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苏教版高中数学必修:三角函数的周期性


1.3.1 三角函数的周期性
一、课题:三角函数的周期性 二、教学目标:1.理解周期函数、最小正周期的定义; 2.会求正、余弦函数的最小正周期。 三、教学重、难点:函数的周期性、最小正周期的定义。 四、教学过程: (一)引入: 1.问题: (1)今天是星期二,则过了七天是星期几?过了十四天呢?…… (2)物理中的单摆振动、圆周运动,质点运动的规律如何呢? 2.观察正(余

)弦函数的图象总结规律: 自变量

x

?2?

?

3? 2
1

??
0

?

?
2

0 0

? 2
1

?
0

3? 2
?1

2?

函数值

sin x

0

?1 y – 1

0

?5?

?2?

??

?

?
2

O

?
2

?

2?

5?

x

?1 –

正弦函数 f ( x) ? sin x 性质如下: 文字语言:正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得; 符号语言:当 x 增加 2k? ( k ? Z )时,总有 f ( x ? 2k? ) ? sin( x ? 2k? ) ? sin x ? f ( x) . 也即: (1)当自变量 x 增加 2k? 时,正弦函数的值又重复出现; (2)对于定义域内的任意 x , sin( x ? 2k? ) ? sin x 恒成立。 余弦函数也具有同样的性质,这种性质我们就称之为周期性。 (二)新课讲解: 1.周期函数的定义 对于函数 f ( x ) ,如果存在一个非零常数 时, 都有 f ( x ? T ) ? f ( x) , ....T ,使得当 x 取定义域内的每一个值 .... 那么函数 f ( x ) 就叫做周期函数,非零常数 T 叫做这个函数的周期。 说明: (1) T 必须是常数,且不为零; (2)对周期函数来说 f ( x ? T ) ? f ( x) 必须对定义域内的任意 x 都成立。 【思考】

2? ? 2? ) ? sin ,能否说 是它的周期? 6 3 6 3 (2)正弦函数 y ? sin x , x ? R 是不是周期函数,如果是,周期是多少?( 2k? , k ? Z 且 k ? 0 ) * (3)若函数 f ( x ) 的周期为 T ,则 kT , k ? Z 也是 f ( x ) 的周期吗?为什么? (是,其原因为: f ( x) ? f ( x ? T ) ? f ( x ? 2T ) ? ? ? f ( x ? kT ) )
(1)对于函数 y ? sin x , x ? R 有 sin(

?

?

2.最小正周期的定义 对于一个周期函数 f ( x ) ,如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小的正数就叫做

f ( x) 的最小正周期。
说明: (1)我们现在谈到三角函数周期时,如果不加特别说明,一般都是指的最小正周期; (2)从图象上可以看出 y ? sin x , x ? R ; y ? cos x , x ? R 的最小正周期为 2? ; (3) 【判断】 :是不是所有的周期函数都有最小正周期? ( f ( x) ? c 没有最小正周期) 3.例题分析: 例 1:求下列函数周期:

(1) y ? 3cos x , x ? R ; (2) y ? sin 2 x , x ? R ;

1 ? ), x? R. 2 6 解: (1)∵ 3cos( x ? 2? ) ? 3cos x , ∴自变量 x 只要并且至少要增加到 x ? 2? ,函数 y ? 3cos x , x ? R 的值才能重复出现, 所以,函数 y ? 3cos x , x ? R 的周期是 2? . (2)∵ sin(2 x ? 2? ) ? sin 2( x ? ? ) ? sin 2 x , ∴自变量 x 只要并且至少要增加到 x ? ? ,函数 y ? sin 2 x , x ? R 的值才能重复出现, 所以,函数 y ? sin 2 x , x ? R 的周期是 ? . 1 ? 1 ? 1 ? (3)∵ 2sin( x ? ? 2? ) ? 2sin[ ( x ? ? ) ? ] ? 2sin( x ? ) , 2 6 2 6 2 6 ∴自变量 x 只要并且至少要增加到 x ? ? ,函数 y ? sin 2 x , x ? R 的值才能重复出现, 所以,函数 y ? sin 2 x , x ? R 的周期是 ? . 说明: (1)一般结论:函数 y ? A sin(? x ? ? ) 及函数 y ? A cos(? x ? ? ) , x ? R (其中 A, ? , ? 为常数,且 2? A ? 0 , ? ? 0 )的周期 T ? ;
(3) y ? 2sin( x ? (2)若 ? ? 0 ,例如:① y ? 3cos(? x) , x ? R ;② y ? sin(?2 x) , x ? R ; ③ y ? 2sin( ?

?

1 ? x? ), x? R. 2 6

则这三个函数的周期又是什么? 一般结论:函数 y ? A sin(? x ? ? ) 及函数 y ? A cos(? x ? ? ) , x ? R 的周期 T ? 例 2:求下列函数的周期: (1) y ? sin(

2? . |? |

?

3

?

?

2

x) ;

(2) y ? cos

(3) y ? sin x ? cos x ; 解: (1) T ?

2? |?

3x x 3x x cos ? sin sin ; 2 2 2 2 x 2 x ? sin 2 ; (4) y ? cos (5) y ? cos2 x . 2 2

?
2

? 4 ,∴周期为 4 ; |

(2) y ? cos

3x x 3x x 3x x cos ? sin sin ? cos( ? ) ? cos x ,∴周期为 2? ; 2 2 2 2 2 2
2 sin( ? x) 4

(3) y ? cos x ? sin x ? (4) y ? sin
2

?

∴周期为 2? ;

x x ? cos 2 ? ? cos x ,∴周期为 2? ; 2 2 1 1 1 2 (5) y ? cos x ? (1 ? cos 2 x) ? ? cos 2 x ? ,∴周期为 ? . 2 2 2
说明:求函数周期的一般方法是:先将函数转化为 y ? A sin(? x ? ? ) 的形式,再利用公式 T ? 五、课堂练习:求下列函数的周期:

2?

?

进行求解。

x x , x ? R ; (3) y ? 3sin , x ? R ; 3 4 ? 1 ? ? (4) y ? sin( x ? ) , x ? R ; (5) y ? cos(2 x ? ) , x ? R ; (6) y ? 3 sin( x ? ) , x ? R .
(1) y ? sin 3x , x ? R ; (2) y ? cos

10 六、小结:1.周期函数、最小正周期的定义

2 4 3 2. y ? A sin(? x ? ? ) 型函数的周期的求法。


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