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第十三届全国中学生物理竞赛复赛题答案

时间:2017-07-03


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第十三届全国物理竞赛复赛试题解答
一、在各段电路上,感应电流的大小和方向如图复解 13 - 1 所示电流的分布,已考虑到 电路的对称性,根据法拉第电磁感应定律和欧姆定律,对半径为α 的圆电路,可得
? π a 2 k = 2 r1 I 1 + r1 I 1

>
对等边三角形三个边组成的电路,可得 3 3 a 2 k / 4 = 2 r2 I 2 + 2 r2 I ?2 对由弦 AB 和弧 AB 构成的回路,可得 (π a 2 -3 3 a 2 / 4)k / 3 = r1 I 1 - r2 I 2 考虑到, 流进 B 点的电流之和等于流出 B 点电流之和, 有 ? I 1 + I 2 = I 1 + I ?2 由含源电路欧姆定律可得
U A - U B = π a 2 k /3 - I 1 r1
r1 I2

A r2 O I2 ′ 2r2 r1 I 1′ r1 I2 I1 B

I1 r2 C

图复解13 - 1

由以上各式及题给出的 r2 = 2 r1 / 3 可解得
UA - UB =

-

3 a 2 k / 32

二、解法一:1、分析和等效处理 根据棱镜玻璃的折射率,棱镜斜面上的全反射临界角为 ? c = arcsin ( 1 / n ) ? 42? 注意到物长为 4mm,由 光路可估算,进入棱镜的近轴 光线在斜面上的入射角大多 在 45? 左右,大于临界角,发 A 生全反射。所以对这些光线而 言,棱镜斜面可看成是反射 B 6cm 镜。本题光路可按反射镜成像 的考虑方法,把光路“拉直” 如图复解 13 – 2 - 1 所示。现 在,问题转化为正立物体经过 一块垂直于光轴、厚度为 6cm 的平玻璃板及其后 的会聚透镜、发散透镜成像的问题。 2、求像的位置;厚平玻璃板将使物的近轴光 线产生一个向右侧移动一定距离的像,它成为光 学系统后面部分光路的物,故可称为侧移的物。 利用沿光轴的光线和与光轴成α 角的光线来讨论 就可求出这个移动的距离。

A 6cm

B

L1 10cm 6cm 5cm

L2

图复解13 - 2 - 1

α α B α d Δ l B′ d β α

D

图复解13 - 2 - 2
1

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设轴上的物点为 B。由于厚平玻璃板的作用(即侧移的物点)为 B′(如图复解 13 – 2 - 2 所示) 。画出厚平玻璃板对光线的折射,由图可知 Δ l = d(ctgα ) 而 d = D(tgα - tgβ ) 所以 Δ l = D(1 – tgα / tgβ ) 当α 为小角度时 tgβ / tgα ≈sinβ / sinα = 1/n 故得 Δ l = D(1 – 1 / n)= 2 cm 这也就是物 AB 与它通过厚玻璃板所成的像之间的距离。这个像对透镜 L 1 来说就是物,而 物距
u 1 =〔 (6 – 2 )+ 6 + 10 〕cm = 20 cm

可见,物正好在 L 1 的左方焦平面上,像距即为 v 1 = ∞ 。 再考虑透镜 L 2 ,这是平行光线入射情形, u 2 = ∞ 。 所以必须成像于这个发散透镜 L 2 左侧的焦平面上(虚像) v 2 = f 2 = - 10 cm 整个光路的最后成像位置就是在 L 2 的左侧 10 cm 处。 3、求像的大小和虚、实、正、倒情况:可用作图法求解,如图复解 13 – 2 - 3 所示(为 了图示清楚图中把物高加大了) 连接 A ? O1 并延长, 便得到发自 A ? 的光线经 L 1 后的平行 。 光线的方向。过 L 2 的光心 O 2 作 A ? O1 的平行线, f2 它与 L 1 交于 C 点, A ? C 即为从 A ? 发出经过 L 1 折 A′ 则 A″ L2 L1 射后又通过 L 2 光心的光线。反向延长 C O 2 与 L 2 C 左侧焦平面的交点 A ?? 就是 A ? 由 L 1 与 L 2 所成的像 B′ B″ O2 γ O1 点。 令 L 2 左侧焦面与光轴的交点为 B?? 。 A??B?? 就 f1 是 A ?B? 的像,这是一个正立的虚像。由图可得
A ??B?? = f 2 A ?B? = f 1 tgγ

tgγ

图复解13 - 2 - 3

而 A ?B? 与 AB 等高,所以像的大小为
A ??B?? = ( f 2

/ f 1 ) A ?B? =
A1 A B2 B

2 mm 解法二:关于物体 AB 经棱镜(折射,反射, 折射)后,所成像的位置及大小可采用视深法处 理。如图复解 13 – 2 - 4 所示,AB 发出的、与 PQ 面近乎垂直的小光束经 PQ 面折射后成像于 A 1 B1 这是视深问题。 A 1 、 B1 与 PQ 面的距离均为 A、 B 与 PQ 面的距离的 n 倍,即
C1 B1 = n C1 B
A 1 B1 = AB (像与物的大小相

A2 A′ B2 B′

P

C1 C2

Q C3 R

图复解13 - 2 - 4

同)
A 1 B1 经 PR 面的反射成像于 A 2 B 2 ,大小不变,且
C 2 B 2 ? C 2 B1 ? C 2 C1 ? C1 B1 ? C1 P ? nC1 B

A 2 B 2 经 QR 面后折射成像于 A ?B? ,

大小不变,且
C 3 B ? = (C 3 B 2 / n ? (C 3 C 2 ? C 2 B 2 ) / n ? (C1 Q ? C1 P ? nC1 B1 ) / n ? (PQ ? C1 B) / n
2

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=(6 / 1. 5 + 6)cm = 10 cm 由此即可求出这个像 A ?B? 作为透镜 L 1 的物的物距,其它部分的求解同解法(一) 。

三、由对称性可知,C 点的速度也必沿 CA 方向,设其大小为 v C 。D 的速度可以分解 为平行于 v 和垂直于 v 的分速度,其大小分别设为 v D1和v D2 。同样,B 的速度也类似地分解 为平行和垂直于 v 的二个分速度 ,其大小 设为 v B1和v B2 ,如图复解 13 - 3 所示,根据 对称性,必有
v B1 ? v D1 v B2 ? v D 2

vD1 A v

D vD2 vB2 vC

?1? ?2 ?

α
vB1

C

由于绳子不可伸长,A 沿 DA 的分速度 和 D 沿 DA 的分速度 一定相等,C 沿 CD 的分速度和 D 沿 CD 的分速度也相等,即
v cos ? ? v D1 cos ? ? v D 2 sin ? v C cos ? ? v D1 cos ? ? v D 2 sin ?

B

图复解13 - 3

?3? ?4 ?

另一方面,设绳子 AD 给质点 D 的冲量的大小为 I 1 ,绳子 DC 给质点 C 冲量大小为 I 2 。 注意到绳子 DC 给质点 D 的冲量的大小同样也是 I 2 (各冲量的方向均沿绳子方向) 。由对称 性还可以判定,绳子 AB 给质点 B 的冲量的大小也是 I 1 ,绳子 BC 给质点 B 和 C 的冲量的 大小都是 I 2 ,根据动量定理,可分别列出关于质点 D 平行和垂直于 v 的方向以及质点 C 平 行于 v 方向的关系式如下:
mvD1 ? I 1 cos ? ? I 2 cos ? mvD 2 ? I 1 sin ? ? I 2 sin ? mvC ? 2I 2 cos ?

?5? ?6 ? ?7 ?

由(3)~(7)式可解出本题所需的 v D1和v D2 、 v C
v D1 ? v /(1 ? 2 sin 2 ?) v D 2 ? v sin 2? /(1 ? 2 sin 2 ?) v C ? v cos 2? /(1 ? 2 sin 2 ?)

据此结果和(1)(2)式,此系统的总动量为 、
P ? mv ? 2mvD1 ? mvC ? 4mv /(1 ? 2 sin 2 ?) ,

方向沿 CA 方向。

此系统的总动能为
E ? EA ? EB ? EC ? ED ? 1 m? v 2 ? 2v 2 D1 ? 2v 2 D2 ? v 2 C 2

? ? 2mv2 /? 1 ? 2 sin 2 ? ?

四、1、见图复解 13 – 4 。导体是一个等势体,所以导体球接地( V球 = 0 )时,对于 球心点有
V球心

=

V球

=

0
O

R a r O/
3

图复解13 - 4

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(1) 另一方面,可以直接计算球心点的电势。因为所有感应电荷都分布在球面上,它们到球心的 距离都是 R,而圆环上电荷到球心的距离都是 r 2 ? a 2 ,所以
V球心 = K q 感 / R + Kq /
r2 ? a2

(2)

式中 q 感 就是要求的感应电荷总量。由(1)(2)两式即得 、
q 感 = - Rq / r 2 ? a 2

(3)

2、导体球不接地时,其电势可通过对球心的电势计算而求得:
V球 = V球心 = K q 面 / R + K q r 2 ? a 2

(4)

式中 q 面 表示分布在球面上所有电荷的代数和,而导体球体内是不会有电荷分布的。由于题 给导体球为电中性,即 q 面 = 0,所以由(4)式得
V球 = K q 面 / r 2 ? a 2

(5)

3、导体球的电势为 V0 时,再以球心点考虑:
V球心 = V球 = V0

(6)

而另一方面,球心的电势是球面上电荷和圆环上电荷分别产生的电势的迭加:
V球心 = K q 面 / R + K q r 2 ? a 2

(7)

导体球的总电荷就是球面上的电荷总量,由(6)(7)两式解得 、
q 总 = q 面 = R V0 / K - Rq
r2 ? a2

(8)

4、对比(8)式和(3)式可知,情况 3 比情况 1 只是在导体球上多了电荷 R V0 / K, 而导体球的电势相应地由零变为 V0 。可以设想从情况 1 出发,把导体球与地断开而维持原 来的 q 感 大小及分布不变, 再把电荷 R V0 / K 均匀地加到球面上, 正是它使球的电势变为 V0 , 即成为情况 3。对于球外的圆环来说,这些加上的电荷对它的作用力相当于集中在球心处的 等量点电荷对它的作用力,这也就是圆环受到的作用力。 由于圆环上的电荷均匀发布, 对圆环中心到球心的连线具有轴对称性, 把圆环上各线元 电荷受到上述等效点电荷的作用力沿二心连线方向的分量相加,就是圆环多受到的作用力。 所以,其方向是沿二心向外(图中向右) 。大小是 F=K
(RV0 / K)q r ?a
2 2

?

a r2 ?a2

?

RaqV0 (r ? a 2 ) 3 / 2
2

(9)

5、 可直接应用情况 4 的结果, 只是现在把 (9) 式中的 V0 用情况 2 中的 V球 值, 即将 (5) 式代入即可。所以,情况 2 比情况 1 圆环多受的力方向仍为沿二心连线向外(图中向右) , 大小是

4

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F? ? K

Raq (r 2 ? a 2 ) 3 / 2

?

Kq r2 ? a2

?K

Raq 2 (r 2 ? a 2 ) 2

五、 当气球充满气体而球内压强大于球外时, 布料即被绷紧, 布料各部分之间产生张力, 正是这种张力可能使布料被撕裂。 设想把气球分成上下两个半球, 它们的交线是一个直径为 d 的圆周,周长为π d,所以要从这条交线处撕破气球,至少需要的张力为 f m ? ?d ,另一方 面,考虑上半球(包括半球内的气体)受力的情况,它受到三个力作用: 1、下半球的球面布料所施加的张力 F; 2、上半球外空气对它的压力的合力,其大小为 ?d 2 p a / 4 , p a 是气球所在高度处的大气 压强; 3、下半球内气体对它的压力为 ?d 2 p / 4 ,式中 p 为气球内气体的压强。忽略浮力时,上 述三力相互平衡,即
?d 2 p / 4 = ?d 2 p a / 4 +

F

而当 F > f m ? ?d 时,布料即被撕裂,所以,气球破裂的条件是
?d 2 ?p ? p a ? / 4 > f m ? ?d

(1)

设气球破裂发生在高度 h 处,则
p a ? p a0 ? ? p h

(2) (3)

而该处温度

T ? T0 ? ? T h

这个温度也就是破裂时气球内气体的温度。又因为气球在上升过程中球内气体是等容变 化,所以有 p / T = p 0 / T0 即 p = p 0 T / T0 (4) (2)(4)和(3)式代入(1)式,得 、 h >
(4f m / d) ? (p 0 ? p a 0 ) ? 2.1?103 m (p 0 / T0 )? T ? ? p

即所球上升到 2.1?103 m 高度以上就将破裂。

六.判断所用电路如图复解 13 – 6 。a 、b 、c、d 为四个电阻。P、Q 间可接电流计, 由电流计中电流 I 的方向可判断出 P、 两点中哪一点的电势较高。 Q 可能出现下列三种情况: 1、I = 0,这表示四个电阻的阻值相等。 P 2、I 从 P 到 Q,这表示 P 点电势较高,a 、b 、c、d a b 中有一电阻偏大或偏小。有下列四种可能:b 偏大;c 偏大; a 偏小;d 偏小。 Q c d 3、I 从 Q 到 P,这表示 P 点电势较低,有四种可能;a 偏大;d 偏大;b 偏小;c 偏小。 应采取的实验步骤和判断:设 7 个电阻为①、②、③、 图复解13 - 6 ④、⑤、⑥、⑦,阻值相同的称为正常电阻,阻值不同的那

5

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个为特异电阻。 第一次测量:将①、②、③、④分别接入 a 、b 、c、d 位置,这时可有以下三种情况: 情况 A:I 向下,则有四种可能:②大;③大;①小;④小。 情况 B:I 向上,则有四种可能:①大;④大;②小;③小。 情况 A 和情况 B 中,其余三个电阻⑤、⑥、⑦均正常。 情况 E:I = 0,这时,①、②、③、④正常,特异电阻在⑤、⑥、⑦中。 第二次测量:若情况 A 或情况 B 成立,进行第二次测量时将①、②对调,即将②、①、 ③、④分别接入 a 、b 、c、d 位置。这时可能有以下两种情况 情况 C:I 向下,则有四种可能:①大;③大;②小;④小 情况 D:I 向上,则有四种可能:②大;④大;①小;③小 若情况 E 成立,特异电阻在⑤、⑥、⑦,第二次测量取其中两个,例如⑤、⑥放于电 路中 a 、b 位置,c、d 位置用正常电阻,则有三种情况: 情况 F:I 向下,则有二种可能:⑤小;⑥大; 情况 G:I 向上,则有四种可能:⑥小;⑤大; 情况 H:I = 0,这时,⑤、⑥均正常,特异电阻即为⑦ 前二次测量分析: 若情况 A、C 成立,则只有两个可能:④小;③大。 若情况 A、D 成立,则只有两个可能:①小;②大。 若情况 B、C 成立,则只有两个可能:②小;①大。 若情况 B、D 成立,则只有两个可能:③小;④大。 若情况 E、F 成立,则只有两个可能:⑤小;⑥大。 若情况 B、G 成立,则只有两个可能:⑥小;⑤大。 若情况 E、F 成立,则只有一个可能:即⑦为特异电阻,偏大抑或偏小待定。 第三次测量:无论以上前 6 种情况哪一种成立,可疑电阻的范围均缩小成为两个,可能 是某一个偏小, 或是某一个偏大。 第三次测量可将可能偏小的电阻与三个正常电阻接入电路, 根据电流计的电流方向即可判断出它或者确实偏小或者是正常电阻。 若是前者, 这个电阻就 是特异电阻。若后者成立,则可能偏大的那个电阻,阻值确实偏大,是特异电阻。 对于情况 E、H,只需测定⑦的阻值偏大或偏小。用⑦及三个正常电阻接入电路,即可 根据测定结果作出判断。 注:若第一次测量结果为情况 A 或 B,进行第二次测量时可以利用正常电阻⑤、⑥、 ⑦中的任意两个代替①、②、③、④中的任意两个,分析与判断方法与上述相似。

6


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