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上海市浦东新区2012-2013学年度高一第二学期期中联考数学试题


2012 学年度第二学期高一数学期中联考试题
(满分 100 分 1.求值: 5
2?log5 3

考试时间 90 分钟)

? ________.

2. 已知函数 f ( x) ? x2 ?1( x ? ?2) ,则 f ?1 (4) ? _________. 3. 与 ?

>8? 终边相同的最小正角是_______________. 3

4. 已知 sin ? cos ? ? 0 ,则 ? 是第__________象限角. 5. 已知 log3 2 ? a ,则 log32 18 用 a 表示为 6. 若 log a .

1 ? 1 ,则 a 的取值范围是____________________. 4
.

7. 函数 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 1在 [?1,2] 上不存在 反函数,则实数 a 的取值范围为 ... 8. 若 ? ? ?

? 5? 3? ? , ? ,则 1 ? 2sin ? cos ? ? _______________. ? 4 2 ?

9. 设函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? (0, ??) 时, f ( x) ? lg x ,则满足 f ( x ) ? 0 的 x 的取值范围 是 10、若 sin ? ? .

a ?3 4 ? 2a ? , cos ? ? , ? ? ? ? , 则 a ? ____________ . a?5 a?5 2


11、已知函数 y ? loga (3 ? ax),(a ? 0, a ? 1) 在 [0,1] 上单调递减,则实数 a 的取值范围为 12. 已知角 ? 终边上一点 P(t , ?4) ,若 cos ? ?

t ,则 tan ? ? ____________ . 5

二、选择题(本大题 4 小题,每小题 3 分,共 12 分)

1 5? ”是“ ? ? ? ”的( ) 2 6 A .充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 2 14、若函数 y ? log2 (kx ? 4kx ? 3) 的定义域为 R,则 k 的取值范围是 ( )
13. “ sin ? ? ?

3? ? 3? ? 3? ?3 ? B. ?0, ? C. ?0, ? D. (??,0] ? ? ,?? ? 4? ?4 ? ? 4? ? 4? 2b 15. 将 a ? N (a ? 0, a ? 1) 转化为对数形式,其中错误的是( ) 1 N A. b ? log a N B. b ? loga2 N C. logab N ? 2 D. b ? log a 2 2
A. ? 0, ?
? 16. 已知函数 f (n) ? log( n?1) (n ? 2)(n ? N ) ,若存在正整数 k 满足: f (1) ? f (2) ? f (3) ?

? ?

? f (n) ? k ,那么我们

把 k 叫做关于 n 的“对整数” ,则当 n ?[1,10] 时, “对整数”共有( (A ) 1 个 (B) 2 个 (C) 4 个 (D) 8 个



1

三、解答题(本大题共 5 小题,满分 52 分) 17.(本小题满分 8 分) 解方程: log2 (9x ? 5) ? log2 (3x ? 2) ? 2

18.(每小题各 4 分,满分 8 分) 已知 tan ? ? ?2 ,求下列各式的值. (1)

4 sin ? ? 3cos ? 2 sin ? ? cos ?

(2) 4sin ? ? 3cos ?
2 2

19. (本小题满分 10 分) 已知 sin ?? ? ? ? ? cos ?? ? ? ? ?

1 ,且 ? ? ? ? 2? ,求 tan(2? ? ? ). 5

2

20. (第一小题 4 分,第二小题 6 分,满分 10 分) 已知扇形 AOB 的周长为 8 cm. (1)若这个扇形的面积为 3 cm2,求圆心角的大小; (2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长 AB(保留三角比)..

21. (第一小题 4 分,第二小题 3 分,第三小题 6 分,第四小题 3 分,满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? log a (1)求 m 的值; (2)求 f ( x ) 的反函数 f ?1 ( x) ; (3)讨论 f ( x ) 的单调性,并用定义证明; (4)当 f ( x ) 定义域区间为 ?1, a ? 2? 时, f ( x ) 的值域为 ?1, ?? ? ,求 a 的值.

1 ? mx (a ? 0, a ? 1) 是奇函数. x ?1

3

2012 学年度第二学期高一数学期中联考试题参考答案
(满分 100 分 一、填空题(本大题 12 小题,每小题 3 分,共 36 分) 考试时间 90 分钟)

? 75 2. 已知函数 f ( x) ? x2 ?1( x ? ?2) ,则 f ?1 (4) ? ? 5
1.求值: 5

2 ? log5 3

8? 4? 终边相同的最小正角是 3 3 4. 已知 sin ? cos ? ? 0 ,则 ? 是第_二或四__象限角. a?2 5. 已知 log3 2 ? a ,则 log32 18 用 a 表示为 . 5a
3. 与 ? 6. 若 log a

1 ? 1? ? 1 ,则 a 的取值范围是 ? 0, ? 4 ? 4?
2

?1, ?? ?

7. 函数 f ( x) ? x ? 2ax ? 1在 [?1,2] 上不存在 反函数,则实数 a 的取值范围为 ? ?2,1? ...

? 5? 3? ? , ? ,则 1 ? 2sin ? cos ? ? cos ? ? sin ? ? 4 2 ? 9. 设函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? (0, ??) 时, f ( x) ? lg x , 则满足 f ( x ) ? 0 的 x 的取值范围是
8. 若 ? ? ?

??1, 0? ?1,???

a ?3 4 ? 2a ? , cos ? ? , ?? ??,则a ? 8 a?5 a?5 2 11、已知函数 y ? loga (3 ? ax),(a ? 0, a ? 1) 在 [0,1] 上单调递减,则实数 a 的取值范围为 ?1,3?
10、若 sin ? ?

? 4 t ?3 ?? 3 ? t t?0 12. 已知角 ? 终边上一点 P(t , ?4) ,若 cos ? ? ,则 tan ? ? ?不存在 5 ?4 ? t ? ?3 ?3
二、选择题(本大题 4 小题,每小题 3 分,共 12 分)

1 5? B ”是“ ? ? ? ”的( ) 2 6 A .充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 2 14、若函数 y ? log2 (kx ? 4kx ? 3) 的定义域为 R,则 k 的取值范围是 ( C )
13. “ sin ? ? ?

3? ? 3? ? 3? ?3 ? B. ?0, ? C. ?0, ? D. (??,0] ? ? ,?? ? 4? ?4 ? ? 4? ? 4? 2b D 15. 将 a ? N (a ? 0, a ? 1) 转化为对数形式,其中错误的是( ) 1 N A. b ? log a N B. b ? loga2 N C. logab N ? 2 D. b ? log a 2 2
A. ? 0, ?
4

? ?

16. 已知函数 f (n) ? log( n?1) (n ? 2)(n ? N? ) ,若存在正整数 k 满足: f (1) ? f (2) ? f (3) ? 把 k 叫做关于 n 的“对整数” ,则当 n ?[1,10] 时, “对整数”共有( B (A ) 1 个 (B) 2 个 (C) 4 个 (D) 8 个 )

? f (n) ? k ,那么我们

三、解答题(本大题共 5 小题,满分 52 分) 17.(本小题满分 8 分) 解方程: log2 (9x ? 5) ? log2 (3x ? 2) ? 2 解: 9x ? 5 ? 4(3x ? 2) ————————2 分

?3 ?

x 2

x ? 4? 3 ? ? 3 ——————— 0 2分

3x ? 1 或3x ? 3 ? x ? 0或x ? 1——————————2 分 经检验 x ? 0 是增根,舍去—————1 分 ? 原方程的解是 x ? 1 ————————1 分
18.(每小题各 4 分,满分 8 分) 已知 tan ? ? ?2 ,求下列各式的值. (1)

4 sin ? ? 3cos ? 2 sin ? ? cos ? 4 tan ? ? 3 ? ? ? ? ? 2分 解: (1)原式= 2 tan ? ? 1
= 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2分

(2) 4sin ? ? 3cos ?
2 2

4sin 2 ? ? 3cos 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ?2分 (2)原式= sin 2 ? ? cos 2 ?
=

4 tan 2 ? ? 3 ? ? ? ? ? ? ? ?1分 tan 2 ? ? 1 19 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1分 = 5

(不同解法相应给分) 19. (本小题满分 10 分)

1 ,且 ? ? ? ? 2? ,求 tan(2? ? ? ). 5 1 解:由已知得 sin ? ? cos ? ? ? -------------------------------2 分 5 24 两边平方得: 2sin ? cos ? ? ? ----------------------------2 分 25 3? ? ? ? ? 2? ? ? ? ? 2? 2 ? cos ? ? 0 ? sin ? ----------------------------------------------2 分 1 4 ? ? sin ? ? cos ? ? ? sin ? ? ? ? ? ? ? 5 5 ?? ?? ---------------------2 分 ?2sin ? cos ? ? ? 24 ?cos ? ? 3 ? 25 ? 5 ? ? 4 tan(2? ? ? ) ? ? tan ? ? ------------------------------------------2 分 3
已知 sin ?? ? ? ? ? cos ?? ? ? ? ? (不同解法相应给分)
5

20. (第一小题 4 分,第二小题 6 分,满分 10 分) 已知扇形 AOB 的周长为 8 cm. (1)若这个扇形的面积为 3 cm2,求圆心角的大小; (2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长 AB(保留三角比). 解: (1)设扇形的半径为 r ,弧长为 l ---------------------------1 分

? 2r ? l ? 8 ?r ? 1 ?r ? 3 ? ?? 或? -------------------------2 分 ?1 l ? 3 l ? 2 lr ? 3 ? ? ? ?2 2 ?圆心角? ? 3或? ? ----------------------------------1 分 3
(2) S ?

1 1 1 ? 2r ? l ? lr ? ? 2r ? l ? ? ? ? ? 4 -------------------2 分 2 4 4 ? 2 ? 当且仅当 2r ? l 时,等号成立-------------------------------1 分 ?当r ? 2, l ? 4时, Smax ? 4, 此时? =2 -------------------1 分 ? AB ? 4sin1 ----------------------------------------------------2 分
1 ? mx (a ? 0, a ? 1) 是奇函数. x ?1

2

(其他方法相应给分) 21. (第一小题 4 分,第二小题 3 分,第三小题 6 分,第四小题 3 分,满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? log a (1)求 m 的值;
?1 (2)求 f ( x ) 的反函数 f ( x) ; (3)讨论 f ( x ) 的单调性,并用定义证明;

(4)当 f ( x ) 定义域区间为 ?1, a ? 2? 时, f ( x ) 的值域为 ?1, ?? ? ,求 a 的值. 解: (1)

1 ? mx 1 ? mx 1 ? m2 x 2 ? log a ? log a ? 0 ----------2 分 ? x ?1 x ?1 1 ? x2 1 ? m2 x 2 ? ? 1,即? m2 ? 1? x 2 ? 0 对定义域内的任意 x 恒成立 2 1? x 解得 m ? ?1 ,经检验 m ? ?1 ---------------------------------------------------------2 分 x ?1 x ?1 a y ?1 ? ay ? ?x? y (2) y ? log a ? y ? 0? -------------------------2 分 x ?1 x ?1 a ?1 ax ?1 ? f ?1 ( x) ? x ( x ? 0, a ? 0, a ? 1) ----------------------------------------1 分 a ?1 (3)由(1)可知函数 f ( x ) 的定义域为 ? ??, ?1? ?1, ??? --------------------1 分 f (? x) ? f ( x) ? log a
设 g ( x) ?

x ?1 , 任取x1 ? x2 ? ?1或1 ? x1 ? x2 x ?1 2( x2 ? x1 ) g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? ?0 ( x1 ? 1)( x2 ? 1)

? g ( x1 ) ? g ( x2 )
x ?1 在 ? ??, ?1? 或 ?1, ?? ? 上单调递减 -----------------3 分 x ?1 所以当 a ? 1时,f ( x)在? ??, ?1? 和?1, ??? 上单调递减
所以,函数 g ( x) ? 当 0 ? a ? 1时, f ( x)在? ??, ?1? 和?1, ??? 上单调递增.------------------2 分 (4) 1 ? x ? a ? 2 ? a ? 3

?由(3)可知f ( x) 在? 1,a ?

上单调递减 --------------------------------------1 分 ?2
6

? f ( a?2 ) ? 即 1,

a ?1 la o g a?2

2 ? 化简得 1, a

? a 4 ? ?1 ? a 0, ?

?2 分 3 ------2

7


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