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江苏省青阳高级中学2013届高三下学期期中考试数学文试题 Word版含答案

时间:2013-05-09


江苏省青阳高级中学 2013 届高三数学(文科)期中考试 2013-4-28
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卷相应的位 置上) 1. 已知集合 A ? ??1, 0,1? , B ? x 0 ? x ? 2 ,则 A ? B ? 2. 已知 (1 ? i ) ? z ? ?2i ,那么复数 z ? 3. 已知 cos(

▲ .

?

?

▲ .

?
2

?? ) ?

4 ,则 cos 2? ? 5

▲ .

4. 已知等比数列 ?an ? 中,各项都是正数,且 a1 , ▲ . 5.

1 a ? a9 a3 ,2a 2 成等差数列,则 8 等于 2 a6 ? a7

“直线: x ? (a ? 1) y ? 1 ? 0 与直线: ax ? 2 y ? 2 ? 0 平行”的充要条件是 ▲ .

6. 从 1, 2,3, 4,5 这五个数中任取两个数,这两个数的和是奇数的概率为





7. 已知点 P 是双曲线 x2 ? y 2 ? 2 上的点,该点关于实轴的对称点为 Q ,则 OP ? OQ = ▲ . 8. 不等式 ( x ? 1)(x ? 2) ? 0 的解集是 ▲
2

??? ???? ?



9. 用半径为 10 2 cm,面积为 100 2? cm 的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器(衔 接部分忽略不计) 则该容器盛满水时的体积是 ,
3





10. 若函数 f ( x) ? x ? 6bx ? 3b 在(0,1)内有极小值,则实数 b 的取值范围是 ▲ . 11. 函数 f ( x) ? cos( ? ? )(0 ? ? ? 2? ) , 在区间 (?? , ? ) 上单调递增, 则实数 ? 的取值范 围为 ▲ .
|ln x|

x 3

12. 直线 y ? kx 与曲线 y ? e ▲ .

? | x ? 2 | 有 3 个公共点时,实数 k 的取值范围是

2 13. 已知实数 p ? 0 ,直线 3x ? 4 y ? 2 p ? 0 与抛物线 x ? 2 py 和圆 x ? ( y ?
2

p 2 p2 ) ? 2 4

从左到右的交点依次为 A、B、C、D, 则

AB 的值为 CD





14. 设函数 f ( x ) 的定义域为 D,如果存在正实数 k ,使对任意 x ? D ,都有 x ? k ? D , 且 f ( x ? k ) ? f ( x) 恒成立,则称函数 f ( x ) 为 D 上的“ k 型增函数” .已知 f ( x ) 是定

义在 R 上的奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ?| x ? a | ?2a ,若 f ( x ) 为 R 上的“ 2011 型 增函数” ,则实数 a 的取值范围是 ▲ .

二、解答题: (本大题共 6 道题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤) 15. (本小题 14 分) 已知 a ? ( , sin x ?

?

1 1 2 2

? ? ? 3 cos x) , b ? (1, y) ,且 a // b .设函数 y ? f ( x) . 2

(1)求函数 y ? f ( x) 的解析式. (2)若在锐角 ?ABC 中, f ( A ?

?
3

) ? 3 ,边 BC ? 3 ,求 ?ABC 周长的最大值.

16. (本小题 14 分) 在正三棱柱 ABC ? A B1C1 中, D 是 BC 的中点, 点 1
A

BC ? BB1 .
(1)求证: AC ∥平面 AB1D ; 1 (2)试在棱 CC1 上找一点 M ,使 MB ? AB1 .

A1

B

D

C

B1

C1

17. (本小题 15 分) 某销售商销售某品牌手机,该品牌手机进价为每部 1580 元,零售价为每部 1880 元.为 促进销售, 拟采用买一部手机赠送一定数量礼物的方法, 且赠送礼物的价值不超过 180 元. 统 计表明:在促销期间,礼物价值每增加 15 元(礼物的价值都是 15 元的整数倍,如礼物价值 为 30 元,可视为两次增加 15 元,其余类推) ,销售量都增加 11%. (1)当赠送礼物的价值为 30 元时,销售的总利润变为原来不赠送礼物时的多少倍? (2)试问赠送礼物的价值为多少元时,商家可获得最大利润?

18. (本小题 15 分) 已知椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,点 A、B 分别是椭圆 C 的左顶点和上顶点,直线 a 2 b2
2

c2 AB 与圆 G: x ? y ? ( c 是椭圆的焦半距)相离,P 是直线 AB 上一动点,过点 P 作圆 4
2

G 的两切线,切点分别为 M、N. (1)若椭圆 C 经过两点 (1,

4 2 3 3 )、( ,1) ,求椭圆 C 的方程; 3 2

(2)当 c 为定值时,求证:直线 MN 经过一定点 E,并求 OP ? OE 的值(O 是坐标原点) ; (3)若存在点 P 使得△PMN 为正三角形,试求椭圆离心率的取值范围.
y B P A O M x N

??? ??? ? ?

19. (本小题 16 分) 已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 和数列 {an } 满足下列条件: a1 ? a ? 0 , a2 ? a1 ,当

n ? N * 时, an?1 ? f (an ) ,且存在非零常数 k 使 f (an?1 ) ? f (an ) ? k (an?1 ? an ) 恒成立.
(1)若数列 {an } 是等差数列,求 k 的值; (2)求证:数列 {an } 为等比数列的充要条件是 f ( x) ? kx (k ? 1) . (3)已知 f ( x) ? kx (k ? 1) , a ? 2 ,且 bn ? ln an ( n ? N * ) ,数列 {bn } 的前 n 项是 Sn , 对于给定常数 m ,若

S( m?1) n Smn

的值是一个与 n 无关的量,求 k 的值.

20. (本小题满分 16 分)
n 已 知 定 义 在 实 数 集 上 的 函 数 f n ( x) ? x , n N , 其 导 函 数 记 为 f n' ( x) , 且 满 足 ? *

f 2 '[ x 1 ? a( x 2? x )] ? 1
(1)试求 a 的值;

f 2 ( x 2) ? f 2( x ) 1 , a, x1 , x2 为常数, x1 ? x2 . x2 ? x1

(2)记函数 F ( x) ? b ? f1 ( x) ? ln f3 ( x) , x ? ? 0, e? ,若 F ( x) 的最小值为 6,求实数 b 的值; (3)对于(2)中的 b ,设函数 g ( x) ? ( ) , A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 )是函数 g ( x)
x

b 3

图象上两点,若 g '( x0 ) ?

y2 ? y1 ,试判断 x0 , x1 , x2 的大小,并加以证明. x2 ? x1

参考答案
1. {1} 5. a ? ?1 2. ?1 ? i 6. 3. ? 7.2

7 25

4. 3 ? 2 2 8. (?1,1) ? (2,??)

3 5

9.

1000 ? cm 3 3
1 16

10. (0, ) 14. a ?

1 2

11. [

4? 5? , ] 3 3

12. (0,1)

13.

2011 6

注:第 13 题过程 设 A( x1 , y1 ) , D( x2 , y2 ) ,则 | AB |? y1 , | AB |? y2 ( y1 ? y2 ) ,则

| AB | y1 ? , | CD | y2

由?

?3x ? 4 y ? 2 p ? 0, ? x ? 2 py,
2

得 8 y 2 ? 17 py ? 2 p2 ? 0 ,得 y1 ?

1 p , y2 ? 2 p , 8

| AB | y1 1 ? ? . | CD | y2 16
15.解:(1) 因为 a // b ,所以 分 所以 f ( x) ? 2sin( x ? (2) ∵ f ( A ? ∴ sin A ?

?

?

1 1 3 y ? sin x ? cos x , 2 2 2

???3

?
3

)

???6 分

?
3

) ? 2sin( A ?

?

? ) ? 2sin A ? 3 , 3 3
???8 分

?

? ? 3 .∵ A ? (0, ) ,∴ A ? . 3 2 2

又 BC ? 3 ,

解法一:由正弦定理知,

BC 3 ? 2R 得 2R ? ? 2, ? sin A sin 3 2? ? B) 3

∴ AC ? 2sin B , AB ? 2sin C , ∴ ?ABC 的周长为 3 ? 2sin B ? 2sin C ? 3 ? 2sin B ? 2sin( ???10 分

? 3 ? 2sin B ? 2(

? 3 1 cos B ? sin B) ? 3 ? 2 3 sin( B ? ) . 6 2 2

???12 分

? ? ? 0?B? 2 ? ? ? ? 2? ? ∵? ,∴ ? B ? ,则 ? B ? ? , 6 2 3 6 3 ?0 ? 2? ? B ? ? ? 3 2 ?
所以 sin( B ?

?
6

) ? 1 ,∴ ?ABC 周长的最大值为 3 3 .
2 2 2

???14 分

解法二:由余弦定理知, a ? b ? c ? 2bc cos A , 3 ? (b ? c)2 ? 3bc , ???10 分

(b ? c)2 3bc ? (b ? c) ? 3 ? 3 ? , (b ? c)2 ? 12 , 4
2

???13 分

∴b?c ? 2 3 ,a ?b?c ? a ? 2 3 , ∴ ?ABC 周长的最大值为 3 3 . 16. (1)证明:连接 A B ,交 AB1 于点 O , 连接 OD . 1 ∵ O 、 D 分别是 A B 、 BC 的中点, 1 ∴ AC ∥ OD . 1 ???3 分
A1 A

???14 分

∵ AC ? 平面 AB1D , OD ? 平面 AB1D , 1 ∴ AC ∥平面 AB1D . 1 (2) M 为 CC1 的中点. 证明如下: ∵在正三棱柱 ABC ? A B1C1 中, BC ? BB1 ,∴四边形 1 ???6 分 ???7 分

O B D C M B1 C1

BCC1B1 是正方形.
∵ M 为 CC1 的中点, D 是 BC 的中点,∴ ?B1BD ? ?BCM , ∴ ?BB1D ? ?CBM , ?BDB1 ? ?CMB . 又∵ ?BB1 D ? ?BDB1 ? ???9 分

?
2

, ???11 分

?CBM ? ?BDB1 ?

?
2

,∴ BM ? B1D .

∵ ?ABC 是正三角形, D 是 BC 的中点, ∴ AD ? BC . ∵平面 ABC ? 平面 BB1C1C , 平面 ABC ? 平面 BB1C1C ? BC , AD ? 平面 ABC ,

∴ AD ? 平面 BB1C1C . ∵ BM ? 平面 BB1C1C , ∴ AD ? BM . ∵ AD ? B1D ? D , ∴ BM ? 平面 AB1D . ∵ AB1 ? 平面 AB1D , ∴ MB ? AB1 . ???14 分 ???13 分

17.解:设该品牌手机在不赠送礼物的条件下销售量为 m 部, (1)原来利润为 (1880 ? 1580)m ? 300m 元, 当赠送礼物的价值为 30 元时,销售的总利润为 ???1 分

(1880 ?1580 ? 30)m(1 ? 11%)2 ? 1.2321? 270m ,

???3 分

1.2321? 270m ? 1.10889 ,即当赠送礼物的价值为 30 元时,销售的总利润变为原来不 300m 赠送礼物时的 1.1 倍. ???4 分
(2)当赠送礼物的价值为 15x 元时,销售的总利润为 f ( x ) 元,则 ( , f ( x) ? (1880 ?1580 ?15x) ? m ? (1 ? 11%) x = 15m(20 ? x) ?1.11x , x ? N , 且 x ? 12 ) ???8 分

f ( x ? 1) ? f ( x) ? 15m(1.09 ? 0.11x) ?1.11x ,
令 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 0 ,得 x ? 9 ∵ x ? N , 且 x ? 12 , ∴当 x ? 9 时, f ( x ? 1) ? f ( x) ;当 9 ? x ? 12 时, f ( x ? 1) ? f ( x) , 故当赠送礼物的价值为 150 元时,可以获得最大利润. 18.解: (1)令椭圆 mx ? ny ? 1 ,其中 m ?
2 2

???11 分 ???13 分

10 , 11

???15 分

1 1 ,n ? 2 , 2 a b

32 ? ?m ? 9 n ? 1 1 1 x2 y 2 ? ? ? 1. 得? ,所以 m ? , n ? ,即椭圆为 9 4 9 4 ? 27 m ? n ? 1 ?4 ?

???3 分

(2)直线 AB :

x y ? ? 1, ?a b
x0 y0 , ), 2 2

设点 P( x0 , y0 ) ,则 O, P 中点为 (

所以点 O, M , P, N 所在的圆的方程为 ( x ? 化简为 x2 ? x0 x ? y 2 ? y0 y ? 0 ,

x0 2 y x 2 ? y0 2 ) ? ( y ? 0 )2 ? 0 , 2 2 4
???5 分

c2 c2 与圆 x ? y ? 作差,即有直线 MN : x0 x ? y0 y ? , 4 4
2 2

因为点 P( x0 , y0 ) 在直线 AB 上,所以

x0 y0 ? ? 1, ?a b

b ? ?x ? a y ? 0 b c ? 所以 x0 ( x ? y ) ? (by ? ) ? 0 ,所以 ? , 2 a 4 ?by ? c ? 0 ? ? 4
2

c2 c2 c2 c2 , ), 得x?? ,y? ,故定点 E ( ? a 4b 4a 4b

?8 分

??? ??? ? ? b c2 c2 c2 OP ? OE ? ( x0 , x0 ? b) ? (? , ) ? . a 4a 4b 4
(3)由直线 AB 与圆 G: x ? y ?
2 2

???9 分

c2 ( c 是椭圆的焦半距)相离, 4



ab a 2 ? b2
4 2

?

c 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ,即 4a b ? c (a ? b ) , 4a (a ? c ) ? c (2a ? c ) , 2

得 e ? 6e ? 4 ? 0 因为 0 ? e ? 1 , 所以 0 ? e ? 3 ? 5 ,①
2

???11 分

连接 ON , OM , OP, 若存在点 P 使 ?PMN 为正三角形,则在 Rt ?OPN 中,

OP ? 2ON ? 2r ? c ,
所以

ab a ?b
2 2

? c , a2b2 ? c2 (a2 ? b2 ) ,

a2 (a2 ? c2 ) ? c2 (2a2 ? c2 ) ,得 e4 ? 3e2 ? 1 ? 0
因为 0 ? e ? 1 ,所以

3? 5 ? e2 ? 1 ,② 2

???14 分

由①②,

3? 5 ? e2 ? 3 ? 5 , 2
???15 分

所以

5 ?1 10 ? 2 . ?e? 2 2

19.解:(1)由已知 an ? f (an ?1 ) , f (an ) ? f (an ?1 ) ? k (an ? an ?1 ) (n ? 2,3,4,? ? ?) ,得

an?1 ? an ? f (an ) ? f (an?1 ) ? k (an ? an?1 ) (n ? 2,3,4,? ? ?)
由数列 {an } 是等差数列,得 an ?1 ? a n ? an ? an?1 (n ? 2,3,4,? ? ?) 所以, a ? a ? k (a ? a ) , (n ? 2,3,4,? ? ?) ,得 k ? 1 . n n ?1 n n ?1 (2)充分性证明:若 f ( x) ? kx (k ? 1) ,则由已知 a ? a ? 0 , 1 ???4 分

an?1 ? f (an ) 得 an?1 ? kan ,
所以, {a } 是等比数列. n ???6 分
*

必要性证明:若 {an } 是等比数列,设公比为 q ,则有 an ? aqn?1 , n ? N

由 f (an?1 ) ? f (an ) ? k (an?1 ? an ) 及 an?1 ? f (an ) 得 an?2 ? an?1 ? k (an?1 ? an ) 又 a2 ? a1 ? 0 , 所以数列 {an?1 ? an } 是以 a2 ? a1 为首项,公比为 k 的等比数列, 所以 an?1 ? an ? [ f (a) ? a]k
0 n?1


1 2 n ?2

当 n ? 2 时, an ? [ f (a) ? a](k ? k ? k ? ?? k

)?a

???8 分

①若 k ? 1 , an ? [ f (a) ? a](n ?1) ? a , n ? 2 ) ( 对 n ? 1 也成立.

数列 {an } 是公差为 f (a) ? a ? 0 的等差数列,不可能是等比数列,所以 k ? 1 , ② k ? 1 , an ? [ f (a) ? a] 对 n ? 1 也成立. 所以 an ? [ f (a) ? a]

1 ? k n?1 ( ?a, n ? 2) 1? k

f (a ) ? a f (a ) ? a n ?1 1 ? k n?1 ?a? ?k , ?a ? 1? k 1? k 1? k

由数列 {an } 是等比数列知,

f (a) ? a ? a ? 0 ,即 f (a) ? ka , 1? k

即 f (a) ? ka 对任意非零实数都成立. 综上可得:数列 {an } 为等比数列的充要条件是 f ( x) ? kx (k ? 1) .???10 分 (3)由(Ⅱ)知,数列 {an } 是首项为 2 ,公比为 k 的等比数列,即 an ? 2k
n?1



bn?1 ? bn ? ln k 是一个常数,
故数列 {bn } 是等差数列,设公差为 d , 依题意 S n ? nb1 ?

1 1 n(n ? 1)d ? n[dn ? (2b1 ? d )] , 2 2

S( m?1) n Smn

1 (m ? 1)n[d (m ? 1)n ? (2b1 ? d )] (m ? 1)[d (m ? 1)n ? (2b1 ? d )] 2 ? ? , 1 m[dmn ? (2b1 ? d )] mn[dmn ? (2b1 ? d )] 2

当且仅当 2b1 ? d ? 0 或

S( m?1) n d (m ? 1) 2b1 ? d ? 时, 是一个与 n 无关的常数, dm 2b1 ? d Smn

d (m ? 1) 2b1 ? d ? 不成立, dm 2b1 ? d
所以 2b1 ? d ? 0 ,即 2 ln 2 ? ln k ,

k ? 4.
20.解: (1) f 2 ( x) ? x , f 2 ( x) ? 2 x ,
2 '

???16 分 ???1 分

依题意, 2 ? [ x1 ? a( x2 ? x1 )] ?

2 1 x2 ? x12 ,得, a ? . 2 x2 ? x1

???4 分

(2) F ( x) ? bx ? 3ln x, F '( x) ? b ?

3 , x ? (0, e] , x

???5 分

3 3 , F '( x) ? a ? ? 0 , F ( x) 在 (0, e] 上单调递减, e x 9 F ( x) 的最小值是 F (e) ,由 F (e) ? 6 得, b ? (舍去) ; e 3 3 b 3 ②若 b ? , F '( x) ? ( x ? ) ,令 F '( x) ? 0 得 x ? , e b x b 3 3 当 x ? (0, ) 时, F '( x) ? 0 , F ( x) 在 (0, ) 上单调递减; b b 3 3 当 x ? ( , e] 时, F '( x) ? 0 , F ( x) 在 ( , e] 上单调递增; b b 3 3 所以 F ( x) 的最小值是 F ( ) ,由 F ( ) ? 6 得, b ? 3e . b b
①若 b ? (3) g ( x) ? e ,结合图象猜测 x1 ? x0 ? x2 .
x

???7 分

???9 分

只 需 证 e ?e ?e
x1 x0

x2

y2 ? y1 e x2 ? e x1 , ∵ g '( x0 ) ? e ? , 故 只 需 证 ? x2 ? x1 x2 ? x1
x0

e x1 ?

e x2 ? e x1 ? e x2 , x2 ? x1
x x x x x x

即证: e 1 ? e 1 ( x2 ? x1 ) ? e 2 ? 0 ,且 e 2 ? e 2 ( x2 ? x1 ) ? e 1 ? 0 ,
x

???12 分

设 h( x) ? ex ? ex ( x2 ? x) ? e 2 , h '( x) ? ?ex ( x ? x2 ) ,当 x ? x2 时, h '( x) ? 0 , ∴ h( x ) 在

? ??, x2 ?

上 是 增 函 数 , ? x1 ? x2 , ∴ h( x1 ) ? h( x2 ) , 即

1 ex1 ? ex ( x2 ? x1 ) ? ex ?2 0 ,

???15 分 设 ? ( x) ? ex ? ex ( x ? x1 ) ? e 1 ,则 ? '( x) ? ?ex ( x ? x1 ) ,当 x ? x1 时, ? '( x) ? 0 ,
x

∴ ? ( x) 在

? x1, ???

上 是 减 函 数 , ? x1 ? x2 , ∴

? ( x1 ) ? ? ( x2 ) , 即

2 ex2 ? ex ( x2 ? x1 ) ? ex ?1 0 .

综上所述, x1 ? x0 ? x2 .

???16 分


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