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2012年兰州一中实验班招生数学试题


2012 年兰州一中实验班招生试题 数 学

满分 150 分,时间 120 分钟
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一个选项是符合题目要求的. 1.相交两圆的公共弦长为 6,两圆的半径分别为 3 2 和 5,则这两圆的圆心距等于( A.2 B.7 C.2 或 6 D.1 或 7 o 2.如

图,在等腰 Rt△ABC 中,∠ C=90 ,AC=6,D 是 AC 上一点,若 tan∠DBA= A. 2 )

1 ,则 AD 的长为( 5
B. 3 C. 2

) D.1

2 3 . 已 知 m, n 是 方 程 x ? 2 x ? 1 ? 0 的 两 根 , 且

(7m2 ? 14m ? a)(3n 2 ? 6n ? 7) ? 8
( A.-5 ) B.5





a









C. -9

D.9

4.如图,已知正方形 ABCD 的边长为 4 ,E 是 BC 边上的一个动点, AE⊥EF, EF 交 DC 于 F, 设 BE= x ,FC= y ,则当点 E 从 点 B 运动 到点 C 时, y 关于 x 的函数图象是( ).

5.若实数 x,y 满足 x ? y ? 4 x ? 2 y ? 5 ? 0, 则
2 2

x?y 3y ? 2 x

的值是(



A.1

B.

3 ? 2 2
数学试卷

C.3-2 2

D.3 +2 2

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6. 二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图象如图所示, 则一次函数 y ? bx ? ac 与反比例函数 y ?

y

a?b?c 在同一坐标系内的图象大致为( x



?1

O 1

x

y x

y x

第 6 题图

y x

y x O D.

O A.

O B.

O C.

7.小明从家骑车上学,先上坡到达 A 地后再下坡到达学校, 所用的时间与路程如图所示.如果返回时,上、下坡速度仍然 保持不变,那么他从学校回到家需要的时间是( ) A.8.6 分钟 B.9 分钟 C.12 分钟 D.16 分钟 8.方程 x2+2x-1=0 的根可看成函数 y=x+2 与函数 y ?

1 的图 x


象交点的横坐标,用此方法可推断方程 x3+x-1=0 的实根 x 所在范围为(

1 A. ? ? x ? 0 2

1 B. ? x ? 1 2

1 C.0 ? x ? 2

1 D. ? x ?

3 2

二、填空题(把答案填在题中的横线上.6 小题,每小题 6 分,共 36 分) 9.某书店把一本新书按标价的九折出售,仍可获利 20%.若该书的进价为 21 元,则标价 为 元. 10.已知 RtΔ ABC 中,斜边 BC 上的高 AD=4,cosB=

4 ,则 AC= _______ . 5

11.某厂第一季度共生产钢 190 吨,二、三月份共生产钢 150 吨,则平均每月的增长率是 ________. 12.如图,AB 与 CD 相交于 E,DA∥EF∥BC,且 AE:EB=1:2,△ADE 的面积为 1,则△AEF 的面积是_________. 13.如图是两个可以自由转动的转盘,每个转盘被分成两个扇形, 同时转动两个转盘,转盘停止后,指针所指区域内的数字之 和为 4 的概率是_____________. 1
120°

2
数学试卷 第 2 页 共 12 页

1

2

第 13 题图

14.将半径为 4cm 的半圆围成一个圆锥,在圆锥内接一个圆柱(如图示) ,当圆柱的侧面的 面积最大时,圆柱的底面半径是___________cm.

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答案
一、选择题 1.D 2.A 3.C 二、填空题 4.A 5.D 6.B 7.C 8.B

9. 28 10. 5 11. 50% 12.

2 3

13.

1 3

14. 1

三、解答题(解答时,必须写出必要的解题步骤.6 小题,共 74 分) 15. (本题满分 12 分)已知关于 x 的方程 x 2 ? 2(k ? 3) x ? k 2 ? 4k ? 1 ? 0 . (1)若这个方程有实数根,求 k 的取值范围; (2)若这个方程有一个根为 1,求 k 的值; (3)若以方程 x 2 ? 2(k ? 3) x ? k 2 ? 4k ? 1 ? 0 的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在 反比例函数 y ?

m 的图象上,求满足条件的 m 的最小值. x
2

解: (1)由题意得△= ?? 2?k ? 3?? ? 4 ? k 2 ? 4k ? 1 ≥0 化简得 ? 2k ? 10 ≥0,解得 k≤5.…………….4 分 ( 2 ) 将 1 代 入 方 程 , 整 理 得 k ? 6k ? 6 ? 0, 解 这 个 方 程 得 k1 ? 3 ? 3 ,
2

?

?

k2 ? 3 ? 3 .…………….8 分
(3)设方程 x ? 2(k ? 3) x ? k ? 4k ? 1 ? 0 的两个根为 x1 , x2 ,
2 2

根据题意得 m ? x1 x2 .又由一元二次方程根与系数的关系得 x1x2 ? k ? 4k ?1 ,
2

那么 m ? k 2 ? 4k ? 1 ? ?k ? 2? ? 5 ,所以,当 k=2 时 m 取得最小值-5……….12 分
2

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16.(本题满分 12 分)保护生态环境,建设绿色社会已经从理念变为人们的行动.某化工 厂 2011 年 1 月的利润为 200 万元.设 2011 年 1 月为第 1 个月,第 x 个月的利润为 y 万 元.由于排污超标,该厂决定从 2011 年 1 月底起适当限产,并投入资金进行治污改造, 导致月利润明显下降,从 1 月到 5 月,y 与 x 成反比例.到 5 月底,治污改造工程顺利完 工,从这时起,该厂每月的利润比前一个月增加 20 万元(如图) . ⑴分别求该化工厂治污期间及治污改造工程完工后 y 与 x 之间对应的函数关系式. ⑵治污改造工程完工后经过几个月,该厂月利润才能达到 2011 年 1 月的水平? ⑶当月利润少于 100 万元时为该厂资金紧张期,问该厂资金紧张期共有几个月?

解 : ⑴ ① 当 1≤ x ≤5 时 , 设 y ?

k , 把 ( 1 , 200 ) 代 入 , 得 k ? 200 , 即 x

y?

200 ; …………….2 分 x

② 当 x ? 5 时 , y ? 40 , 所 以 当 x > 5 时 ,

y ? 4 0 ? 2 0x ? 5 ? ( )

2 0? ;…………….4 分 x 60

⑵当 y=200 时, 20x-60=200, x=13, 所以治污改造工程顺利完工后经过 13-5=8 个月后, 该厂利润达到 200 万元;…………….8 分 ⑶对于 y ?

200 ,当 y=100 时,x=2;对于 y=20x-60,当 y=100 时,x=8,所以资金紧 x

张的时间为 8-2=6 个月.…………….12 分

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17. (本题满分 12 分)数学家高斯在读小学二年级时老师出了这样一道计算题: 1+2+3+4+5+…+99+100=? 高斯很快得出了答案,他的计算方法是: 1+2+3+4+5+…+99+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(49+52)+(50+51)=50 × 101=5050 (1) 请你利用上述方法或用其它的方法求 s=1+3+5+7+…+[2(n–1)–1]+(2n–1)的计算公 式; (2)如图,第二个图形是由第一个图形中的三角形连结三边中点而得到的,第三个图形是 由第二个图形中的中间三角形连结三边 中点而得到的,依次类推…… …… 分别写出第二个图形、第三个图形 和第四个图形的三角形的个数,由此推 ③ ① ② 测出第 n 个图形中三角形的个数,并求出 第 17 题图 第一个图形到第 n 个图形的三角形个数 之和. 解:(1)s=n2. …………….6 分 (2)第二个图形中三角形的个数 5; …………….7 分 第三个图形中三角形的个数 9; …………….8 分 第四个图形中三角形的个数 13; …………….9 分 第 n 个图形中三角形的个数 4n–3; ……………10 分 第一个图形到与第 n 个图形的三角形个数之和为 2n2–n. …………….12 分

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第 6 页 共 12 页

18. (本题满分 12 分) (1)如图,A、B 两个化工厂位于一段直线形河堤的同侧,A 工厂到 河堤的距离 AC 为 1km,B 工厂到河堤的距离 BD 为 2km,经测量河堤上 C、D 两地间的距离 为 6km.现准备在河堤边修建一个污水处理厂,为使 A、B 两厂到污水处理厂的排污管道最 短,污水处理厂应建在距 C 地多远的地方? (2)通过以上解答,充分展开联想,运用数形结合思想构造图形,尝试解决下面问题: 若y?

x 2 ? 1 ? (9 ? x) 2 ? 4 ,当 x 为何值时,y 的值最小,并求出这个最小值.

解: (1)延长 AC 到 E,使 CE=AC,连接 EB 交 CD 于点 P,则点 P 就是污水处理厂所在 的地方(画出图形) .

设 CP=x,则 DP=6-x, 由点 A 与点 E 的对称性可知∠APC=∠EPC, 又由对顶角相等可知∠BPD=∠EPC, ∴∠APC=∠BPD, 又∵∠ACP=∠BDP=90°, ∴△ACP∽△BDP,

AC CP ? BD DP 1 x ∴ ? , 2 6? x
∴ 解得 x=2, 所以,污水厂应建在距离 C 地 2km 处;…………6 分 (2)仿照(1)中建立图形,

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使 AC=1,CD=9,BD=2,设 CP=x, 则y? 的 BP. 所以 y ?

x 2 ? 1 ? (9 ? x) 2 ? 4 中的 x2 ?1 即是图中的 AP, (9 ? x) 2 ? 4 即是图中

x 2 ? 1 ? (9 ? x) 2 ? 4 的最小值就是 AP+BP 的最小值,

仿照 (1) 中找到点 A 关于直线 CD 的对称点 E, 连接 EB, CD 的交点就是所求的点 P. 与 由△ACP∽△BDP,得 ∴

AC CP ? BD DP

1 x ? , 2 9? x
x 2 ? 1 ? (9 ? x) 2 ? 4 有最小值,

解得 x=3, 所以当 x=3 时, y ?

2 2 最小值是 y ? 3 ? 1 ? (9 ? 3) ? 4 ? 3 10 .…………….12 分

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19. (本题满分 13 分)如图,⊙O 的半径为 1,点 P 是⊙O 上一
APB 点,弦 AB 垂直平分线段 OP,点 D 是 ? 上任一点(与端点 A、

B 不重合)DE⊥AB 于点 E, , 以点 D 为圆心、 长为半径作⊙D, DE 分别过点 A、B 作⊙D 的切线,两条切线相交于点 C. (1)求弦 AB 的长; (2)判断∠ACB 是否为定值,若是,求出∠ACB 的大小; 否则,请说明理由; (3)记△ABC 的面积为 S,若 长. 解: (1)连接 OA,取 OP 与 AB 的交点为 F,则有 OA=1. C

S =4 3 ,求△ABC 的周 DE 2

1 1 ∵弦 AB 垂直平分线段 OP,∴ OF= OP= ,AF=BF. 2 2
3 1 在 Rt△OAF 中,∵ AF= OA 2 ? OF 2 = 12 ? ( ) 2 = , 2 2

G P A F O E

D

H B

∴ AB=2AF= 3 .…………….4 分 (2)∠ ACB 是定值. 理由:由(1)易知,∠ AOB=120° , 因为点 D 为△ABC 的内心,所以,连结 AD、BD,则∠ CAB =2∠ DAE,∠ CBA=2∠ DBA, 因为∠ DAE + ∠ DBA =

1 ∠ AOB= 60° 所以 ∠ , CAB+∠ CBA = 120° 所 以 ∠ , ACB = 2

60° ;…………….8 分 (3)记△ABC 的周长为 l,取 AC,BC 与⊙ 的切点分别为 G,H,连接 DG,DC, D DH,则有 DG=DH=DE,DG⊥ AC,DH⊥ BC. ∴ S ? S?ABD ? S?ACD ? S?BCD =

1 1 1 1 1 AB?DE+ BC?DH+ AC?DG= (AB+BC+AC) ?DE= l?DE. 2 2 2 2 2

1 l ?DE S ∵ =4 3 ,∴ 2 2 =4 3 ,∴ l=8 3 DE. DE DE 2

∵ CG,CH 是⊙ 的切线,∴ GCD= D ∠
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1 ∠ ACB=30° , 2
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DE DG = = 3 DE,∴ CH=CG= 3 DE. tan 30 ? 3 3 又由切线长定理可知 AG=AE,BH=BE,

∴ Rt△CGD 中,CG= 在

1 ∴ l=AB+BC+AC=2 3 +2 3 DE=8 3 DE,解得 DE= , 3
∴ ABC 的周长为 △
8 3 .…………….13 分 3

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20. (本题满分 13 分)如图,设抛物线 C1: y ? a?x ? 1? ? 5 ,
2

C2: y ? ?a?x ? 1? ? 5 ,C1 与 C2 的交点为 A, B,点 A 的 坐标是 ( 2,4) ,点 B 的横坐标是-2. (1)求 a 的值及点 B 的坐标; (2)点D在线段AB上,过D作x轴的垂线,垂足为点H, 在DH的右侧作正三角形DHG. 记过C2顶点M的 直线为 l ,且 l 与x轴交于点N. ① 若 l 过△DHG 的顶点 G,点 D 的坐标为(1, 2), 求点 N 的横坐标; ② 若 l 与△DHG的边DG相交,求点N的横坐标的 取值范围.
2

解 : 1 ) ∵ 点 A ( 2,4) 在 抛 物 线 C1 上 , ∴ 把 点 A 坐 标 代 入 y ? a?x ? 1? ? 5 得 ( a =1. …………….2 分 ∴ 抛物线 C1 的解析式为 y ? x 2 ? 2 x ? 4 , 设 B(-2,b), ∴ b=-4, ∴ B(-2,-4) . …………….4 分 (2)① 如图 1, ∵ M(1, 5),D(1, 2), 且 DH⊥ 轴,∴ 点 M 在 DH 上,MH=5. x 过点 G 作 GE⊥ DH,垂足为 E,
2

由△DHG 是正三角形,可得 EG= 3 , EH=1, ∴ ME=4. 设 N ( x, 0 ), 则 NH=x-1,

ME EG ? , MH HN 5 4 3 3 ? 1, ∴ , ∴ x? ? 4 5 x ?1 5 3 ? 1 . …………….8 分 ∴ 点 N 的横坐标为 4
由△MEG∽△MHN,得 ② 当点D移到与点 A 重合时,如图 2, 直线 l 与 DG 交于点 G,此时点N的横坐标最大. 过点G,M作 x 轴的垂线,垂足分别为点Q,F, 设N(x,0) , ∵ A (2, 4), ∴ G ( 2 ? 2 3 , 2), ∴ NQ= x ? 2 ? 2 3 ,NF = x ? 1 , GQ=2, MF =5. ∵ △NGQ∽△NMF, ∴

图1

NQ GQ ? , NF MF
图2

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x?2?2 3 2 ? , x ?1 5 10 3 ? 8 ∴ x? . 3


…………….10 分

当点 D 移到与点 B 重合时,如图 3, 直线 l 与 DG 交于点 D,即点 B, 此时点 N 的横坐标最小. ∵ B(-2, -4), ∴ H(-2, 0), D(-2, -4), 设 N(x,0) , ∵ △BHN∽△MFN, ∴ ∴

x?2 4 ? , 1? x 5

NH BH ? , FN MF 2 ∴ x?? . ……12 分 3 2 10 3 ? 8 ≤x≤ . …13 分 3 3

∴ 点 N 横坐标的范围为 ?

图3

图4

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