? a ? ?2 b(?1 , ?2 ? R) , 已知 a, b是不共线的向量 则 A、 B、 C 三
点共线的充要条件为 ( ) D. A. ?1 ?? 2 ? ?1 B ?1 ?? 2 ? 1 C. ?1? 2 ?1 ? 0 答案 B.

?1 ? ?2 ? 1 ? 0

19.(福建省四地六校 2011 届高三上学期第三次联考试题理) 已知向量 a ? (0,2,1),b ? (?1,1,?2),则a与b 的夹角为( A.0° B.45° C.90° 答案 C. 20.(福建省厦门双十中学 2011 届高三 12 月月考题理) ) D.180°

" x ? 2"是" a // b" 的( 设向量 a ? (1, x ? 1),b ? ( x ? 1,3),则
A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A. 21.(福建省厦门外国语学校 2011 届高三 11 月月考理)



, 若AB ? ?1 a ? b, AC ? a ? ?2 b(?1 , ?2 ? R) ,则 A 、 B 、C 已知 a, b是不共线的向量
三点共线的充要条件为 A. ?1 ?? 2 ? ?1 B ?1 ?? 2 ? 1 C. ?1? 2 ?1 ? 0 答案 C. 二、填空题 22.(宁夏银川一中 2011 届高三第五次月考试题全解全析理)已知和 b 的夹角为 120? , D. ?1 ?? 2 ?1 ? 1

?

? ? | a |? 1,| b |? 3 ,则 a ? b ?
【答案】 13 【分析】根据向量模的含义



? ? 2 ? ?? ? ? ?? ? ?2 ?2 ? ? a ? b ? (a ? b)? (a ? b) ? a ? b ? 2a? b

,讲已知代入即可。

? ?2 ? ?? ? ? ?? ? ?2 ?2 ? ? 1 a ? b ? (a ? b)?(a ? b) ? a ? b ? 2a ? b ? 1 ? 9 ? 2 ?1? 3 ? (? ) ? 13 2 【解析】 ,故 ? ? a ?b ? 1 3
。 【考点】平面向量。 【点评】本题考查平面向量数量积的计算和平面向量模的概念,其中主要的考查点是

?2 ? ? a ? a?a

,这个关系揭示了平面向量的数量积和模的关系。本题也可以根据向量减法的几

何意义,通过余弦定理解决,实际上我们在【解析】中的计算式就是余弦定理的计算式。

v a 23. (山东省莱阳市 2011 届高三上学期期末数学模拟 6 理)已知平面向量 ? (1, ?3) , v v v v b ? (4, ?2) , ? a ? b 与 a 垂直,则 ? ? _______.
答案 -1

?? ?? ? e e 24.(黑龙江省佳木斯大学附属中学 2011 届高三上学期期末考试理)若向量 1 与 2 满足:

? ? ?? ? ? ? ?? ? e1 ? 2 e2 ? 2 , e1 ? 2e2

?

?

2

?4

?? ?? ? e e , 则 1 与 2 所夹的角为__________

2 ? 答案 3

? ? a 25.(河南省鹿邑县五校 2011 届高三 12 月联考理)如图:向量 ? b ?

答案

? ? e ?e
1

(第 4 题)

2

26.(广东省肇庆市 2011 届高三上学期期末考试理)若平面向量 b 与向量 a ? (1,?2) 的夹 角是 180?, 且 | b |? 3 5 ,则 b ? __▲__. 答案(-3,6); 27.(北京龙门育才学校 2011 届高三上学期第三次月考)

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? a ? b ? 2 a a , b a 若两个非零向量 满足 ,则向量 ? b 与 a ? b 的夹角是
2? 3



答案

28 .(北京五中 2011 届高三上学期期中考试试题理)与 a ? (3, ? 4) 垂直的单位向量为 ______________

4 3 4 3 ( , ) ( ? ,? ) 5 5 答案 5 5 ,
? ? ? ? a a b 29.(福建省三明一中 2011 届高三上学期第三次月考理)已知非零向量 、 ,满足 ⊥ b ,
? |a| ? ? ? ? ? 且 a +2 b 与 a -2 b 的夹角为 1200,则 | b | 等于

2 3 答案 3
30. (福建省四地六校 2011 届高三上学期第三次联考试题理) 已知 a ? (2 ? ?,1), b ? (3, ?), 若 ? a, b ? 为钝角,则λ 的取值范围是 .

???
答案

3 2 且 ? ? ?3

31.(福建省厦门外国语学校 2011 届高三 11 月月考理) 若向量 e1 与 e2 满足:|e1|=2|e2|=2,(e1+2e2)2=4,则 e1 与 e2 所夹的角为▲▲.

2 ? 答案 3
三、简单题 32.(河南省鹿邑县五校 2011 届高三 12 月联考理)

? ? ?? ? a ? ? sin ?? x ? ? ?, 2?, b ? ? 1, com? ? x ? ? ? ? ? ? ? 0, 0 ? ? ? ? 4 ? 。函数 ? ( 12 分)已知向量 ? 7? M ? 1, ? f ( x) ? ( a ? b ) ? ( a ? b ) 的图像过点 ? 2 ? ,且相邻两对称轴之间的距离为 2。
? ? ? ?

(1)求 f ( x ) 的表达式; (2)求 f (0) ? f (1) ? f (2) ? ?? f (10) 的值。 答案

33. (广东省肇庆市 2011 届高三上学期期末考试理)(本小题满分 12 分) 已知向量 m ? (cos A, sin A) , n ? (2,?1) ,且 m ? n ? 0 . (1)求 tanA 的值; (2)求函数 f ( x) ? cos 2 x ? tan A sin x( x ? R) 的值域. 答案 (本小题满分 12 分) 解:(1)由题意得 m ? n ? 2 cos A ? sin A ? 0 , 因为 cos A ? 0 ,所以 tan A ? 2 . (2)由(1)知 tan A ? 2 得 (2 分) (4 分)

1 3 f ( x) ? cos 2 x ? 2 sin x ? 1 ? 2 sin 2 x ? 2 sin x ? ?2(sin x ? ) 2 ? 2 2.
因为 x ? R ,所以 sin x ? [?1,1] .

(6 分)

(7 分)

sin x ?


3 1 2 时, f ( x) 有最大值 2 ;

(9 分) (11 分)

当 sin x ? ?1 时, f ( x) 有最小值-3;

3 [ ?3, ] 2 . 故所求函数 f ( x) 的值域是
题组二 一,选择题

(12 分)

1. (浙江省温州十校联合体 2011 届高三文)若向量 a ? (3, m) ,b ? (2,?1) ,a ? b ? 0 , 则实数 m 的值为( )

?
A

3 2

B

3 2

C

2

D

6

答案 D.

AC ? a ? ? b , b 是不共线的向量, AB ? ? a ? b , 2. (浙江省桐乡一中 2011 届高三理) 已知 a ,

? , ? ? R ,那么 A、B、C 三点共线的充要条件为
(A) ? ? ? ? 2 (C) ?? ? ?1 (B) ? ? ? ? 1 (D) ?? ? 1

答案 D. 3.(浙江省桐乡一中 2011 届高三学理)在空间中,有如下命题: ①互相平行的两条直线在同一平面内的射影必然是互相平行的两条直线; ②若平面 ? 内任意一条直线 m∥平面 ? ,则平面 ? ∥平面 ? ; ③若平面 ? 与平面 ? 的交线为 m,平面 ? 内的直线 n⊥直线 m,则直线 n⊥平面 ? ; ④若点 P 到三角形三个顶点的距离相等,则点 P 在该三角形所在平面内的射影是该三 角形的外心. 其中正确命题的个数为 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 答案 B.

4.广东省广州东莞五校 2011 届高三理)已知向量 则n? A. ? 3 C.1 答案 D. B. ? 1 D.3

a ? ?1,1?



b ? ? 2, n?

,若

a ? b ? a? b



5.(浙江省桐乡一中 2011 届高三理)已知 M 是△ABC 内的一点,且 AB ? AC ? 2 3 ,
1 4 1 ? , x, y x y ?BAC ? 30? ,若 ? MBC , ? MCA 和△MAB 的面积分别为 2 ,则 的最小值是

(A)9 (B)18 答案 B.

(C)16 (D)20

6.(福建省福州八中 2011 届高三文)已知向量 a ? (1,?2),b ? (1 ? m,1 ? m),若a // b ,则实数 m 的值为 A.3 答案 C. B.-3 C.2 D.-2

? ? ??? ? AB ? ( 3 , 4 ) d ? ( ? 1 , 1 ) d ? AC ? 5, 7. (浙江省吴兴高级中学 2011 届高三文)若向量 , ,且 ? ? ??? ? 那么 d ? BC ? ( )
A.0 答案 C. 8. (河北省唐山一中 2011 届高三理).在 ?ABC 中,点 P 是 AB 上一点,且 B. ? 4 C. 4 D.4 或 ? 4

CP ?
1 A. 2

2 1 CA ? CB, 3 3 Q 是 BC 中点, AQ 与 CP 交点为 M, 又 CM ? t CP , 则 t 的值为 (
2 B. 3 3 C. 4 4 D. 5



答案 C. 9. (河北省唐山一中 2011 届高三文)已知正方形 ABCD 的边长为 2,E 是 BC 的中点,则

AC · AE 等于

( )

A.-6 B.6 C.7 D.-8 答案 B. 10.(福建省四地六校联考 2011 届高三理)设点 M 是线段 BC 的中点,点 A 在直线 BC 外,

| BC |? 4
( )



| AB ? AC |?| AB ? AC |

,



???? ? ?AM??

A.8 答案 C.

B.4

C.2

D.1

11. (福建省四地六校联考 2011 届高三文)设向量 a 与 b 是两个不共线向量,且向量 a + ? b 与-( b -2 a )共线,则 ? =( )

A.0 B.-1 C.-2 D.-0.5 答案 D. 12. (广西桂林十八中 2011 届高三第四次月考试卷文) ?? ? ?? ? m ? b , c ? 2 a , n ? ? cos C,cos B ? ? ? 在 ?ABC 中, ,若 m ? n ,则 B ?

5? A. 6

2? B. 3

?
C. 3

?
D. 6

答案 C. 13.(广东省河源市龙川一中 2011 届高三第一次月考文)已知 M(2,-4),N(3,-3), 把向量 MN 向左平移 1 个单位后,在向下平移 1 个单位,所得向量的坐标为( A (1,1) 答案 A. 二、填空题 B (0,0) C (-1,-1) D (2,2) )

的夹角为 ? , a ? (3,3),2b ? a ? (?1,1), 若 直 线 14. ( 2011 湖 南 嘉 禾 一 中 ) 设 向 量 a与b
x2 y2 ? ?1 2 x ? y ? 8 ? 0 沿向量 b 平移,所得直线过双曲线 m 2 2 2 的右焦点,
(i) cos ? =

x2 y2 ? 2 ?1 (ii)双曲线 m 2 的离 心率 e=
3 10 答案 (i) 10 (3 分) 2 3 (ii) 3 (2 分)



2 15.(成都市玉林中学 2010—2011 学年度)函数 y ? x 的图象 F 按向量 a ? (3, ?2) 平移到

?

G,则图象 G 的函数解析式为 答案 . y ? x ? 6x ? 7
2



? x? ? x ? 3 ? x ? x? ? 3 ?? ? ( y? ? 2) ? ( x? ? 3)2 ? y? ? ( x?)2 ? 6 x? ? 7 ? y? ? y ? 2 ? y ? y ? ? 2 解: ?

16. (广东省河源市龙川一中 2011 届高三理)

?| 2 , 则 a ? (2a - b) 已 知 向 量 a 、 b 的 夹 角 为 120 ° , 且 | a |=| b 的值
为 答案 10. .

开始 S=0 i=3 S=S+i i=i+1 否

? ? o a 17. (成都市玉林中学 2010—2011 学年度) 已知向量 与 b 的夹角为 120 , ? ? ? ? a ? 3, a ? b ? 13, b
则 =_______. 答案 4 三 解答题 18. (江苏泰兴 2011 届高三理) 已知 E,F 分别是正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 BC 和 CD 的中点,求: (1)A1D 与 EF 所成角的大小; (2)A1F 与平面 B1EB 所成角; (3)二面角 C-D1B1-B 的大小. 答 案 18 . ( 1 ) 因 为

i>10 是 输出 S 结束

???? ? ??? ? 1 1 A1 D ? (?1, 0, ?1), EF ? (? , ? , 0), 2 2 所以

???? ? A1 D ? (?1) 2 ? 0 ? (?1) 2 ? 2 ??? ? 1 1 2 EF ? (? ) 2 ? (? ) 2 ? 0 ? 2 2 2 ???? ? ??? ? 1 1 A1 D?EF ? ? 0 ? 0 ? 2 2 ???? ? ??? ? ? AD 可知向量 1 与 EF 的夹角为 60
因此

A1D 与 EF 所成角的大小为 60?
??? ? ABCD ? A1B1C1D1 中,因为 AB ? 平面 B1C1CB ,所以 AB 是平面 B1 EB

(2)在正方体 的法向量 因为

??? ? AB ? (1,1,0) ? (1,0,0) ? (0,1,0)
???? ? 1 1 A1 F ? (0, , 0) ? (1, 0,1) ? ( ?1, , ?1) 2 2 ??? ? ???? ? 3 ???? ? ??? ? 1 ???? ? ??? ? 1 AB ? 1, A1 F ? , A1 F ?AB ? cos ? A1 F , AB ?? 2 2 ,由 3 ,所以可得向量之间 所以
的夹角约为 19.47
?

???? ? AC B D C AC 1 ? 平面 1 1 ,所以 1C 的法向量,因为 1 是平面 B1 D (3)因为
???? ? ???? ???? ? ???? ???? ? ???? AC1 ? (?1,1,1), AC ? (?1,1, 0), AC1 ? 3, AC ? 2, AC1 ?AC ? 2
???? ? ???? 6 cos ? AC1 , AC ?? 3 ,所以可得两向量的夹角为 35.26? 所以
根据二面角夹角相等或互补可知,二面角约为 35.26 19. 山西省四校 2011 届高三文) (满分 12 分)已知点 A(1,1), B(1,?1),C( 2 cos? , 2 sin? )(? ? R) ,O 为坐标原点。 (Ⅰ)若
?

??? ? ??? ? BC ? BA = 2

,求 sin 2? 的值;

??? ? ??? ? ??? ? 2 2 m , n mOA ? nOB ? OC (Ⅱ)若实数 满足 ,求 (m ? 3) ? n 的最大值。
??? ? ??? ? 2 ??? ?2 解:( 1) ? BC ? BA ? AC =( 2 cos ? ? 1) 2 ? ( 2 sin ? ? 1) 2 ? ?2 2(sin ? ? cos ? ) ? 4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3分 ??2 2(sin ? ? cos ? ) ? 4 ? 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4分 2 1 1 两边平方得:1+ sin 2? ? ? sin 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?6分 2 2 (2)由已知得:(m,m)+(n,-n)=( 2 cos ? , 2 sin ? ) 即 sin ? ? cos ? ? ? ?m ? ? m ? n ? 2 cos ? ? ? ?? 解得 ? ? ?m ? n ? 2 sin ? ?n ? ? ? ? 2 2 2 2 ? (m ? 3) ? n ? m ? n ? 6m ? 9 2 (cos ? ? sin ? ) 2 ? ? ? ? ? 8分 2 (cos ? ? sin ? ) 2

? ?3 2(sin ? ? cos ? ) ? 10 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?10分 ? ?6sin(? ? ) ? 10 4

?

答案

?当 sin(? ? ) ? ?1时, (m ? 3) 2 ? n 2取得最大值16 ? ? ? ? ? 13分 4

?

2010 年联考题
题组二(5 月份更新)

1.(池州市七校元旦调研)设 a 、 b 、 c 是单位向量,且 a · b =0,则 最小值为 ( ) (A) ?2 答案 D 解: (B) 2 ? 2 (C) ?1 (D) 1 ? 2

? a ? c ? ? ?b ? c ? 的

? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?2 ? ?? b ? (a ? b)? c?c ? a, b, c 是单位向量? a ? c ? b ? c ? a?

? ? ? ? ? ? ? 1? | a ? b |? | c |? 1 ? 2 cos ? a ? b, c ?? 1 ? 2 故选 D.
2.(肥城市第二次联考)设 ? 、 ? 、 ? 为平面, m 、 n 为直线,则 m ? ? 的一个充分条件 是( ). B. ? ? ? ? m , ? ? ? , ? ? ? D. n ? ? , n ? ? , m ? ?

?

??

?

A. ? ? ? , ? ? ? ? n , m ? n C. ? ? ? , ? ? ? , m ? ? 答案 D

解析: A 选项缺少条件 m ? ? ;B 选项当 ? // ? , ? ? ? 时, m // ? ;C 选项当 (看着你现在所在房间的天花板上的墙角) ,m ? ? ? ? 时,m ? ? ; ? 、? 、? 两两垂直 D 选项同时垂直于同一条直线的两个平面平行.本选项为真命题. 故选(D). 3. (马鞍山学业水平测试)已知向量 a ? ( 2,?3,5) 与向量 b ? (?4, x, y ) 平行,则 x,y 的值分别 是 A. 6 和-10 答案 A 4.(肥城市第二次联考)(肥城市第二次联考)自圆 x +y -2x-4y+4=0 外一点 P(0,4) 向圆引两条切线,切点分别为 A、B,则
2 2

?

?

B. –6 和 10

C. –6 和-10

D. 6 和 10

??? ? ??? ? PA ? PB 等于(
(A)

)

12 5

(B)

6 5

(C)

8 5 5

(D)

4 5 5

答案 A 解析:设 PA 、 PB 的夹角为 2? ,则切线长 | PA |?| PB |? 02 ? 42 ? 42 ? 4 ? 2 ,结合圆的

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

对称性, cos ? ?

??? ? ??? ? 12 3 2 5 , cos 2? ? ,所以 PA ? PB = 。 5 5 5
? ?? ? ? ?? ?

5. (马鞍山学业水平测试)在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 为 AC 与 BD 的交点,若
A1 B1 ? a , A1 D1 ? b , A1 A ? c ,
?? ? ? ?? ?

则下列向量中与 B1 M 相等的向量是 C.
1? 1? ? a? b? c 2 2

A. ?

1? 1? ? a? b? c 2 2

B.

1? 1? ? a? b? c 2 2

D. ?

1? 1? ? a? b? c 2 2

答案 D 6.(祥云一中月考理)若向量 a 、 b 满足 a ? b ? (2,?1), a ? (1,2),则向量a与b 的夹角等于 ( ) B.60° C.120° D.135°

A.45° 答案:D

7. (哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)已知

| a |? 6 , | b |? 3 , a ? b ? ?12 ,则向量 a 在向量 b 方向上
的投影是( A. ? 4 答案 A ) B. 4 C. ? 2 D. 2

8. (三明市三校联考)若 e1 , e2 是夹角为 则 a ?b ? A.1 答案 C

?? ?? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? 的单位向量,且 a ? 2e1 ? e2 , b ? ?3e1 ? 2e2 , 3

? ?



) B. ?4 C. ?

7 2

D.

7 2

9.(昆明一中二次月考理)已知向量 ( )

,若 ∥

,则

的值为

A. 答案:D

B.

C.

D.

10. (昆明一中三次月考理) 已知向量 a ? (1,1),b ? (1,?1), c ? ( 2 cos? , 2 sin ? )(? ? R) , 实数 m,n 满足 ma ? nb ? c ,则 (m ? 3) ? n 的最大值为
2 2

?

?

?

A.2

B.3

C.4

D.16

答案:D 11.(安庆市四校元旦联考)已知圆 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 9 和直线 y ? kx 交于 A,B 两点,O 是坐 标原点, 若 OA ? 2OB ? O ,则 | AB |? 答案

??? ?

??? ?

??

??? ?

.

3 10 2

12.(祥云一中三次月考理) 若向量 a , b 满足 a ? 1, b ? 1 且 a 与 b 的夹角为 答案:

? ?

?

?

? ? ? , 则 a?b ? 3

3
? ? ? ?
? ,则 3

13. (祥云一中三次月考理)若向量 a , b 满足 a ? 1, b ? 1 且 a 与 b 的夹角为

a ? 2b =
答案: 7 14.(本小题满分 12 分)设向量 量的直线与经过点 ,以向量 ,过定点 ,以 方向向

为方向向量的直线相交于点 P,其中

(1)求点 P 的轨迹 C 的方程; (2)设过 的直线 与 C 交于两个不同点 M、N,求 的取值范围

题组一(1 月份更新)
一、选择题

1、(2009 杭州二中第六次月考)已知 C 为线段 AB 上一点, P 为直线 AB 外一点,满足

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? PA ? PC PB ? PC PA ? PB ? 2 , PA ? PB ? 2 5 , ??? ? ? ??? ? , I 为 PC 上一点,且 PA PB ???? ??? ? ??? ??? ? ??? ??? ? AC AP BI ? BA ( BI ? BA ? ? ( ???? ? ??? ? )(? ? 0) ,则 ??? ? 的值为 AC AP BA
A. 5 B. 2
I P



C. D. 0 答案 C

5 ?1
A C B

2 、 ( 2009 滨 州 一 模 ) 已 知 直 线 x ? y ? a与圆x 2 ? y 2 ? 4 交 于 A 、 B 两 点 , 且

| OA ? OB |?| OA ? OB | ,其中 O 为原点,则实数 a 的值为
A.2 答案 C B.-2 C.2 或-2 D. 6 或 ? 6

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? | OA | ? | OB |? 1, OA ? OB ? 0 , OA , OB 4(2009 玉溪一中期末)已知向量 满足

??? ? ??? ? ??? ? OC ? ?OA ? ?OB
( )

(? , ? ? R) 若 M 为 AB 的中点,并且 | MC |? 1 ,则点 (? , ? ) 在

???? ?

1 1 , )为圆心,半径为 1 的圆上 2 2 1 1 B.以( ,? )为圆心,半径为 1 的圆上 2 2 1 1 C.以( ? ,? )为圆心,半径为 1 的圆上 2 2 1 1 D.以( , )为圆心,半径为 1 的圆上 2 2
A.以( ? 答案 D 提示:由于 M 是中点,? ?ABC 中, OM ?

???? ?

? 1 ???? ??? (OA ? OB) , 2

???? ??? ? ???? ? ? 1 ???? 1 ??? ? MC ? OC ? OM ? (? ? )OA ? (? ? )OB ? 1 , 2 2

所以 ? (? ? )OA ? (? ? )OB ? ? 1 ,所以 (? ? ) ? (? ? ) ? 1
2 2

? ?

1 ???? 2

? ?2 1 ??? 2 ?

1 2

1 2

4、(2009 东莞一模)已知

a, b是不共线的向量 , 若AB ? ?1 a ? b, AC ? a ? ?2 b(?1 , ?2 ? R) ,则 A、B、C 三点共
线的充要条件为 A. ?1 ?? 2 ? ?1 答案 C B ?1 ?? 2 ? 1 C. ?1? 2 ?1 ? 0 D. ?1 ?? 2 ?1 ? 1

, 2sin )a ,则向量 OA 的 5、(2009 日照一模)已知向量 OC =(2,2), CA ? ( 2cos a
模的最大值是 A.3 答案 B 6、(2009 上海八校联考)已知 AB ? (k ,1) , AC ? (2 , 4) ,若 k 为满足 | AB | ? 4 的整数, 则 ?ABC 是直角三角形的整数 k 的个数为( (A)2 个 答案 C 7 、 ( 2009 桐 庐 中 学 下 学 期 第 一 次 月 考 ) 已 知 a ? 2 b ? 0, 且 关 于 x 的 函 数 (B)3 个 ) (C)4 个 (D)7 个 B3 2 C. 2 D.18

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

f ?x ? ?

1 3 1 x ? a ? x 2 ? a ? bx 在 R 上有极值,则 a 与 b 的夹角范围是 ( 3 2



A. ?0, 答案 C

? ?? ? ? 6?

B. ?

?? ? ,? ?6 ? ?

C. ?

?? ? ,? ?3 ? ?

D. ?

? ? 2? ? , ?3 3 ? ?

8、(2009 聊城一模) 在 ?ABC中 ,已知向量AB ? (cos18?, cos72?), BC ? (2 cos63?,2 cos27?),则?ABC 的 面 积等于 A. ( B. )

2 2

2 4

C.

3 2

D. 2

答案 A

9、(2009 番禺一模)设 P 是双曲线 y ?

1 上一点,点 P 关于直线 y ? x 的对称点为 Q ,点 x

??? ? ???? O 为坐标原点,则 OP ? OQ ? (
A. 1 答案 B B. 2

). C. 3 D. 0

10、(2009 聊城一模)已知在平面直角坐标系

xOy中, O(0,0), A(1,?2), B(1,1),C(2,?1),动点M ( x, y) 满 足 条 件
则 OM ? OC 的最大值为 A.-1 答案 D B.0 C.3

? ?? 2 ? OM ? OA ? 2, ? ? ?1 ? OM ? OB ? 2,
( )

D.4

11、(2009 广州一模)已知平面内不共线的四点 0,A,B,C 满足 OB ?

??? ?

? 1 ???? 2 ??? OA ? OC ,则 3 3

??? ? ??? ? | AB|:| BC| ?
A.1:3 答案 D 12、(2009 茂名一模)已知向量 a ? (2,1), a ? b ? (1, k ), 若a ? b, 则实数 k 等于( A、 B.3:1 C. 1:2 D. 2:1

?

? ?

?

?



1 2

B、3

C、-7

D、-2

13、 (2009 韶关一模理)若 OA =a, OB =b, 则∠AOB 平分线上的向量 OM 为 A.

a b ? |a| |b| a?b |a?b|

B. ? (

a b ? ), ? 由 OM 确定 |a| |b|

C.

D.

| b | a? | a | b |a|?|b|

答案 B 14、 (2009 韶关一模文)已知 a ? ?? 3,1?, b ? ?1,?2? ,若 ? 2a ? b ∥ a ? k b ,则实数 k 的 值是 A. -17 答案 B B. ?

?

? ?

?

1 2

C.

19 18

D.

5 3

15、(2009玉溪一中期中)7.已知 a ? ? 锐角 ? 的值为 ( )

3? ?1 ? ?1 ,2 sin ? ?, b ? ? cos? , ? ,且 a与b平行 ,则 2? ?3 ? ?2

A.
答案B

? 8

B.

? 6

C.

? 4

D.

? 3

16、 (2009玉溪一中期中)已知

P1P2 ? 1,点 P 在 P1P2 延长线上,且 PP2 ? 2 ,则点 P 分

P1P2 所成的比是
A .2
答案 C





B.

1 2

C.-

3 2

D.-

2 3

17 、( 2009 玉溪一中期中)设 O (0, 0) , A(1, 0) , B(0,1) , 点 P 是线段 AB 上的一个动 点, AP ? ? AB ,若 OP ? AB ? PA ?PB ,则实数 ? 的取值范围是

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??????? ?

(

)

1 2 ? ? ?1 1? ? ? ?1 2 A. 2 B.
答案 B

1 2 ? ? ? 1? 2 C. 2

1?
D.

2 2 ? ? ? 1? 2 2

二、填空题 1、(2009 上海普陀区)设 e1 、 e2 是平面内一组基向量,且 a ? e1 ? 2e2 、 b ? ?e1 ? e2 ,则 向量 e1 ? e2 可以表示为另一组基向量 a 、 b 的线性组合,即 e1 ? e2 ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

? a?
答案

? b.
2 1 ,? ; 3 3
?

2、 (2009 上海十校联考) 已知平面上直线 l 的方向向量 d ? ? 3, ?4 ? , 点 O ?0 ,0 在 l 上的射影分别是 O1 和 A 1 ? ________________ 1 ,则 O1 A 答案 4

? 和 A ? 4, ?2?

?????

3、 (2009 上海卢湾区 4 月模考)在平面直角坐标系中,若 O 为坐标原点,则 A 、 B 、C 三 点在同一直线上的充要条件为存在惟一的实数 ? ,使得 OC ? ? ? OA? (1? ? ) ? OB 成

??? ?

??? ?

??? ?

立,此时称实数 ? 为“向量 OC 关于 OA 和 OB 的终点共线分解系数”.若已知 P 1 (3,1) 、

????

??? ?

??? ?

???? ???? ???? ???? 且向量 OP 则 “向量 OP P2 (?1,3) , 3 是直线 l : x ? y ? 10 ? 0 的法向量, 3 关于 OP 1 和 OP 2
的终点共线分解系数”为 答案 -1 4、(2009 上海九校联考)若向量 a, b 满足 a ? 2, b ? 2, (a ? b) ? a ,则向量 a与b 的夹 角等于 答案 .

? ?

?

?

? ?

?

? 4

5、(2009 闵行三中模拟)已知 a ? 2 , b ? 2 , a 与 b 的夹角为 45? ,要使 ? b ? a 与 a 垂 直,则 ? = 答案 2 三、解答题 1、(2009 滨州一模)已知向量 a ? (?1,cos ? x ? 3sin ? x), b ? ( f ( x),cos ? x) , 其中 ? >0,且 a ? b ,又 f ( x ) 的图像两相邻对称轴间距为 (Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ) 求函数 f ( x ) 在[- 2? , 2? ]上的单调减区间. (Ⅰ) 由题意 a ? b ? 0 。

?

?

?

?

3 ?. 2

? ?

? f ( x) ? cos ? x(cos ? x ? 3sin ? x)
?
?

1 ? cos 2? x 3 sin 2? x ? 2 2
1 ? ? sin(2? x ? ) 2 6
1 ; 3

由题意,函数周期为 3 ? ,又 ? >0,? ? ? (Ⅱ) 由(Ⅰ)知 f ( x ) ?

1 2x ? ? sin( ? ) 2 3 6 ? 2x ? 3? ? 2 k? ? ? ? ? 2 k? ? ,k ? z 2 3 6 2 ? 3k? ?

?

2

? x ? 3k? ? 2? , k ? z

又 x ?? ?2? , 2? ? ,? f ( x ) 的减区间是 ? ?2? , ?? ? ? ?

?? ? , 2? ? . ?2 ?

C (3 cos? ,3 sin ? ). 2、 (2009 南华一中 12 月月考) 已知 A、 B、 C 的坐标分别为 A (4, 0) , B (0, 4) ,
(1)若 ? ? (?? ,0)且 | AC |?| BC |, 求角? 的值; (2)若 AC ? BC ? 0, 求

2 sin 2 ? ? sin 2? 的值. 1 ? tan?

解: AC ? (3 cosa ? 4,3sin ? ), BC ? (3 cos? ,3sin ? ? 4) , (1)由 | AC |?| BC | 得 AC ? BC ,????????? 2 分 即 (3 cos? ? 4) 2 ? 9 sin 2 ? ? 9 cos2 ? ? (3sin ? ? 4) 2 .
2 2

sin ? ? cos?

? ? ? (?? ,0),?? ? ?

3? . 4

????????? 5 分

(2)由 AC ? BC ? 0 ,得 3 cos? (3 cos? ? 4) ? 3 sin ? (3 sin ? ? 4) ? 0, 解得 sin ? ? cos ? ?

3 7 . 两边平方得 2 sin ? cos ? ? ? , ??? 7 分 4 16

?

2 sin 2 ? ? sin 2? 2 sin 2 ? ? 2 sin ? cos? 7 ? ? 2 sin ? cos? ? ? . ???? 10 分 sin ? 1 ? tan? 16 1? cos?
x x 2 x ,1),n=( cos , cos )。 4 4 4

3、(2009 临沂一模)已知向量 m=( 3 sin (1)若 m?n=1,求 cos(

2? ? x) 的值; 3

(2)记 f(x)=m?n,在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且满足 (2a-c)cosB=bcosC,求函数 f(A)的取值范围。 解:(I)m?n= 3 sin

x x x cos ? cos 2 4 4 4

=

3 x 1 x 1 sin ? cos ? 2 2 2 2 2
x ? 1 )? 2 6 2

= sin( ? ∵m?n=1 ∴ sin( ?

x ? 1 ) ? ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉4 分 2 6 2

? x ? cos( x ? ) ? 1 ? 2sin 2 ( ? ) 3 2 6 1 = 2 2? ? 1 cos( ? x) ? ? cos( x ? ) ? ? ┉┉┉┉┉┉┉6 分 3 3 2
(II)∵(2a-c)cosB=bcosC 由正弦定理得 (2sin A ? sin C ) cos B ? sin B cos C ┉┉┉┉┉┉7 分 ∴ 2sin AcosB ? sin C cos B ? sin B cos C ∴ 2sin A cos B ? sin( B ? C ) ∵ A? B ?C ?? ∴ sin( B ? C ) ? sin A ,且 sin A ? 0

1 ? , B ? ┉┉┉┉┉┉8 分 2 3 2? ∴0 ? A ? ┉┉┉┉┉┉9 分 3 ? A ? ? 1 A ? ∴ ? ? ? , ? sin( ? ) ? 1 ┉┉┉┉┉┉10 分 6 2 6 2 2 2 6 x ? 1 又∵f(x)=m?n= sin( ? ) ? , 2 6 2 A ? 1 ∴f(A)= sin( ? ) ? ┉┉┉┉┉┉11 分 2 6 2 3 故函数 f(A)的取值范围是(1, )┉┉┉┉┉┉12 分 2
∴ cos B ?


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