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陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第一章 从单位圆看正弦函数的性质教案 北师大版必修4

时间:2015-01-07


陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第一章 从单位圆看正弦函数的性 质教案 北师大版必修 4
一、教学目标 1、知识与技能: (1)回忆锐角的正弦函数定义; (2)熟练运用锐角正弦函数的性质; (3)理解通过单位圆引入任意角的正弦函数的意义; (4)掌握任意角的正弦函数的定义; (5)理解有向线段的概念; (6)了解正弦函数图像的画法; (7)掌握五点作图法,并会用此方法画出

[0,2π ]上的正弦曲线。 2、过程与方法: 初中所学的正弦函数, 是通过直角三角形中给出定义的; 由于我们已将角推广到任意角 的情况,而且一般都是把角放在平面直角坐标系中,这样一来,我们就在直角坐标系中来找 直角三角形,从而引出单位圆;利用单位圆的独特性,是高中数学中的一种重要方法,在第 二节课的正弦函数图像,以及在后面的正弦函数的性质中都有直接的应用;讲解例题,总结 方法,巩固练习。 3、情感态度与价值观: 通过本节的学习, 使同学们对正弦函数的概念有了一个新的认识; 在由锐角的正弦函数 推广到任意角的正弦函数的过程中,体会特殊与一般的关系,形成一种辩证统一的思想;通 过单位圆的学习,建立数形结合的思想,激发学习的学习积极性;培养学生分析问题、解决 问题的能力。 二、教学重、难点 重点: 1.任意角的正弦函数定义,以及正弦函数值的几何表示。 2.正弦函数图像的画法。 难点: 1.正弦函数值的几何表示。 2.利用正弦线画出 y=sinx,x∈[0, 2π ]的图像。 三、学法与教法 在初中, 我们知道直角三角形中锐角的对边比上斜边就叫着这个角的正弦, 当把锐角放
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在直角坐标系中时,角的终边与单位圆交于一点,正弦函数对应于该点的纵坐标,当是任意 角时,通过函数定义的形式引出正弦函数的定义;作正弦函数 y=sinx 图像时,在正弦函数 定义的基础上,通过平移正弦线得出其图像,再归结为五点作图法。教法: 探究讨论法。 四、教学过程 (一)、创设情境,揭示课题 我们学习角的概念的推广和弧度制,就是为了学习三角函数。请同学们回忆(1)角的 概念的推广及弧度制、象限角等概念;(2)初中所学的正弦函数是如何定义的?并想一想 它有哪些性质?学生思考回答以后,教师小结。(板书课题) (二)、探究新知 b C a A c

B

在初中,我们学习了锐角 α 的正弦函数值:sinα =

a 对边 ,如图:sinA= ,由于 a c 斜边

是直角边,c 是斜边,所 sinA∈(0,1)。由于我们通常都是将角放到平面直角坐标系中,我 们来看看会发生什么? y P(a,b) r x

O

M

在直角坐标系中,(如图所示),设角 α (α ∈(0, P(a,b),则角 α 的正弦值是:sinα = α ,

? ))的终边与半经为 r 的圆交于点 2

b .根据相似三角形的知识可知,对于确定的角 r

b 都不会随圆的半经的改变而改变。为简单起见,令 r=1(即为单位圆),那么 sinα r

=b,也就是说,若角 α 的终边与单位圆相交于 P,则点 P 的纵坐标 b 就是角 α 的正弦函 数。 直角三角形显然不能包含所有的角,那么,我们可以仿照锐角正弦函数的定义.你认为 该如何定义任意角的正弦函数? 一般地, 在直角坐标系中 (如上图) , 对任意角 α , 它的终边与单位圆交于点 P (a, b) , 我们可以唯一确定点 P(a,b)的纵坐标 b,所以 P 点的纵坐标 b 是角 α 的函数,称为正弦
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函数,记作 y=sinα (α ∈R)。通常我们用 x,y 分别表示自变量与因变量,将正弦函数表 示为 y=sinx.正弦函数值有时也叫正弦值.

? 7? 角与 角的终边与单位圆的交 3 3 ? 8? ? 5? 点的纵坐标有什么关系?它们的正弦值有什么关系? 角和 角呢?- 角和 角 3 3 3 3 2? 14? 呢?- 角和- 角呢? 3 3
请同学们画图,并利用正弦函数的定义比较说明:

? 、 7? 3 3
Y P(x,y) r

y P(-x,y) P(x,y)

x O X M o M

sin

? 7? y =sin = ?y 3 r 3
y

sin

8? ? =-sin =-y 3 3
y

M o x P(x,y) P(x,y)

o

x

Sin(-

? 5? )=sin( )=y 3 3

sin(-

2? 14? )=sin()=y 3 3

通过上述问题的讨论,容易得到:终边相同的角的正弦函数值相等,即 sin(2kπ +α )=sinα (k∈Z),说明对于任意一个角 α ,每增加 2π 的整数倍,其正弦函 数值不变。 所以, 正弦函数是随角的变化而周期性变化的, 正弦函数是周期函数, 2kπ(k∈Z, k≠0)为正弦函数的周期。
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2π 是正弦函数的正周期中最小的一个, 称为最小正周期。 一般地, 对于周期函数 f(x), 如果它所有的周期中存在一个最小的正数, 那么这个最小的正数就叫作 f(x)的最小正周期。 【巩固深化,发展思维】 1.若点 P(—3,y)是 α 终边上一点,且 sinα =—

2 6 5 ,求 y 值.【 y ? ? 】 3 5

2.若角 α 的顶点为坐标原点,始边与 x 轴正半轴重合,终边在函数 y=—3x (x≤0) 的图像上,则 sinα = (三)、归纳整理,整体认识: (1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些?所涉及到的主要数学思想方法有那些? (2)在本节课的学习过程中,还有那些不太明白的地方,请向老师提出。 (3)你在这节课中的表现怎样?你的体会是什么? (四)、作业布置:1、已知锐角 ? 终边上一点 P (3,4),求 ? 角的正弦值。 。【

3 10 】 10

? 3) 是角 ? 终边上一点,求 sin ? 的值。 2、已知 P(?2,

3、已知角 ? 的终边落在直线 y ? 2 x 上,求 sin ? 的值。

4、若实数 x , 满足 x

y

2

? ? y 2 ? 12x ? 4 y ? 40 ? 0 ,求: x sin? ?

?

25 ?? ?? ? 15 ? ? y sin ? ? ? 3 ? 4 ?的 ?

值。

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(五)、课后反思:

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