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三角形三条中线的交点叫做三角形重心

时间:2010-09-09


重心 三角形三条中线的交点叫做三角形重心。 重心的几条性质: 重心 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 2:1。 2、重心和三角形 3 个顶点组成的 3 个三角形面积相等。 3、重心到三角形 3 个顶点距离的平方和最小。 4、三角形内到三边距离之积最大的点。 外心 设⊿ABC 的外接圆为☉G(R),角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c, p=(a+b+c)/2. 1、三角形三条边的垂直平分线的交于一点,该点即为三角形外接圆的圆心. . 2、锐角三角形的外心在三角形内;钝角三角形的外心在三角形外;直角三角形 的外心在斜边上,与斜边中点重合. . 3、GA=GB=GC=R. . 4、∠BGC=2∠A,或∠BGC=2(180°-∠A). . 内心 设⊿ABC 的内切圆为☉I(r),角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,p=(a+b+c)/2. 1、三角形的三条角平分线交于一点,该点即为三角形的内心. 2、三角形的内心到三边的距离相等,都等于内切圆半径 r. 3、r=S/p. 4、在 Rt△ABC 中,∠C=90°,r=(a+b-c)/2. 5、∠BIC=90°+A/2. 垂心 三角形三条边上的高交于一点,该点叫做三角形的垂心 垂心。 垂心 设⊿ABC 的三条高为 AD、BE、CF,其中 D、E、F 为垂足,垂心为 H,角 A、B、C 的 对边分别为 a、b、c, 1、三角形的垂心是它垂足三角形的内心;或者说,三角形的内心是它旁心三角 形的垂心; 2、 垂心 H 关于三边的对称点,均在△ABC 的外接圆上。 3、 △ABC 中,有六组四点共圆,有三组(每组四个)相似的直角三角形,且 AHH D=BHHE=CHHF。 4、 H、A、B、C 四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四 点为一—垂心组)。 5、 △ABC,△ABH,△BCH,△ACH 的外接圆是等圆。

6、 锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心;锐角三角形的内接三角形(顶点在 原三角形的边上)中,以垂足三角形的周长最短。 旁心 旁切圆的圆心叫做三角形的旁心 旁心。 旁心 与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆。 设⊿ABC 在∠A 内的旁切圆☉I1(r1)与 AB 的延长线切于点 P1。内切圆半径为 r。 1、三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点,该点即为三 角形的旁心。 2、旁心到三角形三边的距离相等。 3、三角形有三个旁切圆,三个旁心。旁心一定在三角形外。 4、∠BI1C=90°-∠A/2. 6、∠AI1B=∠C/2. 7、S⊿ABC=r1(b+c-a)/2. 8、r1=rp(p-a). 9、r1=(p-b)(p-c)/r. 10、直角三角形斜边上的旁切圆的半径等于三角形周长的一半。


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