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2015北京高考数学(理科)解析版


2015 年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷) 理科数学
第一部分(选择题 共 40 分) 一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1.复数 i ? 2 ? i ? ? ( A. 1 ? 2i ) . C. ?1 ? 2i D. ?1 ? 2i B. 1 ? 2i
2

【解析】 i ? 2 ? i ? ? 2i ? i

? 1? 2i ,选 A

?x ? y ? 0 ? 2.若 x , y 满足 ? x ? y ? 1 ,则 z ? x ? 2 y 的最大值为( ? x?0 ?
A.0 B.1 C.

) .

3 2

D.2

【解析】如图,当 x ? 0 y ? 1 , zmax ? 2 ,选 B 3.执行如图所示的程序框图,输出的结果为( ) .

1 / 11

A. (?2, 2)

B. (?4, 0)

C. (?4, 4)

D. (0, ?8)

s ? 0 t ? 2 x ? 0 y ? 2 k ?1 【解析】 s ? ?2 t ? 2 x ? ?2 y ? 2 k ? 2 结束,输出 (?4, 0) ,选择 B s ? ?4 t ? 0 x ? ?4 y ? 0 k ? 3
4.设 ?,? 是两个不同的平面, m 是直线且 m ? α ,“ m //? ”是“ ? //? ”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ) .

【解析】 m //? 不能推出 ? //? ,而 ? //? , ? m//? ,? “ m //? ”是“ ? //? ”的必要不充分条件,答案 为B 5.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是( A. 2 ? 5 B. 4 ? 5 C. 2 ? 2 5 ) . D. 5

【解析】由三视图知, PA ? 面 ABC, S

ABC

1 ? ? 2 ? 2 ? 2 , AB ? AC ? 5 , 2
PBC

S

PAB

?S

PCA

1 5 , PC ? PB ? 6 , S ? ? 5 ?1 ? 2 2

1 ? ? 2 ? 5 ? 5 ,? S ? 2 ? 2 5 , 2

答案为 C

2 / 11

6.设 ?an ? 是等差数列,下列结论中正确的是( A.若 a1 ? a2 ? 0 ,则 a2 ? a3 ? 0 C.若 0 ? a1 ? a2 ,则 a2 ? a1a3

) . B.若 a1 ? a3 ? 0 ,则 a1 ? a2 ? 0 D.若 a1 ? 0 ,则 (a2 -a1 )(a2 -a3 ) ? 0

【解析】 a2 ? a1 ? 0 , ? d ? 0 ,所以 a3 ? 0 , a2 ?

a1 ? a3 ? a1a3 ,故答案为 C 2

7.如图,函数 f ( x) 的图像为折线 ACB ,则不等式 f ( x)≥log2 ? x ? 1? 的解集是( A. ?x| ?1 ? x ? 0? C. ?x| ?1 ? x ? 1? 【解析】 由题可知:f ( x) ? ? B. ?x| ?1 ? x ? 1? D. ?x| ?1 ? x ? 2?

) .

?2 x ? 2 -1 ? x ? 0 , 当 x ? ? ?0 1 , ?? x ? 2 0 ? x ? 2

? 时,log2 ( x ?1) ? 0 ? 2x ? 2 .x ? ? 0, 2?

时, f ( x ) 单调递减, g ( x) ? log 2 ( x ? 1) 单调递增,

log2 ( x ? 1) ? ? x ? 2 ? x ? 1 ? 当 0 ? x ? 1 时, log2 ( x ? 1) ? ? x ? 2 ,
? f ( x) ? log 2 ( x ? 1) 的解集为 ? ?1,1? ,? 答案选择 C
8.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速 度下的燃油效率情况,下列叙述中正确的是( ) .

3 / 11

A.消耗 1 升汽油,乙车最多可行驶 5 千米 B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多 C.甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时,消耗 10 升汽油 D.某城市机动车最高限速 80 千米/小时,相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油 【解析】由图可知,对乙车存在一个速度,使燃油效率高于 5,? A 错;由图知,当以 40km / h 的速 度行驶时,甲车燃油效率最高,行驶相同路程时,耗油最少,B 错;甲车以 80km / h 行驶 1 小时耗油 8 升,故 C 错在限速 80km / h ,相同情况下,丙车燃油效率较乙车高,所以乙车更 省油,所以选 D

第二部分(非选择题 共 110 分) 二、填空题 共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 在 ?2 ? x ? 的展开式中, x 的系数为__________. (用数字作答)
5
3

3 2 r 5?r r 2 ? 4? 【解析】 Tr ?1 ? C5 2 x ,当 r ? 3 时,系数为 C5

5? 4 ? 40 . 2

10.已知双曲线 【解析】令

x2 ? y 2 ? 1 (a ? 0) 的一条渐近线为 3x ? y ? 0 ,则 a ? __________. 2 a

x2 x 1 3 ? y 2 ? 0 ? ? y ? 0 ,所以 ? 3 ? a ? . 2 a a a 3 ? 11.在极坐标中,点 ( 2, ) 在直线 ? (cos? ? 3 sin ? ) ? 6 的距离为__________. 3
【解析】直线方程为 x ? 3 y ? 6 ? x ? 3 y ? 6 ? 0 ,点为 (1, 3) ,所以点到直线方程的距离为

d?

1? 3 ? 6 1? 3

?

2 ? 1. 2
sin 2 A ? __________. sin C

12.在 △ ABC 中, a ? 4 , b ? 5 , c ? 6 ,则 【解析】

sin 2 A 2sin A cos A 2a b2 ? c2 ? a2 4 25 ? 36 ? 16 90 ? ? ? ? ? ? ?1. sin C sin C c 2bc 6 30 90

13. 在 △ ABC 中,点 M , N 满足 AM ? 2MC, BC ? NC. 若 MN ? x AB ? y AC, 则 x ? __________ ;

y ? __________.
【解析】 MN ? MC ? CN =

1 1 1 1 1 1 AC ? CB = AC + ( AB ? AC) = AB ? AC ,所以 3 2 3 2 2 6

x?

1 1 ,y?? 2 6

4 / 11

? 2 x ? a, x ? 1 14. 设函数 f ( x) ? ? . ?4( x ? a)( x ? 2a), x≥1

①若 a ? 1 ,则 f ( x) 的最小值为

; .

②若 f ( x) 恰有 2 个零点,则实数 a 的取值范围是 【解析】①当 a ? 1 时, f ( x) ? ?

?2 x ? 1, x ? 1 , ?4( x ? 1)(x ? 2), x ? 1

x ? 1 时, ?1 ? f ( x) ? 1 , x ? 1 时, f ( x)min ? f ( 3 ) ? 4 ? 1 ? (? 1 ) ? ?1 ,所以 f ( x) min ? ?1;
2 2 2

②(I)当 a ? 0 时, f ( x) 没有两个零点, (Ⅱ)当 0 ? a ? 1 时,
a x ? 1 时, 2x ? a ? 0 ? x ? log2 ? 0 , f ( x) 有一个零点;

x ? 1 时, f ( x) ? 0 ? x1 ? a, x2 ? 2a ;
当 2a ? 1 ,即 a ? 所以当

1 时, f ( x) 恰有两个零点, 2

1 ? a ? 1时, f ( x) 恰有两个零点; 2 (Ⅲ)当 1 ? a ? 2 时,

x ? 1 时, 2x ? a ? 0 ? x ? loga 2 ? 1 , f ( x ) 有一个零点; x ? 1 时, f ( x) ? 0 ? x1 ? a , x2 ? 2a , f ( x) 有两个零点,此时 f ( x) 有三个零点;
(Ⅳ)当 a ? 2 时,

x ? 1 时,无零点;
x≥1 时,有两个零点,此时 f ( x ) 有两个零点.

综上所述 a ? ? ,1? ? ?2,??? .

?1 ? ?2 ?

5 / 11

三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分 13 分)
x x 2 x 已知函数 f ( x) ? sin cos — 2sin . 2 2 2 (Ⅰ)求 f (x) 的最小正周期;

(Ⅱ)求 f (x) 在区间 [?? , 0] 上的最小值. 解: (Ⅰ) f ( x) ?

2 2 sin x ? (1 ? cos x) 2 2

?

2 2 2 sin x ? cos x ? 2 2 2

? 2 ? sin( x ? ) ? 4 2 2? ? 2? . 周期 T ? 1 (Ⅱ) ?? ? x ? 0 3? ? ? ?? ? x? ? 4 4 4

? 2 ??1 ? sin( x ? ) ? 4 2
??1 ? 2 ? f ( x) ? 0 2

? 最小值为 ?1 ? 2 . 2
16. (本小题满分 13 分) A , B 两组各有 7 位病人,他们服用某种药物后的康复时间(单位:天)记录如下: A 组: 10, 11,12,13,14,15, 16 B 组: 12,13, 15,16, 17,14, a 假设所有病人的康复时间互相独立,从 A,B 两组随机各选 1 人,A 组选出的人记为 甲,B 组选出的人记为乙. (Ⅰ)求甲的康复时间不少于 14 天的概率; (Ⅱ)如果 a ? 25 ,求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率; (Ⅲ)当 a 为何值时,A ,B 两组病人康复时间的方差相等?(结论不要求证明) 解:(Ⅰ)记甲康复时间不小于 14 天为事件 A . 则 P( A) ?

3 7

3 . 7 (Ⅱ)记甲的康复时间比乙的康复时间长为事件 B .
答:甲康复时间不小于 14 天的概率为 基本事件空间如下表

6 / 11

乙 12 13 14 15 16 17 25



10 短 短 短 短 短 短 短

11 短 短 短 短 短 短 短

12 短 短 短 短 短 短 短

13 长 短 短 短 短 短 短

14 长 长 短 短 短 短 短

15 长 长 长 短 短 短 短

16 长 长 长 长 短 短 短

10 10 ? . 7 ? 7 49 (Ⅲ) a ? 11 或 a ? 18 由于 A 组为公差为 1 的等差数列,所以当 a ? 11 或 a ? 18 时 B 组也为公差为 1 的等差数列,
所以 P( B) ? 所以方差一定相等,而方差相等的方程是关于 a 的一个一元二次方程,故最多有两个解,所 以只有 a ? 11 或 a ? 18 两个值. 17. (本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 A ? EFCB 中, △AEF 为等边三角形,平面 AEF ? 平面 EFCB , EF //BC ,
BC ? 4 , EF ? 2a , ?EBC ? ?FCB ? 600 , O 为 EF 的中点.

(Ⅰ)求证: AO ? BE ; (Ⅱ)求二面角 F ? AE ? B 的余弦值; (Ⅲ)若 BE ? 平面 AOC ,求 a 的值.

解:(Ⅰ)证明:

?AEF 为等边三角形, O 为 EF 中点,
平面 EFCB ? EF ,

? AO ⊥ EF 又 平面 AEF ⊥ 平面 EFCB ,平面 AEF ? AO ⊥ 平面 EFCB ,? AO ⊥ BE ,
(Ⅱ)以 O 为原点建立如图坐标系

7 / 11

E ? a,0,0? , F ? ?a,0,0? , A 0, 0, 3a , B 2, 3 ? 2 ? a ? , 0
EA ? ?a,0, 3a , EB ? 2 ? a, 3 ? 2 ? a ? ,0
平面 AEF 的法向量 m ? ? 0,1,0 ? ; 设平面 AEB 的法向量 n ? ? x, y, z ? ,
? ?
?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?? ? ?? x ? 3z ? 0 ? n? EA ? 0 ? ?? 则 ?? ? ?x ? 3y ? 0 ? ? n? EB ? 0 ?
取n?
?

?

3, ?1,1
? ?

?
m? n
? ? ? ?

? cos m, n ?


?

m?n

?1 5 ?? 5 1? 5

二面角 F ? AE ? B 为钝角,

? 二面角 F ? AE ? B 的余弦值为 ? 5 . 5 (Ⅲ) BE ⊥ 平面 AOC ,? BE ⊥ OC ,

OC ? ?2, 3 ? 2 ? a ? ,0 ,

?

?

?

BE? OC ? ?2 ? 2 ? a ? ? 3 ? 2 ? a ? ? 3 ? 2 ? a ? ? 0 ,
解得 a ? 2 (舍)或 a ?

?

?

4 3

18.(本小题满分 13 分)
1? x . 1? x (Ⅰ)求曲线 y ? f (x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程;

已知函数 f ? x ? ? ln

(Ⅱ)求证:当 x ? (0,1) 时, f (x) ? 2(x+ (Ⅲ)设实数 k 使得 f (x) ? k(x+

x2 ); 3

x3 ) 对 x ? (0,1) 恒成立,求 k 的最大值 3 解:(Ⅰ) f (x) ? ln(1 ? x) ? ln(1 ? x)
1 ?1 1 1 ? ? ? 1? x 1? x 1? x 1? x ? f (0) ?2 所以 f ?(x) ?

又 f ( x) ? 0 所以,切线方程为 y ? 0 ? 2(x ? 0) 即 y ? 2x
2 3 2 3 (Ⅱ) F (x) ? f(x) ? 2x ? x ? ln(1 ? x) ? ln(1 ? x) ? 2x ? x 3 3
8 / 11

2 2 4 2 1 1 ? 2(1 ? x 2 ) ? 2 ? 2(1 ? x )(1 ? x ) ? 2 x ? ? 2 ? 2 x2 ? (1 ? x)(1 ? x) 1? x 1? x 1 ? x2 1 ? x2 又因为 0 ? x ? 1 ,所以 F ?(x) ? 0

F ?(x) ?

所以 F (x) 在 (0,1) 上是增函数 又 F (0) ? 0 , 故 F (x) ? F (0) 所以 f (x) ? k(x+ (Ⅲ) ln

x3 ) 3

1? x x3 ? k (x? ), x ? (0,1) 1? x 3

设 t (x) ? ln

1? x x2 ? k (x? ) ? 0, x ? (0,1) 1? x 3

t ?(x) ?

2 kx4 ? 2 ? k ? k (1 ? x2 ) ? , x ? (0,1), 2 1? x 1 ? x2 k ? [0, 2] , t ?(x) ? 0 ,函数 t (x) 是单调递增, t ?(x) ? t(0) 显然成立
k ?2 ? (0,1) k
x0
0

4 当 k ? 2 时,令 t ?(x) ? 0 t ?( x) ? 0 ,得 x 0 ?

x
t ?(x)

(0, x0 )

( x0 ,1)


?

+
?

t (x)

极值

t (x 0 ) ? t(0) ? 0 ,显然不成立,由此可知 k 最大值为 2.

19. (本小题满分 14 分)

x2 y 2 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的离心率为 ,点 P ? 0,1? ,和点 A(m, n)(m ? 0) 都 2 2 a b 在椭圆 C 上,直线 PA 交 x 轴于点 M M. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程,并求点 M 的坐标(用 m , n 表示) ;
已知椭圆 C : (Ⅱ)设 O 为原点,点 B 与点 A 关于 x 轴对称,直线 PB 交 x 轴于点 N .问: y 轴上是否存在点 Q Q, 使得若存在,求点 Q 的坐标;若不不存在,说明理由.

解: (Ⅰ)由题意知 b ? 1 ,

c 2 2 2 2 ,又 a ? b ? c ,解得 a ? 2, b ? c ? 1, ? a 2

9 / 11

x2 ? y 2 ? 1. 所以 C 的方程为 2 n ?1 n ?1 PA 的斜率 k PA ? x ?1, ,所以 PA 方程 y ? m m
令 y ? 0 ,解得 x ?

m ? m ? ,所以 M ? ,0? 1? n ? 1? n ?

(Ⅱ) B ? m, ?n ? ,同(I)可得 N ?

? m ? ,0? , ? 1? n ?

tan ?OQM ?

1 kQM

, tan ?ONQ ? kQN ,

因为 ?OQM ? ?ONQ 所以 kQN ? kQM ? 1, 设 Q ? t ,0 ? 则

m2 t t , ? ?1 即 t2 ? m m 1 ? n2 ?1 ? n ?1 ? n

又 A 在椭圆 C 上,所以

m2 m2 ? n2 ? 1 ,即 ? 2, 2 1 ? n2

所以 t ? ? 2 ,故存在 Q ? 2, 0 使得 ?OQM ? ?ONQ 20. (本小题满分 13 分)
?2a n , an ? 18 (n ? 1, 2?). 已知数列{ a n }满足 a1 ? Ν * , a1 ? 36 ,且 an ?1 ? ? ?2an ? 36, an ? 18

?

?

记集合 M ? ?an | n ? N*} (Ⅰ)若 a1 ? 6 ,写出集合 M 的所有元素; (Ⅱ)若集合 M 存在一个元素是 3 的倍数,证明: M 的所有元素都是 3 的倍数; (Ⅲ)求集合 M 的元素个数的最大值. 解: (Ⅰ) 6 , 12 , 24 . (Ⅱ)若存在 ai (i ? 1, 2,L , n) 是 3 的倍数,设 ai ? 3k (k ? N* ) , 当 ai ≤ 18 时, ai ?1 ? 2ai ? 6k , ai ?1 也是 3 的倍数; 当 ai ? 18 时, ai ?1 ? 2ai ? 36 ? 6k ? 36 , ai ?1 也是 3 的倍数. 综上, ai ?1 是 3 的倍数,依次类推,当 n≥i 时, a n 是 3 的倍数; 若存在 ai (i ? 2,3,L , n) 是 3 的倍数,设 ai ? 3k (k ? N* ) ,
ai k ? 3 ? ,因为 ai ?1 ? N* ,所以 ai ?1 也是 3 的倍数; 2 2 a ? 36 k 当 ai ? 18 时, ai ?1 ? i . ? 3 ? ( ? 6) ,因为 ai ?1 ? N* ,所以 ai ?1 也是 3 的倍数; 2 2

当 ai ?1≤18 时, ai ?1 ?

综上, ai ?1 是 3 的倍数,依次类推,当 n ? i 时, a n 是 3 的倍数; 所以原结论成立.
an ≤18 ?2an , (n ? 1, 2,L ) , (Ⅲ)当 a1 ? 1 时,将 a1 ? 1 代入 an ?1 ? ? ?2an ? 36, an ? 18
10 / 11

依次得到 2 , 4 , 8 , 16 , 32 , 28 , 20 , 4 , L 所以当 n≥9 时, an ? an?6 ,此时 M ? {1, 2, 4,8,16, 20, 28,32} , 共 8 个元素. 由题意, a 3 可取的值有 4a1 , 4a1 ? 36 , 4a1 ? 72 , 4a1 ? 108 共 4 个元素, 显然,不论 a1 为何值, a 3 必为 4 的倍数,所以 a3 ? 4k (k ? 1, 2,L ,9) , ① 当 a3 ?{4,8,16, 20, 28,32} 时,
an ?{4,8,16, 20, 28,32} (n≥3) ,此时 M 最多有 8 个元素;



当 a3 ?{12, 24} 时, 当 a3 ? 36 时,

an ?{12, 24} (n≥3) ,此时 M 最多有 4 个元素;



an ? 36 (n≥3) ,此时 M 最多有 3 个元素;

所以集合 M 的元素个数的最大值为 8 .

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