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2015海淀区高三年级第一学期数学文科


海淀区高三年级第一学期期末练习

数学(文)答案及评分参考
一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) (1)B (5)B (2)D (6)C (3)A (7)C (4)D (8)A

2015.1

二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。有两空的小题,第一空 2 分,第

二空 3 分) (9) ( ? , 0)

1 2

(10)3

(11) 8 (14) (??, ?1] [1, ??)

(12)

2 2

(13)

1 ;4 3

三、解答题(共 6 小题,共 80 分) (15) (共 13 分) 解: (Ⅰ) ? 的值是

π . 3

??????2 分 ??????5 分

4 x0 的值是 . 3
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知: f ( x) ? cos( πx ? 因为 x ? [?

π ). 3

1 1 , ], 2 3 π π 2π 所以 ? ? πx ? ? . 6 3 3 1 π 所以 当 πx ? ? 0 ,即 x ? ? 时, f ( x ) 取得最大值 1 ; 3 3 1 1 π 2π 当 πx ? ? ,即 x ? 时, f ( x ) 取得最小值 ? . 3 2 3 3

??????7 分 ??????10 分 ??????13 分

(16) (共 13 分) 解:(Ⅰ)抽取的 5 人中男同学的人数为

5 5 ? 30 ? 3 ,女同学的人数为 ? 20 ? 2 . 50 50
??????4 分

(Ⅱ)记 3 名男同学为 A1 , A2 , A3 ,2 名女同学为 B1 , B2 . 从 5 人中随机选出 2 名同学,所有可能的结果有

A1 A2 , A1 A3 , A1B1 , A1B2 , A2 A3 , A2 B1 , A2 B2 , A3 B1 , A3 B2 , B1B2 ,共 10 个.
??????6 分

用 C 表示: “选出的两名同学中恰有一名女同学”这一事件,则 C 中的结果有 6 个,它们是:

A1B1 , A1B2 , A2 B1 , A2 B2 , A3 B1 , A3 B2 .
所以 选出的两名同学中恰有一名女同学的概率 P(C ) ?
2 2 (Ⅲ) s1 . ? s2

??????8 分

6 3 ? . 10 5

??????10 分 ??????13 分

(17) (共 14 分) 证明: (Ⅰ)在菱形 BB1C1C 中, BC ∥ B1C1 . 因为 BC ? 平面 AB1C1 , B1C1 ? 平面 AB1C1 , 所以 BC // 平面 AB1C1 . (Ⅱ)连接 BC1 . 在正方形 ABB1 A 1 中, AB ^ BB 1. 因为 平面 AA 1B 1B ? 平面 BB 1C1C ,平面 AA 1B 1B 所以 AB ^ 平面 BB1C1C . 因为 B1C ? 平面 BB1C1C , 所以 AB ^ B1C . ??????6 分
A B A1 B1

??????3 分

平面 BB1C1C ? BB1 , AB ? 平面 ABB1 A 1,
C C1

??????5 分

在菱形 BB1C1C 中, BC1 ^ B1C . 因为 BC1 ? 平面 ABC1 , AB ? 平面 ABC1 , BC1 所以 B1C ^ 平面 ABC1 . 因为 AC1 ? 平面 ABC1 , 所以 B1C ? AC1 . (Ⅲ) E , F , H , G 四点不共面. 理由如下:

AB = B ,
??????8 分

??????10 分 ??????11 分

因为 E , G 分别是 B1C , B1C1 的中点, 所以 GE ∥ CC1 . 同理可证: GH ∥ C1 A1 . 因为 GE ? 平面 EHG , GH ? 平面 EHG , GE
C C1 E

G

GH = G , CC1 ? 平面
A

B H F A1

B1

AAC 1C1 ? 平面 AAC 1 1C , A 1 1C ,
所以 平面 EHG ∥平面 AAC 1 1C . 因为 F ? 平面 AAC 1 1C ,

所以 F ? 平面 EHG ,即 E , F , H , G 四点不共面.

??????14 分

(18) (共 13 分) 解: (Ⅰ)由题意可知椭圆 M 的标准方程为:

x2 ? y 2 ? 1,则 a ? 2, b ? 1. 2
??????2 分

所以 椭圆 M 的长轴长为 2 2 . 因为 c ? a2 ? b2 ? 1 , 所以 e ?

c 2 2 ? ,即 M 的离心率为 . 2 a 2

??????4 分

(Ⅱ)若 C, O, D 三点共线,由 CD 是线段 AB 的垂直平分线可得:

OA ? OB .
由(Ⅰ)可得 A(0,1) ,设 B( x0 , y0 ) . 所以 x0 ? y0 ? 1.
2 2

??????6 分 ??????7 分

① ② ??????10 分

又因为 x0 ? 2 y0 ? 2 ,
2 2

由①②可得: ?

? x0 ? 0, ? x0 ? 0, (舍) ,或 ? ? y0 ? 1 ? y0 ? ?1.

??????11 分

当?

? x0 ? 0, 时,直线 l 的方程为 x ? 0 ,显然满足题意. ? y0 ? ?1
??????13 分

所以 存在直线 l 使得 C, O, D 三点共线,直线 l 的方程为 x ? 0 .

(19) (共 13 分) (Ⅰ)解: f '( x) ?

ex x ? ex . x2

??????1 分

因为 切线 ax ? y ? 0 过原点 (0, 0) ,

e x0 e x0 x0 ? e x0 x 所以 ? 0 . 2 x0 x0
解得: x0 ? 2 .

??????3 分

??????4 分

e x ( x 2 ? 2 x) f ( x) e x ? 2 ( x ? 0) ,则 g '( x) ? (Ⅱ)证明:设 g ( x) ? . x4 x x e x ( x 2 ? 2 x) ? 0 ,解得 x ? 2 . 令 g '( x) ? x4 x 在 (0, ??) 上变化时, g '( x), g ( x) 的变化情况如下表
x
g '( x )

??????6 分

(0, 2)


2
0

(2, +
+ ↗

)

g ( x)

e2 4

e2 所以 当 x ? 2 时, g ( x) 取得最小值 . 4
所以 当 x ? 0 时, g ( x) ?

??????8 分

e2 4

1 ,即 f ( x) ? x .

??????9 分

(Ⅲ)解:当 b ? 0 时,集合 {x ? R f ( x) ? bx ? 0}的元素个数为 0; 当0 ? b ?

e2 时,集合 {x ? R f ( x) ? bx ? 0}的元素个数为 1; 4

e2 当b ? 时,集合 {x ? R f ( x) ? bx ? 0}的元素个数为 2; 4

当b ?

e2 时,集合 {x ? R f ( x) ? bx ? 0}的元素个数为 3. 4

??????13 分

(20) (共 14 分) 解: (Ⅰ)因为 a1 ? 1 , 2an?1 ? 2an ? p , 所以 2a2 ? 2a1 ? p ? 2 ? p , 2a3 ? 2a2 ? p ? 2 ? 2 p . 因为 S3 ? 12 , 所以 2 ? 2 ? p ? 2 ? 2 p ? 6 ? 3 p ? 24 ,即 p ? 6 . 所以 an?1 ? an ? 3(n ? 1, 2,3, ?????? 2 分

).

所以 数列 {an } 是以 1 为首项,3 为公差的等差数列. 所以 Sn ? 1? n ?

n(n ? 1) 3n 2 ? n ?3 ? . 2 2

?????? 4 分

2 (Ⅱ)若数列 {an } 是等比数列,则 a2 ? a1a3 .

由(Ⅰ)可得: (1 ? 解得: p ? 0 .

p 2 ) ? 1? (1 ? p ) . 2

?????? 6 分

当 p ? 0 时,由 2an?1 ? 2an ? p 得: an?1 ? an ?

? 1.

显然,数列 {an } 是以 1 为首项,1 为公比的等比数列. 所以 p ? 0 . (Ⅲ)当 p ? 0 时,由(Ⅱ)知: an ? 1(n ? 1, 2,3, 所以 ?????? 7 分

).

1 1 ? 1(n ? 1, 2,3, ) ,即数列 { } 就是一个无穷等差数列. an an

所以 当 p ? 0 时,可以得到满足题意的等差数列. 当 p ? 0 时,因为 a1 ? 1 , 2an?1 ? 2an ? p ,即 an ?1 ? an ?

p , 2

所以 数列 {an } 是以 1 为首项,

p 为公差的等差数列. 2

所以 an ?

p p n ?1? . 2 2

下面用反证法证明:当 p ? 0 时,数列 {

1 } 中不能取出无限多项并按原来次序排列而成等差数列. an

假设存在 p0 ? 0 ,从数列 {

1 } 中可以取得满足题意的无穷等差数列,不妨记为 {bn }. 设数列 {bn } 的公差为 an

d.
①当 p0 ? 0 时, an ? 0(n ? 1, 2,3,

).

所以 数列 {bn }是各项均为正数的递减数列. 所以 d ? 0 . 因为 bn ? b1 ? (n ? 1)d (n ? 1, 2,3, 所以 当 n ? 1 ?

),

b1 b 时, bn ? b1 ? (n ? 1)d ? b1 ? (1 ? 1 ? 1)d ? 0 ,这与 bn ? 0 矛盾. d d p0 p 2 n ? 1 ? 0 ? 0 ,解得: n ? 1 ? . 2 2 p0

②当 p0 ? 0 时,令

所以 当 n ? 1 ?

2 时, an ? 0 恒成立. p0

所以 数列 {bn }必然是各项均为负数的递增数列. 所以 d ? 0 . 因为 bn ? b1 ? (n ? 1)d (n ? 1, 2,3, 所以 当 n ? 1 ?

),

b1 b 时, bn ? b1 ? (n ? 1)d ? b1 ? (1 ? 1 ? 1)d ? 0 ,这与 bn ? 0 矛盾. d d
?????? 14 分

综上所述, p ? 0 是唯一满足条件的 p 的值.


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