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高三文科数学练习2012-12-3


高三文科数学练习 2012-11-30
一.填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分. 1.已知集合 A ? ?1,3? , B ? ?1,2, m? ,若 A ? B ,则实数 m = 2.若向量 a ? (2,3), b ? ( x, ?6) ,且 a ? b ,则实数 x = 3.在 ?ABC 中,已知 sin A : sin B : sin C

? 2 : 3: 4 ,则 cos C ? . . .

4.已知 p : x2 ? 4x ? 5 ? 0, q : x2 ? 2x ? 1 ? m2 ? 0(m ? 0) ,若 p 是 q 的充分不必要条件, 则 m 的最大值为 .

?x ? 1 ? 5.若变量 x,y 满足约束条件 ? y ? x 则 w ? log3 (2x ? y) 的最大值为 ?3 x ? 2 y ? 15 ?
6.已知椭圆的方程为

.

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) , 过椭圆的右焦点且与 x 轴垂直的直线与椭圆 a 2 b2

交于 P、Q 两点,椭圆的右准线与 x 轴交于点 M,若 ?PQM 为正三角形,则椭圆的离心率 等于 .

∥ 7.已知四边形 ABCD 为梯形, AB CD , l 为空间一直线,则“ l 垂直于两腰 AD, BC ”
是“ l 垂直于两底 AB, DC ”的 条件(填写“充分不必要”,“必要不充分”,
[来源:学科网]

“充要”,“既不充分也不必要”中的一个).

?? ? 1 ? 2? ? ? 2? ? = 8.若 sin ? ? ? ? ? ,则 cos ? ?6 ? 3 ? 3 ?

.

9.设向量 a ? (2cos ? , 2sin ? ), b ? (2cos ? , 2sin ? ), ,且直线 2 x cos ? ? 2 y sin ? ? 1 ? 0 与圆 ( x ? cos ? ) ? ( y ? sin ? ) ? 1 相切,则向量 a 与 b 的夹角为
2 2

?

?

?

?

.

10. 已 知 f ( x) ? a ? 为 .

1 是 定 义 在 (??, ?1] ? [1, ??) 上 的 奇 函 数 , 则 f ( x ) 的 值 域 2 ?1
x

11.记等比数列 ?an ? 的前 n 项积为 Tn (n ? N * ) ,已知 am?1am?1 ? 2am ? 0 ,且 T2m?1 ? 128 , 则m? .

12. 已知曲线 y ? ? a ? 3? x3 ? ln x 存在垂直于 y 轴的切线,函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? 3x ? 1 在

?1, 2? 上单调递增,则 a 的范围为

.

1 1 ? ? x ? 2 , x ? [0, 2 ) ? 13. 已 知 函 数 f ( x) ? ? 若 存 在 x1 , x2 , 当 0 ? x1 ? x2 ? 2 时 , ?2 x ?1 , x ? [ 1 , 2) ? ? 2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 x1 f ( x2 ) 的取值范围是
2 2

.

14. 在平面直角坐标系 xOy 中,设 A、B、C 是圆 x +y =1 上相异三点,若存在正实数 ?,? , ??? ? ??? ? ???? 2 使得 OC = ?OA ? ?OB ,则 ? 2 ? ? ? ? 3? 的取值范围是 . 二.解答题:本大题共 6 小题,计 90 分.
2 15.已知函数 f ( x) ? 3 sin x cos x ? cos x ?

1 ( x ? R) . 2

(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (2)求函数 f ( x ) 在区间 [0,

?
4

] 上的函数值的取值范围.

16.如图,在直角坐标系 xOy 中,锐角 ?ABC 内接于圆 x 2 ? y 2 ? 1. 已知 BC 平行于 x 轴,

AB 所在直线方程为 y ? kx ? m(k ? 0) ,记角 A 、 B 、 C 所对的边分别是 a 、 b 、 c .
(1)若 3k ?

2ac A?C , 求 cos 2 ? sin 2 B 的值; 2 2 2 a ?c ?b
2

(2)若 k ? 2, 记 ?xOA ? ? (0 ? ? ?

?
2

), ?xOB ? ? (? ? ? ?

3? ), 求 sin(? ? ? ) 的值。 2
y A

O B C

x

17.某工厂生产一种产品的成本费共由三部分组成:①原材料费每件 50 元;②职工工资 支出 7500+20x 元; ③电力与机器保养等费用为 x 2 ? 30 x ? 600 元.其中 x 是该厂生产这种产 品的总件数。 (1) 把每件产品成本费 P ? x ? (元)表示成产品件数 x 的函数, 并求每件产品的最低成本费; (2)如果该厂生产的这种产品的数量 x 不超过 170 件且能全部销售,根据市场调查,每件 产品的销售价为 Q ? x ?(元) Q( x) ? 1240 ? ,且

1 2 x ,试问生产多少件产品,总利润最高? 30

并求出最高总利润。 (总利润=总销售额-总的成本)

x2 2 y2 ? ? 1的右顶点, 点 D(1, 0) , 18.如图,在平面直角坐标系 xoy 中,已知点 A 为椭圆 9 9 ??? ??? ? ? 点 P, B 在椭圆上, BP ? DA .
(1)求直线 BD 的方程; (2)求直线 BD 被过 P, A, B 三点的圆 C 截得的弦长; (3)是否存在分别以 PB, PA 为弦的两个相外切的等圆?若存在,求出这两个圆的方程; 若不 存在,请说明理由.

19. 对于函数 f ( x ) ,若存在实数对( a, b ),使得等式 f (a ? x) ? f (a ? x) ? b 对定义域中的 每一个 x 都成立,则称函数 f ( x ) 是“( a, b )型函数”. (1)判断函数 f ( x) ? 4x 是否为“( a, b )型函数”,并说明理由; (2) 已 知 函 数 g ( x) 是 “(1,4) 型 函 数 ”, 当 x ? [0, 2] 时 , 都 有 1 ? g (x )? 3成 立 , 且 当

x ? [ 0, 1]
时, g ( x) ? x2 ?m( x ? 1) ? 1 (m ? 0) ,若,试求 m 的取值范围.

20.已知数列 ?an ? , ?bn ? 满足: a1 ? 3 ,当 n ? 2 时, an?1 ? an ? 4n ;对于任意的正整 数 n , b1 ? 2b2 ? ?? 2n?1 bn ? nan .设 ?bn ? 的前 n 项和为 S n . (Ⅰ)计算 a 2 , a 3 ,并求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)求满足 13 ? S n ? 14 的 n 的集合.
[来源:Z§xx§k.Com]

参考答案
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.

二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步 骤,请把答案写在答题纸的指定区域内.

16.(本小题满分 14 分) 解: (1) 变式得: 3 原式 ? sin 2

sin B 2ac 1 ? 2 解得 sin B ? ,--------------------4 分 2 2 cos B a ? c ? b 3

B 1 ? cos B 9?2 2 ;------------7 分 ? sin 2 B ? ? 2 sin B cos B ? 2 2 18

(2)方法一: ?AOB ? ? ? ? ,作 OD ? AB 于 D ,

? ?xOD ? ? ?

? ??
2

2 2 ? ?? 2 tan( ) 4 2 ? sin(? ? ? ) ? ? ? --------------14 分 ? ?? 5 1 ? tan2 ( ) 2
方法二: ?

?

? ??

,? tan(

? ??

) ? kOD ? ?

1 1 ? ? ------------11 分 k 2

?x 2 ? y 2 ? 1 ? 5 x 2 ? 4mx ? m 2 ? 1 ? 0 , ? y ? 2x ? m
4m m2 ?1 , x1 x2 ? , 5 5

设 A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ), x1 ? x2 ? ?

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? y1 x 2 ? x1 y 2 ? (2 x1 ? m) x 2 ? x1 (2 x 2 ? m)

4 ? 4 x1 x 2 ? m( x 1 ? x 2 ) ? ? -------------14 分 5

17.(1) P ? x ? ? 50 ?

7500 ? 20 x x 2 ? 30 x ? 600 8100 ? ? ? x ? 40 , x ? N * ???3 分 x x x

由基本不等式得: P ? x ? ≥ 2 当且仅当

8100 ? x ? 40 ? 220 ?????????5 分 x

8100 8100 ? x ,即 x ? 90 时等号成立,所以 P ? x ? ? ? x ? 40 , x ? N * ,每件产 x x

品的最低成本费为 220 元。? ??6 分 (2)设总利润 y ? f ? x ? 元,则

f ( x) ? x[Q( x) ? P( x)] ? 1240x ? ??

1 3 x ? 8100 ? x2 ? 40x 30 x ? N ?且x ≤170 ????????9 分

1 3 2 x ? x ? 1200x ? 8100, 30

18.解: (1)因为 BP ? DA ,且 A(3,0),所以 BP ? DA =2,而 B,P 关于 y 轴对称,所以点 P 的横坐标为 1, 从而得 P(1, 2), B(?1, 2) ???????????????3 分 所以直线 BD 的方程为 x ? y ? 1 ? 0 ?????????????5 分
[来源:学科网]

??? ?

??? ?

(2)线段 BP 的垂直平分线方程为 x=0,线段 AP 的垂直平分线方程为 y ? x ? 1 , 所以圆 C 的圆心为(0,-1),且圆 C 的半径为 r ? 10 ????????8 分 又圆心(0,-1)到直线 BD 的距离为 d ? 2 ,所以直线 BD 被圆 C 截得的弦长 为 2 r ? d ? 4 2 ???????????????????10 分
2 2

(3)假设存在这样的两个圆 M 与圆 N,其中 PB 是圆 M 的弦,PA 是圆 N 的弦,则点 M 一定在 y 轴上,点 N 一定在线段 PC 的垂直平分线 y ? x ? 1 上,当圆 M 和圆 N 是两个相外切的 等圆时,一定有 P,M,N 在一条直线上,且 PM=PN???????????12 分 设 M (0, b) ,则 N (2, 4 ? b) ,根据 N (2, 4 ? b) 在直线 y ? x ? 1 上, 解得 b ? 3 ?????????????14 分 所以 M (0,3), N (2,1), PM ? PN ? 2 ,故存在这样的两个圆,且方程分别为

x2 ? ( y ? 3)2 ? 2 , ( x ? 2)2 ? ( y ?1)2 ? 2 ???????????16 分 19.解: (1)函数 f ( x) ? 4 x 是“( a, b )型函数”?????????2 分 因 为 由 f (a ? x) ? f (a ? x) ? b , 得 16a ? b , 所 以 存 在 这 样 的 实 数 对 , 如 a ? 1, b ? 16 ??????6 分 4 (2) 由 题 意 得 , g (1 ? x) g (1 ? x) ? 4 , 所 以 当 x ? [1, 2 ] , g ( x) ? 时 ,其中 g (2 ? x) , 2 ? x ? [ 0, 1] 而 x ? [0,1] 时, g ( x) ? x2 ? m(1 ? x) ? 1 ? x2 ? mx ? m ? 1 ? 0 ,且其对称轴方程为 m x? , 2 m ? 1 , 即 m ? 2 时 , g ( x) 在 [0,1] 上 的 值 域 为 [ g (1), g (0)] , 即 [2, m ? 1] , 则 ① 当 2 4 4 , 2] ? [ , m ? 1] , 由 题 意 得 g ( x) 在 [0, 2] 上 的 值 域 为 [2, m ? 1] ? [ m ?1 m ?1 ?m ? 1 ? 3 ? ,此时无解?????????11 分 ? 4 ?1 ? m ?1 ? m2 1 m m ? 1 ,即 1 ? m ? 2 时, g ( x) 的值域为 [ g ( ), g (0)],即 [m ? 1 ? , m ? 1] , ②当 ? 2 2 2 4 m2 4 4 , m ? 1] ? [ , ] ,则由 所以则 g ( x) 在 [0, 2] 上的值域为 [m ? 1 ? m2 4 m ?1 m ?1? 4 2 4 ? ? ? 3 ?m ? 1 ? m ? 1 2 ? m ? ? 4 题意得 ? m ? 1 ? 且? ,解得 1 ? m ? 2 ????????13 分 4 4 ? ? ?1 ? m ?1 ? m ?1 ? 3 ? ?

20. (Ⅰ)在 an?1 ? an ? 4n 中,取 n ? 2 ,得 a1 ? a2 ? 8 ,又, a1 ? 3 ,故 a 2 ? 5. 同样 取 n ? 3 可得 a3 ? 7. ???????? 2 分 由 an?1 ? an ? 4n 及 an?1 ? an ? 4(n ? 1) 两式相减可得: an?1 ? an?1 ? 4 ,所以数列

?an ? 的奇数项和偶数项各自成等差数列,公差为 4 ,而 a
为 2 的等差数列,? an ? 2n ? 1. ???????? 5 分

2

? a1 ? 2 ,故 ?an ? 是公差

[来源:学科网]

(Ⅱ)在 b1 ? 2b2 +?? 2n?1bn ? nan 中令 n ? 1 得 b1 ? a1 ? 3. ???????? 6 分

[来源:学科网 ZXXK]

又 b1 ? 2b2 ? L ? 2n bn?1 ? (n ? 1)an?1 , b1 ? 2b2 ? L ? 2n?1bn ? nan 两式相减可得: 与

2 n bn?1 ? (n ? 1)an?1 ? nan ? (n ? 1)(2n ? 3) ? n(2n ? 1) ? 4n ? 3 ,bn ?1 ?
即当 n ? 2 时, bn ?

4n ? 3 , 2n

4n ? 1 2 n ?1


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