nbhkdz.com冰点文库

新课标人教A版高一数学必修1知识点总结


高中数学必修 1 知识点 第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念: 1、集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性: (1)元素的确定性; (2)元素的互异性; (3)元素的无序性 说明:(1)对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或者是或者不是这个给定的 集合的元素。 (2)任何一个给定的集合中,任何两

个元素都是不同的对象,相同的对象归入一个集合时,仅算一个 元素。 (3)集合中的元素是平等的,没有先后顺序,因此判定两个集合是否一样,仅需比较它们的元素是否 一样,不需考查排列顺序是否一样。 (4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。 3、集合的表示:{ ? } 如{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} (1)用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法:列举法与描述法。 (Ⅰ)列举法:把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上。 (Ⅱ)描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件 表示某些对象是否属于这个集合的方法。 ①语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法:例:不等式 x-3>2 的解集是{x∈R| x-3>2}或{x| x-3>2} (3)图示法(文氏图) : 4、常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集)记作:N ,正整数集 N*或 N+ , 5、 “属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如:a 是集合 A 的元素,就说 a 属于集合 A 记作 a∈A ,相 反,a 不属于集合 A 记作 a ? A 6、集合的分类: 1.有限集 含有有限个元素的集合 2.无限集 含有无限个元素的集合 3.空集 不含任何元素的集合 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系———子集 整数集 Z , 有理数集 Q , 实数集 R

对于两个集合 A 与 B,如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素,我们就说两集合有包含关系, 称集合 A 为集合 B 的子集,记作 A ? B 注意: 有两种可能(1)A 是 B 的一部分, ; (2)A 与 B 是同一集合。 反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 A ? B 或 B ? A 集合 A 中有 n 个元素,则集合 A 子集个数为 2 . 2. “相等”关系(5≥5,且 5≤5,则 5=5) 实例:设 A={x|x -1=0}
2 n

B={-1,1}

“元素相同”

结论:对于两个集合 A 与 B,如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素,同时,集合 B 的任何一个 元素都是集合 A 的元素,我们就说集合 A 等于集合 B,即:A=B ? A ? B且B ? A ① 任何一个集合是它本身的子集。A ? A ②真子集:如果 A ? B,且 A ? B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集,记作 A ? B(或 B ? A) ③如果 A ? B, B ? C ,那么 A ? C ④ 如果 A ? B 同时 B ? A 那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。 三、集合的运算 1. 交集的定义: 一般地, 由所有属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的交集. 记作 A∩B(读 作”A 交 B”),即 A∩B={x|x∈A,且 x∈B}. 2、并集的定义:一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的并集。 记作:A∪B(读作”A 并 B”),即 A∪B={x|x∈A,或 x∈B}. 3、交集与并集的性质:A∩A = A,A∩φ = φ , A∩B = B∩A,A∪A = A,A∪φ = A , A∪B = B∪A. 4、全集与补集 (1)全集:如果集合 S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集。 通常用 U 来表示。 (2)补集:设 S 是一个集合,A 是 S 的一个子集(即 A ? S) ,由 S 中 S 所有不属于 A 的元素组成的集合,叫做 S 中子集 A 的补集(或余集) 。 记作: CSA ,即 CSA ={x | x ? S 且 x ? A} (3)性质:⑴CU(C UA)=A ⑵(C UA)∩A=Φ ⑶(C UA)∪A=U CsA A

(4)(C UA)∩(C UB)=C U(A∪B) (5)(C UA)∪(C UB)=C U(A∩B)

二、函数的有关概念

1.函数的概念:设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一 个数 x, 在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应, 那么就称 f: A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数. 记 作: y=f(x),x∈A.其中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域;与 x 的值相对应的 y 值叫 做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域. 注意:1、如果只给出解析式 y=f(x),而没有指明它的定义域,则函数的定义域即是指能使这个式子 有意义的实数的集合;2、函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式. 定义域补充: 能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域,求函数的定义域时列不等式组的主要依据是: (1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零;(4)指数、 对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么, 它的 定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零 (7)实际问题中的函数的 定义域还要保证实际问题有意义. (注意:求出不等式组的解集即为函数的定义域。) 2、构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域 注意: (1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的, 所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等(或为同一函数) 。 (2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无 关。 相同函数的判断方法:①定义域一致;②表达式相同 (两点必须同时具备)

值域补充 (1)、函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域. (2)、应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域,它是求解复杂函数值 域的基础。 3. 函数图象知识归纳 (1)定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x∈A)中的 x 为横坐标,函数值 y 为纵坐标的点 P(x,y)的集合 C,叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象. C 上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系 y=f(x),反过来,以满足 y=f(x)的每一组有序实数对 x、y 为坐标的点(x,y),均在 C 上 . 即记为 C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A } 图象 C 一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行于 Y 轴的直线最多只有一个交 点的若干条曲线或离散点组成。 (2) 画法: A、描点法:根据函数解析式和定义域,求出 x,y 的一些对应值并列表,以(x,y)为坐标在坐标系内描

出相应的点 P(x, y),最后用平滑的曲线将这些点连接起来. B、图象变换法: 常用变换方法有三种,即平移变换、对称变换和伸缩变换 Ⅰ、对称变换: (1)将 y= f(x)在 x 轴下方的图象向上翻得到 y=∣f(x)∣的图象如:书上 P21 例 5 (2) y= f(x)和 y= f(-x)的图象关于 y 轴对称。如 y ? a 与y ? a
x ?x

?1? ?? ? ?a?

x

(3) y= f(x)和 y= -f(x)的图象关于 x 轴对称。如 y ? loga x与y ? ? loga x ? log 1 x
a

Ⅱ、平移变换:

由 f(x)得到 f(x ? a)

左加右减;

由 f(x)得到 f(x) ? a

上加下减

(3)作用:A、直观的看出函数的性质;B、利用数形结合的方法分析解题的思路;C、提高解题的速度; 发现解题中的错误。 4.区间的概念 (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间; (2)无穷区间; (3)区间的数轴表示. 5.映射 定义:一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则 f,使对于集合 A 中的任意 一个元素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应,那么就称对应 f:A ? B 为从集合 A 到集合 B 的 一个映射。记作“f:A ?B” 给定一个集合 A 到 B 的映射,如果 a∈A,b∈B.且元素 a 和元素 b 对应,那么,我们把元素 b 叫做元素 a 的象,元素 a 叫做元素 b 的原象 说明:函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应,①集合 A、B 及对应法则 f 是确定的;②对应 法则有“方向性” ,即强调从集合 A 到集合 B 的对应,它与从 B 到 A 的对应关系一般是不同的;③对于映 射 f:A→B 来说,则应满足: (Ⅰ)集合 A 中的每一个元素,在集合 B 中都有象,并且象是唯一的; (Ⅱ) 集合 A 中不同的元素,在集合 B 中对应的象可以是同一个; (Ⅲ)不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。 6、函数的表示法: 常用的函数表示法及各自的优点: 1 函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等,注意判断一个图形是否是函 数图象的依据:作垂直于 x 轴的直线与曲线最多有一个交点。 2 解析法:必须注明函数的定义域; 3 图象法:描点法作图要注意:确定函数的定义域;化简函数的解析式;观察函数的特征; 4 列表法:选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征.

注意:解析法:便于算出函数值。列表法:便于查出函数值。图象法: u=g(x 便于量出函数值 ) 补充一:分段函数 增 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 在不同的范围里求 增 函数值时必须把自变量代入相应的表达式。 分段函数的解析式不能写成几个 减 不同的方程,而应写成函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来, 并分别注明各部分的自变量的取值情况.注意: (1)分段函数是一个函数, 减 减 增 增 减 减 减 增 增 )] y=f(u) y=f[g(x

不要把它误认为是几个函数; (2)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集. 补充二:复合函数 如果 y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x),(x∈A) 称为 f 是 g 的复合函数。 7.函数单调性 (1) .增函数 设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数。区间 D 称为 y=f(x)的单调增区间; 如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2),那么就说 f(x)在 这个区间上是减函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调减区间. 注意:1、函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质; 2、必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2;当 x1<x2 时,总有 f(x1)<f(x2) (或 f(x1)>f(x2)) 。 (2) 图象的特点 如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数 y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调 性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法: 1 任取 x1,x2∈D,且 x1<x2;2 作差 f(x1)-f(x2);3 变形(通常是因式分解和配方) ;4 定号(即判 断差 f(x1)-f(x2)的正负) ;5 下结论(指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性) . (B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性:复合函数 f[g(x)]的单调性与构成它的函数 u=g(x),y=f(u)的单调性密切相 关,其规律如下: 复合函数单调性:口诀:同增异减 注意:1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. (4)判断函数的单调性常用的结论

①函数 y ? ? f ( x) 与 y ? f ( x) 的单调性相反; ②当函数 y ? f ( x) 恒为正或恒有负时,

y?

1 f ( x) 与函数 y ? f ( x) 的单调性相反;

③函数 y ? f ( x) 与函数 y ? f ( x) ? C (C 为常数)的单调性相同; ④当 C > 0(C 为常数)时, y ? f ( x) 与 y ? C ?f ( x) 的单调性相同; 当 C < 0(C 为常数)时, y ? f ( x) 与 y ? C ?f ( x) 的单调性相反; ⑤函数 f ( x ) 、 g ( x) 都是增(减)函数,则 f ( x) ? g ( x) 仍是增(减)函数; ⑥若 f ( x) ? 0, g ( x) ? 0 且 f ( x ) 与 g ( x) 都是增(减)函数,则 f ( x)?g ( x) 也是增(减)函数; 若 f ( x) ? 0, g ( x) ? 0 且 f ( x ) 与 g ( x) 都是增(减)函数,则 f ( x)?g ( x) 也是减(增)函数;
n n f ( x) ⑦设 f ( x) ? 0 ,若 f ( x ) 在定义域上是增函数,则 、 k ?f ( x)(k ? 0) 、 f ( x)(n ? 1) 都是增函

1 数,而 f ( x ) 是减函数.
8.函数的奇偶性 (1)偶函数 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),那么 f(x)就叫做偶函数. (2)奇函数 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=—f(x),那么 f(x)就叫做奇函数. 注意:1、 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质; 函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。 2、 由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个 x, 则-x 也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称) . (3)具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于 y 轴对称;奇函数的图象关于原点对称. 总结:利用定义判断函数奇偶性的格式步骤:1 首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原 点对称;2 确定 f(-x)与 f(x)的关系;3 作出相应结论:若 f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则 f(x)是偶函数;若 f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则 f(x)是奇函数. 注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对 称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,(1)再根据定义判定; (2)有时判定 f(-x)=±f(x)比较困难, 可考虑根据是否有 f(-x)±f(x)=0 或 f(x)/f(-x)=±1 来判定; (3)利用定理,或借助函数的图象判定 . 函数奇偶性的性质

① 奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性完全相同; 偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性,则其单调性恰恰相反. ②奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称. ③若 f ( x ) 为偶函数,则 f (? x) ? f ( x) ? f (| x |) . ④若奇函数 f ( x ) 定义域中含有 0,则必有 f (0) ? 0 . ⑤定义在关于原点对称区间上的任意一个函数,都可表示成“一个奇函数 F ( x) 与一个偶函数 G ( x) 的 和(或差) ”.如设 f ( x) 是定义域为 R 的任一函数, 则 F ( x ) ? ⑥复合函数的奇偶性特点是: “内偶则偶,内奇同外”. ⑦既奇又偶函数有无穷多个( f ( x) ? 0 ,定义域是关于原点对称的任意一个数集). 9、函数的解析表达式 (1)函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间 的对应法则,二是要求出函数的定义域. (2)求函数的解析式的主要方法有:待定系数法、换元法、消参法等,A、如果已知函数解析式的构 造时,可用待定系数法;B、已知复合函数 f[g(x)]的表达式时,可用换元法,这时要注意元的取值范围; 当已知表达式较简单时, 也可用凑配法; C、 若已知抽象函数表达式, 则常用解方程组消参的方法求出 f(x) 10.函数最大(小)值(定义见课本 p30 页) (1) 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值; (2) 利用图象求函数的最大(小)值; (3) 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区 间[b,c]上单调递减则函数 y=f(x)在 x=b 处有最大值 f(b);如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递减, 在区间[b,c]上单调递增则函数 y=f(x)在 x=b 处有最小值 f(b); 第二章 基本初等函数 一、指数函数 (一)指数与指数幂的运算 1.根式的概念: 负数没有偶次方根;0 的任何次方根都是 0,记作 n 0 =0。 注意:(1) ( n a )n ? a (2)当 n 是奇数时, n an ? a ,当 n 是偶数时, a ?| a |? ?
n n

f ( x) ? f (? x) f ( x) ? f (? x) , G ( x) ? . 2 2

? a, a ? 0 ? ? a, a ? 0

2.分数指数幂 正数的正分数指数幂的意义,规定: a n ?
m n

a m (a ? 0, m, n ? N ? , 且n ? 1)

正数的正分数指数幂的意义: a

_

m n

?

1 a
m n

(a ? 0, m, n ? N ? , 且n ? 1)

0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义 3.实数指数幂的运算性质 (1) ar a s ? ar ?s (a ? 0, r, s ? R) (2) (ar )s ? ars (a ? 0, r, s ? R) (3) (ab)r ? ar br (a ? 0, b ? 0, r ? R) 注意:在化简过程中,偶数不能轻易约分;如 [(1 ? 2) ] ? 1 ? 2而应= 2 ? 1 (二)指数函数及其性质 1、指数函数的概念:一般地,函数 y ? a x 叫做指数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域为 R. 注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和 1.即 a>0 且 a≠1 2、指数函数的图象和性质 0<a<1 a>1
1 2 2

图 像 定义域 R , 值域(0,+∞)

(1)过定点(0,1),即 x=0 时,y=1 (2)在 R 上是减函数 性质 (3)当 x>0 时,0<y<1; 当 x<0 时,y>1 (2)在 R 上是增函数 (3)当 x>0 时,y>1; 当 x<0 时,0<y<1

图象特征 向 x 轴正负方向无限延伸 函数图象都在 x 轴上方 共性 图象关于原点和 y 轴不对称 函数图象都过定点(0,1)

函数性质 函数的定义域为 R 函数的值域为 R 非奇非偶函数 过定点(0,1)
+

自左向右看,图象逐渐下降 在第一象限内的图象纵坐标都小于 1 0<a<1 在第二象限内的图象纵坐标都大于 1 图象上升趋势是越来越缓

减函数 当 x>0 时,0<y<1; 当 x<0 时,y>1 函数值开始减小极快, 到了某一值后减小速度较慢;

自左向右看,图象逐渐上升 在第一象限内的图象纵坐标都大于 1 a>1 在第二象限内的图象纵坐标都小于 1 图象上升趋势是越来越陡

增函数 当 x>0 时,y>1; 当 x<0 时,0<y<1 函数值开始增长较慢, 到了某一值后增长速度极快;

注意: 指数增长模型:y=N(1+p)x
b

指数型函数: y=kax

3 考点: (1)a =N, 当 b>0 时,a,N 在 1 的同侧;当 b<0 时,a,N 在 1 的 异侧。 (2)指数函数的单调性由底数决定的,底数不明确的时候要进行讨论。掌握利用单调性比较幂的大 小,同底找对应的指数函数,底数不同指数也不同插进 1(=a )进行传递或者利用(1)的知识。 (3)求指数型函数的定义域可将底数去掉只看指数的式子,值域求法用单调性。 (4)分辨不同底的指数函数图象利用 a =a,用 x=1 去截图象得到对应的底数。 (5)指数型函数:y=N(1+p) 二、对数函数 (一)对数 1.对数的概念:一般地,如果 a ? N ,那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作: x ? log a N
x
x 1 0

简写:y=ka

x

( a— 底数, N— 真数, log a N — 对数式) 说明:1. 注意底数的限制,a>0 且 a≠1;2. 真数 N>0 3. 注意对数的书写格式. 2、两个重要对数: (1)常用对数:以 10 为底的对数,

log10 N记为lg N ;

(2)自然对数:以无理数 e 为底的对数的对数 , loge N记为ln N . 3、对数式与指数式的互化

x ? loga N ? a x ? N
对数式 指数式 对数底数← a → 幂底数 对数← x → 指数 真数← N → 幂

结论: (1)负数和零没有对数;(2)logaa=1, 特别地, lg10=1, lg1=0 , (3) 对数恒等式: a
log a N

loga1=0

lne=1, ln1=0

?N
有: 两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和 两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差 一个正数的 n 次方的对数等于这个正数的对数 n 倍

(二)对数的运算性质 如果 a > 0,a ? 1,M > 0, N > 0 1、 log( ? loga M ? loga N a M ? N) 2 、 log a

M ? log a M ? log a N N

3 、 loga M n ? n loga M (n ? R) 说明:

1) 简易语言表达:”积的对数=对数的和”?? 2) 有时可逆向运用公式 3) 真数的取值必须是(0,+∞) 4) 特别注意: loga MN ? loga M ? loga N

loga ?M ? N ? ? loga M ? loga N
注意:换底公式 log a b ?

log c b lg b ? ? a ? 0, a ? 1, c ? 0, c ? 1, b ? 0 ? log c a lg a

利用换底公式推导下面的结论 ① loga b ?

n 1 n ② loga b ? logb c ? logc d ? loga d ③ log a m b ? log a b m logb a

(二)对数函数 1、对数函数的概念:函数 y ? log a x (a>0,且 a≠1) 叫做对数函数,其中 x 是自变量,函数的定义 域是(0,+∞) . 注意: (1) 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。 如: y ? loga

x ?1 , y ? loga x ? 2 都不是对数函数,而只能称其为对数型函数.

(2) 对数函数对底数的限制:a>0,且 a≠1 2、对数函数的图像与性质:对数函数 y ? log a x (a>0,且 a≠1) 0 < a < 1 a > 1

y

y

0 图 像

(1,0)

x 0 (1,0) x

定义域: (0,+∞)

值域:R

过点(1 ,0), 即当 x =1 时,y=0 性 质 在(0,+∞)上是减函数 当 x>1 时,y<0 当 x=1 时,y=0 当 0<x<1 时,y>0 在(0,+∞)上是增函数 当 x>1 时,y>0 当 x=1 时,y=0 当 0<x<1 时,y<0

重要结论:在 log b 中,当 a ,b 同在(0,1) 或(1,+∞)内时,有 a log b>0; a 当 a,b 不同在(0,1) 内,或不同在(1,+∞) 内时,有 log b<0. a 口诀:底真同大于 0(底真不同小于 0). (其中,底指底数,真指真数,大于 0 指 log b 的值) a 3、如图,底数 a 对函数 y ? loga x 的影响。 规律: 4 考点: Ⅰ、logab, 当 a,b 在 1 的同侧时, logab >0;当 a,b 在 1 的异侧时, logab <0 Ⅱ、对数函数的单调性由底数决定的,底数不明确的时候要进行讨论。掌握利用单调性比较对数的大 小,同底找对应的对数函数,底数不同真数也不同利用(1)的知识不能解决的插进 1(=logaa)进 行传递。 Ⅲ、求指数型函数的定义域要求真数>0,值域求法用单调性。 Ⅳ、分辨不同底的对数函数图象利用 1=logaa ,用 y=1 去截图象得到对应的底数。 Ⅴ、y=a (a>0 且 a ≠1) 与 y=logax(a>0 且 a ≠1) 互为反函数,图象关于 y=x 对称。
x

底大枝头低,

头低尾巴翘。

5 比较两个幂的形式的数大小的方法: (1) (2) (3) 对于底数相同指数不同的两个幂的大小比较,可以利用指数函数的单调性来判断. 对于底数不同指数相同的两个幂的大小比较,可以利用比商法来判断. 对于底数不同也指数不同的两个幂的大小比较,则应通过中间值来判断.常用 1 和 0.

6 比较大小的方法 (1) 利用函数单调性(同底数);(2) 利用中间值(如:0,1.) ;(3) 变形后比较;(4) 作差比较

(三)幂函数 1、幂函数定义:一般地,形如 y ? x? 的函数称为幂函数,其中 x 是自变量,α 为常数. 2、幂函数性质归纳. (1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1) ; (2)α >0 时,幂函数的图象通过原点,并且在[0,+ ∞)上是增函 数.特别地,当α >1 时,幂函数的图象下凸;当 0<α <1 时,幂函数 的图象上凸; (3)α <0 时,幂函数的图象在(0,+∞)上是减函数.在第一象限 内, 当 x 从右边趋向原点时, 图象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴正半轴, 当 x 趋于+∞时,图象在 x 轴上方无限地逼近 x 轴正半轴. 第三章 函数的应用 一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念:对于函数 y=f(x),使 f(x)=0 的实数 x 叫做函数的零点。 (实质上是函数 y=f(x)与 x 轴交点的横坐标) 2、函数零点的意义:方程 f(x)=0 有实数根?函数 y=f(x)的图象与 x 轴有交点?函数 y=f(x)有零点 3、零点定理:函数 y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的,并且有 f(a)f(b)<0,那么函数 y=f(x)在区 间(a,b)至少有一个零点 c,使得 f( c)=0,此时 c 也是方程 f(x)=0 的根。

4、函数零点的求法:求函数 y=f(x)的零点: (1) (代数法)求方程 f(x)=0 的实数根; (2) (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 y=f(x)的图象联系起来,并利用函数的性 质找出零点. 5、二次函数的零点:二次函数 f(x)=ax +bx+c(a≠0). 1)△>0,方程 f(x)=0 有两不等实根,二次函数的图象与 x 轴有两个交点,二次函数有两个零点. 2)△=0,方程 f(x)=0 有两相等实根(二重根) ,二次函数的图象与 x 轴有一个交点,二次函数有一个二 重零点或二阶零点. 3)△<0,方程 f(x)=0 无实根,二次函数的图象与 x 轴无交点,二次函数无零点. 二、二分法 1、概念:对于在区间[a,b]上连续不断且 f(a)f(b)<0 的函数 y=f(x),通过不断地把函数 f(x)的零点所在 的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法。 2、用二分法求方程近似解的步骤: ⑴确定区间[a,b],验证 f(a)f(b)<0,给定精确度ε ; ⑵求区间(a,b)的中点 c; ⑶计算 f(c), ①若 f(c)=0,则 c 就是函数的零点; ②若 f(a)f(c)<0,则令 b=c(此时零点 x0∈(a,c)) ③若 f(c)f(b)<0,则令 a=c(此时零点 x0∈(c,b)) (4)判断是否达到精确度ε :即若|a-b|<ε ,则得到零点近似值为 a(或 b);否则重复⑵~⑷ 三、函数的应用: (1)评价模型: 给定模型利用学过的知识解模型验证是否符合实际情况。 (2)几个增长函数模型:一次函数:y=ax+b(a>0) 指数函数:y=a (a>1) 幂函数: y=x ( n?N*) 二次函数:y=ax +bx+c(a>0) 增长快慢:V(a )>V(x )>V(logax) 解不等式 (1) log2x< 2 < x
x 2 x n 2 n x 2

指数型函数: y=ka (k>0,a>1) 对数函数:y=logax(a>1)

x

(2) log2x< x < 2

2

x

(3)分段函数的应用:注意端点不能重复取,求函数值先判断自变量所在的区间。 (4)二次函数模型: y=ax +bx+c(a≠0) 先求函数的定义域,在求函数的对称轴,看它在不在定义域内, 在的话代进求出最值,不在的话,将定义域内离对称轴最近的点代进求最值。
2

(5)数学建模: (6)一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a>0)的 根的分布 两个根都在(m,n )内 y 两个有且仅有一个在(m,n)内 x1∈(m,n) x2∈(p,q)

m

m

n

n

x

m

n p
? f ( m) ? 0 ? f ( n) ? 0 ? ? ? f ( p) ? 0 ? ? f (q) ? 0

q

?? ? 0 ? b ? ?n ?m ? ? 2a ? ? f ( m) ? 0 ? ? ? f ( n) ? 0
两个根都小于 K

f(m)f(n)<0

两个根都大于 K

一个根小于 K,一个根大于 K

y

k

k
?? ? 0 ? b ? ? k ?? 2 a ? ? ? f (k ) ? 0

x

k
?? ? 0 ? b ? ? k ?? 2 a ? ? ? f (k ) ? 0

f(k)<0


新课标人教A版高一数学必修1知识点总结

新课标人教A版高一数学必修1知识点总结_数学_高中教育_教育专区。高中数学必修 1 知识点第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念: 1、集合的含义:某些指定的...

2014人教版高中数学必修1知识点总结

2014人教版高中数学必修1知识点总结_高一数学_数学_高中教育_教育专区。高一数学...(1) 用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2) ...

新课标人教A版高一数学必修1知识点总结

新课标人教A版高一数学必修1知识点总结_高一数学_数学_高中教育_教育专区。新课标人教A版高一数学必修1知识点总结,内容详实。高中数学必修 1 知识点第一章 集合与...

新课标人教A版高一数学必修1知识点总结

新课标人教A版高一数学必修1知识点总结_高一数学_数学_高中教育_教育专区。第二轮拔河比赛记录表下午第二节课高一男子队: 1、第一场: 高一(3)班:高一(1)班...

新课标人教A版高一数学必修1知识点总结

新课标人教A版高一数学必修1知识点总结_高一数学_数学_高中教育_教育专区。高中数学必修 1 知识点第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念: 1、集合的含义:某些...

新课标人教A版高一数学必修1知识点总结

新课标人教A版高一数学必修1知识点总结_高一数学_数学_高中教育_教育专区。新课标人教A版高一数学必修1知识点总结 高中数学必修 1 知识点第一章 集合与函数概念 ...

新课标人教A版高一数学必修1知识点总结

新课标人教A版高一数学必修1知识点总结_数学_高中教育_教育专区。高中数学必修 1 知识点第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念: 1、集合的含义:某些指定的...

新课标人教A版高一数学必修1知识点总结

新课标人教A版高一数学必修1知识点总结_数学_高中教育_教育专区。高中数学必修 1 知识点第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念: 1、集合的含义:某些指定的...

新课标人教A版高一数学必修1知识点总结

新课标人教A版高一数学必修1知识点总结_数学_高中教育_教育专区。高中知识点总结及练习题 高中数学必修 1 知识点第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念: 1、...